绝密★启用前
2021 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题卷
( 第一次模拟考试 )
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 2 6 5 0A x x x ， 3B x y x ， A B 等于
A．[1, ) B． 1,3 C． (3,5] D． 3,5
2．已知 z 是纯虚数，若 ( ) 3 1a i z i ，则实数 a 的值为
A．1 B．3 C．－1 D．－3
3．在数列 na 中， ),(2,5,1 1231
Nnaaaaa nnn 则 10a
A．15 B．17 C．21 D．26
4．任取一个正整数 m ，若是奇数，就将该数乘 3 再加上 1；若是偶数，就将该数除以 2.反复
进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈 1→4→2→1.这就是数学史上著名的
“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数 3m ，根据上述运算法则得出
3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过 7 个步骤首次变成 1（简称为 7 步“雹程”）.则下列
叙述不正确的是
A．当 12m 时，经过 9 步雹程变成 1
B．若 m 需经过 5 步雹程首次变成 1，则 m 所有可能的取值集合为 5,32
C．当 m 越大时，首次变成 1 需要的雹程数越大
D．当 *2km k N 时，经过 k 步雹程变成 1
5．银川市为了迎接国家文明城市验收，要求某单位 4 名工作人员到路口执勤，协助交警劝导
人们规范出行.现有含甲､乙在内的 4 名工作人员，按要求分配到 2 个不同的路口执勤，每
个路口至少一人，则甲､乙不在同一路口的分配方案共有
A．4 种 B．6 种 C．8 种 D．12 种
6．定义行列式运算 1 2
1 4 2 3
3 4
a a a a a aa a
，将函数 3 sin
1 cos
xf x
x
的图像向左平移
( 0)n n 个单位，所得图像关于原点对称，则 n 的最小值为
A．
6
B．
3
C． 2
3
D． 5
6
7．某几何体的三视图如图所示(单位： cm )，
则该几何体的体积是
A． 3cm2
B． 3cm
C． 33 cm2
D. 37 cm4
8．若 3tan 2 4
，则
2
2
sin 2 cos
1 2sin
A． 1
4 B． 3
4 C． 1
4
或 1
4 D． 3
4
或 1
4
9．已知圆
5
4)1( 22 yx 的一条切线 kxy 与双曲线 0,012
2
2
2
bab
y
a
x 没有公共
点，则双曲线C 的离心率的取值范围为
A． ]5,1( B． ),5[ C． ]2,1( D． ),2[
10．在发生某公共卫生事件期间，我国有关机构规定：该事件在一段时间没有发生规模群体
感染的标志为“连续10天每天新增加疑似病例不超过 7 人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁
四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是
A．甲地中位数为3，众数为 3
B．乙地平均数为 2 ，标准差小于 3
C．丙地平均数为 2 ，总体方差为3
D．丁地平均数为3，中位数为 4
11．已知抛物线 :C 022 ppxy ,过其焦点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 BA, 两点，且满
足: ABSBFAF OAB 3,3 （O 为坐标原点）则抛物线的标准方程为
A． xy 42 B． xy 82 C． xy 122 D． xy 162
12．下列四个命题：①
e
22ln ；② 20212020 20202021 ；③ 152 15 ； ④ 242ln3 e .
其中真命题的个数是（ ）（ e 为自然对数的底数， 718.2e ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．已知向量 )1,1(),2,(
bma 若 ),2(
bab 则 m ________.
14．若实数 ,x y 满足约束条件 2 2 0
0
y x
x y
x
，则 3z x y 的最小值为______.
15．已知定义域为 R 的函数 ( )f x 满足：①图象关于原点对称；② 3( ) 2f x f x
；
③当 30, 4x
时， 2( ) log ( 1)f x x m .若 2(2020) log 3f ，则 m ________．
16．（本小题第一空 2 分，第二空 3 分）
底面为等边三角形的直三棱柱所有顶点都在半径为 2 的球O 上，则该三棱柱的侧面积最
大值为___________；此时该三棱柱的高为 .
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分)
17．(12 分)
在△ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别是 a ，b ， c ，已知
2 3sin sin sin sin3
a A c C a C b B ．
（1）求 B ；
（2）若 AC 边上的中线 BD 的长为 2 ，求△ABC 面积的最大值．
18．(12 分)
如图，三棱锥 P ABC 中，底面 ABC 是边长为 2 的
正三角形， 2PA ， PA 底面 ABC ，点 ,E F 分别为
AC 、 PC 的中点.
（1）求证：平面 BEF 平面 PAC ；
（2）在线段 PB 上是否存在点 G ，使得直线 AG 与
平面 PBC 所成的角的余弦值为 7
7
？若存在，确定点 G 的位置；若不存在，请说明理由.
19．(12 分)
2020 年是具有里程碑意义的一年，我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标；
2020 年也是脱贫攻坚决战决胜之年.（总书记二〇二〇年新年贺词）截至 2018 年底，中国农
村贫困人口从 2012 年的 9899 万人减少至 1660 万人，贫困发生率由 2012 年的 10.2%下降至
2018 年的 1.7%；连续 7 年每年减贫规模都在 1000 万人以上；确保到 2020 年农村
贫困人口实现脱贫，是我们党立下的军令
状，脱贫攻坚越到最后时刻，越要响鼓重
锤.某贫困地区截至 2018 年底，按照农村
家庭人均年纯收入 8000 元的小康标准，
该地区仅剩部分家庭尚未实现小康.现从
这些尚未实现小康的家庭中随机抽取 50
户，得到这 50 户家庭 2018 年的家庭人均
年纯收入的频率分布直方图.
（1）补全频率分布直方图，并求出这 50 户家庭人均年纯收入的中位数和平均数（同一组
数据用该区间的中点值作代表）（精确到元）；
（2）2019 年 7 月，为估计该地能否在 2020 年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一
个家庭 2019 年 1 至 6 月的人均月纯收入如下表：
由散点图及相关性分析发现：家庭人均月纯收入 y 与时间代码 x 之间具有较强的线性相关
关系，请求出回归直线方程；由于 2020 年 1 月突如其来的新冠肺炎疫情影响了奔小康的进展，
该家庭 2020 年第一季度（1，2，3 月份）每月的人均月纯收人均为预估值的 1
3
，从 4 月份开
始，每月的人均月纯收人均为预估值的 4
5
，由此估计该家庭 2020 年能否达到小康标准，并说
明理由；
①可能用到的数据：参考数据： 91,9310
6
1
2
6
1
i
ii
i
i xyx
②参考公式：线性回归方程 ˆˆ ˆy bx a 中，
6
1
6
2 2
1
ˆ
6
6
i i
i
i
i
x y xy
b
x x
， ˆˆa y bx .
月份/2019（时间代码 x ） 1 2 3 4 5 6
人均月纯收入（元） 275 365 415 450 470 485
频率/组距
0.04
2 5 6 73
0.30
0.32
0.10
0.06
4 8 家庭人均年纯收入（千元）
20．(12 分)
已知椭圆 )0(1: 2
2
2
2
bab
y
a
xC 的左右焦点分别是 21, FF ,焦距为 32 ，点 M 在椭圆
上且满足 212: FFMF , 21 7 MFMF
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）不过原点 O 且斜率为 k 的直线l 与椭圆 C 相交于 NM , 两点，记直线 ONOM , 的斜
率分别为 21,kk .若 21 ,, kkk 成等比数列，求直线l 的斜率 k .
21．(12 分)
已知函数 xf x e ， lnh x x x ， 1 ag x x a e ．
（1）设 F x xf x ah x ，讨论 F x 极值点的个数；
（2）判断方程 f x g x 的实数根的个数，并证明：
12
2 4 6 2 23
2
n
n n ne e e e e
．
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第
一题记分.
22．[选修 4－4：坐标系与参数方程]
直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 1 cos sin
x
y
（ 为参数），曲线
2
2
2 : 13
xC y ．
（1）在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求 1C ， 2C 的极坐标方程；
（2）射线 π 03
≥ 与 1C 异于极点的交点为 A ，与 2C 的交点为 B ，求 AB ．
23．[选修 4-5：不等式选讲]
已知函数 1f x x x ．
（1）若 1f x m≥ 恒成立，求实数 m 的最大值；
（2）记（1）中 m 的最大值为 M ，正实数 a ，b 满足 2 2a b M ，证明： 2a b ab ≥ ．
2021 届高三第一次模拟数学(理科)参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D B D C C B C A A C D A
10. 对于 A 选项，反例：0 、1、1、3、3、3、3、3、3、8 ，满足中位数为3，众数为3，
与题意矛盾，A 选项不合乎要求；
对于 B 选项，反例： 0 、1、1、1、1、1、1、 2 、 4 、8 ，满足均值为 2 ，标准差 5 ，与
题意矛盾，B 选项不合乎题意；
对于 C 选项，将10个数由小到大依次记为 1x 、 2x 、 3x 、 4x 、 5x 、 6x 、 7x 、 8x 、 9x 、 10x ，
假设 10 8x ，若均值为 2 ，则方差为
10 2
2
102 1
2 2 3.610 10
i
i
x xs
，矛盾，故 10 8x ，
对于 D 选项，反例： 0 、 0 、1、1、 4 、 4 、 4 、 4 、 4 、8，满足中位数为 4 ，均值为3，
与题意矛盾，D 选项不合乎题意；
11. pypypyyyyBFAF 3
3,3,33 21
2
2121 又
pAB
pBFpAFBFpBFAF
3
8
3
2,23
4211
又
83
833
3)(22
1 2
21 pppyypSOAB
xy 162 故选 D
12. 构造函数
x
xxf ln)( ，易得 )(xf 在区间 ),0( e 单调递增，在区间 ),( e 单调递减。
对于 A 选项：
e
e
e
ln
2
2ln22ln 显然成立
于于 B 选项：
2020
20201
2021
2021120202021 20212020 nn 显然错误
对于 C 选项：
15
15ln
4
4ln
2
2ln152 15 显然错误
对于 D 选项：
e
ee ln
22
22ln242ln3 显然错误
故选 A
二、填空题
13. 6 14. -4 15. 1 16. 12 3 22
16. 【详解】如图所示，设正三棱柱上下底面的中心分别为 1 2O O， .底面
边长与高分别为 ,x h ，则 2
3
3O A x ，在 2Rt OAO 中，
2 2
44 3
h x ，
化为 2 2416 3h x ， 3S xh
22 2
2 2 2 2 2 129 12 12 12 4322
x xS x h x x
，
当且仅当 6x 时取等号，此时正三棱柱的侧面积的最大值为 12 3S .
故答案为：8， 12 3
三、解答题
17．
解：（1）因为 2 3sin sin sin sin3
a A c C a C b B ，
所以由正弦定理可得 2 2 2 3 sin3
a c a C b b ，即 2 2 2 2 3 sin3
a c b ab C ．
再由余弦定理可得 2 32 cos sin3
ac B ab C ，即 3sin cos sin sinC B B C ．
因为sin 0C ，所以 tan 3B ．因为 (0, )B ，所以
3B ．
（2）因为 2BA BC BD ，所以 2 2 22 cos 4 BA BC BA BC B BD ，
即 2 2 16 c a ac ．
因为 2 216 2 ac a c ac ，所以 16
3ac ，当且仅当 4 3
3a c 时取等，
故 1 1 16 3 4 3sin2 2 3 2 3
△ABCS ac B ，则 ABCS 的最大值为 4 3
3
．
18．
（1）因为 PA 底面 ABC ， BE 底面 ABC ，
所以 PA BE ，易知 BE AC ， PA AC A ，所以 BE平面 PAC ，..
因为 BE 平面 BEF ，所以平面 BEF 平面 PAC
（2）因为 , ,EB EC EF 两两垂直，所以以 E 为坐标原点，分别
以 , ,EB EC EF 的正方向为 , ,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则 0,0,0 , 3,0,0 , 0,1,0 , 0, 1,0 , 0, 1,2 , 0,0,1E B C A P F ，
3,1, 2 , 3,1,0PB BC
，设平面 PBC 的一个法向量
为 , ,m x y z ，
由 0
0
m PB
m BC
，得 3 2 0
3 0
x y z
x y
，不妨设 1x ，则 3y z ，所以
1 3 3m , , ，
设 3 , , 2PG PB
，则 3 , ,2 2AG AP PG
，
由题知：
22
2 3 42cos , 77 4 4 1
AG m
AG m
AG m
，
即 24 4 1 0 ，解得 1
2
，所以在线段 PB 上存在点G 为 PB 的中点，
使得直线 AG 与平面 PBC 所成的角的余弦值为 7
7
.
19．
（1）频率分布直方图见解析，中位数 5.133 千元，平均数 5.16 千元（2） ˆ 40 270y x ，该
家庭 2020 年能达到小康 标准.
【分析】
（1）由频率之和为 1 可得：家庭人均年纯收入在[6,7)的频率为 0.18，即可补全频率分布直方
图，在根据频率分布直方图，即可求出中位数和平均数；
（2）根据线性回归方程公式即可求出回归方程，再取 13,14,15...24x ，根据题意以及等差
数列的相关性质，即可求出 2020 年该家庭人均年纯收入估计值，与 8000 判断即可．
【详解】
（1）由频率之和为 1 可得：家庭人均年纯收入在[6,7)的频率为 0.18，所以频率分布直方图如
下：
中位数为： 0.5 0.04 0.10 0.32 25 5 5.1330.30 15
（千元）
（或：设中位数为 x ，则 0.04 5
0.26 6
x
x
，解得： 5.133x ）
平均数 2.5 0.04 3.5 0.10 4.5 0.32 5.5 0.30 6.5 0.18 7.5 0.06 5.16x （千
元）
（2）解：由题意得： 1 2 3 4 5 6 3.56x ，
275 365 415 450 470 485 2460 4106 6y
6
2
1
1 4 9 16 25 36 91i
i
x
2 26 6 3.5 73.5x
所以：
6
1
6
2 2
1
6 9310 6 3.5 410 9310 8610 700ˆ 4091 73.5 91 73.5 17.56
i i
i
i
i
x y xy
b
x x
ˆˆ 410 40 3.5 270a y bx 所以回归直线方程为： ˆ 40 270y x
设 y 为 2020 年该家庭人均月纯收入，则 13,14,15x 时， 1 (40 270)3y x ，即 2020 年前
三月总收入为： 1 (790 830 870) 8303
元；
当 16,17, ,24x 时， 4 (40 270) 32 2165y x x ，
即 2020 年从 4 月份起的家庭人均月纯收入依次为：728，760,…,984，
构成以 32 为公差的等差数列，所以 4 月份至 12 月份的总收入为 9 728 984 77042
所以 2020 年该家庭总收入为：830 7704 8534 8000 ，所以该家庭 2020 年能达到小康
标准.
20.
（1）设 ,1 xMF 则 xMF 72 ，
2
1,732 222 xxx
242
7
2
12,221 aaaMFMF
∴椭圆 C 的方程为
2
2 14
x y ．
（2）设直线l 的方程为 y kx m ， ( 0)m ， 1 1,M x y ， 2 2,N x y ，
由 2
2 14
y kx m
x y
，得 2 2 21 4 8 4 1 0k x kmx m ，
∴ 1 2 2
8
1 4
kmx x k
， 2
1 2 2
4 1
1 4
m
x x k
．
由题设知 2 1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
( )( )y y kx m kx mk k k x x x x
2
1 22
1 2
km x x mk x x
∴ 2
1 2 0km x x m ，∴
2 2
2
2
8 01 4
k m mk
，∵ 0m ，∴ 2 1
4k ， 1
2k ，
故直线l 的斜率为 1
2k ，．
21．
（1） lnxF x xe a x x ， 0x ，
∴ 111 1
x
x x xe a
F x x e a x x
，
①当 0a 时， 0F x ， F x 在 0, 内单调递增， F x 没有极值点．
②当 0a 时，令 xH x xe a ，当 0,x 时， 1 0xH x x e ，
∴ H x 在 0, 上单调递增．又 0 0H a ， 1 0aH a a e ，
∴ 0 0x ，使 0 0H x ，且当 00,x x 时， 0H x ，当 0,x x 时，
0H x ，
从而 0 0F x ，当 00,x x 时， 0F x ， F x 单调递减，
当 0,x x 时， 0F x ， F x 单调递增，∴ 0x x 是函数 F x 的极小值点．
综上，当 0a 时， F x 无极值点，当 0a 时， F x 有一个极值点．
（2）方程 f x g x 可化为 1x ae x a ．
设 x a t ，则原方程又可化为 1te t ．设 1tM t e t ，则 1tM t e ．
∵ 0 0M ，当 ,0t 时， 0M t ， M t 在 ,0 上单调递减，
当 0,t 时， 0M t ， M t 在 0, 上单调递增； min 0 0M t M ，
所以当 0t 时， 0M t ，所以方程 1te t 只有一个实数根，
∴方程 f x g x 只有一个实数根．∵对于任意的t R ， 1te t ．
∴
1 1 12 4 22 2 2 1 1 12 1 4 1 2 12 2 2
n n nn n n ne e e n
21 1 32 4 2 12 2 2
n n n n n nn n n n n
，
即 1 2
2 4 22 3
2
n
n n ne e e e
，∴
12
2 4 2 23
2
n
n n ne e e e
．
22．
【解析】（1）曲线 1C ： 1 cos sin
x
y
（ 为参数）化为普通方程为 2 2 2x y x ，
所以曲线 1C 的极坐标方程为 2cos ，···········3 分
曲线 2C 的极坐标方程为 2 21 2sin 3 ．···········5 分
（2）射线 π 03
≥ 与曲线 1C 的交点的极径为 1
π2cos 13
，···········7
分
射线 π 03
≥ 与曲线 2C 的交点的极径满足 2 2
2
π1 2sin 33
，
解得 2
30
5
，···········9 分
所以 1 2
30 15AB ．···········10 分
23．
【解析】由
2 1 0
1 0 1
2 1 1
x x
f x x
x x
≤
≥
，·········2 分
得 min 1f x ，要使 1f x m≥ 恒成立，
只要1 1m≥ ，即0 2m≤ ≤ ，实数 m 的最大值为 2；·········5 分
（2）由（1）知 2 2 2a b ，又 2 2 2a b ab ≥ ，故 1ab≤ ；
2 2 2 2 24a b a b a b 2 22 4 2 2ab a b ab 2 24 2 1 2 1a b ab ab ，
∵0 1ab ≤ ，∴ 2 2 24 2 1 2 1 0a b a b ab ab ≥ ，∴ 2a b ab ≥ ．·····10
分
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