长春市 2021 届高三质量监测（二)理科数学
3 月
一、选择题:本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.复数 2 2cos isin3 3z ，则复数 z 的虚部是
1 3 1 3A. B. C. 2 2 2 2D.
2.设全集 2R, { | 4 0}, { | 1}U A x x B x x ≥ ≤ ，则右图阴影部分表示的集合为，
A. ( 1,2] B. [ 1,2]
C. [ 2, 1) D. ( , 1]
3.已知 ,m n 是平面 内的两条直线，则“直线l m 且l n ”是“l ”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件的
4.党的十八大以来，我们在脱贫攻坚领域取得了前所未有的成就，农村贫困人口大幅减少，解
决困扰中华民族几千年的贫困问题，取得历史性成就.同时为全球减贫事业作出了重要贡
献.2020 年为脱贫攻坚收官之年，下图为 2013 年至 2019 年每年我国农村减贫人数的条形图.
根据该条形图分析，下述结论中正确的个数为
①平均每年减贫人数超过 1300 万;
②每年减贫人数均保持在 1100 万以上:
③打破了以往随着脱贫工作深入推进,难度越来越大,脱贫人数逐年递减的规律;
④历年减贫人数的中位数是 1240(万人) .
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5．已知 5 道试题中有 3 道代数题和 2 道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回.
在第 1 次抽到代数题的条件下，第 2 次抽到几何题的概率为
1 2 1 3A. B. C. D. 4 5 2 5
6.已知 nS 为等差数列{ }na 的前 n 项和，若 2 515, 65a S ，则 1 4a a
A. 24 B. 26 C. 28 D. 30
7.已知直线l 将圆 2 2: 2 1 0C x y x y 平分，且与直线 2 3 0x y 垂直，则l 的方程
为
A. 2 0 B. 2 3 0 C. 2 4 0 D. 2 2 0x y x y x y x y
8.四边形 ABCD 中， 2 , 0, | | 2AB DC AB BC AB
,则 AD DC
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
9.现有如下信息:
(1）黄金分割比（简称:黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度
之比等于较长部分与整体长度之比，其比值为 5 1
2
.
(2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形.
(3)有一个内角为 36°的等腰三角形为黄金三角形.
由上述信息可求得 sin126
B. 4A C. 5 1 5 1 5 1
2 5 1. D 2 4 .
10.已知抛物线 2 2 ( 0)y px p 上一点 0(2, )A y ， F 为焦点，直线 FA 交抛物线的准线于点
M ，满足 2FA AM ，则抛物线方程为
2 2 2 2 A B. C. . 8 6 D. 1 24 32y x y x y x y x
11.已知函数 ( ) 2sin( ) ( 0,| | )f x x 的部分图象如图所示，关于此函数的下列
描述:
① 2 ; ②
3
;
③若 1 2 3x x ，则 1 2( ) ( )f x f x ;
④若 1 2 3x x ，则 1 2( ) ( ) 0f x f x .
其中正确的命题是
A. ②③ B. ①④ C. ①③ D. ①②
12.已知函数 2( )
x
x x
ef x e e
与函数 3( ) 12 1g x x x 的图象交点分别为： 1 1 1( , )P x y ，
2 2 2( , ), , ( , )( N )k k kP x y P x y k ，则 1 2 1 2( ) ( )k kx x x y y y
A. 2 B. 0 C. 2 D. 4
二、本题共 4 小题，每小题 5 分.
13.已知点 ( , )P x y 满足约束条件
4
0
4
x y
x y
x
，则 2z x y 的最小值为 .
14.写出一个符合“对 1 2, Rx x ，当 1 2x x 时， 1 2 1 2( )[ ( ) ( )] 0x x f x f x ”的函数 .
15.已知焦点在 y 轴上的双曲线 C 的渐近线方程为 2y x ，则该双曲线的离心率为 .
16.“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜（如
图)，其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于
圆
面的直径被截得的部分为高,球冠表面积 2S Rh ，其中 R 为球的半径， h 球冠
的高)，设球冠底的半径为 r ,周长为C ，球冠的面积为 S ，则 r
R
的值为
(结果用 S 、C 表示）﹒
三、解答题:共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答．第 22~23 题为选考题，考生根据要求作答.
(一）必考题:共 60 分.
17.随着互联网行业、传统行业和实体经济的融合不断加深，互联网对社会经济发展的推动效
果日益显著．某大型超市计划在不同的线上销售平台开设网店，为确定开设网店的数量，该
超市在对网络上相关店铺做了充分的调查后，得到下列信息，如右图所示(其中 x 表示开设网
店数量， y 表示这 x 个分店的年销售额总和）．现已知
5 5
1 1
8850, 2000i i i
i i
x y y
，求解
下列问题：
(Ⅰ)经判断，可利用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，求解 y 关于 x 的回归方程;
( II)按照经验，超市每年在网上销售获得的总利润 w (单位:万元）满足 25 140w y x ，
请根据:(Ⅰ)中的线性回归方程，估算该超市在网上开设多少分店时，才能使得总利润最大.
参考公式：线性回归方程 y bx a ，其中 a y bx ， 1
2 2
1
i
n
i
i
i
i
n
x y nxy
b
xx n
.
18.已知三棱柱 1 1 1-ABC A B C , AB AC , 1AA ⊥平面 ABC ， 12 4AA AB AC , M 为棱
AB 上一点，若 3AM BM .
(Ⅰ)求证：平面 1 1A BC ⊥平面 1 1B C M ；
( II)求平面 1 1A ACC 与平面 1 1B C M 所成锐二面角的余弦值.
19.已知等比数列{ }na 满足： 1 2 2 320, 80a a a a .
(Ⅰ)求{ }na 的通项公式；
( II)令 2logn nb a ，其前 n 项和为 nS ，若
11
n
n
b
S
≤ 恒成立，求 的最小值.
20.已知函数 2( ) , ( ) ln .f x ax g x x
(Ⅰ)当 1a 时，求 ( ) ( )f x g x 的最小值；
( II)若曲线 ( )y f x 与 ( )y g x 有两条公切线，求 a 的取值范围.
21.已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)>x yC a ba b
的离心率为 1
2
， 3(1, )2P 为椭圆上一点， ,A B 为椭圆上
不同两点，O 为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
( II) 线 段 AB 的 中点 为 M ， 当 AOB 面 积取 最 大值 时， 是 否存 在 两定 点 ,G H ， 使
| | | |GM HM 为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由.
22.[选修 4-4 坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中,曲线 1C 的参数方程为 cos
sin
x t
y t
( t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x
轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 2 2 cos 3 .
(I)求曲线 1C 的极坐标方程和曲线 2C 的直角坐标方程;
(II)曲线 1C 与 2C 相交于 A 、 B 两点，求| | | |OA OB 的值.
23．[选修 4-5 不等式选讲]
已知函数 ( ) | 1|f x x .
(Ⅰ)解不等式 ( ) ( 4) 8f x f x ≥ ;
(II)若| | 1,| | 1, 0a b a ，求证： ( ) | | ( )bf ab a f a
.
长春市普通高中 2021 届高三质量监测（二）
数学（理科）试题参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1. 【试题解析】D 复数 z 的虚部为 2 3sin 3 2
，故选 D.
2.【试题解析】A 易知阴影部分为集合 ( ) ( 1,2]UA B ð ，故选 A.
3. 【试题解析】B 若 m 与 n 不相交，则“直线l m 且l n ”不能推出“l ”；反之，
如果“l ”，无论 m 与 n 是否相交，都能推出“直线l m 且 l n ”，故“直线l m 且
l n ”是“l ”的必要不充分条件，故选 B.
4.【试题解析】C 由图易知①②③正确，④中位数应为 1289（万），④错，故选 C.
5.【试题解析】C 设事件 A “第 1 次抽到代数题” ，事件 B “第 2 次抽到几何题”，则
3 2 1( | ) 3 4 2P B A
，故选 C.
6.【试题解析】C 由题意 5 3 35 65, 13S a a ，所以 1 4 2 3 28a a a a ，故选 C.
7.【试题解析】D 由题意知，直线l 过点 1( ,1)2
，斜率为 2 ，所以直线 : 2 2 0l x y ，
故选 D.
8.【试题解析】B 由题意知| | 1, 0DC DC BC ，所以
( ) 1AD DC AB BC CD DC AB DC CD DC ，故选 B
9.【试题解析】D 由题意，设 ABC△ 为 36A 的黄金三角形，
有 5 1, 2
ab c b
，所以
2 2 2 5 1cos36 2 4
b c a
bc
，
所以 5 1sin126 cos36 4
，
另外 36A B ， 108C ，也可获得此结果，故选 D.
10.【试题解析】C由 2FA AM 知 A 为 线 段 FM 上 靠 近 F 的 三 等 分 点 ， 所 以
0( ,0), ( ,3 )2 2
p pF M y ，有 22( 2) 2 , 12, 242 2
p p p y x ，故选 C.
11.【试题解析】C由图知， 1 2 5 , 22 12 12
，
2 ( ) 2 , 0,12 6k k ，故①正确，②错误；③中， 1 2 ,2 6
x x 而直线
6x
是函数 ( )f x 的对称轴，故③正确，④错误，故选 C.
12.【试题解析】D由题意化简， ( ) 1
x x
x x
e ef x e e
，可知 ( )f x 的图象与 ( )g x 的图象都
关于点 (0,1) 对称，又
2
2 2
4( ) 0( 1)
x
x
ef x e
，所以 ( )f x 在 ( ,0),(0, ) 上单调递减，
由 2( ) 3( 4)g x x 可知， ( )g x 在 ( , 2),(2, ) 上单调递减，在 ( 2,2) 上单调递
增，由图象可知， ( )f x 与 ( )g x 的图象有四个交点，且都关于点 (0,1) 对称，所以所求和
为 4，故选 D.
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13. 【答案】 6 【解析】 可行域为
由 2z x y 得 2y x z ，过（2,2）点时有最小值 6.
14. 【答案】例如 x 【解析】可得此函数为单调递减函数，写出一个减函数即可.
15.【答案】 5
2
【解析】注意到双曲线的焦点在 y 轴上，可得 2 52 1 ( ) 2
a beb a
.
16. 【 答 案 】
24
2
C S C
S
【 解 析 】 2 22 2 ( )S Rh R R R r
①, 2 2 22 4C r C r ②
① ② 两 式 对 应 相 除 得
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
2 ( ) ( ) 2 [ ( ) 1]4 2
S R R R r S R R R r S R R R
C r C r C r r r
设 Rm r
得
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2[ 1] 1 1
4
S S S Sm m m m m m m m m mC C C C S C
所以
24
2
r C S C
R S
.
三、解答题
17.(本小题满分 12 分)
【 试 题 解 析 】 解 ：（ 1 ） 由 题 意 ，
5
2
1
8850 20 400ˆ90, 4, 8590 80i
i
x x b
，
ˆ 400 85 4 60a ，所以 ˆ 85 60y x . （6 分）
（2）由（1）知， 2 217 11255 85 80 5( )2 4w x x x ，
所以当 8x 或 9x 时能获得总利润最大. （12 分）
18.(本小题满分 12 分)
【试题解析】解：（1）证明：
1
1
1 1
1 1 1 1
1 1 1
A A ABC A A AC AC A ABBAC ABC AC B M AC B M
AB AC
B M A ABB
平面
平面平面 ，即
平面
1 1 1
1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1
AC B M B M A BCA B B M B C M A BC
B M B C M
平面 平面 平面
平面
. （6 分）
（2）以 A 为原点， AB 方向为 x 轴， AC 方向为 y 轴， 1AA 方向为 z 轴，
建立空间直角坐标系.
1(4,0,2)B ， 1(0,4,2)C ， (3,0,0)M ， 1 1 ( 4,4,0)B C ， 1 ( 1,0, 2)B M
平面 1 1B C M 的法向量为 1 (2,2, 1)n ，平面 1 1A ACC 的法向量为 2 (1,0,0)n
即平面 1 1A ACC 与平面 1 1B C M 所成锐二面角 的余弦值为 1 2
1 2
| | 2cos 3| | | |
n n
n n
，
即平面 1 1A ACC 与平面 1 1B C M 所成锐二面角的余弦值为 2
3 . （12 分）
19.(本小题满分 12 分)
【试题解析】解：（1）由题意 1 1
2
1 1
20
80
a a q
a q a q
，可知 4q ，
进一步解得 1 4a . 即{ }na 的通项公式为 4n
na . （6 分）
（2） 2 2log log 4 2n
n nb a n ， 212 ( 1) 22nS n n n n n ，
2
2 2
1111 11 1
n
n
b n
S n n n n
，由 *nN ，
利用基本不等式以及对勾函数的性质可得 11 20
3n n
≥ 得 6
11 23
n
n
b
S
≤
则 的最小值为 6
23
. （12 分）
20.(本小题满分 12 分)
【试题解析】解：（1）当 1a 时，令 2( ) ( ) ( ) lnF x f x g x x x ，
1( ) 2F x x x
（ 0x ）
21 2 1( ) 2 xF x x x x
，令 ( ) 0F x 且 0x 可得 2
2x ，
min
2 1 1 1 1( ) ( ln 2) ln 22 2 2 2 2F F . （4 分）
（2）方法一：由函数 ( )f x 和 ( )g x 的图象可知，
当 ( ) ( )f x g x 时，曲线 ( )y f x 与 ( )y g x 有两条公切线.
即 2 lnax x 在 (0, ) 上恒成立，即 2
ln xa x
在 (0, ) 上恒成立，
设 2
ln( ) xh x x
， 3
1 2ln( ) xh x x
令 3
1 2ln( ) 0xh x x
， x e
即 max
1( ) 2h h e e
，因此， 1
2a e
. （12 分）
法二： 取两个函数相切的临界条件：
2
0 0
0
0
ln
12
ax x
ax x
解得 0x e ， 1
2a e
，
由此可知，若两条曲线具有两条公切线时， 1
2a e
. （12 分）
21.(本小题满分 12 分)
【试题解析】解：（1）由 1
2e 可设 2a t ，c t ，则 3b t ，
则方程化为
2 2
2 2 14 3
x y
t t
，
又点 3(1, )2P 在椭圆上，则 2 2
9
1 4 14 3t t
，解得 1t ，
因此椭圆C 的方程为
2 2
14 3
x y . （4 分）
（2）当直线 AB 的斜率存在时，设 AB 直线的方程为 y kx m ，
联立直线 AB 和椭圆C 的方程消去 y 得，
2 23 4( ) 12 0x kx m ，化简得： 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x kmx m ，
2
2 2
2 1 2 1 1 2 2 2
1 1 1 8 4 12| | | | | | ( ) 4 | | ( ) 42 2 2 3 4 3 4AOB
km mS m x x m x x x x m k k
△
2 2 2 2 2 2
2 2
2 4
2 2
2 2 2 2
2 | | 2 | |4 ( 3)(3 4 ) 9 3 123 4 3 4
2 3 | | 3 4 2 33 4 3 4 (3 4 )
m mk m m k m kk k
m m mk mk k k
当
2
2
1
3 4 2
m
k
时， S 取得最大值 3 ，即此时 2 22 3 4m k ，
又 1 2 2
8
3 4
kmx x k
， 1 2 1 2 2
6( ) 2 3 4
my y k x x m k
，
则 1 2 1 2( , )2 2
x x y yM ，即 2 2
4 3( , )3 4 3 4
km mM k k
令
2
2
4
3 4
3
3 4
kmx k
my k
，则
2 2
132
2
x y ，
因此平面内存在两点G 、 H 使得| | | | 2 2GM HM .
当直线 AB 的斜率不存在时，设 (2cos , 3sin )A ，则 (2cos , 3sin )B
2 3sin cos 3sin 2AOBS △ ，即当
4
取得最大值 3 .
此时 AB 中点 M 的坐标为( 2,0) ，满足方程
2 2
132
2
x y ，
即| | | | 2 2GM HM . （12 分）
22.(本小题满分 10 分)
【试题解析】（1）曲线 1C 的普通方程为cos sin 0y x ，即极坐标方程为
（ R ）.
曲线 2C 的直角坐标方程为 2 2 2 3x y x ，即 2 2( 1) 4x y . （5 分）
（2）曲线 2C 的极坐标方程为 2 2cos 3 0 ，代入 ，可得 1 2 3 ，
则 1 2| | | | | | 3OA OB . （10 分）
23.(本小题满分 10 分)
【试题解析】（1） ( ) ( 4) | 1| | 3| 8f x f x x x ≥ ，则 ( , 5] [3, )x .
（5 分）
（2）要证 ( ) | | ( )bf ab a f a
成立，即证| 1| | |ab b a 成立，
即证 2222 1 baba 成立，只需证 2 2 2( 1) ( 1) 0a b b 成立
即证 2 2( 1)( 1) 0a b 成立，由已知 | | 1,| | 1a b 得 2 2( 1)( 1) 0a b 显然成立.
（10 分）
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