江西省九所重点中学2021届高三数学（理）3月联考试题（Word版附答案）

2021 年 高 安中学彭泽一中 泰和中学 樟树中学高三联合考试 数学试卷（理科） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟. 2.本试卷分试题卷和答题卷，第Ⅰ卷（选择题）的答案应填在答题卷卷首相应的空格内，做在 第Ⅰ卷的无效. 3.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡相应的位置. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求的. 1.已知集合  2log 1A x x  ，  2 1B x x  ，则 A B  （ ） A. 1,1 B. 1,2 C. 0,1 D. 0,2 2.复数 z 满足：  1 i 1-iz   ，则复数 z 的实部是（ ） A. 1 B.1 C. 2 2  D. 2 2 3.在 ABC△ 中， AB AC AB AC   uuur uuur uuur uuur ， 4AB  ， 3AC  ，则 BC uuur 在 CA uur 方向上的投影 为（ ） A.3 B.5 C. 3 D. 4 4. 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数  f x 满 足 ：    6f x f x  ， 且 当 0 3x  时 ，           0.5log 1 0 1 2 1 3 a x xf x x x x          （ a 为常数），则    2020 2021f f 的值为（ ） A. 2 B. 1 C.0 D.1 5.设 0 61 2 6 2 0 1 2 6 172 m mm mx a x a x a x a xx          L ，则 0 1 2 6m m m m    L （ ） A.21B.64C.78D.156 6.设 2log 6a  ， 3log 12b  ， 5log 15c  ，则（ ） A. a b c  B. c b a  C.b a c  D. c a b  7.如图是一个正方体纸盒的展开图，把 1，1，2，2，3，3 分别填入小正方形后，按虚线折成 正方体，则所得到的正方中体相对面上的两个数都相等的概率是（ ） A. 4 15 B. 1 6 C. 1 15 D. 1 20 8.已知函数    sin 0, 2f x x           的部分图象如图所示，则关于函数  f x 下 列说法正确的是（ ） A.  f x 的图象关于直线 6x  对称 B.  f x 的图象关于点 ,04      对称 C.  f x 在区间 5 ,12 6       上是增函数 D.将 sin 2y x 的图象向右平移 3  个单位长度可以得到  f x 的图象 9.已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 和空间任意直线l ，若直线l 与直线 AB 所成的角为 1 ，与直 线 1CC 所成的角为 2 ，与平面 ABCD 所成的角为 1 ，与平面 1 1ACC A 所成的角为 2 ，则 （ ） A. 1 2 2    B. 1 2 2    C. 1 2 2    D. 1 2 2    10.点 O 为坐标原点，若 A ， B 是圆 2 2 16x y  上的两个动点，且 120AOB   ，点 P 在 直线3 4 25 0x y   上运动，则 PA PB uur uur 的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 11.关于 x 的方程 ln 1x x ke x   在 0, 上只有一个实根，则实数 k （ ） A. 1e  B.1 C.0 D. e 12.设函数  y f x 的图像由方程 14 2 x x y y  确定，对于函数  f x 给出下列命题： 1P ： 1 2,x x R  ， 1 2x x ，恒有    1 2 1 2 0f x f x x x   成立 2P ：  y f x 的图像上存在一点 P ，使得 P 到原点的距离小于 2 3P ：对于 x R  ，  2 0f x x  恒成立 则下列正确的是（ ） A. 1 2P P В. 1 3P P C. 2 3P P  D. 1 3P P  第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知随机变量 服从正态分布  23,N  ，  6 0.84P    ，则  0P    . 14.已知离心率为 2 的双曲线 1C ：   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的右焦点 F 与抛物线 2C 的焦点重 合， 1C 的中心与 2C 的顶点重合， M 是 1C 与 2C 的公共点，若 5MF  ，则 1C 的标准方程 为 . 15.已知 a ，b ， c 分别为 ABC△ 三个内角 A ， B ，C 的对边，角 A ， B ，C 成等差数列， 且 4b  ，若 D ， E 分别为边 AC ， AB 的中点，且G 为 ABC△ 的重心，则 GDE△ 面积的 最大值为 . 16.已知三棱锥 A BCD ， 5AB AD BC CD    ， 8BD  ， 3AC  ，则以点C 为球心， 2 2 为半径的球面与侧面 ABD 的交线长为 . 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题共 60 分 17.（本小愿满分 12 分） 已知 na 是公差不为零的等差数列， 1 1a  ，且 1 3 9, ,a a a 成等比数列. （1）求数列 na 的通项公式； （2）设 1tan tann n nb a a   ，求数列 nb 的前 n 项和 nS . 18.（本小题满分 12 分） 如图，平面 ABCD  平面 DBNM ，且菱形 ABCD 与形 DBNM 全等，且 MDB DAB   ， G 为 MC 中点. （1）求证： //GB 平面 AMN ； （2）求二面角 A MN B  的余弦值. 19.（本小题满分 12 分） 已知正三角形 ABC ，某同学从 A 点开始，用擦骰子的方法移动棋子，规定：①每掷一次骰子， 把一枚棋子从三角形的一个顶点移动到另一个顶点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷 出骰子的点数大于 3，则按逆时针方向移动：若掷出骰子的点数不大于 3，则按顺时针方向移 动.设掷骰子 n 次时，棋子移动到 A ， B ， C 处的概率分别为：  nP A ，  nP B ，  nP C ， 例如：掷骰子一次时，棋子移动到 A ， B ， C 处的概率分别为  1 0P A  ，  1 1 2P B  ，  1 1 2P C  （1）掷骰子三次时，求棋子分别移动到 A ， B ，C 处的概率  3P A ，  3P B ，  3P C ； （2）记  n nP A a ，  n nP B b ，  n nP C c ，其中 1n n na b c   ， n nb c ，求 8a . 20.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 E ：   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的焦距为 2 2 ，点  0,2P 关于直线 y x 的对称点在 椭圆 E 上. （1）求椭圆 E 的方程； （2）如图，椭圆 E 的上、下顶点分别为 A ，B ，过点 P 的直线l 与椭圆 E 相交于两个不同的 点C ， D . ①求 COD△ 面积的最大值 ②当 AD 与 BC 相交于点 Q 时，试问：点Q 的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不 是，说明理由. 21.（本小题满分 12 分） 已知函数   2 ln 4f x x a x a   ， a R （1）讨论函数  f x 的单调性； （2）令     sing x f x x  ，若存在  1 2, 0,x x   ，且 1 2x x 时，    1 2g x g x 证明： 2 1 2x x a . （二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分. 22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线C 的参数方程为 2cos 2sin cos sin x y          （ 为参数）.以 坐 标 原 点 O 为 极 点 ， x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为 3sin 4 24       . （1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程； （2）过原点O 引一条射线分别交曲线C 和直线l 于 A ， B 两点，求 2 2 1 8 OA OB  的最大值. 23.【选修 4-5：不等式选讲】 已知函数   2f x x a x a    . （1）若 1a  ，求不等式   24f x x  的解集； （2）已知 2m n  ，若对任意 xR ，都存在 0m  ， 0n  ，使得   24 2m nf x mn  ，求 实数 a 的取值范围. 2021 年 高 安中学彭泽一中 泰和中学 樟树中学高三联合考试 数学试卷（理科）参考答案 命题：泰和中学、、樟树中学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟. 2.本试卷分试题卷和答题卷，第Ⅰ卷（选择题）的答案应填在答题卷卷首相应的空格内，做在 第Ⅰ卷的无效. 3.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡相应的位置. 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D C D A B C C B A B C 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13.0.16 14. 2 2 13 yx   15. 3 3 16. 5 三、解答题（本大题共 70 分） 17.解：（1）∵ 1 1a  ， 1 3 9, ,a a a 成等比数列 ∴ 2 3 1 9a a a  即 21 2 1 8d d   解得 1d  或 0d  （舍去） 故 na 的通项为   1 1 1na n n     （2）    tan 1 tantan tan 1 1tan1n n nb n n       ∴  1 tan 2 tan1 tan3 tan 2 tan 1 tantan1nS n n n          L      tan 11 tan 1 tan1 1tan1 tan1 nn n n          18.解：（1）证明：连接 AC ，交 DB 于 E ，连接GE ， 在 AMC△ 中，G ， E 分别是CM ，CA 中点， ∴ //GE AM ∵GE  平面 AMN AM  平面 AMN ， ∴ //GE 平面 AMN 又菱形 DBNM 中， //MN BE ， 同理可证 //BE 平面 AMN 又∵ BE GE E  ， ∴平面 //GBE 平面 AMN 又∵GB  平面GBE ， ∴ //GB 平面 AMN （2）连接 ME ，由菱形 ABCD 与菱形 DBNM 全等，且 MDB DBA   ， 可得出 AD AB BD  ， DM BD MB  . ∴ ME BD ， 又∵平面 ABCD  平面 MNBD 且平面 ABCD 平面 MNBD BD ∴ ME  平面 ABCD 则以 EA 为 x 轴， EB 为 y 轴， EM 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 令 2AB  ，则  3,0,0A ，  0, 1,0D  ，  0,0, 3M ，  0,1,0B ，  0,2, 3N ， 设平面 AMN 的一个法向量为  , ,n x y z r ，则由 0 0 AM n AN n      uuur r uuur r 得 3 3 0 3 2 3 0 x z x y z        则可令 1x  ，得 0y  ， 1z  ，平面 AMN 的一个法向量为  1,0,1n  r ， x 轴  平面 BMN ，可设平面 BMN 的一个法向量为  1,0,0m  ur 设二面角 A MN B  的平面角为 ， ∴ 1 2cos cos , 22 m n    ur r ， 又∵二面角 A MN B  为锐二面角， ∴二面角 A MN B  的余弦值为 2 2 19.解：（1）  3 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 4P A         3 1 1 1 3 2 4 2 8P B         3 1 1 1 3 2 4 2 8P C        （2）∵ n nb c ，即 1 1n nb c  ， 2n  ， 又  1 1 1 2n n nb a c   ， ∴ 2n  时    1 1 1 1 1 1 2 2n n n n nb a c a b       又∵ 1 1 1 1n n na b c     ，可得 12 1n nb b   由 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 2 3 2 3n n nb b b             可得数列 1 3nb    是首项为 1 6 公比为 1 2  的等比数列 11 1 1 3 6 2 n nb        ，即 11 1 1 3 6 2 n nb       又 1 11 1 1 1 11 2 1 2 13 6 2 3 2 n n n na b                                 故 8 43 128a  20.解：（1）因为点  0,2P 关于直线 y x 的对称点为  2,0 ， 且 2,0 在椭圆 E 上，所以 2a  ， 又 2 2 2c  ，∴ 2c  则 2 2 2 4 2 2b a c     ， 所以椭圆 E 的方程为 2 2 14 2 x y  （2）①设直线l 的方程为 2y kx  ，  1 1,C x y ，  2 2,D x y ， 点O 到直线l 的距离为 d . 2 2 2 14 2 y kx x y     消去 y 整理得：  2 21 2 8 4 0k x kx    ， 由 0  ，可得 2 1 2k  ， 且 1 2 2 8 1 2 kx x k     ， 1 2 2 4 1 2x x k   ∴ 2 2 1 2 22 1 1 2 4 2 112 2 1 21COD kS CD d k x x kk        △ 设  22 1 0t k t   ，则 2 4 4 4 222 2 2COD tS t t t      △ 当且仅当 2t  即 6 2k   时等号成立 ∴ COD△ 的面积的最大值为 2 ②由题意得， AD ： 2 2 2 2yy xx   ， BC ： 1 1 2 2yy xx   ， 联立方程组，消去 x 得         1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 kx x x x x x y x x x x         又∵ 1 2 2x x   ，解得 1y  故点Q 的纵坐标为定值 1. 21.解：（1）  f x 的定义域为 0,   22 a x af x x x    当 0a  时，   0f x  当 0a  时，由   0f x  得 2 ax  ， 由   0f x  得 0 2 ax  ， ∴当 0a  时，  f x 在 0, 上单调递增 当 0a  时，  f x 在 0, 2 a     上单调递减，在 ,2 a    单调递增. （2）   2 ln sin 4g x x a x x a    ∵    1 2g x g x ∴ 1 1 1 2 2 22 ln sin 2 ln sinx a x x x a x x     ∴      1 2 1 2 1 2ln ln 2 sin sina x x x x x x     令   sinh x x x  ，则   1 cos 0h x x    ∴  h x 在  0, 上单调递增 不妨设 1 2 0x x  ，∵    1 2h x h x ， ∴ 1 1 2 2sin sinx x x x   ∴  1 2 2 1sin sinx x x x    ， ∴        1 2 1 2 1 2 2 1 1 22 sin sin 2x x x x x x x x x x         ∴  1 2 1 2ln lna x x x x   ∴ 1 2 1 2ln ln x xa x x   下面证明 1 2 1 2 1 2ln ln x x x xx x   令  1 2 1xt tx   ，只需证 t 1 ln tt   ，只需证 t 1 ln 0t t    ， 设    1 ln 1tm t t t t    ，则    2 1 0 2 t m t t t     ， ∴  m t 在 1, 递增 ∴    1 0m t m  即 1 2 1 2 1 2ln ln x x x xx x   成立 ∴ 1 2a x x 即 2 1 2x x a 22.解：（1）由曲线C 的参数方程得：     2 2 22 cos sin cos sin 24 x y          ∴曲线C 的直角坐标方程为 2 2 18 2 x y  . 又由 3sin 4 24       ， cos sin 8     将 cosx   ， siny   代入上式， 得直线l 的直角坐标方程为 8 0x y   . （2）在极坐标系内，可设  1,A   ，  2,B   ， 则 2 2 2 2 1 1cos sin 18 2      ， 2 2cos sin 8     2 2 2 2 2 2 1 2 1 8 1 8 cos 4sin 1 sin 2 8OA OB             7 13sin 2 7 13 16 16      （当  sin 2 1   时取等号，符合题意） ∴ 2 2 1 8 OA OB  的最大值为 7 13 16  23.解：（1）当 1a  时，不等式   24f x x  即为 21 2 4x x x     ① 当 2x   时，①化为 2 2 5 0x x   无解， 当 2 1x   时，①化为 2 1x  ，从而 1 1x   当 1x  时，①化为 2 2 3 0x x   无解 ∴原不等式的解集为 1 1x x   （2）      2 2 3f x x a x a x a x a a         24 2 4 2 4 4 41 2 1 5m n m m m n m n m n mn n m n m n m n m             当且仅当 2m n ，即 2 3m  ， 4 3n  时等号成立 ∴5 3 a ， ∴ 5 3a   或 5 3a  ， ∴ a 的取值范围为 5 5, ,3 3            