2021普通高等学校招生全国统一考试（新高考地区）数学仿真模拟试题（二）（Word版附答案）

2021 普通高等学校招生全国统一考试（新高考地区）仿 真模拟训练(二)数学试题 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合 A＝{－2，0，1，2}，B＝{y|y＝－ x－1}，则 A∩B＝( ) A．{1，2} B.{－2，0} C．{－2，0，1} D．{－2} 2．已知 a＋ 5i＝－2＋bi(a，b∈R)，则复数 z＝ a＋bi 5＋2i ＝( ) A．1 B.－i C．i D．－2＋ 5i 3．函数 f(x)＝ sin x ln（x2＋1）的大致图象是( ) 4．已知(a＋2 x)7 的展开式中的常数项为－1，则 x2 的系数为( ) A．560 B.－560 C．280 D．－280 5．已知抛物线 C：y2＝12x 的焦点为 F，经过点 P(2，1)的直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，且点 P 恰为 AB 的中点，则|AF|＋|BF|＝( ) A．6 B.8 C．9 D．10 6．已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝a2＋2a3，S2 是 S1 与 mS3 的等比 中项，则 m＝( ) A．1 B.9 7 C．6 7 D．1 2 7．设函数 f(x)＝xln x 的导函数为 f′(x)，若对任意的 x∈[1，＋∞)，不等式 f′(x)≤a ＋ex 恒成立，则实数 a 的最小值为( ) A．1－1 e B.2－1 e C．1－e D．2－e 8．过点 M(a，0)作双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的平行线，交 双曲线的另一条渐近线于点 N，O 为坐标原点，若锐角三角形 OMN 的面积为 2 12(a2 ＋b2)，则该双曲线的离心率为( ) A．3 B. 3或 6 2 C． 6 2 D． 3 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选 项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的 得 0 分． 9．某家庭 2019 年的总支出是 2018 年的总支出的 1.5 倍，下图分别给出了该 家庭 2018 年、2019 年的各项支出占该家庭这一年总支出的比例情况，则下列结论 中正确的是( ) ①日常生活 ②房贷还款 ③旅游 ④教育 ⑤保险 ⑥其他 ①日常生活 ②房贷还款 ③旅游 ④教育 ⑤保险 ⑥其他 A．2019 年日常生活支出减少 B．2019 年保险支出比 2018 年保险支出增加了一倍以上 C．2019 年其他支出比 2018 年其他支出增加了两倍以上 D．2018 年和 2019 年，每年的日常生活支出和房贷还款支出的和均占该年总 支出的一半以上 10．直线 2x－y＋m＝0 与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1 相交的必要不充分条件是 ( ) A．m2≤1 B.m≥－3 C．m2＋m－12＜0 D．3 m ＞1 11．在三棱锥 D－ABC 中，AB＝BC＝CD＝DA＝1，且 AB⊥BC，CD⊥DA， M，N 分别是棱 BC，CD 的中点，则下列结论正确的是( ) A．AC⊥BD B．MN∥平面 ABD C．三棱锥 A－CMN 的体积的最大值为 2 12 D．AD 与 BC 一定不垂直 12．已知函数 f(x)＝2 x2－a |x| ，则下列结论中正确的是( ) A．函数 f(x)的图象关于原点对称 B．当 a＝－1 时，函数 f(x)的值域为[4，＋∞) C．若方程 f(x)＝1 4 没有实数根，则 a＜－1 D．若函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则 a≥0 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．(一题多解)已知平面单位向量 i，j 互相垂直，且平面向量 a＝－2i＋j，b ＝mi－3j，c＝4i＋mj，若(2a＋b)∥c，则实数 m＝________． 14．有一匀速转动的圆盘，其中有一个固定的小目标 M，甲、乙两人站在距 离圆盘外的 2 米处，将小圆环向圆盘中心抛掷，他们抛掷的圆环能套上小目标 M 的概率分别为1 4 与1 5 ，现甲、乙两人分别用小圆环向圆盘中心各抛掷一次，则小目 标 M 被套上的概率为________． 15．如图，圆锥的高为 3，表面积为 3π，D 为 PB 的中点，AB 是圆锥底面 圆的直径，O 为 AB 的中点，弧 AC 与弧 BC 的长度之比为 2∶1，则异面直线 PA 与 CD 所成角的正弦值为________． 16．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，a＝30，c＝20， 若 b·sin C＝20cos B－π 6 ，则 sin(2C－B)＝________． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤． 17．(本小题满分 10 分)已知 D 是△ABC 的边 AC 上的一点，△ABD 的面积是 △BCD 的面积的 3 倍，∠ABD＝2∠CBD＝2θ. (1)若∠ABC＝π 2 ，求sin A sin C 的值； (2)若 BC＝ 2，AB＝3，求 AC 的长． 18．(本小题满分 12 分)给出以下三个条件： (1)Sn＋1＝4Sn＋2；(2)3Sn＝22n＋1＋λ(λ∈R)；(3)3Sn＝an＋1－2.请从这三个条件中 任选一个将下面的题目补充完整，并求解． 设数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝2，且满足________，记 bn＝log2a1＋log2a2 ＋…＋log2an，cn＝n2＋n bnbn＋1 ，求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 19．(本小题满分 12 分)如图，已知在斜平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，AB1 ⊥A1D1，A1B＝AB＝BB1＝4，AD＝2，A1C＝2 5. (1)(一题多解)求证：平面 ABB1A1⊥平面 A1BC； (2)求二面角 ACA1B 的余弦值． 20．(本小题满分 12 分)2019 年 12 月 9 日，记者走进浙江缙云北山村，调研“中 国淘宝村”的真实模样，作为最早追赶电商大潮的中国村庄，地处浙中南偏远山 区的北山村，是电商改变乡村、改变农民命运的生动印刻．互联网的通达，让这 个曾经的空心村在高峰时期生长出 400 多家网店，网罗住 500 多位村民，销售额 达两亿元．一网店经销缙云土面，在一个月内，每售出 1 t 缙云土面可获利 800 元， 未售出的缙云土面，每 1 t 亏损 500 元．根据以往的销售统计，得到一个月内五地 市场对缙云土面的需求量的频率分布直方图，如图所示．该网店为下一个月购进 了 100 t 缙云土面，用 x(单位：t，70≤x≤120)表示下一个月五地市场对缙云土面 的需求量，y(单位：元)表示下一个月该网店经销缙云土面的利润． (1)将 y 表示为 x 的函数； (2)根据直方图估计利润 y 不少于 67 000 元的概率； (3)在直方图的需求量分组中，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表， 将需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值时的概率(例如：若需求量 x∈[80，90)，则取 x＝85，且 x＝85 的概率等于需求量落入[80，90)的频率)，求该 网店下一个月利润 y 的分布列和期望． 21．(本小题满分 12 分)已知椭圆 G：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)，椭圆短轴的端点 B1， B2 与椭圆的左、右焦点 F1，F2 构成边长为 2 的菱形，MN 是经过椭圆右焦点 F2(1， 0)的椭圆的一条弦，点 P 是椭圆上一点，且 OP⊥MN(O 为坐标原点)． (1)求椭圆 G 的标准方程； (2)求|MN|·|OP|2 的最小值． 22．(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝1 2x2ln x，函数 f(x)的导函数为 f′(x)，h(x) ＝f′(x)－1 2x－mx2(m∈R)． (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 h(x)存在单调递增区间，求 m 的取值范围； (3)若函数 h′(x)存在两个不同的零点 x1，x2，且 x1＜x2，求证：ex1x22＞1. 2021 普通高等学校招生全国统一考试（新高考地区）仿 真模拟训练(二) 数学试题参考答案 1．解析：选 B.因为 y＝－ x－1≤0，所以 B＝{y|y≤0}．因为 A＝{－2，0，1， 2}，所以 A∩B＝{－2，0}．故选 B. 2．解析：选 C.由 a＋ 5i＝－2＋bi(a，b∈R)及复数相等的定义可得 a＝－2， b＝ 5. 所以 z＝ a＋bi 5＋2i ＝－2＋ 5i 5＋2i ＝（－2＋ 5i）（ 5－2i） （ 5＋2i）（ 5－2i） ＝9i 9 ＝i，故选 C. 3． 解 析 ： 选 B. 由 题 意 知 函 数 f(x)的 定 义 域 为 {x|x≠0} ． 因 为 f( － x)＝ sin（－x） ln[（－x）2＋1] ＝－ sin x ln（x2＋1）＝－f(x)，所以 f(x)是奇函数，其图象关于原点对称， 所以 C 不正确；又 f(kπ)＝0(k∈Z，k≠0)，所以 A 不正确；当 x∈(0，π)时，f(x) ＞0，故 D 不正确．故选 B. 4．解析：选 B.由题意可知(a＋2 x)7 的展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr7 2x 1 2 r a7 －r＝Cr72ra7－rx r 2.因为展开式中的常数项为－1，所以令 r＝0，得 C0720a7＝－1，所以 a＝－1.令 r＝4，得 x2 的系数为 C47×24×(－1)7－4＝－560. 5．解析：选 D.分别过点 A，B，P 向抛物线的准线 x＝－3 作垂线，设垂足分 别为 A1，B1，P1.由抛物线的定义及梯形的中位线定理，得|P1P|＝1 2(|A1A|＋|B1B|)＝ 1 2(|AF|＋|BF|)＝2－(－3)＝5，所以|AF|＋|BF|＝10，故选 D. 6．解析：选 B.设数列{an}的公比为 q，则由 a1＝a2＋2a3，得 a1＝a1q＋2a1q2， 易知 a1≠0，所以 2q2＋q－1＝0，解得 q＝－1 或 q＝1 2.当 q＝－1 时，S2＝0，这与 S2 是 S1 与 mS3 的等比中项矛盾；当 q＝1 2 时，S1＝a1，S2＝3 2a1，mS3＝7 4a1m，由 S2 是 S1 与 mS3 的等比中项，得 S22＝S1·mS3，即 9 4a21＝m·7 4a21，所以 m＝9 7.故选 B. 7．解析：选 C.f(x)＝xln x，则 f′(x)＝ln x＋1.对任意的 x∈[1，＋∞)，f′(x)≤a ＋ex 恒成立，即 a≥ln x＋1－ex 对任意的 x∈[1，＋∞)恒成立．设 g(x)＝ln x＋1－ ex(x≥1)，则 g′(x)＝1 x －ex＜0，因而 g(x)在[1，＋∞)上单调递减，g(x)≤ln 1＋1－e ＝1－e，所以实数 a 的最小值为 1－ e. 8．解析： 选 D.不妨设点 N 在第一象限，如图，由题意知∠1＝∠2＝∠3，所以△OMN 是以∠ONM 为顶角的等腰三角形．因为△OMN 是锐角三角形，所以∠1＞45°， 即有b a ＞1，进而 e2＝1＋b2 a2 ＞2.由 y＝b ax 与 y＝－b a(x－a)，得 yN＝b 2 ，所以1 2 ×a×b 2 ＝ 2 12(a2＋b2)，即 9a2(c2－a2)＝2c4，所以 2e4－9e2＋9＝0，得 e2＝3 2(舍)或 e2＝3，所 以 e＝ 3. 9．解析：选 BD.设 2018 年的总支出为 x，则 2019 年的总支出为 1.5x，2018 年日常生活支出为 0.35x，2019 年日常生活支出为 0.34×1.5x＝0.51x，故 2019 年 日常生活支出增加，A 错误；2018 年保险支出为 0.05x，2019 年保险支出为 0.07 ×1.5x＝0.105x，B 正确；2018 年其他支出为 0.05x，2019 年其他支出为 0.09×1.5x ＝0.135x，(0.135x－0.05x)÷0.05x＝1.7，故 C 错误；由题图可知，D 正确． 10．解析：选 BC.若直线 2x－y＋m＝0 与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1 相交，则 |2×1－2＋m| 22＋（－1）2 ＜1，解得－ 5＜m＜ 5.A 项中，由 m2≤1，得－1≤m≤1，因为{m| －1≤m≤1}⊆{m|－ 5＜m＜ 5}，所以 m2≤1 不是－ 5＜m＜5的必要不充分条件； B 项中，因为{m|m≥－3}⊇{m|－ 5＜m＜ 5}，所以 m≥－3 是－ 5＜m＜ 5的必 要不充分条件；C 项中，由 m2＋m－12＜0，得－4＜m＜3，因为{m|－4＜m＜3} ⊇{m|－ 5＜m＜ 5}，所以 m2＋m－12＜0 是－ 5＜m＜ 5的必要不充分条件；D 项中，由3 m ＞1，得 0＜m＜3，所以3 m ＞1 不是－ 5＜m＜ 5的必要不充分条件． 11．解析：选 ABD.设 AC 的中点为 O，连接 OB，OD，则 AC⊥OB，AC⊥OD， 又 OB∩OD＝O，所以 AC⊥平面 OBD，所以 AC⊥BD，故 A 正确；因为 M，N 分 别是棱 BC，CD 的中点，所以 MN∥BD，且 MN⊄平面 ABD，BD⊂平面 ABD，所 以 MN∥平面 ABD，故 B 正确；当平面 DAC 与平面 ABC 垂直时，VA－CMN 最大， 最大值 VA－CMN＝VN－ACM＝1 3 ×1 4 × 2 4 ＝ 2 48 ，故 C 错误；若 AD 与 BC 垂直，因为 AB⊥BC，AD∩AB＝A，所以 BC⊥平面 ABD，所以 BC⊥BD，又 BD⊥AC，BC∩ AC＝C，所以 BD⊥平面 ABC，所以 BD⊥OB，因为 OB＝OD，所以显然 BD 与 OB 不可能垂直，故 D 正确． 12．解析：选 BD.由题意知，函数 f(x)的定义域为{x|x≠0}，且 f(－x)＝ 2 （－x）2－a |－x| ＝f(x)，因此函数 f(x)是偶函数，其图象不关于原点对称，故 A 选项 错误；当 a＝－1 时，f(x)＝2 x2＋1 |x| ，而x2＋1 |x| ＝|x|＋ 1 |x| ≥2，所以 f(x)＝2 x2＋1 |x| ≥4， 即函数 f(x)的值域为[4，＋∞)，B 选项正确；由 f(x)＝1 4 ，得x2－a |x| ＝－2，得 x2＋2|x| －a＝0.要使原方程没有实数根，应使方程 x2＋2|x|－a＝0 没有实数根．令|x|＝t(t ＞0)，则方程 t2＋2t－a＝0 应没有正实数根，于是需Δ＜0 或 Δ≥0， －2≤0， －a≥0， 即 4＋4a＜0 或 4＋4a≥0， －2≤0， －a≥0， 解得 a＜－1 或－1≤a≤0，综上，a≤0，故 C 选项错误；要使函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增，需 g(x)＝x2－a |x| 在(0，＋∞)上单调递增，需φ(x)＝x2－a x ＝x－a x 在(0，＋∞)上单调递增，需φ′(x)＝1＋a x2 ≥0 在(0，＋∞)上恒成立，得 a≥0， 故 D 选项正确． 13．解析：方法一：因为 a＝－2i＋j，b＝mi－3j，所以 2a＋b＝(m－4)i－j.因 为(2a＋b)∥c，所以(2a＋b)＝λc，所以(m－4)i－j＝4λi＋mλj，所以 m－4＝4λ， －1＝mλ， 所 以 m＝2. 方法二：不妨令 i＝(1，0)，j＝(0，1)，则 a＝(－2，1)，b＝(m，－3)，c＝(4， m)，所以 2a＋b＝(m－4，－1)．因为(2a＋b)∥c，所以 m(m－4)＝－4，所以 m＝ 2. 答案：2 14．解析：小目标 M 被套上包括甲抛掷的套上了、乙抛掷的没有套上；乙抛 掷的套上了、甲抛掷的没有套上；甲、乙抛掷的都套上了．所以小目标 M 被套上 的概率 P＝1 4 × 1－1 5 ＋ 1－1 4 ×1 5 ＋1 4 ×1 5 ＝2 5. 答案：2 5 15. 解析：如图，连接 OD，OC，BC，OP，设圆锥的底面半径为 r，由题意得， πr2＋1 2 ×2πr× 3＋r2＝3π，得 r＝1，则 OC＝1，PA＝2.因为点 O，D 分别为 AB，PB 的中点，所以 OD∥PA，且 OD＝1 2PA＝1，所以∠ODC 为异面直线 PA 与 CD 所成的角(或其补角)．过点 D 作 DH⊥AB，垂足为 H，连接 HC，易得 DH⊥HC， DH＝1 2PO＝ 3 2 .由弧 AC 与弧 BC 的长度之比为 2∶1，得△OCB 为等边三角形，则 CH⊥OB.又 OC＝OB＝1，所以 CH＝ 3 2 ，则 CD＝ 6 2 ，在△ODC 中，由余弦定理， 得 cos∠ODC＝1＋ 6 2 2 －1 2×1× 6 2 ＝ 6 4 ，所以异面直线 PA 与 CD 所成角的正弦值为 1－ 6 4 2 ＝ 10 4 . 答案： 10 4 16．解析：在△ABC 中，由正弦定理 c sin C ＝ b sin B ，得 bsin C＝csin B．又 b·sin C＝20cos B－π 6 ，所以 csin B＝ccos B－π 6 ，所以 sin B＝cos B－π 6 ，所以 tan B ＝ 3.又 0＜B＜π，所以 B＝π 3 . 在△ABC 中，由余弦定理得 b2＝202＋302－2×20×30×cos π 3 ＝700，所以 b ＝10 7，由 b·sin C＝20cos B－π 6 ，得 sin C＝ 21 7 .因为 a＞c，所以 cos C＝2 7 7 ， 所以 sin(2C－B)＝sin 2Ccos B－cos 2Csin B＝2sin Ccos Ccos π 3 －(cos2C－sin2C)sin π 3 ＝2× 21 7 ×2 7 7 ×1 2 － 2 7 7 2 － 21 7 2 × 3 2 ＝3 3 14 . 答案：3 3 14 17．解：(1)因为∠ABC＝π 2 ，∠ABD＝2∠CBD＝2θ，所以θ＝π 6 . 所以 1 2AB·BDsin π 3 ＝3×1 2BC·BDsin π 6 ， 所以BC AB ＝sin A sin C ＝ 3 3 . (2)因为 1 2AB·BDsin 2θ＝3×1 2BC·BDsin θ， 即 2ABcos θ＝3BC，所以 cos θ＝ 2 2 ， 所以θ＝π 4 ，∠ABC＝3θ＝3π 4 ，AC2＝9＋2－2×3× 2× － 2 2 ＝17， 所以 AC＝ 17. 18．解：方案一：选(1)，已知 Sn＋1＝4Sn＋2 ①， 当 n≥2 时，Sn＝4Sn－1＋2 ②， ①－②得，an＋1＝4(Sn－Sn－1)＝4an，即 an＋1＝4an， 当 n＝1 时，S2＝4S1＋2，即 2＋a2＝4×2＋2， 所以 a2＝8，满足 a2＝4a1， 故{an}是以 2 为首项、4 为公比的等比数列，所以 an＝22n－1. bn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2， cn＝n2＋n bnbn＋1 ＝ n（n＋1） n2（n＋1）2 ＝ 1 n（n＋1）＝1 n － 1 n＋1 ， 所以 Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝ 1－1 2 ＋ 1 2 －1 3 ＋…＋ 1 n － 1 n＋1 ＝1－ 1 n＋1 ＝ n n＋1. 方案二：选(2)，已知 3Sn＝22n＋1＋λ ③， 当 n≥2 时，3Sn－1＝22n－1＋λ ④， ③－④得，3an＝22n＋1－22n－1＝3·22n－1， 即 an＝22n－1， 当 n＝1 时，a1＝2 满足 an＝22n－1， 下同方案一． 方案三：选(3)，已知 3Sn＝an＋1－2 ⑤， 当 n≥2 时，3Sn－1＝an－2 ⑥， ⑤－⑥得，3an＝an＋1－an，即 an＋1＝4an， 当 n＝1 时，3a1＝a2－a1，而 a1＝2，得 a2＝8，满足 a2＝4a1， 故{an}是以 2 为首项、4 为公比的等比数列， 所以 an＝22n－1. 下同方案一． 19．解：(1)证明：方法一：由题意知 BC∥A1D1， 因为 AB1⊥A1D1，所以 AB1⊥BC. 在△A1BC 中，A1B＝4，BC＝AD＝2，A1C＝2 5， 所以 A1B2＋BC2＝A1C2，所以 BC⊥A1B. 又 A1B，AB1 是平行四边形 ABB1A1 的两条对角线， 所以 BC⊥平面 ABB1A1. 因为 BC⊂平面 A1BC，所以平面 A1BC⊥平面 ABB1A1. 方法二：由题意知 BC∥A1D1， 因为 AB1⊥A1D1，所以 AB1⊥BC. 在平行四边形 ABB1A1 中，BB1＝AB， 所以四边形 ABB1A1 为菱形， 所以 AB1⊥A1B. 因为 A1B∩BC＝B，A1B，BC⊂平面 A1BC，所以 AB1⊥平面 A1BC， 因为 AB1⊂平面 ABB1A1，所以平面 ABB1A1⊥平面 A1BC. (2)由(1)知 BC⊥平面 ABB1A1， 因为 BC⊂平面 ABCD，所以平面 ABCD⊥平面 ABB1A1， 所以平面 ABCD⊥平面 CDD1C1. 在斜平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，由 AB＝BB1＝4 得四边形 ABB1A1 为菱形， 所以四边形 CDD1C1 为菱形． 连接 BD，设 AC，BD 交于点 E，取 DC 的中点 O，连接 D1O，OE，易证得 D1O⊥平面 ABCD，故以 OE，OC，OD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如 图所示的空间直角坐标系 O－xyz，则 C(0，2，0)，B(2，2，0)，A(2，－2，0)， A1(2，0，2 3)， 所以A1C→ ＝(－2，2，－2 3)，AC→＝(－2，4，0)，BC→＝(－2，0，0)． 设平面 AA1C 的法向量为 m＝(x1，y1，z1)， 则 n·A1C→ ＝0， n·AC→＝0， 即 －2x1＋2y1－2 3z1＝0， －2x1＋4y1＝0， 令 x1＝2，得 y1＝1，z1＝－ 3 3 ， 所以平面 AA1C 的一个法向量为 m＝ 2，1，－ 3 3 . 设平面 BA1C 的法向量为 n＝(x2，y2，z2)， 则 n·A1C→ ＝0， n·BC→＝0， 即 －2x2＋2y2－2 3z2＝0， －2x2＝0， 令 z2＝1，得 y2＝ 3， 所以平面 BA1C 的一个法向量为 n＝(0， 3，1)． cos〈m，n〉＝ m·n |m||n| ＝ 3－ 3 3 22＋12＋ － 3 3 2 × 02＋（ 3）2＋12 ＝1 4. 由图可知二面角 ACA1B 为锐二面角，故二面角 ACA1B 的余弦值为1 4. 20．解：(1)依题意知，当 x∈[70，100)时， y＝800x－500(100－x)＝1 300x－50 000； 当 x∈[100，120]时，y＝800×100＝80 000. 所以 y＝ 1 300x－50 000，70≤x＜100， 80 000，100≤x≤120. (2)由 1 300x－50 000≥67 000，得 x≥90，所以 90≤x≤120. 由直方图知需求量 x∈[90，120]的频率为(0.030＋0.025＋0.015)×10＝0.7， 所以利润 y 不少于 67 000 元的概率为 0.7. (3)依题意可得该网店下一个月利润 y 的分布列为 y 47 500 60 500 73 500 80 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4 所 以 利 润 y 的 期 望 E(y) ＝ 47 500×0.1 ＋ 60 500×0.2 ＋ 73 500×0.3 ＋ 80 000×0.4＝70 900. 21．解：(1)因为椭圆短轴的端点 B1，B2 与左、右焦点 F1，F2 构成边长为 2 的 菱形，所以 a＝2， 又椭圆的右焦点 F2(1，0)，所以 c＝1， 所以 b2＝a2－c2＝3， 所以椭圆 G 的标准方程为x2 4 ＋y2 3 ＝1. (2)①当 MN⊥x 轴时，|MN|＝2b2 a ＝3，|OP|＝a＝2， 此时|MN|·|OP|2＝12. ②当 MN 不垂直于 x 轴且斜率不为 0 时，可设直线 MN 的方程为 y＝k(x－ 1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 将直线 MN 的方程与椭圆 G 的方程联立，得 x2 4 ＋y2 3 ＝1， y＝k（x－1）， 化简并整理得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 所以 x1＋x2＝ 8k2 4k2＋3 ，x1x2＝4k2－12 4k2＋3 ， 所以|MN|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k2 （x1＋x2）2－4x1x2＝12（1＋k2） 4k2＋3 . 因为 OP⊥MN，所以直线 OP 的方程为 y＝－1 kx， 将直线 OP 的方程与椭圆 G 的方程联立， 得 x2 4 ＋y2 3 ＝1， y＝－1 kx， 得 x2P＝ 12k2 3k2＋4 ，y2P＝ 12 3k2＋4 ， 所以|OP|2＝x2P＋y2P＝12（1＋k2） 3k2＋4 ， 所 以 |MN|·|OP|2 ＝ 12（1＋k2） 4k2＋3 × 12（1＋k2） 3k2＋4 ＝ 144（1＋k2）2 （4k2＋3）（3k2＋4） ＝ 144 1 1＋k2 ＋3 4－ 1 1＋k2 . 令 1 1＋k2 ＝t，因为 k∈R 且 k≠0，所以 0＜t＜1， |MN|·|OP|2＝ 144 （t＋3）（4－t）＝ 144 －t2＋t＋12 ＝ 144 － t－1 2 2 ＋49 4 ， 所以当 t＝1 2 时，|MN|·|OP|2 取得最小值，且(|MN|·|OP|2)min＝576 49 . ③当 MN 的斜率为 0 时，|MN|＝4，此时|OP|2＝b2＝3， 所以|MN|·|OP|2＝12. 由①②③可知，(|MN|·|OP|2)min＝576 49 . 22．解：(1)易知函数 f(x)＝1 2x2ln x 的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝xln x＋1 2x. 令 f′(x)＞0，得 x＞e－1 2 ，令 f′(x)＜0，得 0＜x＜e－1 2 ， 所以函数 f(x)的单调递增区间为 e－1 2 ，＋∞ ，单调递减区间为 0，e－1 2 . (2)依题意得，h(x)＝xln x－mx2，若函数 h(x)存在单调递增区间，则 h′(x)＝ln x ＋1－2mx＞0 在(0，＋∞)上有解， 即存在 x＞0，使 2m＜ln x＋1 x . 令φ(x)＝ln x＋1 x ，则φ′(x)＝－ln x x2 ，当 x＞1 时，φ′(x)＜0，当 0＜x＜1 时， φ′(x)＞0， 所以φ(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减， 所以φ(x)max＝φ(1)＝1，所以 2m＜1，所以 m＜1 2. 故 m 的取值范围为 －∞，1 2 . (3)证明：因为函数 h′(x)存在两个不同的零点 x1，x2，且 x1＜x2， 所以 h′(x)＝ln x＋1－2mx＝0 有两个不相等的实数根 x1，x2，且 0