浙江省2021届高三数学3月联考试题（Word版附答案）

浙江省 2021 届高三下学期 3 月联考数学 一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项 是符合题目要求的. 1. 设集合  1,3,5,7,9U  ，集合  3,5,9A  ，  1,3,7,9B  ，则 UC A B  ( ) A.  1,7 B.  3,9 C.  1,5,7 D.  1,7,9 2.若 ，则 1 4 zz i   ( ) A. i B. i C. 1 D. -1 3.若 x ， y 满足 2 0 3 0 x y x y x        ，则 2x y 的最大值为( ) A.0 B.3 C.4 D.5 4. 一个圆锥的母线与其轴所成的角为 60 ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ） A. 2  B.  C. 2 D. 3 5. 函数 tan , ,0 0,2 2 xy xx              的大致图象是( ) A. B. C. D. 6.若 ,m n 是两条不同的直线, ,  是两个不同的平面,且 ,m n   ，则“ / /m n ”是 “  ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.设 na 是等差数列. 下列结论中正确的是( ) A．若 1 2 0a a  ，则 2 3 0a a  B．若 1 3 0a a  ，则 1 2 0a a  C．若 1 20 a a  ，则 2 1 3a a a D．若 1 0a  ，则   2 1 2 3 0a a a a   8.设双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （ 0, 0a b  ）的右焦点为 ,0)F c（ ，右顶点为 A ,过 F 作 AF 的垂 线与双曲线交于 ,B C 两点，过 ,B C 分别作 ,AB AC 的垂线交于点 D .若 D 到直线 BC 的距离 小于 a c ，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 ( ) A.( 1,0) (0,1)  B.( , 1) (1, )   C.( 2,0) (0, 2)  D.( , 2) ( 2, )   9. 已知 , , 0, n )( )( ) 0 0a b R ab x a x b x a b x       且 若(l 在 上恒成立，则( ) A. 0, 0a b  B. 0, 0a b  C. 0, 0a b  D. 0, 0a b  10. 设集合 ,S T 中至少有两个元素，且 ,S T 满足： ①对于任意 , , ,x y S x y x y T   若 则 ； ②对于任意 , , ,x y T x y x y S   若 则 .下列说法正确的是( ) A. 若 S 有 2 个元素，则 S T 有 3 个元素 B. 若 S 有 2 个元素，则 S T 有 4 个元素 C. 存在 3 个元素的集合 S ，满足 S T 有 4 个元素 D. 存在 3 个元素的集合 S ，满足 S T 有 5 个元素 二、填空题：本大题共 7 小题，共 36 分.多空题每小题 6 分，单空题每小题 4 分 11.. 《九章算术》商功中有如下问题：今有阳马，广三尺， 袤四尺，高五尺，问积如何？“阳马”这种几何体三视图如 图所示，则体积为 ，最长棱长为 12. 若 41( )( )x a x x   的 展 开 式 的 常 数 项 为 2 ， 则 a  ，所有项系数的绝对值之和是 . 13．在 ABC 中，角 A ， B ，C 的对应边分别为 a ，b ，c , 若 3 sin cos a b A B  , 2 3b  ， 2c  ，则 B  , ABCS  14. 设 直 线 : 1 0( 1, 1),l mx ny m n       ， 圆 2 2:( 1) ( 1) 1,C x y    ，若直线l与圆相切，则 3m n 的最小值为 . 15.六个人排成一排，若甲、乙、丙均互不相邻，且甲、乙在丙的同一侧，则不同的排法 有 . 16. 甲、乙两袋装有除颜色外其余均相同的白球和黑球若干个，其中甲袋装有2个白球，2个 黑球；乙袋装有一个白球，3个黑球；现从甲、乙两袋中各抽取2个球，记取到白球的个数为 ， 则 ( 2)P    , ( )E   . 17 ．已知 1 2 3, ,e e e    是空 间单位向 量， 1 2 2 3 3 1 1 ,2e e e e e e           若空 间向量 a  满足 ， 1 2 ( , ), 2,a xe ye x y R a       则 3a e  的最大值是 . 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18．（本题 14 分）已知函数 ( ) sin( )6f x x m   ，将 ( )y f x 的图象横坐标变为原来的 1 2 ， 纵坐标不变，再向左平移 6  个单位后得到 ( )g x 的图象，且 ( )y g x 在区间[ , ]4 3   内的最大 值为 3 2 （1）求 m 的值 （2）在锐角 ABC 中，若 3( )2 2 Cg  ，求 tan tanA B 的取值范围 19.（本小题15分）如图，已知多面体 1 1 1 1 1 1 1 1, , , ,ABCD A B C D AA BB CC DD 均垂直于平面 1 1 1 1, / / , 2, 1, 4ABCD AD BC AB BC CD AA CC BB AD DD        (1)证明: 1 1 1 1A C CDD C 平面 (2)求直线 1BC 与平面 1 1 1A B C 所成角的正弦值. 5 4 5 3 3 4 正视图 侧视图 俯视图 20.(本小题 15 分）20．（本题满分 15 分）已知正项数列 }{ na ， }{ nb 满足 }{ na 是首项为 1， 公差为 d 的等差数列， * 1 22 2 2 1 ,111 Nna n bbb nn    ． （ Ⅰ ） 求 }{ nb 的 通 项 公 式 ；（ Ⅱ ） 若 数 列 }{ nc 满 足 dc  111 ， * 11 ,2,)( Nnnbbacc nnnnn   ，证明： * 2211 ,1111 Nndcbcbcb nn   ． 21、（本小题 15 分）已知椭圆 2 2 1 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的长轴长为 4 ，离心率为 2 1 ，一动 圆 2C 过椭圆 1C 右焦点 F ，且与直线 1x 相切． (1)求椭圆 1C 的方程及动圆圆心轨迹 2C 的方程 (2)过 F 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆 1C 于 QP, 两点，交曲线 2C 于 ,M N 两点， 求四边形 PMQN 面积的最小值． 22．（本小题 15 分）设函数 ( ) ln ( 1) xf x x a x e   ，其中 a R （1）若 0a  ，讨论 ( )f x 的单调性； （2）若 10 a e   （i）证明 ( )f x 恰有两个零点； （ii）设 0x 为 ( )f x 的极值点， 1x 为 ( )f x 的零点，且 1x ＞ 0x ，证明： 0 13 2x x  浙江省 2021 届高三下学期 3 月联考参考答案 一．选择题 1-10 ABCDD ACABA 二．填空题 11．10， 5 2 12. 1,32; 23. , 31 3B  14. 6 4; 15.96; 5 316. , ;12 2 2 317. 3 三．解答题 18.答案：解：（1） ( ) sin( )6f x x m   的图象横坐标变为原来的 1 2 ，纵坐标不变，再向左 平移 6  个单位后得到 ( )g x 的图象， 则 2 5( ) sin(2 ) , [ , ], 2 [ , ]6 4 3 6 3 6g x x m x x            ， 2 3 32 , , ( ) + , 06 3 4 2 2x x g x m m        当 即 时 最大值 （2） 3( ) sin( ) (0, ),2 6 2 2 Cg C C      6C   2 sin 2 2 3 1 sin 2 3 cos2 3 2sin(2 ) 3cos sin cos 32 2 C A A AA A A         2 3ABC , 2 , sin(2 ) 13 2 3 3 3 2 3A A A               是锐角三角形， tan tan 4+2 3A B  19. 答案：解（Ⅰ）证明：如图，连接 AC， ∵ AA1 ∥ CC1，且 AA1=CC1， ∴ 四边形 ACC1A1 为平行四边形，即 A1C1 ∥ AC． 又底面 ABCD 为等腰梯形，且 AB=BC=CD=2，AD=4， 易证 AC ⊥ CD． sin sin sin cos sin cos sin( )tan tan 5cos cos cos cos cos cos( )6 A B A B B A A BA B A B A B A A        ∵ CC1 ⊥ 平面 ABCD，AC ⊂ 平面 ABCD， ∴ CC1 ⊥ AC, 又 CD∩CC1=C， ∴ AC ⊥ 平面 CDD1C1， 又因为 A1C1 ∥ AC ∴ A1C1 ⊥ 平面 CDD1C1； （Ⅱ）解：法一、由题意得 ，延长 DC，D1C1，AB，A1B1 交于点 G，取 CG 中点 M， 连接 BM，AC． ∵ BM ∥ AC ∥ A1C1，BM ⊄ 平面 A1B1C1，A1C1 ⊂ 平面 A1B1C1， ∴ BM ∥ 平面 A1B1C1， ∴ 点 B 到平面 A1B1C1 的距离和点 M 到平面 A1B1C1 的距离相等． 由（Ⅰ）知 A1C1 ⊥ 平面 CDD1C1， 又 A1C1 ⊂ 平面 A1B1C1， ∴ 平面 A1B1C1 ⊥ 平面 CDD1C1． 过点 M 作 MH ⊥ GD1 于点 H，则 MH ⊥ 平面 A1B1C1， 即点 M 到平面 A1B1C1 的距离为 ． 设直线 BC1 与平面 A1B1C1 所成的角为θ， 则 ， 即直线 BC1 与平面 A1B1C1 所成角的正弦值为 ； 解法二、以 D 为坐标原点，DA 所在直线为 x 轴，过点 D 且垂直于平面 ADD1A1 的直线为 y 轴， DD1 所在直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， ， ． 设平面 A1B1C1 的法向量 ， 由 ，令 x=1，得 ． 设直线 BC1 与平面 A1B1C1 所成的角为θ， 则 ， 即直线 BC1 与平面 A1B1C1 所成角的正弦值为 ． 20. 答 案 ： （ Ⅰ ） 因 为 1 22 2 2 1 111   nn a n bbb  ， 所 以 2,1111,11 2 1 2 2 2 12 2 1   na n bbbab nn  ， 作差得 2,111 11 2   naaa n a n b nnnnn ，………………………………………………………3 分 检验 1b 也符合，…………………4 分 又 }{ nb 为正项数列，故 1 [1 ( 1) ](1 )n n nb a a n d nd     ．…………………6 分 （Ⅱ）由 1111)(   nnnnnnnnn aaaabbacc 得 * 111 ,2, Nnnaacc nnnn   累加得 2,1211   naaaacc nnn ，故 2,1   naac nnn ， 检验 1c 也符合，…………………9 分 则 )11(1 )( 11 11 1 11         nnnn nn nnnnnn aadaad aa aaaacb ，……… 12 分 又 }{ na 为正项数列，故 d>0， daadcbcbcb nnn 1)11(1111 112211    ．…………………15 分 21．解：(Ⅰ) 由已知可得 31 2 2 1 42 222            cabc a a ce a ， 则所求椭圆方程 134: 22 1  yxC .由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线 C 的焦点为 )0,1( ，准线方程为 1x ，则动圆圆心轨迹方程为 2 2 : 4C y x . (Ⅱ)当直线 MN 的斜率不存在时，|MN|=4， 此时 PQ 的长即为椭圆长轴长，|PQ|=4， 从而 1 1| | | | 4 4 82 2PMQNS MN PQ      . 设直线 MN 的斜率为 k ，则 0k  ,直线 MN 的方程为： )1(  xky 直线 PQ 的方程为 1 ( 1)y xk    ， 设 1 1 2 2 3 3 4 4( , ), ( , ), ( , ), ( , )M x y N x y P x y Q x y 由 2 ( 1) 4 y k x y x     ，消去 y 可得 0)42( 2222  kxkxk 由抛物线定义可知： 22 2 2122 4424211|||||| kk kxxNFMFMN  由 2 2 1 ( 1) 14 3 y xk x y        ，消去 y 得 2 2 2(3 4) 8 4 12 0k x x k     ， 从而 2 2 3 4 2 1 12(1 )| | 1 ( ) | | 3 4 kPQ x xk k       ， ∴ 2 2 2 2 2 4 2 1 1 4 12(1 ) (1 )| | | | (4 ) 242 2 3 4 3 4PMQN k kS MN PQ k k k k        令 21 k t  ， ∵k>0，则 1t  则 2 2 2 2 2 1 24 24 24| | | | 2 12 3( 1) 4( 1) 3 2 1 3 PMQN t tS MN PQ t t t t t t            2 2 2 1 13 4 (1 ) (0,3)t t t       所以 2 24 82 13 PMQNS t t     所以四边形 PMQN 面积的最小值为 8. 22.答案（Ⅰ）解：f′（x）= -[aex+a（x-1）ex]= ，x ∈ （0，+∞）， 当 a≤0 时，f′（x）＞0， ∴ 函数 f（x）在 x ∈ （0，+∞）上单调递增； （Ⅱ）证明：（i）由（Ⅰ）可知：f′（x）= ，x ∈ （0，+∞）， 令 g（x）=1-ax2ex， ∵ 0＜a＜ ， 可知 g（x）在 x ∈ （0，+∞）上单调递减，又 g（1）=1-ae＞0， 且 g（ln ）=1-a =1- ＜0， ∴ g（x）存在唯一解 x0 ∈ （1，ln ）， 即函数 f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）单调递减， ∴ x0 是函数 f（x）的唯一极值点， 令 h（x）=lnx-x+1，（x＞0），h′（x）= ， 可得 h（x）≤h（1）=0， ∴ x＞1 时，lnx＜x-1， f（ln ）=ln（ln ）-a（ln -1） =ln（ln ）-（ln -1）＜0， ∵ f（x0）＞f（1）=0， ∴ 函数 f（x）在（x0，+∞）上存在唯一零点， ∵ 当 x=1 时，f(1)=0, ∴ 函数 f（x）在（0，x0）上存在唯一零点 1， 因此函数 f（x）恰有两个零点； （ii）由题意可得：f′（x0）=0，f（x1）=0， 即 a =1，lnx1=a（x1-1） ， ∴ lnx1= ，即 = ， ∵ x＞1，可得 lnx＜x-1， 又 x1＞x0＞1， 故 ＜ = ， 取对数可得：x1-x0＜2lnx0＜2（x0-1）， 化为：3x0-x1＞2．