江西省六校2021届高三数学（理）3月联考试题（Word版附答案）

江西省六校 2021 届高三联考数学（理）试卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知全集为 R，集合  0 2M x x   ，  1,0,1,2,3N   ，则 M N R ð （ ） A. 0,1 B. 1,0,1 C. 1,0,3 D. 1,1,2,3 2.复数 1 2 1 iz i   ，则 z  （ ） A. 10 B. 10 2 C. 5 2 D. 5 3.已知向量 a  ，b  不共线，且  3 2c k a b     ， d a kb    ，若 c  与 d  方向相反，则实数 k 的值为（ ） A. 1 B. 1 2  C.1 或 2 D. 1 或 1 3 4.已知球的半径与圆锥的底面半径都为 2，若它们的表面积相同，则圆锥的高为（ ） A. 5 B. 4 2 C. 2 15 D.8 5.已知抛物线 2 2y x 的焦点为 F，过 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，设直线 AB 的倾斜角 为 ，则 0 tan 1  是 4AB  的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.将函数   cos 6f x x      的图象上所有点的横坐标压缩为原来的 1 2 ，纵坐标保持不变， 得到  g x 图象，若    1 2 2g x g x  ，且  1 2, 2 ,x x    ，则 1 2x x 的最大值为（ ） A. B. 2 C.3 D. 4 7.如图，在直角坐标系 xOy 中，点  4,4B ，点  0,4C ，点 A 在 x 轴上、曲线 sin 32 xy   与线段 AB 交于点  4,3D .若在四边形 OABC 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等 于（ ） A. 1 5 B. 1 4 C. 1 3 D. 1 2 8.甲、乙、丙三人中，一人是董事长，一人是总经理，一人是秘书，已知丙的年龄比秘书的大， 甲的年龄和总经理不同；总经理的年龄比乙小，则下列判断正确的是（ ） A.甲是董事长，乙是秘书，丙是总经理 B.甲是秘书，乙是总经理，丙是董事长 C.甲是秘书，乙是董事长，丙是总经理 D.甲是总经理，乙是秘书，丙是董事长 9.将甲、乙等 5 名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，其中一个路口 3 人， 且甲、乙不在同一路口的分配方案共有（ ） A.18 种 B.24 种 C.36 种 D.42 种 10.已知函数   e eln 1 xf x x   ，若    1 2f a f a   ，则实数 a 的取值范围是（ ） A. 1 12 a  B. 1 02 a   C. 11 2a    D. 1 0a   11.已知双曲线   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的左顶点为 A，直线 l 经过 A 点且斜率为 3 4 ，以右 焦点 F 为圆心、OF 为半径的圆与直线 l 从左往右依次交于 P、Q 两点（O 为坐标原点），若 2 3OFQ   ，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. 1 2y x  B. 2 2y x  C. 3y x  D. 2y x  12.已知关于 x 的不等式 2 e ln 1 x k x xx    对任意的  1,x  都成立，则实数 k 的最大值为 （ ） A.1 e B. 2 C. e D. 3 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.若 x，y 满足约束条件 2 0 0 3 0 y x y x y          ，则 yz x  的最大值为________. 14.某射击运动员一次击中目标的概率是 3 4 ，连续两次击中目标的概率是 1 2 ，已知该运动员第 一次击中目标，则第二次也击中目标的概率是________. 15.已知公差不为零的等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 5 2 3a a  ， 7 23 7 14 mS a a  ，则正整 数 m 的值为________. 16.在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 P 是直线 1BC 上的一个动点，点 Q 在平面 1ACD 上，则 PQ 的最小值为________. 三、解答题：共 79 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.在 ABC△ 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， cos2 cos 0C C  . （Ⅰ）求角 C 的大小； （Ⅱ）已知点 D 在边 BC 上， 2 3ADB   ， 3BD  ， 19AB  ，求 ABC△ 的面积. 18.如图，已知三棱台 1 1 1ABC A B C ，平面 1 1A ACC  平面 ABC ， ABC△ 和 1 1 1A B C△ 均为 等边三角形， 1 1 1 12 2 2AB AA CC A B   ，O 为 AC 的中点. （1）证明： AC 平面 1OBB ； （2）求直线 1OB 与平面 1 1BCC B 所成角的正弦值. 19.已知椭圆   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，上顶点为 M， 1 2 2 3F MF   ，且原点 O 到直线 1MF 的距离为 3 2 . （1）求椭圆 C 的方程： （2）己知斜率为 3 6  的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，求 OA OB  的取值范围. 20.已知   sin sin 2f x x x x       （1）讨论  f x 在 0, 上的单调性； （2）设    2 4 4g x x f x   ，试判断  g x 在 R 上的零点个数，并说明理由. 21.某种疾病可分为Ⅰ、Ⅱ两种类型.为了解该疾病类型与性别的关系，在某地区随机抽取了患 该疾病的病人进行调查，其中女性是男性的 2 倍，男性患Ⅰ型病的人数占男性病人的 5 6 ，女 性患Ⅰ型病的人数占女性病人的 1 3 . （1）若在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，求男 性患者至少有多少人？ （2）某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物.两个团队各至多安排 2 个接种周期进行试验.甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为  0 1p p  ，每人 每次接种花费  0m m  元，每个周期至多接种 3 次，第一个周期连续 2 次出现抗体则终止本 接种周期进入第二个接种周期，否则需依次接种至第一周期结束，再进入第二周期：第二接 种周期连续 2 次出现抗体则终止试验，否则需依次接种至至试验结束：乙团队研发的药物每 次接种后产生抗体的概率为  0 1q q  ，每人每次花费  0n n  元，每个周期接种 3 次， 每个周期必须完成 3 次接种，若一个周期内至少出现 2 次抗体，则该周期结束后终止试验， 否则进入第二个接种周期，假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立.当 2 3n m ， p q 时，从两个团队试验的平均花费考虑，试证明该公司选择乙团队进行药品研 发的决策是正确的. 附：        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      ，  2 0P K k 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 0k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题 计分. [选修 4—4：坐标系与参数方程] 22.平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 3 2cos 1 2sin x y        （ 为参数），在以坐标 原点 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，点 P 在射线 l： 3   上，且点 P 到极点 O 的距离为 4. （1）求曲线 C 的普通方程与点 P 的直角坐标； （2）求 OCP△ 的面积. [选修 4-5：不等式选讲] 23.已知函数   2f x x a x    . （1）当 3a   时，求不等式   3f x  的解集； （2）若   4f x x  的解集包含 1,2 ，求 a 的取值范围. 江西省六校 2021 届高三联考数学（理）试卷答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A B A B B C D C C B 12. 2ln 2 e e 2ln 1 x x x x xx     ∴ 2ln lnx k x  1x  ，∴ 2k   13.2 14. 2 3 15.5 16. 2 3 3 17.（Ⅰ） cos2 cos 0C C  ， ∴  2cos 1 cos 1 0C C   ∵ 0 180C   ，∴ 60C   （Ⅱ）根据题意， ACD△ 为等边三角形. 在 ABD△ 中，由余弦定理得 2AD  ， ∴ ABC△ 的面积 1 5 3sin 602 2S CA CB    18.（1）取 1 1AC 的中点为 F，连接OF ， 1B F ， ∵ 1 //B F OB ，∴O，B， 1B ，F 四点共面， ∵ AC OB ， AC OF ，∴ AC 平面 1OBB （2）补全三棱锥 P ABC 在 PAC△ 中， PAC PCA   ， 即 PAC△ 为等腰三角形，所以 PO AC 由（1）知， BO  平面 1 1A ACC ， PO  平面 1 1A ACC ， 所以 PO BC 以点 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系 设 4AC  ，则 2 3PO  ， 2 3BO   0,2 3,0B ，  2,0,0C  ，  0,0,2 3P ，  1 0, 3, 3B  0,2 3, 2 3PB   ，  2, 2 3,0BC    ，  1 0, 3, 3OB  设平面 1 1BCC B 的法向量为  , ,n x y z 0 2 3 2 3 0 0 2 2 3 0 PB n y z BC n x y                   取 3x   ，则  3,1,1n   设直线 1OB 与平面 1 1BCC B 所成角为 所以 1 1 3 3 10sin 55 6 n OB n OB           19.（1）由题可得曲线 C 的方程为 2 2 14 x y  （2）设直线 AB 的方程为 3 6y x m   ， 联立方程 2 24 4 3 6 x y y x m        化简得 2 23 3 3 0x mx m    因为直线 l 交椭圆于 A，B 两点， 故 29 12 0m     ，解得 2 40 3m  又 1 2 3x x m  ， 2 1 2 3 3x x m    2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 3 1 3 3 1 6 6 12 6 4 my y x m x m x x m x x m                    ， 所以 2 1 2 1 2 15 13 13 7,4 4 4 4OA OB x x y y m             20.（1）   cosf x x x  ∴  f x 在 0, 2      递增，在 ,2       递减； （2）易知  g x 是偶函数，当 0x  时，    2 1 2cosg x x x   0, 3x     ，   0g x  ， 03g      5,3 3x      ，   0g x  ，易知 5 03g      ∴  g x 在 5,3 3       有唯一零点； 当 5 3x  ，    2 54 4 4 03g x x x h x h           又  0 0g  ，由对称性知  g x 在 R 上有且只有 3 个零点. 21.解：（1）设男性患者有 z 人，则女性患者有 2z 人，列联表如下： Ⅰ型病 Ⅱ型病 合计 男 5 6 z 6 z z 女 2 3 z 4 3 z 2z 合计 3 2 z 3 2 z 3z 要使在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关， 则 2 2 5 4 23 26 3 6 3 7.8793 3 322 2 z z z zz zK z z z z            ， 解得 11.8185z  ， ∵ 6 z Z ， 3 z Z ， ∴z 的最小整数值为 12， ∴男性患者至少有 12 人； （2）①设甲研发团队试验总花费为 X 元， 则 X 的可能取值为 4m ，5m ， 6m ， ∵   2 2 44P X m p p p    ，        2 22 2 2 45 1 1 2P X m p p p p p p         ，    22 4 26 1 2 1P X m p p p      ， ∴      4 2 4 4 2 24 10 6 2 1 2 6E X mp m p p m p p mp m         22 6y mp m   在 0,1 递减，∴   4E X m 设乙研发团队试验总花费为 Y 元，则 Y 的可能取值为3n ， 6n ， ∴    2 2 3 3 2 33 C 1 2 3P Y n q q q q q       ，   3 26 1 2 3P Y n q q    ， ∴      3 2 3 2 3 23 2 3 6 1 2 3 6 9 6E Y n q q n q q nq nq n           ， 设 3 26 9 6y nq nq n   ，  23 6 6 0y n q q    ∴该函数递减，   6 4E Y n m  ∴    E X E Y 恒成立， ∴该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的. 22.（1）曲线 C 的参数方程为 3 2cos 1 2sin x y        （ 为参数） 化简为 3 cos2 1 sin2 x y        ， 根据 2 2sin cos 1   消参 ∴曲线 C 的普通方程为   2 23 1 4x y    利用极坐标化直角坐标的公式： cos sin x y        点 P 的极坐标为 4, 3      ，直角坐标为 2,2 3 . （2）圆心  3,1C ， 3: 3OC y x ，即 3 0x y  点 P 到OC 的距离 2 3 2 3 22d     ，且 2OC  ， ∴ 1 22OCPS OC d  △ . 23.（1）当 3a   时，   2 , 2 1,2 3 2 5, 3 x x f x x x x         当 2x  时，由   3f x  得 2 5 3x   ，解得 1x  ； 当 2 3x  时，   3f x  无解： 当 3x  时，由   3f x  得 2 5 3x   ，解得 4x  . 所以   3f x  的解为 41x x x 或 . （2）   4 4 2f x x x x x a        . 当  1,2x 时，    4 2 4 2 2 2x x x a x x x a a x a                 ， 由条件得 2 1a   且 2 2a  ，解得 3 0a   ， 故满足条件的实数 a 的取值范围为 3,0 .