2021届高三数学3月新高考模拟试卷（一）（Word版附答案）

2021 届新高考数学模拟培优卷（一）（新高考版） 【满分：150 分】 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合    2 2log ( 1) 1 , 1 ,M x x N x x    Z∣ ∣„ 则 M N I ( ) A.  1,3 B.∅ C. 2,3 D. 1,2,3 2.已知复数 ( 3i)(3 2i)( )z a a    R 的实部与虚部的和为 7，则 a 的值为( ) A.1 B.0 C.2 D.-2 3.有两排座位，前排 11 个座位，后排 12 个座位，现安排 2 人坐下，规定前排中间的 3 个座位 不能坐，并且这 2 人不左右相邻，那么不同排法的种数是( ) A.234 B.346 C.350 D.363 4.在 ABC△ 中，角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ， ABC△ 的面积为 S，若 2 22 ( )S a b c   ，则 tanC 的值是( ) A. 4 3 B. 3 4 C. 4 3  D. 3 4  5.甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示. ①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数; ②甲同学的平均分比乙同学的平均分高; ③甲同学的平均分比乙同学的平均分低; ④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差. 以上说法正确的是( ) A.③④ B.①② C.②④ D.①③④ 6.一批价值 a 万元的设备，由于使用时磨损，每年比上一年价值降低 b%，则 n 年后这批设备 的价值为( ) A.  1 %na b B.  1 %a nb C.  1 % na b   D.  1 % na b 7.若两个非零向量 a,b 满足| | | | 2 | |   a b a b a ，则向量 a b 与 a b 的夹角是( ) A. π 6 B. 5π 6 C. π 3 D. 2π 3 8.函数    3 xf x x e  的单调递增区间是 （ ） A． 0,3 B．  1,4 C．  2, D．  ,2 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9.已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x y a ba b      的离心率为 2 ,2 ABCV 的三个顶点都在椭圆  上，设它的 三条边 , ,AB BC AC 的中点分别为 , ,D E F ，且三条边所在直线的斜率分别 1 2 3, ,k k k ，且 1 2 3, ,k k k 均 不为 0.O 为坐标原点，则( ) A. 2 2: 2:1a b  B.直线 AB 与直线OD 的斜率之积为 2 C.直线 BC 与直线OE 的斜率之积为 1 2  D.若直线 , ,OD OE OF 的斜率之和为 1，则 1 2 3 1 1 1 k k k   的值为 2 10.已知函数 sin ,sin cos ( ) cos ,sin cos x x x f x x x x     ，则下列说法正确的是( ) A. ( )f x 的值域是[0,1] B. ( )f x 是以 π 为最小正周期的周期函数 C. ( )f x 在区间 3π(π, )2 上单调递增 D. ( )f x 在[0,2π] 上有 2 个零点 11.已知函数   e e 2 x x f x  ，   e e 2 x x g x  ，则    ,f x g x 满足( ) A. ( ) ( ), ( ) ( )f x f x g x g x     B. ( 2) (3), ( 2) (3)f f g g    C. (2 ) 2 ( ) ( )f x f x g x D. 2 2[ ( )] [ ( )] 1f x g x  12.某市有 , , ,A B C D 四个景点,一位游客来该市游览,已知该游客游览 A 的概率为 2 3 ,游览 , ,B C D 的概率都是 1 2 ,且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量 X 表示该游客游 览的景点个数,则( ) A.该游客至多游览一个景点的概率为 1 4 B. 3( 2) 8P X   C. 1( 4) 24P X   D. 13( ) 6E X  三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知直线 : ( 3)l y k x  和圆 2 2: ( 1) 1C x y   相切，则实数 k  ___________. 14.设函数 6 (3 ) 3, 7, ( ) , 7,x a x x f x a x     „ 数列 na 满足 ( ),na f n n  N ，且数列 na 是递增数列， 则实数 a 的取值范围是_______________. 15.在直角梯形 ABCD 中， //AB CD ， AD AB ， 2 2AB DC  ，E 为 AD 的中点.将 EAB 和 ECD 分别沿 ,EB EC 折起，使得点 A,D 重合于点 F，构成四面体 FBCE .若四面体 FBCE 的四 个面均为直角三角形，则其外接球的半径为_________. 16.某几何体的三视图如图所示,若该几何体的所有顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 _______________. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （10 分）在 ABC 中，角 A B C, , 的对边分别为 a b c, , ，已知 3, 2, 45a c B    . （1）求 sinC 的值； （2）在边 BC 上取一点 D ，使得 4cos 5ADC   ，求 tan DAC 的值. 18. （12 分）已知正项等差数列 na 和它的前 n 项和 nS 满足 2 1 2,4 2n n na S a a   .等比数列  nb 满足 1 1 2 2,a b a b  . (1)求数列 na 与数列 nb 的通项公式. (2)若 n n nc a b  ,求数列 nc 的前 n 项和 nT . 19. （12 分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24，16，16，现采用分层抽 样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查. (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人? (2)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身 体检查. ①用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 X 的分布列与数学期望； ②设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件 A 发生 的概率. 20. （12 分）如图,在四棱锥 P ABC 中,平面 PAB  平面 ABCD ,四边形 ABCD 为正方形, PAB△ 为等边三角形, E 是 PB 中点,平面 AED 与棱 PC 交于点 F ． (1)求证: / /AD EF ; (2)求证: PB  平面 AEFD ; (3)记四棱锥 P AEFD 的体积为 1V ,四棱锥 P AEFD 的体积为 2V ,直接写出 1 2 V V 的值． 21. （12 分）已知函数   2 ( ) 0ex ax bx cf x a   的导函数  'f x 的两个零点为 3 和 0. (1)求  f x 的单调区间; (2)若  f x 的极小值为 3e ,求  f x 在区间[ )5,  上的最大值. 22. （12 分）已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴上,且抛物线 C 上有一点  4,P h 到焦点的 距离为 5. (1)求该抛物线 C 的方程. (2)已知抛物线上一点  ,4M t ,过点 M 作抛物线的两条弦 MD 和 ME ,且 MD ME ,判断直线 DE 是否过定点?并说明理由. 答案以及解析 一、单项选择题 1.答案：C 解析：由 2log ( 1) 1,x  „ 可得 0 1 2,x  „ 解得1 3,x „ 则 3](1,M  ，由 2 1x  可得 1x   或 1,x  又 ,x  Z 所以 {2,3}M N I ，故选 C. 2.答案：C 解析： 2( 3i)(3 2i) 3 2 i 9i 6i 3 6 (2 9)iz a a a a a           ，所以复数 z 的实部与虚部分别 为3 6,2 9a a  ，于是 3 6 2 9 7a a    ，得 2,a  故选 C. 3.答案：B 解析：易知一共可坐的位子有 20 个，2 个人坐的方法数为 2 20A ，还需排除两人左右相邻的情况. 把可坐的 20 个座位排成连续一行，将其中两个相邻座位看成一个整体，则相邻的坐法有 1 2 19 2A A ，还应再加上 2 22A ，所以不同坐法的种数为 2 1 2 2 20 19 2 2A A A 2A 346   .故选 B. 4.答案：C 解析：由题意，因为 1 sin2ABCS ab C△ ，由余弦定理 2 2 2 2 cosc a b ab C   ， 所以由 2 22 ( )S a b c   ，可得 2 2 2sin ( ) ( 2 cos )ab C a b a b ab C     ， 整理得sin 2cos 2C C  ，所以 2(sin 2cos ) 4C C  ， 所以 2 2 sin 2cos 4sin cos C C C C   ，化简得 23tan 4tan 0C C  ， 因为 (0 ,180 )C    ，所以 4tan 3C   ，故选 C． 5.答案：A 解析：由茎叶图知甲同学的成绩为 72,76,80,82,86,90 ,易得甲同学成绩的中位数为 80 82 812   ; 乙同学的成绩为,易得乙同学成绩 69,78,87,88,92,94 的中位数 72 76 80 82 86 90 816       为 87 88 87.52   ,故甲同学成绩的中位数小于乙同学成绩的中位数,①说法错误;甲同学的平均 分为,乙同学的平均分为 69 78 87 88 92 96 856       ,故甲同学的平均分比乙同学的平均分 低②说法错误;③说法正确:甲同学成绩的方差为            2 2 2 2 2 272 81 76 81 80 81 82 81 86 81 90 816 35.71               ,乙同学成绩 的方差为            2 2 2 2 2 21 69 85 78 85 87 85 88 85 92 85 96 85 81.36 ]            ,故甲 同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差,④说法正确。所以说法正确的是③④,选 A. 6.答案：D 解析：本题主要考查指数函数模型  1 xy N p  .由题意可知，n 年后这批设备的价值  1 % na b . 7.答案：D 解析： 2 2 2 2| | | |, 2 2          a b a b a a b b a a b b ， 0  a b .又 2 2 2| | 2| |, | | 2 | | 4| |      a b a a a b b a ， 2 2| | 3| | b a .设 a b 与 a b 的夹角为  ，则 2 2 2 2 2 ( ) ( ) | | | | 2 | | 1cos | || | 4 | | 4 | | 2            a b a b a b a a b a b a a .又 2π[0,π], 3     . 8.答案：C 解析：    2 xf x x e   ， 令   0f x  ，解得： 2x  ， ∴  f x 在  2, 递增， 故答案为：C． 二、多项选择题 9.答案：ACD 解析：因为椭圆的离心率为 2 2 ，由 2 2 2 2 2 21a b be a a    得 2 2 1 2 b a  ，故 A 正确；设      1 1 2 2 0 0, , , , ,A x y B x y D x y ，则 1 2 0 1 2 0 ,2 2 , x x x y y y      且 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1, 1, x y a b x y a b       两式作差得 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 0x x y y a b    ，即      1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 0x x x x y y y y a b      ，所以       2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 y y y y b x x x x a      ，因为 AB 的斜率 1 2 1 1 2 y yk x x   ， OD 的斜率 0 1 2 0 1 2 OD y y yk x x x    ，所以 2 1 2 1 2OD bk k a      ，所以 1 1 2 ODkk   ，同理可得 2 3 1 12 , 2OE OFk kk k     ，故 B 错误，C 正确； 所以   1 2 3 1 1 1 2 OD OE OFk k kk k k       ，又直线 , ,OD OE OF 的斜率之和为 1，即 1OD OE OFk k k   ，所以 1 2 3 1 1 1 2k k k     ，故 D 正确.故选 ACD. 10.答案：AD 解析： π 5πsin , 2 π 2 π( )4 4( ) 3π πcos , 2 π 2 π( )4 4 x k x k k f x x k x k k               Z Z 作出函数 ( )f x 的大致图象 如图所示 由图可知 ( )f x 的值域是[0,1] ,故 A 正确 因为 (π) sin π 0, (2π) cos2π 1f f    ,所以 (2π) (π)f f 所以 π 不是 ( )f x 的最小正周期,故 B 正确 由图知 ( )f x 在区间 5π(π, )4 上单调递增,在 5π 3π( , )4 2 上单调递减,故 C 不正确 由图知,在[0,2π] 上, 3π(π) ( ) 02f f  ,所以 ( )f x 在[0,2π] 上有 2 个零点,故 D 正确,故选 AD 11.答案：ABC 解析： e e e e( ) ( )2 2 x x x x f x f x         ， e e )( ) 2 ( x x gg xx     ，故选项 A 正确；  f x 为增函数，则 ( 2) (3)f f  ， 2 2e e( 2) 2g   ， 3 3e e(3) 2g  ，易得    3 2g g  ，故 选项 B 正确； 2 2e e e e e e2 ( ) ( ) 2 2 (2 )2 2 4 x x x x x x f x g x f x            ，故选项 C 正确； 2 2[ ( )] [ ( )] [ ( ) ( )] ([ )( ) ( )] e e 1x xf x g x f x g x f x g x          ，故选项 D 错误. 故答案为 ABC. 12.答案：ABD 解析： X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4. 则 2 1 1 1 1( 0) 1 1 1 13 2 2 2 24P X                    , 3 2 1 3 2 1 2 1 1 5( 1) 1 1 C 13 2 3 2 2 24P X                           , 所以该游客至多游览一个景点的概率为 1 5 1( 0) ( 1) 24 24 4P X P X      ,故 A 正确. 2 2 1 2 3 1 3 2 1 1 2 1 1 3( 2) C 1 1 C 13 2 2 3 2 2 8P X                                   ,故 B 正确. 32 1 1( 4) 3 2 12P X        ,故 C 错误. 又 2 1 3 2 3 3 3 2 1 1 2 1 7( 3) C 1 1 C3 2 2 3 2 24P X                                 , 所以 1 5 3 7 1 13( ) 0 1 2 3 424 24 8 24 12 6E X            ,故 D 正确. 故选 ABD. 三、填空题 13.答案： 3 或 0 解析：本题考查直线与圆的位置关系.由直线与圆相切可知， 2 | 3 1| 1 1 k k    ，化简得 2 3 0k k  ， 解得 3k  或 0. 14.答案： 2,3 解析：由题意得，点 , nn a 在分段函数 6 (3 ) 3, 7, ( ) , 7x a x x f x a x     „ 的图像上， 因此当3 0a  时， 1 2 3 7a a a a    ； 当 1a  时， 8 9 10a a a   ， 为使数列 na 递增，还需 7 8a a ， 故实数 a 满足条件 3 0, 1, (7) (8), a a f f       解得 2 3a  ，故实数 a 的取值范围是 (2,3) . 15.答案： 3 2 4 解析：如图.由题意可知，折叠后所构成的四面体 FBCE 中， 90 , 90 ,EFC EFB BFC      不 可能为直角。在 Rt FBC 中，由 FB FC 可知， FCB 为直角，即 BC FC .因为 , , , ,FE FB FE FC FB FC F FB FC     平面 FBC ，所以 FE  平面 FBC ，则有 FE BC . 又因为 BC FC ， FE FC F  所以 BC  平面 FEC ，则有 BC EC .所以四面体 FBCE 外接 球的球心为 BE 的中点，半径为 1 2 BE .在直角梯形 ABCD 中，设 DE EA a  ，则有 2 2 2 2 2 21, 4, 4 1EC a BE a BC a      .由 2 2 2EC BC BE  ，解得 2 2a  (负值已舍去)，则 3 2 2BE  .因此，四面体 FBCE 外接球的半径为 3 2 4 . 16.答案： 28π 3 解析：由三视图可知,该几何体是一个三棱柱,三棱柱的底面是边长为 2 的正三角形,侧棱长是 2. 易知三棱柱的两个底面的中心所连线段的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径,则半 径 2 22 73 13 3r        ,所以球的表面积为 2 7 28π4π 4π 3 3r    . 四、解答题 17.答案：（1）在 ABC 中，因为 3, 2, 45a c B    ， 由余弦定理 2 2 2 2 cosb a c ac B   ，得 2 9 2 2 3 2 cos45 5b       ， 所以 5b  . 在 ABC 中，由正弦定理 sin sin b c B C  ， 得 5 2 sin 45 sin C  ， 所以 5sin 5C  . （2）在 ADC 中，因为 4cos 5ADC   ， 所以 ADC 为钝角， 而 180ADC C CAD       ，所以 C 为锐角， 故 2 2 5cos 1 sin 5C C   ，则 sin 1tan cos 2 CC C   . 因为 4cos 5ADC   ，所以 2 3sin 1 cos 5ADC MDC     ， sin 3tan cos 4 ADCADC ADC     . 从而  tan tan 180 san( )DAC ADC C ADC C           3 1 tan tan 24 2 11 tan tan 111 4 3 2 ADC C ADC C                . 18.答案：(1) 2 2 1 1 14 2 , 4 2 , 2n n n n n nS a a S a a n       Q . 两式相减,得   1 14 2 , 2n n n n na a a a a n      . 化简,得   1 1 2 0n n n na a a a     . 又 na 为正项等差数列, 1 2n na a    . 等差数列 na 的公差为 2. 又 1 2, 2na a n   . 1 1 2 22, 4b a b a   Q , 等比数列 nb 的公比 2, 2n nq b   . (2)由(1)知 2 2n nc n  , 2 32 2 4 2 6 2 2 2n nT n         L ,① 2 3 4 12 2 2 4 2 6 2 2 2n nT n         L .② ① ② ,得  2 3 1 22 2 2 2 2 2 2 (1 ) 2 4n n n nT n n            L , 2( 1) 2 4n nT n      . 19.答案：(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 3: 2: 2 ， 由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人，2 人，2 人. (2)①随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.     3 4 3 3 7 0,1,C .C 2,C 3 k k P X k k    所以，随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 35 12 35 18 35 4 35 随机变量 X 的数学期望 1 12 18 4 12( ) 0 1 2 335 35 35 35 7E X          . ②设事件 B 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 1 人，睡眠不足的员工有 2 人”；事件 C 为“抽 取的 3 人中，睡眠充足的员工有 2 人，睡眠不足的员工有 1 人”，则 A B C  ，且 B 与 C 互 斥.由①知，        2 , 1 ,P B P X P C P X    故         62 1 7P A P B C P X P X       . 所以，事件 A 发生的概率为 6 7 . 20.答案：（1）证明 因为 ABCD为正方形,所以 / /AD BC . 因为 AD  平面 PBC , BC  平面 PBC , 所以 / /AD 平面 PBC 因为 AD  平面 AEFD ,平面 AEFD  平面 PBC EF , 所以 / /AD EF （2）证明 因为四边形 ABCD是正方形,所以 AD AB . 因为平面 PAB  平面 ABCD,平面 PAB 平面 ABCD AB , AD  平面 ABCD, 所以 AD  平面 PAB 因为 PB  平面 PAB ,所以 AD PB 因为 PAB△ 为等边三角形, E 是 PB 中点,所以 PB AE . 因为 AE  平面 AEFD , AD  平面 AEFD , AE AD A , 所以 PB  平面 AEFD （3）由（1）知, 1 C AEFDV V  , 1 2 2 3 3E ABC F ADC C AEFDV V V V     , ∴ 5 3BC AEFDV V  ，则 1 1 1 5 8 3 3P ABCDV V V V    ∴ 1 2 3 8 V V  21.答案：(1)     2 2 2 (2 )e e (2 )( ) ee ' x x xx ax b ax bx c ax a b x b cf x           . 令 2( ) (2 )g x ax a b x b c      , 因为 e 0x  ,所以 )'(f x 的零点就是 2( ) (2 )g x ax a b x b c      的零点,且  'f x 与  g x 符号相 同. 又因为 0a  ,所以当 3 0x   时,   0g x  ,即  ' 0f x  , 当 3x   或 0x  时,   0g x  ,即  ' 0f x  , 所以  f x 的单调递增区间是  3,0 ,单调递减区间是 , 3 ,( ) (0, )   . (2)由(1)知, 3x   是 ( )f x 的极小值点,所以有 3 3 9 3( 3) ee (0) 0, ( 3) 9 3(2 ) 0, ,a b cf g b c g a a b b c                      解得 1, 5, 5a b c   ,所以 2 5 5( ) ex x xf x   . 由(1)可知当 0x  时,  f x 取得极大值,为  0 5f  , 故  f x 在区间[ )5,  上的最大值取  5f  和  0f 中的最大者. 因为 5 5 5( 5) 5e 5 (0)ef f     ,所以函数 )(f x 在区间[ )5,  上的最大值是 55e . 22.答案：(1)由题意可设抛物线 C 的方程为  2 2 0y px p  , 其准线方程为 2 px   . Q 点  4,P h 到焦点的距离等于其到其准线的距离, 4 5, 22 p p     .抛物线 C 的方程为 2 4y x . (2)由(1)可得点  4,4M ,且直线 DE 的斜率不为 0,设直线 DE 的方程为 x my n  , 联立 2 , 4 , x my n y x     得 2 4 4 0y my n   ,则 216 16 0m n    .① 设    1 1 2 2, , ,D x y E x y ,则 1 2 1 24 , 4y y m y y n    .    1 1 2 24, 4 4, 4MD ME x y x y       uuur uuur Q    1 2 1 2 1 2 1 24 16 4 16x x x x y y y y          2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 24 16 4 164 4 4 4 y y y y y y y y                   2 21 2 1 2 1 2 1 23 4 3216 y y y y y y y y       2 216 12 16 32 0n m n m      , 即 2 212 32 16 16n n m m    , 得 2 2( 6) 4(2 1)n m   , 6 2(2 1)n m     ,即 4 8n m  或 4 4n m   , 代入①式检验知 4 8n m  满足 0  恒成立, 直线 DE 的方程为  4 8 4 8x my m m y      . 直线 DE 过定点  8, 4 .