山东省青岛市2021届高三数学3月统一质量检测试题（Word版附答案）

青岛市 2020-2021 学年度高三第一次模拟考试 数学试卷 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1. 已知集合  4,log 2  xxyyA ，        2 1 xyRxB ，则 BACR )（ =（ ） A.  2, B. ,2 C. 2,0 D.  2,0 2.若 ， 表示两个两个不同的平面，m 为平面 内的一条直线，则（ ） A.“ m ‖  ”是“ ‖  ”的充分不必要条件 B.“ m ‖  ”是“ ‖  ”的必要不充分条件 C.“ m ”是“   ”的必要不充分条件 D.“ m ”是“   ”的充要条件 3.已知双曲线 12 2 2 2  b x a y 的一条渐近线的倾斜角为 3  ，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 1 B. 2 3 C. 3 32 D.2 4.18 世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算 具有了几何意义，例如， OZZ  ,也即复数 z 的模的几何意义为 z 对应的点 Z 到原点的距离， 在复数平面内，复数 i iaZ   1 2 0 （i 是虚数单位， Ra  ）是纯虚数，其对应的点为 0Z ,Z 为 曲线 1Z 上的动点，则 0Z 与 Z 之间的最小距离为（ ） A. 2 1 B.1 C. 2 3 D.2 5.若       0,2 0),1(log )( 3 x xx xf x ，则不等式 2 1)( xf 的解集为（ ） A.    ,130,1  B.     ，， 13-1-  C.    1-300,1- ， D.     ，， 1-31--  6.已知角 终边上有一点 P（ )6 17sin(2,3 4tan   ），则 cos 的值为（ ） A. 2 1 B. 2 1 C. 2 3 D. 2 3 7.已知 )(xfy  为奇函数， )1(  xfy 为偶函数，若当  1,0x ， )(log)( 2 axxf  ，则 )2021(f A.-1 B.0 C.1 D.2 8.在抛物线 yx 2 12  第一象限内一点 ), nn ya（ 处的切线与 x 轴加点上的横坐标记为 1na ，其中 Nn ,已知 nSa ,322  为 na 的前 n 项和，若 nSm  恒成立，则 m 的最小值为（ ） A.16 B.32 C.64 D.128 二、多项选择题:本题共 4 小题，每小题分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9.关于圆 C： 014 12 222  kkykxyx ，下列说法正确的是（ ） A. k 的取值范围是 0k B.若 4k ，过 M（3,4）的直线与圆 C 相交所得弦长为 32 ，其方程为 016512  yx C.若 4k ，圆 C 圆 122  yx 相交 D.若 4k ， 0,0  nm ，直线 01 nymx 恒过圆 C 的圆心，则 821  nm 恒成立。 10.已知向量 ))(4cos,4sin2( 44 xfxxa   ， )2 1,1(   b ，若  ba与 共线，则下列说法正确的 是（ ） A.将 )(xf 的图像向左平移 3  个单位得到函数 4 3)32cos(4 1  xy 的图像 B.函数 )(xf 的最小正周期为 C.直线 2 3x 是 )(xf 图像的一条对称轴 D.函数 )(xf 在 ），（ 4-2-  上单调递减 11.若实数 ba  ，则下列不等式关系正确的是（ ） A. aab )5 3()5 2()5 2(  B.若 2log,1  aba a则 C. b a a ba  11,0 22 则若 D.若 )3,1(,,3 5m  ba ，则 0)()3 1 2233  babamba（ 12.在南方不少地区，经常看到人们头收一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮 阳城避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐渐成为一种时尚旅游产品，有一种外 形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，根据人的体型、高矮等制作成大小不一的现号供人选择 使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长(母线长)和帽底宽(底面圆直径长)两个指标进行衡.现 有一个“灯罩斗笠”，帽坡长 20 厘米，帽底宽 20 3 厘米，关于此斗笠，下而说法正确的是（ ） A.斗笠轴截而(过顶点和底而中心的截面图形)的顶角为 120° B,过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为 100 3 平方厘米 C.若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表而积为 1600 平方厘米 D.此斗笠放在平面上，可以益住的球(保持斗笠不变形)的最大半径为 20 3 -30 厘米 三、填空题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 62 )2 xx （ 的展开式中的常数项是 14.已知非零向量  ba, 满足   a2b ，且   aba )（ ，则  b与a 的夹角为 15.某驾驶贝培训学校为对比了解“科日二”的培训过程采用大密度集中培训与周末分散培训两 种方式的效果，调查了 105 名学员，统计结界为:接受大密度集中培训的 55 个学员中有 45 名 学员一次考试通过，接受周末分散培训的学员一次考试道过的有 30 个.根据统计结果，认为“能 否一次考试通过与足否集中培训有关”犯错误的概率不超过 附： ))()()(( )(nk 2 2 dbcadcba bcad   P（ kk 2 ） 0.05 0.025 0.010 0.001 k 3.841 5.024 6.635 10.828 16.2021 年是中国传统的“牛”年，可以在平面坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象。已知抛 物 线 yxZ 4: 2  的 焦 点为 F ， 圆 F: 4)1( 22  yx 与 抛 物线 Z 在 第 一象 限 的 交 点为 )4,m 2mP（ ，直线 )0(: mttxl  与抛物线 Z 的交点为 A，直线l 与圆 F 在第一象限的交 点为 B,则 m= ;三角形 FAB 周长的取值范围为 （第一空 2 分，第二空 3 分） 三、解答题:本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10 分）从“① );2( 1annSn  ② 21432 , aaaaS  ③ 8241 ,,2 aaaa 是 的等比数列”，三个 条件任选一个，补充到下面的横线处，并解答。 已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，公差 d 不等于 0， ， Nn 。 （1）求数列 na 的通项公式； （2）若 nn SSbn 22 1   ，数列 nb 的前 n 项和为 nn WW 求, 。 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分。 18. （12 分）如图，在 ABC 中， 2,  ACABACAB ,点 E,F 是线段 BC（含端点）上的 动点，且点 E 在点 F 的右下方，在运动的过程中，始终保持 4 EAF 不变，设 EAB 弧度， （1）写出 的取值范围，并分别求出线段 AE,AF 关于 的函数关系式； （2）求 EAF 面积 S 的最小值。 19.（12 分） 在四棱锥 P-ABCD 中，PA  平面 ABCD,AD‖BC, 2,  ADPACDBC ,CD=1, BC=3,点 M,N 在线段 BC 上,BM=2MN=1, EMDAN  ,Q 为线段 PB 上的一点。 （1）求证： PANMD 平面 ; （2）若平面 MQA 与平面 PAN 所成锐角的余弦值为 5 4 ，求直线 MQ 与平面 ABCD 所成角的 正弦值。 20.（12 分） 某商场每年都会定期答谢会员，允许年度积分超过指定积分的会员参加特价购物赠券活动， 今年活动的主题为“购物三选一，正清暖心里”，符合条件的会员可以特价购买礼包 A（十斤肉 类），礼包 B（十斤蔬菜）和礼包 C（十斤鸡蛋）三类特价商品中的任意一类，并且根据购买 的礼包不同可以获取价值不等的代金券，根据以往经验得知，会员购买礼包 A 和礼包 B 的概 率均为 5 2 。 （1）预计今年有 400 名符合条件的会员参加活动，求商场为此活动需要准备多少斤鸡蛋合理； （2）在促销活动中，若有甲、乙、丙三位会员同时参加答谢活动，各人购买礼包互相独立， 已知购买礼包 A 或购买礼包 B 均可以获得 50 元商场代金券，购买礼包 C 可以获得 25 元商场 代金券，设 Y 是三人获得代金券金额之和，求 Y 的分布列和数学期望。 21.（12 分）在平面直角坐标系中，已知椭圆 1: 2 2 2 2  b y a xC （ 0 ba ）的离心率为 2 3 ， 右焦点为 2F ,上定点为 2A ,点 P（a,b）到直线 22 AF 的距离等于 1. （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）直线 )0(:  mmkxyl 与椭圆 C 相交于 A,B 两点，D 为 AB 的中点，直线 DE,DF 分 别与圆 222 )3(: mmyxW  相切于点 E,F。求 EWF 的最小值。 22.（12 分）青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要 指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若 )()( xfxf 是 的导函数， )(xf  是 )(xf  的导函数，则 曲线 )(xfy  在点 ))(, xfx（ 处的曲率   2 3 2))(1( )( xf xfK   。 已知函数 )1cos(ln)(  xbxaexf x （ 0,0  ba ），若 a=0 则曲线 )(xfy  在点 ))1(1 f，（ 处的曲率为 2 2 。 （1）求 b ； （2）若函数 )(xfy  存在零点，求 a 的取值范围； （3）已知 050.1,099.13ln098.1 048.0  e ， 956.0045.0 e ， 证明： 15.1ln14.1   参考答案 1．C 2．B 3．C 4．B 5．A 6．D 7．C 8．D 9．ACD 10．BC 11．BCD 12．ACD 13．240 14．120° 15．0.025 16．2；(4，6) 17．解：选①， （1） ，令 ∴ ，当 时， 当 时， ，而 ； （2） ∴ ． 18．解：（1） ，由题意知 ， ； （2） 当且仅当 8   时，取“＝”． 19．解：（1）证明：∵BC＝3，BM＝1，∴CM＝2，AD＝CM， 又∵AD∥CM，∴四边形 AMCD 为平行四边形， 又∵BC⊥CD，∴四边形 AMCD 为矩形， ∵ ，∴ ， ∴∠AED＝∠MAN＋∠AME＝∠ADM＋∠AME＝90°， ∴MD⊥AN，又∵PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥MD，AN  PA＝A， ∴MD⊥平面 PAN； （2）如图建立空间坐标系，则 M(1，0，0)，A(0，0，0)，P(0，0，2)， N(1， 1 2 ，0)，B(1，﹣1，0)，Q(x，y，z)， 设 ∴ 设平面 MQA 与平面 PAN 的一个法向量分别为 ∴ 设平面 MQA 与平面 PAN 所成锐二面角为 ， ∴ 此时 ，平面 ABCD 的一个法向量 ， ∴ ． 20．解：（1）会员购买礼包 C 的概率为 ， ∴准备鸡蛋： （斤）， （2）Y 的所有可能取值为：150，125，100，75， ∴Y 的分布列如下： 21．解：（1）直线 F2A2 的方程为 P(a，b)到直线 F2A2 的距离为 ， 而 椭圆 C 的标准方程为 ； （2）设 ， ， ∴ ∴ 令 ，∴ ∴∠EDW≤30°，∴∠EWF≥120°． 22．（1） 时， ， ∴ 在 处的曲率为 ， （2） 令 ，∴ ， 当且仅当 x＝1 时取“＝”，显然，当 时， 无零点， 当 时， ∴存在 使 ，符合题意， 综上：实数 a 的取值范围为 ， （3）由（2）知 （当且仅当 x＝1 时取“＝”） 又 综上： ．