宁夏2021届高三数学（文）下学期第一次模拟试题（Word版附答案）

绝密★启用前 2021 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题卷 ( 第一次模拟考试 ) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．已知集合  2 6 5 0A x x x    ，  3B x y x   ， A B 等于 A．[1, ) B． 1,3 C． (3,5] D． 3,5 2．已知 z 是纯虚数，若 ( ) 3 1a i z i    ，则实数 a 的值为 A．1 B．3 C．－1 D．－3 3．已知曲线 C：x2+y2=2(x·y≥0)，曲线 C 与坐标轴围成封闭图形 M 以及函数 y＝x3 的部分图象如图所示，若向 M 内任意投掷一 点，则该点落入阴影部分的概率为 A．1 2 B．1 4 C．1 6 D．1 8 4．任取一个正整数 m ，若是奇数，就将该数乘 3 再加上 1；若是偶数，就将该数除以 2.反复 进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈 1→4→2→1.这就是数学史上著名 的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数 3m  ，根据上述运算法则得出 3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过 7 个步骤首次变成 1（简称为 7 步“雹程”）.则下列 叙述不正确的是 A．当 12m  时，经过 9 步雹程变成 1 B．若 m 需经过 5 步雹程首次变成 1，则 m 所有可能的取值集合为 5,32 C．当 m 越大时，首次变成 1 需要的雹程数越大 D．当  *2km k N  时，经过 k 步雹程变成 1 5．若 π 1tan 4 3       ，则 cos2 等于 A． 3 5 B． 1 2 C． 1 3 D． 3 6．执行如右图所示的程序框图，输出的 S 值为 A． 3lg1 B． 4lg1 C． 5lg1 D． 6lg1 7．下图是一个正方体的展开图,则在该正方体中 A．直线 AB 与直线 CD 平行 B．直线 AB 与直线 CD 相交 C．直线 AB 与直线CD 异面垂直 D．直线 AB 与直线 CD 异面且所成的角为 60° 8．设抛物线 2: 12C y x 的焦点为 F ，准线为l ，点 M 在C 上，点 N 在l 上，且  0FN FM    ，若 4MF  ，则  的值 A． 5 2 B． 3 2 C．3 D．2 9．定义行列式运算 1 2 1 4 2 3 3 4 a a a a a aa a   ，将函数   3 sin 1 cos xf x x  的图像向左平移 ( 0)n n  个单位，所得图像关于原点对称，则 n 的最小值为 A． 6  B． 3  C． 2 3  D． 5 6  10．某口罩厂一年中各月份的收入、支出情况如图所示（单位：万元，下列说法中错误的是 （注：月结余=月收入一月支出） A．上半年的平均月收入为 45 万元 B．月收入的方差大于月支出的方差 C．月收入的中位数为 70 D．月结余的众数为 30 11．已知 )05( ，F 是双曲线 12 2 2 2  b y a x ( 0a ， 0b )的左焦点，过 F 作一条渐近线的垂线 与右支交于点 P ，垂足为 A ，且 ||3|| AFPA  ，则双曲线方程为 A． 1520 22  yx B． 1205 22  yx C． 1916 22  yx D． 1169 22  yx 12．设函数 ( ) xf x e x  ,直线 y ax b  是曲线 ( )y f x 的切线,则 a b 的最大值是 A． 11 e  B．1 C． 1e  D． 2 2e  二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．已知向量 )1,1(),2,(   bma 若 ),2(   bab 则 m ________. 14．若实数 ,x y 满足约束条件 2 2 0 0 y x x y x        ，则 3z x y   的最小值为 . 15．已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时，f(x)=3x+m(m 为常数)，则 f(-log35)的值 为 . 16．（本小题第一空 2 分，第二空 3 分） 底面为等边三角形的直三棱柱所有顶点都在半径为 2 的球O 上，则该三棱柱的侧面积最 大值为___________，此时该三棱柱的高是 . 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分) 17．(12 分) 已知数列 na 满足 2n nS a n   *nN ． （1）证明： 1na  是等比数列； （2）求 1 3 5 2 1... na a a a      *nN ． 18．(12 分) 如图，三棱锥 P ABC 中，底面△ ABC 是边长为 2 的正三角形， 2PA  ， PA  底面 ABC ，点 ,E F 分别为 AC ， PC 的中点. （1）求证：平面 BEF  平面 PAC ； （2）在线段 PB 上是否存在点 G ，使得三棱锥 B AEG 体积为 3 6 ？若存在，确定点G 的位置；若不存在，请说明理由. 19．(12 分) 2020 年是具有里程碑意义的一年，我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标； 2020 年也是脱贫攻坚决战决胜之年.（总书记二〇二〇年新年贺词）截至 2018 年底，中国农 村贫困人口从 2012 年的 9899 万人减少至 1660 万人，贫困发生率由 2012 年的 10.2%下降至 2018 年的 1.7%；连续 7 年每年减贫规模都在 1000 万人以上；确保到 2020 年农村 贫困人口实现脱贫，是我们党立下的军令 状，脱贫攻坚越到最后时刻，越要响鼓重 锤.某贫困地区截至 2018 年底，按照农村 家庭人均年纯收入 8000 元的小康标准， 该地区仅剩部分家庭尚未实现小康.现从 这些尚未实现小康的家庭中随机抽取 50 户，得到这 50 户家庭 2018 年的家庭人均 年纯收入的频率分布直方图. （1）补全频率分布直方图，并求出这 50 户家庭人均年纯收入的中位数和平均数（同一组 数据用该区间的中点值作代表）（精确到元）； （2）2019 年 7 月，为估计该地能否在 2020 年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一 个家庭 2019 年 1 至 6 月的人均月纯收入如下表： 由散点图及相关性分析发现：家庭人均月纯收入 y 与时间代码 x 之间具有较强的线性相关 关系，请求出回归直线方程；由于 2020 年 1 月突如其来的新冠肺炎疫情影响了奔小康的进展， 该家庭 2020 年第一季度（1，2，3 月份）每月的人均月纯收人均为预估值的 1 3 ，从 4 月份开 始，每月的人均月纯收人均为预估值的 4 5 ，由此估计该家庭 2020 年能否达到小康标准，并说 明理由； ①可能用到的数据：参考数据： 91,9310 6 1 2 6 1    i ii i i xyx ②参考公式：线性回归方程 ˆˆ ˆy bx a  中， 6 1 6 2 2 1 ˆ 6 6 i i i i i x y xy b x x        ， ˆˆa y bx  . 20.（12 分） 月份/2019（时间代码 x ） 1 2 3 4 5 6 人均月纯收入（元） 275 365 415 450 470 485 频率/组距 0.04 2 5 6 73 0.30 0.32 0.10 0.06 4 8 家庭人均年纯收入（千元） 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yG a ba b     的左焦点为 ( 2,0)F  ，且经过点 ( 2,1)C  ，A,B 分别 是 G 的右顶点和上顶点，过原点O 的直线l 与 G 交于 ,P Q 两点（点 Q 在第一象限），且与线 段 AB 交于点 M . （1）求椭圆 G 的标准方程； （2）若 BOP 的面积是 ΔBMQ 的面积的 4 倍，求直线 l 的方程. 21．已知函数   ln 1f x x x   ，   2 2g x x x  . （1）求函数    y f x g x  的极值； （2）若实数 m 为整数，且对任意的 0x  时，都有     0f x mg x  恒成立，求实数 m 的最小值. （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第 一题记分. 22．[选修 4－4：坐标系与参数方程] 直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 1 cos  sin x y         （ 为参数），曲线 2 2 2 : 13 xC y  ． （1）在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求 1C ， 2C 的极坐标方程； （2）射线  π 03   ≥ 与 1C 异于极点的交点为 A ，与 2C 的交点为 B ，求 AB ． 23．[选修 4-5：不等式选讲] 已知函数   1f x x x   ． （1）若   1f x m≥ 恒成立，求实数 m 的最大值； （2）记（1）中 m 的最大值为 M ，正实数 a ，b 满足 2 2a b M  ，证明： 2a b ab ≥ ． 2021 届高三第一次模拟数学(文科)参考答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D B A C A B D C B C D C 5．【解析】已知 π 1 tan 1tan 4 3 1 tan           ，解得 1tan 2   ， 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin 1 tancos2 cos sin cos sin 1 tan               ，将正切值代入得到 3 5 ．故答案为： A． 6． 【答案】B【解析】根据程序框图可知： 1lg  i iSS 1 ii 3i 输 出 S 初始 值 1 1 第1次 循环 2 1lg1 2 是 第 2 次 循环 3 2lg2 1lg1  3 是 第 3 次 循环 4lg14 3lg3 2lg2 1lg1  4 否 4lg1 7．【解析】正方体的展开图的立体图形如图所示： 由图知：直线 AB 与直线 CD 为异面直线,故 A,B 错误； 连接CE , DE ,因为 //AB CE ,所以 DCE 或其补角为异 面直线 AB 与 CD 所成角. 又因为 DCE 为等边三角形,所以 60DCE  o . 所以直线 AB 与直线CD 异面且所成的角为 60°,故 C 错误,D 正确.故选 D 9. B 函数   3 sin 3 2cos 61 cos xf x cosx sinx x x         的图象向左平移 n(n 0) 个单位，所得图象对应的函数为 2cos 6y x n       ，所得图像关于原点对称。故 ),(26 Zkkn   则正数 n 的最小值为 3 n 11．【解析】设双曲线右焦点为 1F ，连接 1PF ，左焦点 )0( ，cF  到渐近线 xa by  的距离 为 b ，故 bPA 3||  ，在 FAO 中， c bAFO cos ，由双曲线定义得 abPF 24|| 1  ，在 1PFF 中 ， 由 余 弦 定 理 得 c bcbcbab  242)2()4()24( 222 ， 整 理 得 2222 4)(41616 bacabb  ，即 ab 43  ，又 2522  ba ，解得 92 a 、 162 b ，故双曲 线方程为： 1169 22  yx ，故选 D. 12．【解析】由题得 ( ) 1xf x e   ,设切点 (t , ( ))f t ,则 ( ) t tf t e  , ( ) 1tf t e   ； 则切线方程为： ( ) ( 1)( )t ty e t e x t     ,即 ( 1) (1 )t ty e x e t    ,又因为 y ax b  , 所以 1ta e  , (1 )tb e t  ,则 1 2 t ta b e te     ,令 ( ) 1 2 t tg t e te    ,则 ( ) (1 ) tg t t e   , 则有 1t  , ( ) 0g t  ； 1t  , ( ) 0g t  ,即 ( )g t 在 ,1 上递增,在  1, 上递减 , 所以 1t  时, ( )g t 取最大值 (1) 1 2 1g e e e      ,即 a b 的最大值为 1e  .故选 C. 二、填空题 13. 6 14．-4 15. f(-log35)=-f(log35)=-(-1)=-4. 16. 22 ， 12 3 15. 解 ： 因 为 f(x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 所 以 f(0)=1+m=0. 所 以 m=-1. 所 以 f(-log35)=-f(log35)=-(-1)=-4. 16. 【详解】如图所示，设正三棱柱上下底面的中心分别为 1 2O O， .底面边长与高分别为 ,x h ，则 2 3 3O A x ，在 2Rt OAO 中， 2 2 44 3 h x  ，化为 2 2416 3h x  ， 3S xh   22 2 2 2 2 2 2 129 12 12 12 4322 x xS x h x x          „ ，当 且仅当 6x  时取等号，此时正三棱柱的侧面积的最大值为 12 3S  .故答案为： 22 ， 12 3 三、解答题： 17． 【解析】（1）由 1 12 1S a  得： 1 1a  ，···········1 分 因为     1 12 2 1n n n nS S a n a n        2n≥ ， 所以 12 1n na a   ，···········3 分 从而由  11 2 1n na a    得 1 1 21 n n a a     2n≥ ，···········5 分 所以 1na  是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列．···········6 分 （2）由（1）得 2 1n na   ，···········8 分 所以    3 2 1 1 3 5 2 1 2 2 2 1n na a a a n             12 1 4 11 4 n n     2 32 3 5 3 n n   ．···········12 分 18. 证明：（1）因为 PA  底面 ABC ， BE  底面 ABC ，所以 PA BE ， 因为△ ABC 是等边三角形且 E 为 AC 的中点，所以 BE AC ， 又 PA AC A ， PA  平面 PAC， AC  平面 PAC，所以 BE平面 PAC ， 因为 BE  平面 BEF ，所以平面 BEF  平面 PAC ； （2）过 G 作GH AB , PA  平面 ABC，PA  平面 PAB，平面 PAB  平面 ABC， 又 平面 PAB平面 ABC=AB， GH  平面 ABC, 3 6B AEG G ABEV V   ， 1 3 3 6ABEGH S  V ， 1 3 32 =2 2 2ABES    ， 1GH  ， PA  平面 ABC，GH  平面 ABC， //PA GH , 1 2GH PA ， G 为 PB 中点. 19． 【答案】（1）频率分布直方图见解析，中位数 5.133 千元，平均数 5.16 千元（2） ˆ 40 270y x  ，该家庭 2020 年能达到小康 标准. 【分析】 （1）由频率之和为 1 可得：家庭人均年纯收入在[6,7)的频率为 0.18，即可补全频率分布 直方图，在根据频率分布直方图，即可求出中位数和平均数； （2）根据线性回归方程公式即可求出回归方程，再取 13,14,15...24x  ，根据题意以及 等差数列的相关性质，即可求出 2020 年该家庭人均年纯收入估计值，与 8000 判断即可． 【详解】 （1）由频率之和为 1 可得：家庭人均年纯收入在[6,7)的频率为 0.18，所以频率分布直方 图如下： 中位数为： 0.5 0.04 0.10 0.32 25 5 5.1330.30 15       （千元） （或：设中位数为 x ，则 0.04 5 0.26 6 x x   ，解得： 5.133x  ） 平均数 2.5 0.04 3.5 0.10 4.5 0.32 5.5 0.30 6.5 0.18 7.5 0.06 5.16x              （千元） （2）解：由题意得： 1 2 3 4 5 6 3.56x       ， 275 365 415 450 470 485 2460 4106 6y        6 2 1 1 4 9 16 25 36 91i i x         2 26 6 3.5 73.5x    所以： 6 1 6 2 2 1 6 9310 6 3.5 410 9310 8610 700ˆ 4091 73.5 91 73.5 17.56 i i i i i x y xy b x x               ˆˆ 410 40 3.5 270a y bx      所以回归直线方程为： ˆ 40 270y x  设 y 为 2020 年该家庭人均月纯收入，则 13,14,15x  时， 1 (40 270)3y x  ，即 2020 年 前三月总收入为： 1 (790 830 870) 8303    元； 当 16,17, ,24x   时， 4 (40 270) 32 2165y x x    ， 即 2020 年从 4 月份起的家庭人均月纯收入依次为：728，760,…,984， 构成以 32 为公差的等差数列，所以 4 月份至 12 月份的总收入为  9 728 984 77042   所以 2020 年该家庭总收入为：830 7704 8534 8000   ，所以该家庭 2020 年能达到小 康标准. 20.（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）法一：依题意可得 2 2 2 2 2 2, 2 1 1, . c a b a b c          解得 2 2 2. a b c      ， ， 所以椭圆的标准方程为 2 2 14 2 x y  . ……………………………………………6 法二：设椭圆的右焦点为 1F ，则 1| | 3CF  ， 2 4, 2a a   ， 2c  ， 2b  ， 所以椭圆的标准方程为 2 2 14 2 x y  . ……………………………………………6 （2）设 ( , )m mM x y ，  0 0,Q x y ，则  0 0,P x y  ，易知 00 2x  ， 00 1y  . 由  2, 0A ， (0, 2)B ，所以直线 AB 的方程为 2 2 0x y   . ………………8 若使 BOP 的面积是 B M Q 的面积的 4 倍，只需使得 4OQ MQ ， 法一：即 3 4 M Q x x  ① . 设直线l 的方程为 y kx ，由 + 2 2 0 y kx x y    得， 2 2( , ) 1 2 1 2 kM k k  ……10 由 2 22 4 y kx x y     得， 2 2 2 2( , ) 1 2 1 2 kQ k k  ， …13 分 代入①可得 214 18 2 7 0k k   ，即： 2 77 9 2 02k k   解得 9 2 8 14k  ，所以 9 2 8 14y x . …………………………………………12 法二：所以 4 4 4( , )3 3 3m mOQ OM x y   ，即 4 4( , )3 3m mQ x y . …………………………8 设直线l 的方程为 y kx ，由 2 2 0 y kx x y     得， 2 2( , ) 1 2 1 2 kM k k  所以 8 8( , ) 3 3 2 3 3 2 kQ k k  ………………………………………………………10 因为点 Q 在椭圆G 上，所以 2 2 0 0 14 2 x y  ， 代入可得 214 18 2 7 0k k   ，即： 2 77 9 2 02k k   解得 9 2 8 14k  ，所以 9 2 8 14y x . ………………………………………12 法三：所以 0 0 3 3 3( , )4 4 4OM OQ x y   ，即 0 0 3 3( , )4 4M x y . …………………………8 点 M 在线段 AB上，所以 0 0 3 3 2 2 04 4x y   ，整理得 0 0 8 23x y  ，-----① 因为点 Q 在椭圆G 上，所以 2 2 0 0 14 2 x y  ，------② 把①式代入②式可得 2 0 09 12 2 7 0y y   ，解得 0 2 2 1 3y  . ………………10 于是 0 0 8 4 223 3x y    ，所以， 0 0 9 2 8 14 yk x   . 所以，所求直线l 的方程为 9 2 8 14y x . ……………………………………12 19． 解：（Ⅰ）由题可知圆 O 只能经过椭圆的上下顶点，所以椭圆焦距等于短轴长，即 2 22a b ， ……………………………………2 分 又点 1( , )b a 在椭圆C 上，所以 2 2 2 2 1 1b a a b   ，解得 2 22, 1a b  ， 即椭圆C 的方程为 2 2 12 x y  、……………………………………………4 分 （Ⅱ）圆O 的方程为 2 2 1x y  ，当直线 l 不存在斜率时，解得| | 2MN  ，不符合题 意； ……………………………………………………………………………5 分 当直线l 存在斜率时，设其方程为 y kx m  ，因为直线l 与圆 O 相切，所以 2 | | 1 1 m k   ， 即 2 21m k  、……………………………………6 分 将直线l 与椭圆C 的方程联立，得： 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x kmx m     ， 判 别 式 2 2 28 8 16 8 0m k k       ， 即 0k  ，………7 分 设 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y ，所以 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 8 4| | ( ) ( ) 1 | | 1 1 2 3 kMN x x y y k x x k k            ，解得 1k   ，11 分 所以直线l 的倾斜角为 4  或 3 4  、………………………………12 分 21． 【答案】（Ⅰ）极大值为 1 ln 24  ，无极小值；（Ⅱ）1. 【解析】(Ⅰ)设       2ln 1x f x g x x x x       ， ∴     2 1 11 2 1 x xx xx x         ，令   0x  ，则 10 2x  ；   0x  ，则 1 2x  ； ∴  x 在 10, 2      上单调递增， 1 ,2     上单调递减， ∴   1 1= ln 22 4x       极大 ，无极小值. (Ⅱ)由     0f x mg x  ，即  2ln 1 2 0x x m x x     在 0,  上恒成立， ∴ 2 ln 1 2 x xm x x    在 0,  上恒成立， 设   2 ln 1 2 x xh x x x    ，则       22 1 2ln 2 x x xh x x x      ， 显然 1 0x   ， 22 2 0x x  设    2lnt x x x   ，则   21 0t x x         ，故  t x 在 0,  上单调递减 由  1 1 0t    ， 1 1 1 12ln 2ln 2 02 2 2 2t                ， 由零点定理得 0 1 ,12x      ，使得  0 0t x  ，即 0 02ln 0x x  且  00,x x 时，   0t x  ，则   0h x  ，  0,x x  时，   0t x  . 则   0h x  ∴  h x 在 00,x 上单调递增，在 0,x  上单调递减 ∴     0 0 0 2max 0 0 ln 1 2 x xh x h x x x     ， 又由 0 02ln 0x x  ， 0 1 ,12x     ，则   0 0 0 2 0 0 0 ln 1 1 1 ,12 2 2 x xh x x x x          ∴由  m h x 恒成立，且 m 为整数，可得 m 的最小值为 1. 22． 【解析】（1）曲线 1C ： 1 cos  sin x y         （ 为参数）化为普通方程为 2 2 2x y x  ， 所以曲线 1C 的极坐标方程为 2cos  ，···········3 分 曲线 2C 的极坐标方程为  2 21 2sin 3   ．···········5 分 （2）射线  π 03   ≥ 与曲线 1C 的交点的极径为 1 π2cos 13    ，···········7 分 射线  π 03   ≥ 与曲线 2C 的交点的极径满足 2 2 2 π1 2sin 33       ， 解得 2 30 5   ，···········9 分 所以 1 2 30 15AB      ．···········10 分 23． 【解析】由   2 1 0 1 0 1 2 1 1 x x f x x x x        ≤ ≥ ，·········2 分 得  min 1f x  ，要使   1f x m≥ 恒成立， 只要1 1m≥ ，即 0 2m≤ ≤ ，实数 m 的最大值为 2；·········5 分 （2）由（1）知 2 2 2a b  ，又 2 2 2a b ab ≥ ，故 1ab≤ ；  2 2 2 2 24a b a b a b    2 22 4 2 2ab a b ab      2 24 2 1 2 1a b ab ab     ， ∵ 0 1ab ≤ ，∴    2 2 24 2 1 2 1 0a b a b ab ab      ≥ ，∴ 2a b ab ≥ ．·········10 分