绝密★启用前
试卷类型：B
晋中市 2021 年 3 月高三适应性调研考试
数学（理科）
（本试卷考试时间 120 分钟，满分 150 分）
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标
号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，
将答案用 0.5 毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
参考公式：
锥体的体积公式： 1
3V Sh （其中 S 为锥体的底面积，h 为锥体的高）．
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合 2{ |1 4}, | 2 3 0A x x B x x x
，则 A B 等于（ ）
A．( 1,1] B．[3,4) C．( , 1] [3, ) D． ( , 1] (1, )
2．已知复数 z 满足 6
1z i
，则| |z （ ）
A． 2 B． 2 2 C．3 D．3 2
3．已知向量 (1,3), ( ,4)a b m ，且 (2 )b a b ，则 m 的值为（ ）
A． 2 B．2 C．4 D． 2 或 4
4．魔方又叫鲁比克方块（Rubk's Cube），是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克·艾尔内于
1974 年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界
的三大不可思议．三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后
沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中 1 面有色的小正方体称为中心方块，2 面有色的
小正方体称为边缘方块，3 面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，
恰好抽到边缘方块的概率为（ ）
A． 2
9 B． 8
27 C． 4
9 D． 1
2
5．如图，一个四棱柱形容器中盛有水，在底面 ABCD 中， / /AB CD , 3AB ， 1CD ，侧
棱 1 4AA ，若侧面 1 1AA B B 水平放置时，水面恰好过 1 1 1 1, ,,AD BC B C A D 的中点，那么当底
面 ABCD 水平放置时，水面高为（ ）
A．2 B． 5
2 C．3 D． 7
2
6．已知 2
1 sin2 22cos sin2
，则 tan 2 （ ）
A． 3
4
B． 4
3
C． 3
4 D． 4
3
7．已知点 F 是抛物线 2: 2 ( 0)E y px p 的焦点，O 为坐标原点，A，B 是抛物线 E 上的两
点，满足| | | | 10, 0FA FB FA FB FO 则 p （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．定义在 ( 1,1) 上的函数 ( )f x 满足 ( ) ( ) ( ) 2f x g x g x ，对任意的
1 2 1 2, ( 1,1),x x x x ，恒有 1 2 1 2 0f x f x x x ，则关于 x 的不等式
(3 1) ( ) 4f x f x 的解集为（ ）
A． 1 ,4
B． 1 ,04
C． 1, 4
D． 2 ,03
9.已知长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的底面是边长为 2 的正方形，高为 4，E 是 1DD 的中点，则
三棱锥 1 1B C EC 的外接球的表面积为（ ）
A．12 B． 20 C． 24 D． 32
10．已知双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
的右焦点为 F，过点 F 且垂直于 x 轴的直线与双
曲线的渐近线交于点 A（A 在第一象限内），以OA 为直径的圆与双曲线的另一条渐近线交于
点 B，若 / /BF OA ，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A． 2 3
3 B． 2 C． 3 D．2
11．设 ( ) sin2 cos2f x a x b x ，其中 0, 0a b ，若 ( ) 6f x f 对任意的 x R 恒成
立，则下列说法正确的是（ ）
A． 7
10 5f f
B．对任意的 x R 有 5( ) 06f x f x
成立
C． ( )f x 的单调递增区间是 2, ( )6 3k k k Z
D．存在经过点 ( , )a b 的直线与函数 ( )f x 的图象不相交
12．若存在实数 x，y 满足 ln 3 y yx x e e
，则 x y （ ）
A． 1 B．0 C．1 D． e
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．设 x，y 满足
0,
2 1,
2 2,
x y
x y
x y
则 x y 的最小值是_______，最大值是_________．
14．曲线 lny x ax 与直线 2 1y x 相切，则 a ______．
15．过点 (2, 3)P 作圆 2 2: 2 0C x y x 的两条切线，切点分别为 A，B，则
PA PB
_______．
16．如图所示，在平面四边形 ABCD 中， , , , 2AB BD AB BD BC CD AD ，在 ABC
中，角 A，B，C 的对应边分别为 a，b，c，若 2 2 cosc ab C ，则 ACD 的面积为__________．
三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题
为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答）
（一）必考题（共 60 分）
17．（12 分）设 na 是各项都为正的单调递增数列，已知 1 4a ，且 na 满足关系式：
1 14 2n n n na a a a ， *nN ．
（1）求 na 的通项公式；
（2）若 1
1n
n
b a
，求数列 nb 的前 n 项和 nS ．
18．（12 分）现有两个全等的等腰直角三角板，直角边长为 2，将它们的一直角边重合，若将
其中一个三角板沿直角边折起形成三棱锥 A BCD ，如图所示，其中 60ABD ，点 E，
F，G 分别是 , ,AC BC AB 的中点．
（1）求证： EF 平面 CDG ；
（2）求二面角 F AE D 的余弦值．
19．（12 分）为了促进电影市场快速回暖，各地纷纷出台各种优惠措施．某影院为回馈顾客，
拟通过抽球兑奖的方式对观影卡充值满 200 元的顾客进行减免，规定每人在装有 6 个白球、2
个红球的抽奖箱中有放回的抽球，每次抽取一个，最多抽取 3 次．已知抽出 1 个白球减 10 元，
抽出 1 个红球减 30 元，如果前两次减免之和超过 30 元即停止抽奖，否则抽取第三次．
（1）求某顾客所获得的减免金额为 40 元的概率；
（2）求某顾客所获得的减免金额 X 的分布列及数学期望．
20．（12 分）设椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
，O 为原点，点 (4,0)A 是 x 轴上一定点，已知
椭圆的长轴长等于| |OA ，离心率为 3
2
．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线 :l y kx t 与椭圆 C 交于两个不同点 M，N，已知 M 关于 y 轴的对称点为 M ，N
关于原点 O 的对称点为 N ，若 ,M N 满足 ( 1)OA OM ON
，求证：直线 l
经过定点．
21．（12 分）已知函数
2
21( ) 2 ( )2x
axf x x x ae
R （ 2.71828e …是自然对数的底数）．
（1）若 ( )f x 在 (0.2)x 内有两个极值点，求实数 a 的取值范围；
（2） 1a 时，计论关于 x 的方程 21 1( ) 2 |ln |( )2 xf x x x b x bxe
R 的根的个数．
（二）选考题（共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则
按所做的第一题计分）
22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
已知在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 2 2cos ,
2sin
x
y
（ 为参数）．以原点
O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为
(sin cos ) 1 ．
（1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；
（2）点 P 的极坐标为 1, 2
，设直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，且 AB 的中点为 Q，求线
段 PQ 的长．
23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 ( ) | | | |( 0)f x b x x a a ．
（1）当 1, 2b a 时，解不等式 ( ) 5f x ；
（2）当 2b 时，若不等式 ( ) 3f x
对任意的 x R 恒成立，求实数 a 的取值范围．
2021 年 3 月高三适应性调研考试
数学（理科）答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D D D C B A D B B A B C
1．解析：由题意得集合 2| 2 3 0 { 1B x x x x x |
或 3}x
，又因为
{ |1 4}A x x ，所以 { | 1A B x x 或 1}x ，故选 D．
答案：D
2．解析：因为 6 6(1 ) 6 (1 ) 3 31 (1 )(1 ) 2
iz i ii i i
，所以| | 3 2z ．故选 D．
答案：D
3．解析：根据题意，得 2 (2 ,2)a b m ，由 (2 )b a b ，得 (2 ) 8 0m m ，解得 2m
或 4m ．故选 D．
答案：A
4．解析：沿等分线把正方体切开得到同样大小的小正方体共有 27 个，其中有 3 个面涂色的
小正方体共有 8 个，只有 2 个面涂色的小正方体共有 12 个，只有 1 个面涂色的小正方体共有
6 个，所以恰好抽到只有 2 个面有色的小正方体的概率为 12 4
27 9
．故选 C．
答案：C
5．解析：设四棱柱的底面梯形的高为 2 , ,a AD BC 的中点分别为 ,F E ，所求的水面高为 h，
则水的体积 1
(2 3) (1 3)2 42 2ABEF ABCD
a aV S AA S h h 水 四边形 四边形・ ，所以
5
2h ，故选 B．
6．解析：因为
2
2 2
1 sin2 1 2sin cos (sin cos ) sin cos 1 1tan 22cos sin2 2cos 2sin cos 2cos (sin cos ) 2cos 2 2
，所以 tan 3 ，从而可得 2
2tan 6 3tan2 1 tan 1 9 4
，故选 A．
答案：A
7．解析：设 1 1 2 2, , ,A x y B x y ，则 1 2 1 2| | | | 102 2
p pFA FB x x x x p ，①
由 0FA FB FO ，知 1 2 1 2
3 , 02
pFA FB FO x x y y
，所以 1 2
3
2
px x ，
②
联立①②解得 4p ，故选 D．
答案：D
8．解析：设 ( ) ( ) 2 ( ) ( )h x f x g x g x ，则 ( )h x 为奇函数，且在 ( 1,1) 上为增函数，
所以不等式 (3 1) ( ) 4f x f x 等价于 (3 1) 2 ( ) 2 0f x f x ，即
(3 1) ( ) 0h x h x ，亦即 (3 1) ( ) ( )h x h x h x ，可得
1 3 1 1,
1 1,
3 1 ,
x
x
x x
，解得
1 04 x ，故选 B．
答案：B
9．解析：如图，因为在三棱锥 1 1B C EC 中， 1 1B C 平面 1C EC 且 1C EC 为直角三角形，
所以外接球球心是 1B C 的中点，不妨设球的半径为 R，则 2 4 16 20R ，所以球的表
面积 24 20S R .故选 B．
答案：B
10．解析：如图，因为 AF OF ，所以点 F 在圆上，又 / /BF OA ，所以 AOF OFB ，
而 AOF BOF ，所以 OBF 是等腰三角形，所以 30AOF ，所以
3tan30 3
b
a
，所以
2 2 31 3
be a
，故选 A．
答案：A
11．解析： 2 2 2 2( ) sin2 cos2 sin(2 ) tan bf x a x b x a b x a b a
，又
3 1sin cos6 3 3 2 2f a b a b
，由题意 ( ) 6f x f 对任意的 x R 恒成立，
且 0, 0a b ，所以 2 2 3 1
2 2a b a b 对任意的 x R 恒成立，即
2 2 2 23 1 3
4 4 2a b a b ab 2 23 2 3a b ab 恒成立，由基本不等式可知
2 23 2 3a b ab ，所以 2 23 2 3a b ab
，此时 3 0a b ，
所以 ( ) 3 sin2 cos2 2 sin 2 6f x b x b x b x
．
对于 A 选项， 7 47 132 sin 2 sin10 30 30f b b
， 17 132 sin 2 sin5 30 30f b b
，
所以 7
10 5f f
，故 A 错误；
对于 B 选顼，因为 ( ) 2 sin 2 6f x b x
，所以不妨令 2 ,6x k k Z ，解得
,12 2
kx k Z ，当 1k 时， 5
12x ，所以 5 ,012
是 ( )f x 的对称中心，故 B 正确；
对于 C 选项，由 2 2 2 ,2 6 2k x k k Z ，知 ,3 6k x k k Z ，故 C
不正确；
对于 D 选项，由题知 3 0a b ，要使经过点 ( , )a b 的直线与函数 ( )f x 的图象不相交，则
此直线与横轴平行，又 ( )f x 的振幅为 2b b ，所以直线必与 ( )f x 的图象有交点，故 D 不正
确．
答案： B
12．解析：令 ( ) ln 3f x x x ，则 1 1( ) 1 xf x x x
，所以 ( )f x 在 (0,1) 上单调递增，
在(1, ) 上单调递减，所以 max( ) (1) ln1 1 3 2f x f ．
令 ( ) y yg y e e ，则 2y ye e
，当且仅当 0y 时取等号，
又ln 3 y yx x e e
，所以 ln 3 2y yx x e e ，所以 1, 0, 1x y x y ．
答案：C
13．解析：如图所示，不等式组满足的平面区域为阴影部分所示区域，设 z x y ，当 y x z
经过点 2 2,3 3A
时， z x y 取到最小值 4
3
；当 y x z 经过点 1 1,3 3B
时，
z x y 取到最大值 2
3
．
答案： 4 2
3 3
14．解析：设切点为 0 0,P x y ，则 0 0 0 0 0ln , 2 1y x ax y x ，切线的斜率
0
0
1 2k f x ax
，解得 0 1, 1x a ．
答案：1
15．解析：由 2 2 2 0x y x 得 2 2( 1) 1x y ，所以圆心 (1,0)C ，半径为 1，所以
| | 2,| | | | 3, 60PC PA PB APB ，所以 3| || |cos60 2PA PB PA PB ．
答案： 3
2
16．解析：∵ ,AB BD AB BD ，∴在等腰直角 ABD 中 2 2AD AB c ，在 ABC
中，由余弦定理得 2 2 22 cosa b ab C c ，又已知 2 2 cosc ab C ，∴ 2 2 22a b c ，又
∵ , , 2a BC CD b AC AD c ，∴ 2 2 2AC CD AD ，∴ AC CD ，作CF BD
分别交 ,BD AD 于点 F，E（图略），∵ BC CD ，E，F 分别为线段 ,AD BD 的中点，∴
45 , 1CED CE ED ，∴ 1 22 2 sin452 2ACD ECDS S EC ED ．
答案： 2
2
17．解：（1）因为 *
1 14 2 ,n n n na a a a n N ，所以 1 12 4n n n na a a a ，
即 2
1 4n na a ，
又 na 是各项为正的单调递增数列，所以 1 2n na a ， 3 分
所以 na 是首项为 2，公差为 2 的等差数列，
所以 2 2( 1) 2na n n ，所以 24na n ． 6 分
（2） 2
1 1 1 1 1 1
1 4 1 (2 1)(2 1) 2 2 1 2 1n
n
b a n n n n n
， 8 分
所以 1 2n nS b b b
1 1 1 1 1 1 1 112 3 2 3 5 2 2 1 2 1n n
10 分
1 112 2 1 2 1
n
n n
． 12 分
18．解：（1）证明：根据已知得 AD BD ，又 G 为 AB 的中点，所以 DG AB ， 1
分
因为 AC BC ，G 为 AB 的中点，所以CG AB ， 2 分
又 DG CG G ，所以 AB 平面CDG ． 3 分
又因为 / /AB EF ，所以 EF 平面CDG ． 4 分
（2）因为 ,CD AD CD BD ，所以CD 平面 ABD ，取 BD 中点 H，连接 ,AH FH ，
则 AH 平面 BDC ，又 HF BD ，所以以 H 为原点，以 , ,HB HF HA 所在直线分别为 , ,x y z
轴建立如图所示的空间直角坐标系， 5 分
则 1 3(0,0, 3), (0,1,0), ( 1,2,0), ,1, , ( 1,0,0)2 2A F C E D
，
所以 1 3,1, , (0,1, 3), ( 1,0, 3)2 2AE AF AD
． 6 分
设平面 AEF 的法向量为 1 1 1 1, ,n x y z ，
则 1
1
0,
0,
n AE
n AF
即 1 1 1
1 1
1 3 0,2 2
3 0,
x y z
y z
令 1 1z ，得 1 ( 3, 3,1)n ． 8 分
设平面 AED 的法向量为 2 2 2 2, ,n x y z ，
则 2
2
0,
0,
n AE
n AD
即 2 2 2
2 2
1 3 0,2 2
3 0,
x y z
x z
令 2 1z ，得 2 ( 3,0, 1)n ． 10 分
所以 1 2
3 1 7cos , 72 7
n n ，所以二面角 F AE D 的余弦值为 7
7
． 12 分
19．解：（1）若顾客所获得的减免金额为 40 元，则第一次抽白球、第二次抽红球或第一次抽
红球、第二次抽白球． 2 分
求得顾客所获得的减免金额为 40 元的概率为 6 2 2 6 24 3
8 8 8 8 64 8P ． 5 分
（2）某顾客所获得的减免金额 X 可能为 30,40,50,60． 6 分
6 6 6 27( 30) 8 8 8 64P X ， 7 分
6 2 2 6 24 3( 40) 8 8 8 8 64 8P X ， 8 分
6 6 2 9( 50) 8 8 8 64P X ， 9 分
2 2 1( 60) 8 8 16P X ． 10 分
所以 X 的分布列为
X 30 40 50 60
P 27
64
3
8
9
64
1
16
11 分
27 3 9 1 615( ) 30 40 50 6064 8 64 16 16E X ．
所以某顾客所获得的减免金额的数学期望为 615
16
． 12 分
20．解：（1）由题意得， 2, 3a c ，所以 2 2 2 1b a c ． 3 分
所以椭圆 C 的方程为
2
2 14
x y ． 4 分
（2）证明：设 1 1 2 2, , ,M x y N x y ，则 1 1 2 2, , ,M x y N x y ，
1 2
1 2
,4 4AM AN
y yk kx x
．
所以
1 2 2 11 2
1 2 1 2
4 4 04 4 4 4
y x y xy y
x x x x
，
整理得 1 2 1 22 ( 4 ) 8 0kx x t k x x t ．① 7 分
由 2
2
,
1,4
y kx t
x y
得 2 2 21 4 8 4 4 0k x ktx t ， 8 分
则
2
1 2 1 22 2
8 4 4,1 4 1 4
kt tx x x xk k
． 9 分
代入①整理得 t k ， 11 分
所以直线 l 的方程为 y kx k ，即直线 l 恒过定点 ( 1,0) ． 12 分
21．解：（1）由题意可求得 22 ( 2)
( ) 2
x
x x
a x x x e ax
f x xe e
，
因为 ( )f x 在 (0,2)x 内有两个极值点，所以 ( ) 0f x 在 (0,2)x 内有两个不相等的变号
根，
即 0xe ax 在 (0,2)x 上有两个不相等的变号根． 1 分
设 ( ) xg x e ax ，则 ( ) xg x e a ，
①当 0a 时， (0,2), ( ) 0xx g x e a ，
所以 ( )g x 在 (0,2) 上单调递增，不符合条件． 2 分
②当 0a 时，令 ( ) 0xg x e a 得 lnx a ，
当ln 2a
，即 2a e
时， (0,2), ( ) 0xx g x e a ，
所以 ( )g x 在 (0,2) 上单调递减，不符合条件； 3 分
当ln 0a ，即 0 1a 时， (0,2), ( ) 0xx g x e a ，
所以 ( )g x 在 (0,2) 上单调递增，不符合条件； 4 分
当0 ln 2a ，即 21 a e 时， ( )g x 在 (0,ln )a 上单调递减， (ln ,2)a 上单调递增，
若要 0xe ax 在 (0,2)x 上有两个不相等的变号根，则
(0) 0,
(2) 0,
(ln ) 0,
0 ln 2,
g
g
g a
a
，解得
2
2
ee a ． 5 分
综上所述，
2
2
ee a ． 6 分
（2）设 2
2
1 1( ) |ln | ( ) 2 |ln | , (0, )2 x x
xh x x f x x x b x b xxe e
，
令 2x
xy e
，则 2
1 2
x
xy e
，所以 2x
xy e
在 10, 2
上单调递增，在 1 ,2
上单调递减．
（ⅰ）当 (1, )x 时，ln 0x ，则 2( ) ln x
xh x x be
，所以
2
2( ) 2 1
x
x eh x e xx
．
因为
2
2 1 0, 0
xex x
，所以 ( ) 0h x ，因此 ( )h x 在 (1, ) 上单调递增． 7 分
（ⅱ）当 (0,1)x 时，ln 0x ，则 2( ) ln x
xh x x be
，所以
2
2( ) 2 1
x
x eh x e xx
．
因为 2 2 21, , 1 0,2 1 1x xe e e x x ，所以
2
2( ) 2 1 0
x
x eh x e xx
，因此
( )h x 在 (0,1) 上单调递减． 8 分
综合（ⅰ）（ⅱ）可知，当 (0, )x 时， 2( ) (1)h x h e b
，
当 2(1) 0h e b ，即 2b e 时， ( )h x 没有零点，故关于x的方程根的个数为0， 9
分
当 2(1) 0h e b ，即 2b e 时， ( )h x 只有一个零点，故关于 x 的方程根的个数为 1，
10 分
当 2(1) 0h e b ，即 2b e 时，
①当 (1, )x 时， 1
2
1( ) ln ln ln 12x
xh x x b x e b x be
，要使 ( ) 0h x ，
可令 ln 1 0x b ，即 1 ,bx e ；
②当 (0,1)x 时， 1
2
1( ) ln ln ln 12x
xh x x b x e b x be
，要使
( ) 0h x ，
可令 ln 1 0x b ，即 10, bx e ，
所以当 2b e 时， ( )h x 有两个零点，故关于 x 的方程根的个数为 2． 11 分
综上所述：当 2b e 时，关于 x 的方程根的个数为 0，
当 2b e 时，关于 x 的方程根的个数为 1，
当 b 2b e 时，关于 x 的方程根的个数为 2． 12 分
22．解：（1）由题意可知在曲线 C 中， 2 2cos , 2sinx y ，则
2 2 2 2( 2) 4cos 4sin 4x y ，得曲线 C 的直角坐标方程为 2 2( 2) 4x y ；
2 分
因为 cos , sinx y ，可得直线 l 的直角坐标方程为 1 0x y ． 4 分
（2）已知点 P 的直角坐标为 (0,1) ，设直线 l 的参数方程为
2 ,2
21 ,2
x t
y t
代入曲线 C 的普通
方程得 2 3 2 1 0t t ， 6 分
设 A，B 对应参数为 1 2,t t ，则 Q 对应的参数为 1 2
2
t t ， 8 分
故 1 2 3 2| | 2 2
t tPQ ∣ ． 10 分
23．解：（1）当 1, 2b a 时，不等式 ( ) 5f x 即为| | | 2 | 5x x ， 1 分
法一：当 2x
时，可得 ( 2) 5x x ，解得 7
2x ，则 72 2x ； 2 分
当0 2x 时，可得 ( 2) 5x x ，即 2 5 ，所以 0 2x ； 3 分
当 0x 时，可得 ( 2) 5x x ，解得 3
2x
，则 3 02 x ． 4 分
综上可得，原不等式的解集为 3 7,2 2
． 5 分
法二：根据绝对值的几何意义可得不等式的解集为 3 7,2 2
． 5 分
（2）当 2b 时，若不等式 ( ) 3f x
对任意的 x R 恒成立，即为 min( ) 3f x
，
又
3 , ,
( ) ,0 ,
3 , 0,
x a x a
f x x a x a
a x x
6 分
当 x a
时， ( ) ( ) 2f x f a a
； 7 分
当0 x a 时， ( ) 2a f x a ； 8 分
当 0x 时， ( )f x a
． 9 分
故 min( )f x a ，则 3a
，即 a 的取值范围是[3, ) ． 10 分
微信/支付宝扫码支付