吉林省长春市2021届高三数学文下学期质量监测（二）（二模）试题（Word版附答案）

长春市 2021 届高三质量监测（二)文科数学 3 月 一、选择题:本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.复数 cos isin3 3z    ，则复数 z 的虚部是 1 3 1 3A. B. C. 2 2 2 2D.   2.设全集 Z, {1,2,4,7}, {2,4,6,8}U A B   ，则右图阴影部分表示的集合为， A. {1,7} B. {6,8} C. {2,4} D. {1,6,7,8} 3.已知 ,m n 是平面 内的两条直线，则“直线l m 且l n ”是“l  ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件的 4.党的十八大以来，我们在脱贫攻坚领域取得了前所未有的成就，农村贫困人口大幅减少，解 决困扰中华民族几千年的贫困问题，取得历史性成就.同时为全球减贫事业作出了重要贡 献.2020 年为脱贫攻坚收官之年，下图为 2013 年至 2019 年每年我国农村减贫人数的条形图. 根据该条形图分析，下述结论中正确的个数为 ①平均每年减贫人数超过 1300 万; ②每年减贫人数均保持在 1100 万以上: ③打破了以往随着脱贫工作深入推进,难度越来越大,脱贫人数逐年递减的规律; ④历年减贫人数的中位数是 1240(万人) . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5．已知抛物线方程为 2 4y x ，则抛物线的准线方程为 A. 1 B. 1 C. 1 D. 1x x y y      6.已知 nS 为等差数列{ }na 的前 n 项和，若 2 515, 65a S  ，则 1 4a a  A. 24 B. 26 C. 28 D. 30 7.已知函数 ( ) 2sin( ) ( 0,| | )f x x        的部分图象如图所示，则函数 ( )f x 的解析 式为 A. ( ) 2sin( )6f x x   B. ( ) 2sin( )12f x x   C. ( ) 2sin(2 )6f x x   D. ( ) 2sin(2 )12f x x   8.已知直线l 将圆 2 2: 2 1 0C x y x y     平分，且与直线 2 3 0x y   垂直，则l 的方程 为 A. 2 0 B. 2 3 0 C. 2 4 0 D. 2 2 0x y x y x y x y           9.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 126，则判断框内的条件可以为 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 n n n n „ „ „ „ 10.若 , ,A B C 是半径为 2 的圆上的三个点，且| | 2,| | 2 2AB AC  ,则 AB AC   A. 1 B. 1 C. 2 D. 2  11.现有如下信息: (1）黄金分割比（简称:黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度 之比等于较长部分与整体长度之比，其比值为 5 1 2  . (2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形. (3)有一个内角为 36°的等腰三角形为黄金三角形. 由上述信息可求得 sin126  B. 4A C. 5 1 5 1 5 1 2 5 1. D 2 4 .     12.已知函数 2 | |1( ) 3 xf x x a e   至少有1个零点，则实数 a 的取值范围是 3 34A. [1,+ ) B. [ ,+ ) C. [1, 3] D. [ 3, )3e e e      二、本题共 4 小题，每小题 5 分. 13.已知点 ( , )P x y 满足约束条件 4 0 4 x y x y x     … … „ ，则 2z x y  的最小值为 . 14.写出一个符合“对 Rx  ， ( ) ( ) 0f x f x   ”的函数 ( )f x  . 15.已知焦点在 x 轴上的双曲线C 的渐近线方程为 2y x  ，则该双曲线的离心率为 . 16.“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜（如 图)，已知“天眼”的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底， 垂直于圆面的直径被截得的部分为高），设球冠底的半径为 r ,球冠的高为 h ， 则球的半径 R  . 三、解答题:共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答．第 22~23 题为选考题，考生根据要求作答. (一）必考题:共 60 分. 17.随着互联网行业、传统行业和实体经济的融合不断加深，互联网对社会经济发展的推动效 果日益显著．某大型超市计划在不同的线上销售平台开设网店，为确定开设网店的数量，该 超市在对网络上相关店铺做了充分的调查后，得到下列信息，如右图所示(其中 x 表示开设网 店数量， y 表示这 x 个分店的年销售额总和）．现已知 5 5 1 1 8850, 2000i i i i i x y y      ，求解 下列问题： (Ⅰ)经判断，可利用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，求解 y 关于 x 的回归方程; ( II)按照经验，超市每年在网上销售获得的总利润 w (单位:万元）满足 25 140w y x   ， 请根据:(Ⅰ)中的线性回归方程，估算该超市在网上开设多少分店时，才能使得总利润最大. 参考公式：线性回归方程  y bx a  ，其中 a y bx   ， 1 2 2 1 i n i i i i n x y nxy b xx n         . 18.已知三棱柱 1 1 1-ABC A B C , AB AC , 1AA ⊥平面 ABC ， 12 4AA AB AC   , M 为棱 AB 上一点，若 3AM BM . (Ⅰ)求证： 1B M ⊥平面 1 1A BC ； ( II)求三棱锥 1 1-M BB C 的体积. 19.已知等比数列{ }na 满足： 1 2 2 320, 80a a a a    . (Ⅰ)求{ }na 的通项公式； ( II)令 2logn nb a ，其前 n 项和为 nS ，求 9 n n b S  的最大值. 20.已知椭圆 2 2 2 2 >1( 0)x y a ba b    的左右焦点分别为 1 2,F F ，离心率为 1 2 ，过椭圆右焦点的直 线交椭圆于 ,A B 两点， 1AF B 的周长为8 ，O 为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆的方程； ( II)求 AOB 面积的最大值. 21.已知函数 21( ) ln (1 ) .2f x x a x a x  (Ⅰ)讨论函数 ( )f x 的单调性； ( II)若 2 ( ) 2 af x  恒成立，求正实数 a 的取值范围. 22.[选修 4-4 坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系中,曲线 1C 的参数方程为 cos sin x t y t      ( t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 2 2 cos 3    . (I)求曲线 1C 的极坐标方程和曲线 2C 的直角坐标方程; (II)曲线 1C 与 2C 相交于 A 、 B 两点，求| | | |OA OB 的值. 23．[选修 4-5 不等式选讲 ] 已知函数 ( ) | 1|f x x  . (Ⅰ)解不等式 ( ) ( 4) 8f x f x  ≥ ; (II)若| | 1,| | 1, 0a b a   ，求证： ( ) | | ( )bf ab a f a  . 长春市普通高中 2021 届高三质量监测（二） 数学（文科）试题参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1.【试题解析】D 复数 z 的虚部为 3sin 3 2   ，故选 D. 2.【试题解析】A 易知阴影部分为集合 ( ) {1,7}UA B  ð ，故选 A. 3.【试题解析】B 若 m 与 n 不相交，则“直线 l m 且l n ”不能推出“l  ”；反之，如果 “l  ”，无论 m 与 n 是否相交，都能推出“直线l m 且l n ”，故“直线 l m 且l n ”是 “l  ”的必要不充分条件，故选 B. 4.【试题解析】C 由图易知①②③正确，④中位数应为 1289（万），④错，故选 C. 5.【试题解析】D 由抛物线的定义可知. 故选 D. 6.【试题解析】C 由题意 5 3 35 65, 13S a a   ，所以 1 4 2 3 28a a a a    ，故选 C. 7.【试题解析】C 由题意知，函数的周期为 ，即 2  ，图象向左平移 12  ，即 6   ，故 选 C. 8.【试题解析】D 由题意知，直线l 过点 1( ,1)2  ，斜率为 2 ，所以直线 : 2 2 0l x y   ，故 选 D. 9.【试题解析】B 由程序框图知， 1 1 2 1 2 62 , 2; 2 2 , 3; 2 2 2 126, 7S n S n S n            ，所以 7n  时不满足判断 条件，输出 S ，故选 B. 10.【试题解析】D 由数量积的几何意义可知 AC 为直径，AB 与 AC 成角 60 ，故 2AB AC   . 故选 D. 11.【试题解析】D由题意，设 ABC 为 36A   的黄金三角形，有 5 1, 2 ab c b   ，所以 2 2 2 5 1cos36 2 4 b c a bc      ，所以 5 1sin126 cos36 4     ，故选 D 12.【试题解析】A令 ( ) 0f x  有 | | 21 3 xa e x  ，令 | | 21( ) 3 xg x e x  ，易知其为偶函数，当 0x  时， 21 2 2( ) , ( ) 1 03 3 3 x xg x e x g x e x x x        ，所以 | | 21( ) 3 xg x e x  在 (0, ) 上是增函数，且 ( ) (0) 1g x g  ，易知 ( )g x 的值域为[1, ) ，所以 1a  ，故选 A. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 【答案】 6 【解析】 可行域为 由 2z x y  得 2y x z   ，过（2,2）点时有最小值 6. 14. 【答案】例如 3( )f x x 【解析】可得函数为奇函数. 15.【答案】 5 【解析】可得 22 1 ( ) 5b bea a      . 16.【答案】 2 2 2 h r h  【解析】由 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 0 2 r hR r R h r Rh h R h          三、解答题 17.(本小题满分 12 分) 【 试 题 解 析 】 解 ：（ 1 ） 由 题 意 ， 5 2 1 8850 20 400ˆ90, 4, 8590 80i i x x b       ， ˆ 400 85 4 60a     ，所以 ˆ 85 60y x  ， （2）由（1）知， 2 217 11255 85 80 5( )2 4w x x x        ，所以当 8x  或 9x  时能获得总利润最大. 18.(本小题满分 12 分) 【试题解析】解：（1）证明： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A A ABC A A AC AC A ABBAC ABC AC B M AC B M AB AC B M A ABB                    平面 平面平面 ，即 平面 1 1 1 1 1 1 1 1 AC B M B M A BCA B B M      平面 . （6 分） （2） 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 44 4 24 4 4 3 12 2 3M BB C C BB M C A BB B A B C ABC A B CV V V V V               . （12 分） 19.(本小题满分 12 分) 【试题解析】解：（1）由题意 1 1 2 1 1 20 80 a a q a q a q      ，可知 4q  ，进一步解得 1 4a  . 即{ }na 的通项公式为 4n na  . （6 分） （2） 2 2log log 4 2n n nb a n   ， 212 ( 1) 22nS n n n n n      ， 2 2 2 2 99 9 71 n n b n S n n n n       ≤ ，当且仅当 3n  时“ ”成立， 即 9 n n b S  的最大值为 2 7 . （12 分） 20.(本小题满分 12 分) 【试题解析】解：（1）设椭圆半焦距为 c ，由题意可知 4 8, 2a a  ， 由离心率有 21, 3c b  ，所以椭圆方程为 2 2 14 3 x y  .（4 分） （2）设直线 : 1AB x ty  ，联立方程组 2 2 14 3 1 x y x ty       ，消去 x 得 2 2(4 3 ) 6 9 0t y ty    ， 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，有 1 2 1 22 2 6 9,4 3 4 3 ty y y yt t      ，由 2| | 1OF  ， 所以 OAB 的面积 2 2 1 2 2 2 2 1 6 1 6| | | | 12 4 3 3 1 1 tS OF y y t t t          ， 由函数 13y x x   在 [1, )x  上单调递增，所以 2 2 13 1 4 1 t t     ， 当且仅当 0t  时取等号， 所以 2 2 6 3 1 23 1 1 S t t      ，所以 OAB 面积的最大值为 3 2 （12 分）. 21. (本小题满分 12 分) 【试题解析】解：（1）定义域为 (0, ) 上， 2 (1 ) ( 1)( )( ) 1a x a x a x x af x x ax x x            ， 当 0a  时，在 (0, ) 上 ( ) 0f x  ，所以 ( )f x 在定义域 (0, ) 上单调递增 当 0a  时，令 ( ) 0f x  有 x a ，令 ( ) 0f x  有 0 x a  ， 所以 ( )f x 在 (0, )a 上单调递减，在 ( , )a  上单调递增. （4 分） （2）令 2 ( ) ( ) 2 ag x f x  ，由（1）及 a 为正数知， 2 ( ) ( ) 2 ag x f x  在 x a 处取最小值，所以 2 ( ) 2 af x  恒成立等价于 ( ) 0g a  ， 即 ln (1 ) 0a a a a    ，整理得 ln 1 0a a   令 ( ) ln 1h x x x   ，易知 ( )h x 为增函数，且 (1) 0h  ， 所以 ln 1 0a a   的 a 的取值范围是 0 1a  （12 分） 22.(本小题满分 10 分) 【试题解析】（1）曲线 1C 的普通方程为cos sin 0y x     ，即极坐标方程为  （  R ）. 曲线 2C 的直角坐标方程为 2 2 2 3x y x   ，即 2 2( 1) 4x y   . （5 分） （2）曲线 2C 的极坐标方程为 2 2cos 3 0      ，代入  ，可得 1 2 3    ， 则 1 2| | | | | | 3OA OB     . （10 分） 23.(本小题满分 10 分) 【试题解析】（1） ( ) ( 4) | 1| | 3| 8f x f x x x      ≥ ，则 ( , 5] [3, )x    . （5 分） （2）要证 ( ) | | ( )bf ab a f a  成立，即证| 1| | |ab b a   成立， 即证 2222 1 baba  成立，只需证 2 2 2( 1) ( 1) 0a b b    成立 即证 2 2( 1)( 1) 0a b   成立，由已知| | 1,| | 1a b  得 2 2( 1)( 1) 0a b   显然成立.（10 分）