泸州市高 2018 级第二次教学质量诊断性考试
数学（理）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 4
页．共 150 分．考试时间 120 分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑．
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅
笔绘出，确认后再用 0.5 毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区
域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡-并上交．
第Ⅰ卷（选择题共 60 分）
一、选择题：本大题共有 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合要求的．
1．已知集合 0 2A x x ， 2 1B x x ，则 A B （ ）
A． 1,2 B． 0,1 C． 1,2 D． 0,1
2．若 1 4z i i ，则 z （ ）
A． 2 B． 2 2 C．2 D．4
3．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图
和 90 后从事互联网行业者岗位分布图（90 后指 1990 年及以后出生，80 后指 1980-1989 年之
间出生，80 前指 1979 年及以前出生），则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．互联网行业从业人员中 90 后占一半以上
B．互联网行业中从事设计岗位的人数 90 后比 80 前多
C．互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多
D．互联网行业中从事市场岗位的 90 后人数不足总人数的 10%
4．若 x ， y 满足
3,
2,
,
x
x y
y x
，则 2x y 的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
5．离散型随机变量 X 服从二项分布 ,X B n p: ，且 4E X ， 3D X ，则 p 的值为（ ）
A． 1
2 B． 3
4 C． 1
4 D． 1
8
6．把函数 2sin cosf x x x 的图象向右平移 π
6
个单位长度得到函数 g x ，若 g x 在 0,a 上
是增函数，则 a 的最大值为（ ）
A． π
12 B． π
6 C． π
3 D． 5π
12
7．在 ABC△ 中， 4AB ， 2AC ，点 O 满足 BO OC
uuur uuur
，则 BC AO
uuur uuur
的值为（ ）
A． 6 B．6 C． 8 D．8
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． 2
3 B． 1
2 C． 1
3 D．1
9．已知 π
ln πa ， 2
ln 2b ， ec ，则 a ， b ， c 的大小关系为（ ）
A． b a c B． a c b C． c b a D． c a b
10．在 ABC△ 中，角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 2 2 2b c a bc ， 2 7cos 7C ，
则 tan B 的值为（ ）
A． 7
14 B．3 3 C． 3 21
14 D． 3
9
11．双曲线 C ：
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
的左焦点和虚轴的一个端点分别为 F ，A ，点 P 为 C 右
支上一动点，若 APF△ 周长的最小值为 4b ，则 C 的离心率为（ ）
A． 5
2 B． 2 C． 3 D． 5
12．直六棱柱的底面是正六边形，其体积是 6 3 ，则该六棱柱的外接球的表面积的最大值是
（ ）
A． 4π B．8π C．12π D． 24π
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）
注意事项：
（1）非选择题的答案必须用 0.5 毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，
确认后再用 0.5 毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效．
（2）本部分共 10 个小题，共 90 分．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题纸上）．
13．已知 6 6
0 1 63 1x a a x a x ，则 1 2 6a a a ______．
14．已知函数 1e e
x
xf x ，若 22 0f a f a ，则实数 a 的取值范围是______．
15．过抛物线 2 8y x 的焦点 F 的直线与该抛物线相交于 A ， B 两点， O 为坐标原点，若
6AF ，则 BOF△ 的面积为______．
16．关于函数 3 21
3f x x x c 有如下四个命题：
①函数 y f x 的图象是轴对称图形；
②当 0c 时，函数 f x 有两个零点；
③函数 y f x 的图象关于点 1, 1f 中心对称；
④过点 0,1 且与曲线 f x 相切的直线可能有三条．
其中所有真命题的序号是______．（填上所有真命题的序号）．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 12 分）
为了解某水果批发店的日销售量，对过去 100 天的日销售量进行了统计分析，发现这 100 天
的日销售量都没有超出 4.5 吨，统计的结果见频率分布直方图．
（Ⅰ）求这 100 天中日销售量的中位数（精确到小数点后两位）；
（Ⅱ）从这 100 天中随机抽取了 5 天，统计出这 5 天的日销售量 y（吨）和当天的最高气温 x
（℃）的 5 组数据 , 1,2, ,5i ix y i ，研究发现日销售量 y 和当天的最高气温 x 具有线性相
关关系，且
5
1
82i
i
x
，
5
1
18i
i
y
，
5
2
1
1620i
i
x
， 5
1
68.8i i
i
x x y y
．求日销售量 y（吨）
关于当天最高气温 x （℃）的线性回归方程 ˆˆ ˆy bx a ，并估计该水果批发店所在地区这 100
天中最高气温在 10℃～18℃内的天数．
参考公式：
1 1
2 2 2
1 1
ˆ
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x x y y x y nxy
b
x x x nx
， ˆˆa y bx ．
18．（本小题满分 12 分）
已知数列 na 是等比数列， 2 4a ，且 3 2a 是 2a 和 4a 的等差中项．
（Ⅰ）求数列 na 的通项公式；
（Ⅱ）设 11 1
n
n
n n
ab a a
，数列 nb 的前 n 项和为 nT ．求使 63
64nT 成立的最小整数 n ．
19．（本小题满分 12 分）
如图，已知直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 的底面是边长为 2 的正方形，E ，F 分别为 1AA ，AB 的
中点．
（Ⅰ）求证：直线 1D E ，CF ， DA 交于一点；
（Ⅱ）若直线 1D E 与平面 ABCD 所成的角为 π
4
，求二面角 1E CD B 的余弦值．
20．（本小题满分 12 分）
已知椭圆 C ：
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的离心率为 C ，短轴长为TA．
（Ⅰ）求TB 的方程；
（Ⅱ）设不过点 2,1T 的直线 l 与 M 相交于 A ， B 两点，直线 N ，TM TN 分别与 x 轴交
于 M ，
N 两点，若 TM TN ，证明直线l 的斜率是定值，并求出该定值．
21．（本小题满分 12 分）
设函数 ln 1f x x kx ， 1k ．
（Ⅰ）讨论函数 f x 的单调性；
（Ⅱ）确定 k 的所有可能值，使得存在 0m ，对任意 0,x m 恒有 2f x x 成立．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第
一题计分．
22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 xOy 中，动直线 1l ： 1y xk
（ k R ，且 0k ）与动直线 2l ： 4y k x
（ k R ，且 0k ）交点 P 的轨迹为曲线 1C ．以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建
立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线 1C 的极坐标方程：
（Ⅱ）若曲线 2C 的极坐标方程为 πsin 3 03
，求曲线 1C 与曲线 2C 的交点的极坐标．
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 2 3f x x x ．
（Ⅰ）求不等式 7f x 的解集；
（Ⅱ）若 a ， b ， c 为正实数，函数 f x 的最小值为 t ，且 2a b c t ，求 2 2 2a b c 的最
小值．
泸州市高 2018 级第=次教学质量诊断性考试
数学（理科）参考答案及评分意见
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要
考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和
难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；
如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分，
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B B C D C D A A D B D C
二、填空题：
13．63； 14． 2,1 ； 15． 2 2 ； 16．①③④．
三、解答题：
17．解：（Ⅰ）由频率分布直方图性质知，各组频率之和为 1，
所以 0.5 0.08 0.16 0.4 0.52 0.12 0.08 0.04 2 1a ，
解得 0.3a ，
设中位数为 x ，则 0.04 0.08 0.15 0.20 2 0.52 0.5x ，
解得 2.06x ，即这 100 天中日销售量的中位数约为 2.06 吨；
（Ⅱ）因为
5
1
1 16.45 i
i
x x
，
3
1
1 3.65 i
i
y y
，
1 1
68.8
n n
i i i i
i i
x y nxy x x y y
，
所以 1
2
2 2
1
68.8 68.8ˆ 0.251620 5 16.4 275.2
n
i i
i
n
i
i
x y nxy
b
x nx
，
ˆˆ 3.6 0.25 16.4 0.5a y bx ，
所以销售量 y （吨）关于当天最高气温 x （℃）的线性回归方程是：
ˆ 0.25 0.5y x ；
当 10x 时， 0.25 0.5 0.25 10 0.5 2y x ，
当 18x 时， 0.25 0.5 0.25 18 0.5 4y x ，
当最高气温在 10℃～18℃内时，日销售量在 2～4 吨内，根据频率分布直方图可得在此范围的
频率为：
0.52 0.3 0.12 0.08 0.5 0.51 ，
所以估计该景区这 100 天中最高气温在 10℃～18℃内的天数约为：
100 0.51 51 天．
18．解：（Ⅰ）设数列 na 公比为 q ，因为 2 4a ，所以 2 1 4a a q ，
因为 3 2a 是 2a 和 4a 的等差中项，
所以 3 2 42 2a a a ，即 2 3
1 1 12 2a q a q a q ，
所以 2 2 0q q ，
因为 0q ，所以 2q ，
所以 2 2 *
2 4 2 2n n n
na a q n N ；
（Ⅱ）因为 2n
na ，所以 11
2 1 1
2 1 2 12 1 2 1
n
n n nn nb
，
2 2 3 1
1 1 1 1 1 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1n n nT
1
1 1
2 1 2 1n
1
11 2 1n ，
由 63
64nT ，得： 1
1 631 2 1 64n ，
所以 12 65n ，即 5n ，
所以使 63
64nT 成立的最小整数为 6n ．
19．证明：（Ⅰ）连接 EF ， 1A B ，因为 E ， F 分别为 1AA ， AB 的中点，
所以 1//EF A B ，且 1
1
2EF A B ，
因为 1 1 1 1ABCD A B C D 是直四棱柱，且底面是正方形，
所以 1 1// //BC AD A D ，且 1 1BC AD A D ，
即四边形 1 1A BCD 是平行四边形，
所以 1 1//A B D C ，且 1 1A B D C ，
所以 1//EF DC ，且 1EF DC ，即四边形 1EFCD 为梯形，
所以 1D E 与CF 交于一点，记为 P ，
因为 P平面 ABCD ， P平面 1 1ADD A ，
所以 P（平面 ABCD 平面 1 1ADD A ），
又因为平面 ABCD 平面 1 1ADD A AD ，
所以 P直线 AD ，
（Ⅱ）法一：由题意可知 1 1
π
4ED A ，
所以 1 1 1 2A E A D ，所以 1 4AA ，
以 D 为原点，分别以 1DA ， DC ， 1DD 所在直线为 x ， y ， z 轴，建立空间直角坐标系，所以
0,0,0D ， 1 0,0,4D ， 0,2,0C ， 2,2,0B ， 2,1,0F ，
所以 2, 1,0CF
uuur
， 2,0,0CB
uur
， 1 0, 2,4CD
uuur
，
设平面 1PCD 的法向量为 , ,n x y zr ，则：
2 0
2 4 0
x y
y z
，故 1,2,1n r ，
设平面 1 1BCD A 的法向量为 1 1 1, ,m x y zr ，
则 1
1 1
2 0
2 4 0
x
y z
，故 0,2,1m r ，
所以 4 1 30cos , 66 5
m n
r r ，
即二面角 1B CD P 的余弦值为 30
6
．
法二：过 F 作 1FH BA 于点 H ，过 H 作 //HN BC 交 1D C 于 N ，连接 NF ，
因为 1 1 1 1ABCD A B C D 是直四棱柱，且底面是正方形，
所以 BC 平面 1 1ABB A ，
所以 BC FH ，又 1D C 面 1 1BCD A ，
所以 1FH D C ，又因为 FN 平面 FHN ，
所以 FNH 即为二面角 1B CD P 的平面角，
设 AK 为点 A 到 1A B 的距离，
所以 1 1A B AK AB AA ，
所以 2 4 4
2 5 5
AK ，又 2HN BC ，
1 2
2 5
FH AK ，在 Rt FHN△ 中，
4 2 64 5 5
FN ，
所以 5 30cos 2 62 6
HNFHN FN
，
即二面角 1B CD P 的余弦值为 30
6
．
20．解：（Ⅰ）由 3
2e 得
2
2
31 4
b
a
，
又因为 2 2 2b ，
所以 2b ，
解得： 2 8a ， 2 2b ，
故椭圆 C 的方程为
2 2
18 2
x y ；
（Ⅱ）当直线 l 与的斜率不存在时，设直线 l ： 0 0 2x x x ，
设l 与 C 相交于 0 ,A x n ， 0 ,B x n 两点，
直 线 TA ：
0
11 22
ny xx
， 直 线 TB ：
0
11 22
ny xx
分 别 与 x 轴 相 交 于 两 点
0 22 ,01
xM n
， 0 22 ,01
xN n
，
因为 TM TN ，所以
2 2
2 20 02 22 2 0 1 2 2 0 11 1
x x
n n
，
即 0 2x ，与已知矛盾，故直线 l 斜率存在，
设直线l ： y kx m ，代入
2 2
18 2
x y 整理得；
2 2 21 4 8 4 8 0k x kmx m ，
设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，则 0 ，
且 1 2 2
8
1 4
kmx x k
，
2
1 2 2
4 8
1 4
mx x k
，
因为 TM TN ，所以 0TM TNk k ，即 1 2
1 2
1 1 02 2
y y
x x
，
所以 1 2 2 12 1 2 1 0x y x y ，
即 1 2 2 12 1 2 1 0x kx m x kx m ．
所以
2
2 2
4 8 82 2 1 4 1 01 4 1 4
m kmk k m mk k
，
整理得： 2 1 2 1 0k m k ，
所以 2 1 0k 或 2 1 0m k ，
当 2 1m k 时，直线 l ： 2 1y k x 过点 2,1T ，不合题意，故舍去．
所以 2 1 0k ，即 1
2k ，即直线 l 的斜率是定值．
21．解：（Ⅰ）因为 ln 1 1f x x kx x ，
所以 1, 1f x kx
，
当 0k 时， 0f x ，所以 f x 在 1, 上为增函数，
当 0 1k 时，则 1 1 0k
，由 1 01f x kx
得： 11 1x k
，
所以 f x 在 11, 1k
上是增函数，在 1 1,k
上是减函数；
（Ⅱ）①当 1k 时，由（Ⅰ）知： f x 在 1,0 上是增函数，在 0, 上是减函数，
所以 0 0f x f ，故 f x f x ，
设 2 2ln 1g x f x x x x x ，
所以 2 11 1 21 1
x xg x xx x
，
令 22 0x x ，得 1
1
2x ， 2 0x ，
所以函数 g x 在 1 ,02
上是增函数，在 0, 上是减函数，
所以 0 0g x g ，
所以 1k ，存在 0m ，对任意 0,x m 恒有 2f x x ．
②当 1k 时，
由（Ⅰ）知：对任意 1k ，总存在 1 0m ，使函数 f x 在 10,m 上是增函数，
因为 0 0f x f ，所以当 10,x m 时， f x f x ，
设 2 2ln 1F x f x x x kx x ．
所以 21 12 2 2 11 1F x k x x k x kx x
，
令 22 2 1h x x k x k ，
因为 1 2 2 1 1 0h k k ， 0 1 0h k ，
所以 0h x 必有两根 1x ， 2x ，且 1 1x ， 2 0x ，
所以函数 F x 在 21, x 上是增函数，
所以对任意 1k ，存在 1 2min , 0m m m ，使函数 F x 在 0,m 上是增函数，
故 0 0F x F ，即 2 0f x x ，即 2f x x ，
所以对任意 1k ，不存在 0m ，对任意 0,x m 恒有 2f x x ；
综上知， 1k ．
22．解：（Ⅰ）设直线 1l 与 2l 的交点 0 0,P x y ，
所以 0 0
1y xk
和 0 0 4y k x ，
消去参数 k 得 1C 的普通方程为 2 2
0 0 04 0x x y ，
把 0 cosx ， 0 siny 代入上式得：
2 2cos 4 cos sin 0 ，
所以曲线 1C 的极坐标方程为 4cos （ 0 且 4 ）；
（Ⅱ）将 4cos 代入 πsin 3 03
得：
即 1 34cos sin cos 3 02 2
，
所以 πsin 2 03
，则 1 ππ2 6k k Z ，
即曲线 1C 与 2C 交点的极坐标分别为 π2, 2 π3 k
， 11π2 3, 2 π6 k k Z ．
23．解：（Ⅰ）由不等式 7f x 可得： 2 3 7f x x x ，
可化为： 3
2 3 7
x
x x
或 3 2
2 3 7
x
x x
或 2
2 3 7
x
x x
，
解得： 4 3x 或 3 2x 或 2 3x ，
所以原不等式的解集为 4,3 ；
（Ⅱ）因为 2 3 2 3 5f x x x x x ，
所以 f x 的最小值为 5t ，即 2 5a b c ，
由柯西不等式得： 22 2 2 2 2 2 22 1 1 2 25a b c a b c t ，
当且仅当 1
2b c a ，即 5
3a ， 5
6b c 时，等号成立，
所以 2 2 2a b c 的最小值为 25
6
．
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