江苏省无锡市八校联盟2021届高三数学下学期第三次适应性试题（Word版附答案）

江苏省无锡市 2021 届高三无锡八校联盟第三次适应性检测 数学试题 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．若角α的终边经过点 P(3，a)(a≠0)，则（ ） A．sinα＞0 B．sinα＜0 C．cosα＞0 D．cosα＜0 2．记函数 y＝ 4－x2的定义域为 A，函数 y＝ln(x－1)的定义域为 B，则 A∩B＝（ ） A．(1，2) B．(1，2] C．(－2，1) D．[－2，1) 3．设实数 x 满足 x＞0，函数 y＝2＋3x＋ 4 x＋1 的最小值为（ ） A．4 3－1 B．4 3＋2 C．4 2＋1 D．6 4. 有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全， 要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为 0.7m，若行车道 总宽度为 7.2m，则车辆通过隧道时的限制高度为（ ） A. 3.3m B. 3.5m C. 3.8m D. 4.5m 5．函数 f(x)＝ sinx＋x cosx＋x2 在[－π，π]上的图象大致为（ ） 6．若函数 f(x)同时满足：①定义域内存在实数 x，使得 f(x)·f(－x)＜0；②对于定义域内任意 x1， x2，当 x1≠x2 时，恒有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0；则称函数 f(x)为“DM 函数”．下列函数中是“DM 函数”的为（ ） A．f(x)＝x3 B．f(x)＝sinx C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝lnx B －π π 1 y xO A x－π π 1 y O D 1－π πO x y x C －π π1 y O 7. 已知等差数列 na 的公差为 2，前 n 项和为 nS ，且 1S ， 2S ， 4S 成等比数列.令 2 1 n n n b a a   ，数列 nb 的前 n 项和为 nT ，若对于 *n N  ，不等式 nT  恒成立，则实数  的取值范围是（ ） A. 1 3   B. 1 5   C. 1 5   D. 0  8. 若椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     上的点 5(2, )3 到右准线的距离为 5 2 ，过点  0,1M 的直线 l 与C 交于两点 ,A B ，且 2 3AM MB  ，则l 的斜率为（ ） A. 1 3 B. 1 3  C. 1 2  D. 1 9 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求的．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分) 9. 如图，已知 1 1 1 1ABCD A B C D 为正方体，E，F 分别是 BC， 1AC 的中点，则（ ） A.  1 1 1 1 0AC A B A A     B.  2 2 1 1 1 1 6B A B B B C CD      C. 向量 1A B uuur 与向量 1AD  的夹角是 60 D. 异面直线 EF 与 1DD 所成的角为 45 10.我们把离心率为 5 1 2  的椭圆称为黄金椭圆，类似地，也把离心率为 5 1 2  的双曲线称为 黄金双曲线，则（ ） A. 曲线 2 2 13 5 1 x y   是黄金双曲线 B. 如果双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     是黄金双曲线，那么 2b ac （c 为半焦距） C. 如果双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     是黄金双曲线，那么右焦点 2F 到一条渐近线的距离等于 焦距的四分之一 D. 过双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的右焦点 2F 且垂直于实轴的直线 l 交 C 于 M、N 两点， O 为坐标原点，若 90MON   ，则双曲线 C 是黄金双曲线 11．已知(2＋x)(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则（ ） A．a0 的值为 2 B．a5 的值为 16 C．a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6 的值为－5 D．a1＋a3＋a5 的值为 120 12.对于定义在 R 上的函数  f x ，若存在正实数 a 、b ，使得    f x a f x b   对一切 xR 均成立，则称  f x 是“控制增长函数”.在以下四个函数中是“控制增长函数”的有 （ ） A.   xf x e B.  f x x C.    2sinf x x D.   sinf x x x  三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前 287－前 212），是古希腊伟大的物理学家、数 学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封 闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之 二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角 坐标系 xOy 中，已知直线 l：y＝4 与抛物线 C：y＝1 4 x2 交于 A，B 两点，则弦 AB 与抛物线 C 所围成的封闭图形的面积为 ▲ ． 14．地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．震级(M)是 用据震中 100 千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的．里氏震级的 计算公式为 M＝lgA－lgA0，其中 A 是被测地震的最大振幅，A0 是“标准地震”的振幅(使用标准 地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差)．根据该公式可知，7.5 级地震的最 大振幅是 6 级地震的最大振幅的 ▲ 倍（精确到 1 位）． 15.将正奇数按如图所示的规律排列： 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 ……………………… 则 2021在第 ▲ 行，从左向右第 ▲ 个数. 16．若不等式(ax2＋bx＋1)ex≤1 对一切 x∈R 恒成立，其中 a，b∈R，e 为自然对数的底数， 则 a＋b 的取值范围是 ▲ ． 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分． 17．(本小题满分 10 分) 在① 3 sin cosc A a C ，② πtan( ) 2 34C    ，③ 2 2 2 3a b c ab   这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中，并加以解答． 已知△ABC 中的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为 S ．若 4c  ， 105B   ， ，求 a 和 S ． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．(本小题满分 12 分) 已知数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，且 1n na S  ， 2 1 log n n n ab a    ， *nN ． （1）求数列{ }na ，{ }nb 的通项公式； （2）设 1 1 2 ( 2)n n n n nc b b    ，数列{ }nc 的前 n 项和为 nT ，求证： 3 1 16 4nT ≤ ． 19．(本小题满分 12 分) 2019 年 4 月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“ 3 1 2  ”高考新模式.为调研 新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级 800 名学生 的选科情况，部分数据如下表： 性别 科目 男生 女生 合计 物理 300 历史 150 合计 400 800 （1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有 99.9% 的把握认为该校学生选择物理或历 史与性别有关； （2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取 5 人，组成数学学习小组.一段时间后，从该小组中抽取 3 人汇报数学学习心得.记 3 人中男生 人数为 X ，求 X 的分布列和数学期望 ( )E X . 附： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      2( )P K k 0.050 0.010 0.001 k 3.8410 6.635 10.828 20．(本小题满分 12 分) 如图，在正六边形 ABCDEF 中，将 ABF 沿直线 BF 翻折至 A BF ，使得平面 A BF  平面 BCDEF ，O ， H 分别为 BF 和 A C 的中点. （1）证明：OH  平面 A EF ； （2）求平面 A BC 与平面 A DE 所成锐二面角的余弦值. 21．(本小题满分 12 分) 对于定义在 D 上的函数 f(x)，如果存在实数 x0，使得 f(x0)＝x0，那么称 x0 是函数 f(x)的一个不 动点．已知 f(x)＝ax2＋1． （1）当 a＝－2 时，求 f(x)的不动点； （2）若函数 f(x)有两个不动点 x1，x2，且 x1＜2＜x2． ①求实数 a 的取值范围； ②设 g(x)＝loga[f(x)－x]，求证：g(x)在(a，＋∞)上至少有两个不动点． 22． (本小题满分 12 分) 已知 O 为坐标原点，椭圆 2 2: 14 xC y  ，点 D M N， ， 为 C 上的动点，O M N， ， 三点 共线，直线 DM DN， 的斜率分别为 1 2 1 2( 0)k k k k ， ． （1）证明： 1 2 1 4k k   ； （2）当直线 DM 过点 (1 0)， 时，求 2 2 1 19 | | 2 1DN k   的最小值； （3）若 1 2 0k k  ，证明： 2 2| | | |OD OM 为定值． 江苏省无锡市 2021 届高三无锡八校联盟第三次适应性检测 数学试题 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．若角α的终边经过点 P(3，a)(a≠0)，则（ ） A．sinα＞0 B．sinα＜0 C．cosα＞0 D．cosα＜0 答案：C 2．记函数 y＝ 4－x2的定义域为 A，函数 y＝ln(x－1)的定义域为 B，则 A∩B＝（ ） A．(1，2) B．(1，2] C．(－2，1) D．[－2，1) 答案：B 3．设实数 x 满足 x＞0，函数 y＝2＋3x＋ 4 x＋1 的最小值为（ ） A．4 3－1 B．4 3＋2 C．4 2＋1 D．6 答案：A 4. 有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全， 要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为 0.7m，若行车道 总宽度为 7.2m，则车辆通过隧道时的限制高度为（ ） A. 3.3m B. 3.5m C. 3.8m D. 4.5m 答案：C 5．函数 f(x)＝ sinx＋x cosx＋x2 在[－π，π]上的图象大致为（ ） 答案：D B －π π 1 y xO A x－π π 1 y O D 1－π πO x y x C －π π1 y O 6．若函数 f(x)同时满足：①定义域内存在实数 x，使得 f(x)·f(－x)＜0；②对于定义域内任意 x1， x2，当 x1≠x2 时，恒有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0；则称函数 f(x)为“DM 函数”．下列函数中是“DM 函数”的为（ ） A．f(x)＝x3 B．f(x)＝sinx C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝lnx 答案：A 7. 已知等差数列 na 的公差为 2，前 n 项和为 nS ，且 1S ， 2S ， 4S 成等比数列.令 2 1 n n n b a a   ，数列 nb 的前 n 项和为 nT ，若对于 *n N  ，不等式 nT  恒成立，则实数  的取值范围是（ ） A. 1 3   B. 1 5   C. 1 5   D. 0  答案：A 8. 若椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     上的点 5(2, )3 到右准线的距离为 5 2 ，过点  0,1M 的直线 l 与C 交于两点 ,A B ，且 2 3AM MB  ，则l 的斜率为（ ） A. 1 3 B. 1 3  C. 1 2  D. 1 9 答案：B 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求的．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分) 9. 如图，已知 1 1 1 1ABCD A B C D 为正方体，E，F 分别是 BC， 1AC 的中点，则（ ） A.  1 1 1 1 0AC A B A A     B.  2 2 1 1 1 1 6B A B B B C CD      C. 向量 1A B uuur 与向量 1AD  的夹角是 60 D. 异面直线 EF 与 1DD 所成的角为 45 答案：ABD 10.我们把离心率为 5 1 2  的椭圆称为黄金椭圆，类似地，也把离心率为 5 1 2  的双曲线称为 黄金双曲线，则（ ） A. 曲线 2 2 13 5 1 x y   是黄金双曲线 B. 如果双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     是黄金双曲线，那么 2b ac （c 为半焦距） C. 如果双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     是黄金双曲线，那么右焦点 2F 到一条渐近线的距离等于 焦距的四分之一 D. 过双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的右焦点 2F 且垂直于实轴的直线 l 交 C 于 M、N 两点， O 为坐标原点，若 90MON   ，则双曲线 C 是黄金双曲线 答案：BD 11．已知(2＋x)(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则（ ） A．a0 的值为 2 B．a5 的值为 16 C．a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6 的值为－5 D．a1＋a3＋a5 的值为 120 答案：ABC 12.对于定义在 R 上的函数  f x ，若存在正实数 a 、b ，使得    f x a f x b   对一切 xR 均成立，则称  f x 是“控制增长函数”.在以下四个函数中是“控制增长函数”的有 （ ） A.   xf x e B.  f x x C.    2sinf x x D.   sinf x x x  答案：BCD 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前 287－前 212），是古希腊伟大的物理学家、数 学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封 闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之 二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角 坐标系 xOy 中，已知直线 l：y＝4 与抛物线 C：y＝1 4 x2 交于 A，B 两点，则弦 AB 与抛物线 C 所围成的封闭图形的面积为 ▲ ． 答案：64 3 14．地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．震级(M)是 用据震中 100 千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的．里氏震级的 计算公式为 M＝lgA－lgA0，其中 A 是被测地震的最大振幅，A0 是“标准地震”的振幅(使用标准 地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差)．根据该公式可知，7.5 级地震的最 大振幅是 6 级地震的最大振幅的 ▲ 倍（精确到 1 位）． 答案：32 15.将正奇数按如图所示的规律排列： 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 ……………………… 则 2021在第 ▲ 行，从左向右第 ▲ 个数. 答案： (1). 32 (2). 50 16．若不等式(ax2＋bx＋1)ex≤1 对一切 x∈R 恒成立，其中 a，b∈R，e 为自然对数的底数， 则 a＋b 的取值范围是 ▲ ． 答案：(－∞，－1] 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分． 17．(本小题满分 10 分) 在① 3 sin cosc A a C ，② πtan( ) 2 34C    ，③ 2 2 2 3a b c ab   这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中，并加以解答． 已知△ABC 中的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为 S ．若 4c  ， 105B   ， ，求 a 和 S ． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 答案：若选①，由 3 sin cosc A a C 及正弦定理 sin sin a c A C ， 得 3sin sin sin cosC A A C ，所以 3tan 3C  ． …… 3 分 因为 0 πC  ，所以 30C   ． …… 5 分 又 105B   ，所以 45A   ， …… 6 分 结合 4c  ，可得 sin 4 2sin c Aa C  ． …… 8 分 所以△ABC 中的面积 1 1sin 4 4 2 sin1052 2S ac B      8 2 (sin 45 cos60 cos45 sin60 )       4 3 4  ． …… 10 分 若选②，由 πtan tanπ tan 14tan( ) 2 34 π 1 tan1 tan tan 4 C CC CC       ， 可得 3tan 3C  ．下同① …… 3 分 若选③，由 2 2 2 3a b c ab   ，得 2 2 2 3cos 2 2 a b cC ab    ， …… 3 分 因为 0 πC  ，所以 30C   ．下同① …… 5 分 18．(本小题满分 12 分) 已知数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，且 1n na S  ， 2 1 log n n n ab a    ， *nN ． （1）求数列{ }na ，{ }nb 的通项公式； （2）设 1 1 2 ( 2)n n n n nc b b    ，数列{ }nc 的前 n 项和为 nT ，求证： 3 1 16 4nT ≤ ． 答案：（1）因为 1n na S  ，所以当 1n  时， 12 1a  ，即 1 1 2a  ． …… 1 分 当 2n≥ 时，有 1 1 1n na S   ，所以 1 1 0n n n na a S S     ， 即 1 1 2n na a  ，即 1 1 2 n n a a   （ 2n≥ ）， 所以{ }na 是首项为 1 1 2a  ，公比为 1 2 的等比数列， …… 4 分 所以 11 1 1( ) ( )2 2 2 n n na    ． 所以 12 1 log 2nn n n ab na       ． …… 6 分 （2） 1 1 11 2 1 2 ( 2) 2 ( 2) 1 1 1 2 2 ( 1) 2( 2 ) ( 1) 2 n n n n nn n n n n nc b b n nn n                      ．…… 8 分 所以 1 2 3n nT c c c c     1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( )2 2 21 2 2 2 2 2 3 2 2 ( 1) 2n nn n                   1 1 2 1 1 1 1 1 2 41 2 ( 1)2 ( 1) 2n nn n            ， …… 10 分 可知{ }nT 为递增数列，所以 1 1 2 1 1 1 1 3 4 4 16 16(1 1) 2nT T       ≥ ． 又 2 1 0( 1) 2nn    ，所以 1 4nT  ，所以 3 1 16 4nT ≤ ． …… 12 分 19．(本小题满分 12 分) 2019 年 4 月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“ 3 1 2  ”高考新模式.为调研 新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级 800 名学生 的选科情况，部分数据如下表： 性别 科目 男生 女生 合计 物理 300 历史 150 合计 400 800 （1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有 99.9% 的把握认为该校学生选择物理或历 史与性别有关； （2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取 5 人，组成数学学习小组.一段时间后，从该小组中抽取 3 人汇报数学学习心得.记 3 人中男生 人数为 X ，求 X 的分布列和数学期望 ( )E X . 附： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      2( )P K k 0.050 0.010 0.001 k 3.8410 6.635 10.828 答案： 性别 科目 男生 女生 合计 物理 300 250 550 历史 100 150 250 合计 400 400 800 ……3 分 （1） 2 2 800 (300 150 250 100) 160 10.828550 250 400 400 11K         故有99.9% 的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关. …… 6 分 （2）抽取的男女比例为 2:3，故抽取 5 人中男生 2 人，女生 3 人. X 的所有可能取值为 0，1， 2 3 3 3 5 1( 0) 10 CP X C    ， 1 2 2 3 3 5 6 3( 1) 10 5 C CP X C     ， 2 1 2 3 3 5 3( 2) 10 C CP X C    …… 10 分 X 的分布列如下： X 0 1 2 P 1 10 3 5 3 10 1 3 3 6( ) 0 1 210 5 10 5E X        . …… 12 分 20．(本小题满分 12 分) 如图，在正六边形 ABCDEF 中，将 ABF 沿直线 BF 翻折至 A BF ，使得平面 A BF  平面 BCDEF ，O ， H 分别为 BF 和 A C 的中点. （1）证明：OH  平面 A EF ； （2）求平面 A BC 与平面 A DE 所成锐二面角的余弦值. 答案：（1）证明：取 A B 中点 M ，连接OM ，MH ， OM A F  ，MH BC …… 2 分 又 BC EF ，MH EF ，OM  平面 A EF ，MH  平面 A EF …… 3 分 ,OM MH  平面 MOH ，OM MH M ，平面 MOH  平面 A EF OH  平面 A EF …… 5 分 （2）平面 A BF  平面 BCDEF ，平面 A BF 平面 BCDEF BF A O BF  ， A O  平面 BCDEF ，又 DO BF 如图建立空间直角坐标系，设 2BC  ， 1, 3A O OD   …… 7 分 (0,0,1)A ， ( 3,0,0)B ， ( 3,2,0)C ， (0,3,0)D ， ( 3,2,0)E  ( 3,0, 1)A B   ， (0,2,0)BC  ， (0,3, 1)A D   ， ( 3, 1,0)DE    …… 8 分 设平面 A BC ，平面 A DE 的法向量分别为 1 1 1 1( , , )n x y z ， 2 2 2 2( , , )n x y z 1 1 1 1 11 0 3 0 (1,0, 3) 2 00 n A B x z n yn BC                     ……9 分 2 22 2 2 22 3 00 ( 1, 3,3 3) 3 00 y zn A D n x yn DE                     …… 10 分 设平面 A BC 与平面 A DE 所成角为 ， 1 2,n n   所成角为 1 2 1 2 8 4 31cos cos 312 31 n n n n             . …… 12 分 21．(本小题满分 12 分) 对于定义在 D 上的函数 f(x)，如果存在实数 x0，使得 f(x0)＝x0，那么称 x0 是函数 f(x)的一个不 动点．已知 f(x)＝ax2＋1． （1）当 a＝－2 时，求 f(x)的不动点； （2）若函数 f(x)有两个不动点 x1，x2，且 x1＜2＜x2． ①求实数 a 的取值范围； ②设 g(x)＝loga[f(x)－x]，求证：g(x)在(a，＋∞)上至少有两个不动点． 答案：（1）当 a＝－2 时，f(x)＝－2x2＋1．方程 f(x)＝x 可化为 2x2＋x－1＝0，解得 x＝－1 或 x＝1 2 ， 所以 f(x)的不动点为－1 和 1 2 ．····································································· 2 分 （2）①因为函数 f(x)有两个不动点 x1，x2，所以方程 f(x)＝x，即 ax2－x＋1＝0 的两个实数根 为 x1，x2， 记 p(x)＝ax2－x＋1，则 p(x)的零点为 x1 和 x2，因为 x1＜2＜x2，所以 a·p(2)＜0， 即 a(4a－1)＜0，解得 0＜a＜1 4 ． 所以实数 a 的取值范围为(0，1 4)．·····················6 分 ②因为 g(x)＝loga[f(x)－x]＝loga(ax2－x＋1)． 方程 g(x)＝x 可化为 loga(ax2－x＋1)＝x，即 ax＝ax2－x＋1， ax2－x＋1＞0． 因为 0＜a＜1 4 ，△＝1－4a＞0，所以 p(x)＝0 有两个不相等的实数根． 设 p(x)＝ax2－x＋1＝0 的两个实数根为 m，n，不妨设 m＜n． 因为函数 p(x)＝ax2－x＋1 图象的对称轴为直线 x＝ 1 2a ，p(1)＝a＞0， 1 2a ＞1，p(1 a)＝1＞0， 所以 1＜m＜ 1 2a ＜n＜1 a ． 记 h(x)＝ax－(ax2－x＋1)， 因为 h(1)＝0，且 p(1)＝a＞0，所以 x＝1 是方程 g(x)＝x 的实数根， 所以 1 是 g(x)的一个不动点．·······································································8 分 h(n)＝an－(an2－n＋1)＝an＞0，因为 0＜a＜1 4 ，所以1 a ＞4，h(1 a)＝a 1 a－1＜a4－1＜0， 且 h(x)的图象在[n，1 a]上的图象是不间断曲线，所以x0∈(n，1 a)，使得 h(x0)＝0，· 10 分 又因为 p(x)在(n，1 a)上单调递增，所以 p(x0)＞p(n)＝0，所以 x0 是 g(x)的一个不动点， 综上，g(x)在(a，＋∞)上至少有两个不动点．················································· 12 分 22． (本小题满分 12 分) 已知 O 为坐标原点，椭圆 2 2: 14 xC y  ，点 D M N， ， 为 C 上的动点，O M N， ， 三点 共线，直线 DM DN， 的斜率分别为 1 2 1 2( 0)k k k k ， ． （1）证明： 1 2 1 4k k   ； （2）当直线 DM 过点 (1 0)， 时，求 2 2 1 19 | | 2 1DN k   的最小值； （3）若 1 2 0k k  ，证明： 2 2| | | |OD OM 为定值． 答案：（1）由题知 M N， 关于原点对称，则可设 1 1 2 2 2 2( ) ( ) ( )D x y M x y N x y ， ， ， ， ， ． 因为点 D M， 在椭圆 C 上，所以 2 2 2 21 2 1 21 14 4 x xy y   ， ， 所以 2 2 2 21 2 1 21 14 4 x xy y   ， ， 所以 2 2 1 22 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (1 ) (1 ) 14 4 4 x x y y y y y yk k x x x x x x x x              ． …… 2 分 （2）设直线 1: ( 1)DM y k x  ，代入 2 2 14 x y  可得， 2 2 2 2 1 1 1(1 4 ) 8 4 4 0k x k x k     ，所以 2 1 1 2 2 1 8 1 4 kx x k    ， 因此 2 2 1 22 2 2 1 2 2 1 2 2 1 8 11 ( ) 1 1 4 k kDN k x x k x x k          ， …… 4 分 因为 1 2 1 4k k   ，所以 2 2 2 2 2 1 1 4 kDN k   ． 设 2 21 (1 )t k    ， ，则 2 2 2 1 19 4 16 82 8| | 22 1 t tDN t tk      ≥ ， 等号当仅当 2t  时取，即 2 3k   时取等号． 所以 2 2 1 19 | | 2 1DN k   的最小值为 8． …… 7 分 （3）不妨设 1 20 0k k ， ，由 1 2 1 4k k   ， 1 2 0k k  ， 所以 1 2 1 1 2 2k k  ， ． 8 分 将直线 DM 的方程为 1 1 1 ( )2y y x x   代入 2 2 14 x y  可得， 2 2 1 1 1+4 ( ) 42x x x y      ，即 2 2 2 1 1 1 1 1 12 2(2 ) 4 4 4 0x y x x x y x y       ． 因为 2 2 1 14 4x y  ，所以方程可化为 2 1 1 1 1(2 ) 2 0x y x x x y    ． 所以 1 2 1 12x x x y  ，即 2 12x y  ，所以 2 1 1 2y x  ，即 1 1 1( 2 )2M y x ， ．10 分 所以 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 5| | | | ( ) ( 2 ) ( ) +5 52 4OD OM x y y x x y            ．… 12 分