2021届高三数学月考试题（六）（Word版附答案）

2021 届高三月考试卷(六) 数学 一､单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数 z 满足 z i iz   ，则 z  （ ） A. 1 1 2 2 i B. 1 1 2 2 i C. 1 1 2 2   i D. 1 1 2 2 i  2. 设集合     31 log 1 , 2 , 0,2xA x x B y y x      ∣ ∣ ，则 A B  （ ） A. [0，2) B. (1，3) C. [1，3) D. (1，4) 3. 有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒中杀死一个病毒的同时将自身分裂为 3 个，现在 有一个这样的细菌和 110 个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死，至少需要（ ） A. 4 秒钟 B. 5 秒钟 C. 6 秒钟 D. 7 秒钟 4. 下列选项中， p 是 q的必要不充分条件的是（ ） A. : , :p a c b d q a b    且 c d B.  : 1, 1, : ( 0,xp a b q f x a b a     且 1)a  的图象不过第二象限 C. : 2p x… 且 2 22, : 4y q x y… … D.  : 1, : log ( 0,ap a q f x x a   且 1)a  在 0,  上为增函数 5. 电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关，某品牌的电视机的显像管开关了10000次还 能继续使用的概率是 0.8，开关了15000次后还能继续使用的概率是 0.6 ，则已经开关了 10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率是（ ） A. 0.20 B. 0.48 C. 0.60 D. 0.75 6. 已知 、 、A B C 三点不共线，O 为平面 ABC 外的任一点，则“点 M 与点 ,A B、C 共面”的 充分条件的是（ ） A. 2OM OA OB OC      B. OM OA OB OC      C. 1 1 3 2OM OA OB OC      D. 1 1 1 3 4 6OM OA OB OC      7. 已知双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b     的左、右焦点分别为  1 ,0F c 、  2 ,0F c ，A 、B 是圆 2 2 24x c y c   与C 位于 x 轴上方的两个交点（ A 在左支，B 在右支 ) ，且 1 2//F A F B ， 则双曲线 C 的离心率为（ ） A. 2 3 3  B. 4 5 3  C. 3 17 4  D. 5 11 4  8. 已知 0,a  函数   1 ln ,a xf x x e a x   若  1,x  时，   0f x  恒成立，则实数 a 的最 小值为（ ） A. 1e  B. 1 e C. 1 e  D. e 二､多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 若方程 2 2 2 3 0x y mx y     表示圆，则 m 的取值范围是    2 2   ， ， B. 若圆 C 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 4 3 0x y  和 x 轴都相切，则该圆的标准 方程是   2 22 1 1x y    C. 已知点  P x y， 在圆 C： 2 2  6 6 14 0x y x y     上， y x 的最大值为 1 D. 已知圆 2 2 1   2 6 1 0C x y x y    ： 和 2 2 2 10 12 45 0C x y x y    ： ，圆 1C 和圆 2C 的 公共弦长为 2 7 10. 下列说法正确的是（ ） A. 将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数 a 后，方差也变为原来的 a 倍； B. 若四条线段的长度分别是 1，3，5，7，从中任取 3 条，则这 3 条线段能够成三角形的概率 为 1 4 ； C. 线性相关系数 r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱； D. 设两个独立事件 A 和 B 都不发生的概率为 1 9 ， A 发生且 B 不发生的概率与 B 发生且 A 不 发生的概率相同，则事件 A 发生的概率为 2 3 . 11. 在 ABC 中角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，能确定 C 为锐角的有（ ） A. 2 2 2a b c  B. 0AC CB   C. ,A B 均为锐角，且 sin cosA B D. sin 2sinA C 12. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F，G 分别为 BC，CC1，BB1 的中点，则（ ） A. D1D⊥ AF B. A1G∥平面 AEF C. 异面直线 A1G 与 EF 所成角的余弦值为 10 10 D. 点 G 到平面 AEF 的距离是点 C 到平面 AEF 的距离的 2 倍 三､填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 设随机变量 X 的分布列为   1 , 1,2,33 k P X k a k       ，则 a 的值为___________. 14. 将标号为 1，2，3，4，5，6的6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若每个信封放 2 张，其中 标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有________种. 15. ABC 外接圆的半径为 1，圆心为 O，且 2 0OA AB AC   uur uuur uuur ，| | | |OA AB uur uuur ，则 CA CB  uur uur ______. 16. “横看成岭侧成峰，远近高低各不同.”同一事物从不同角度看，我们会有不同的认识.请 解决以下问题：设函数 2( ) (2 1) 2( , , 0)f x ax b x a a b R a       在 3,4 至少有一个零 点，则 2 2a b 的最小值为______. 四､解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知 ABC 的内角 、 、A B C 所对的边分别是 , , ,a b c 在以下三个条件中任先一个： ① 2 2(sin sin ) sin sin sinB C A B C   ；② 6 2sin 4 4 A  ；③ sin sin2 B Cb a B  ； 并解答以下问题： （1）若选___________ ( 填序号 ) ，求 A 的值； （2）在（1）的条件下，若 3, ( 0)a b m m   ，当 ABC 有且只有一解时，求实数 m 的 范围及 ABC 面积 S 的最大值. 18. 已知数列 na 的前 n 项和 23 8nS n n  ， nb 是等差数列，且 1n n na b b   . （Ⅰ）求数列 nb 的通项公式； （Ⅱ）令 1( 1) ( 2) n n n n n ac b   .求数列 nc 的前 n 项和 nT . 19. 如图，已知直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 90ACB   , E 是棱 1CC 上的动点， F 是 AB 的 中点， 2AC BC  ， 1 4AA  . （1）当 E 是棱 1CC 的中点时，求证： CF P 平面 1AEB ； （2）在棱 1CC 上是否存在点 E ，使得二面角 1A EB B  的大小是 45 ？若存在，求出CE 的 长，若不存在，请说明理由. 20. 为迎接 2022 年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标 准是：滑雪时间不超过 1 小时免费，超过小时的部分每小时收费标准为 40 元(不足小时的部 分按 1 小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过 1 小时离开的 概率分别为 1 1,4 6 ；1 小时以上且不超过 2 小时离开的概率分别为 1 2,2 3 ；两人滑雪时间都不会 超过 3 小时. （1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率； （2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量 ，求 的分布列与数学期望  E  ． 21. 已知椭圆C 过点 21, 2       ，且与曲线 2 2 1 2x y  有共同的焦点. （1）求椭圆C 的标准方程； （2）过椭圆的右焦点 2F 作直线l 与椭圆C 交于 ,A B 两点，设 2F A  2F B ，若  2, 1    ， 点  2,0T ，求 TA TB  的取值范围. 22. 已知函数   x xf x e e  ，其中 e 是自然对数的底数. （1）设存在  0 1,x   ，使得    3 0 0 03f x a x x   成立，求正实数 a 的取值集合 A； （2）若 a A ，比较 1ae  与 1ea  的大小，并证明你的结论. 2021 届高三月考试卷(六) 数学（答案版） 一､单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数 z 满足 z i iz   ，则 z  （ ） A. 1 1 2 2 i B. 1 1 2 2 i C. 1 1 2 2   i D. 1 1 2 2 i  【答案】A 2. 设集合     31 log 1 , 2 , 0,2xA x x B y y x      ∣ ∣ ，则 A B  （ ） A. [0，2) B. (1，3) C. [1，3) D. (1，4) 【答案】C 3. 有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒中杀死一个病毒的同时将自身分裂为 3 个，现在 有一个这样的细菌和 110 个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死，至少需要（ ） A. 4 秒钟 B. 5 秒钟 C. 6 秒钟 D. 7 秒钟 【答案】B 4. 下列选项中， p 是 q的必要不充分条件的是（ ） A. : , :p a c b d q a b    且 c d B.  : 1, 1, : ( 0,xp a b q f x a b a     且 1)a  的图象不过第二象限 C. : 2p x… 且 2 22, : 4y q x y… … D.  : 1, : log ( 0,ap a q f x x a   且 1)a  在 0,  上为增函数 【答案】A 5. 电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关，某品牌的电视机的显像管开关了10000次还 能继续使用的概率是 0.8，开关了15000次后还能继续使用的概率是 0.6 ，则已经开关了 10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率是（ ） A. 0.20 B. 0.48 C. 0.60 D. 0.75 【答案】D 6. 已知 、 、A B C 三点不共线，O 为平面 ABC 外的任一点，则“点 M 与点 ,A B、C 共面”的 充分条件的是（ ） A. 2OM OA OB OC      B. OM OA OB OC      C. 1 1 3 2OM OA OB OC      D. 1 1 1 3 4 6OM OA OB OC      【答案】B 7. 已知双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b     的左、右焦点分别为  1 ,0F c 、  2 ,0F c ，A 、B 是圆 2 2 24x c y c   与C 位于 x 轴上方的两个交点（ A 在左支，B 在右支 ) ，且 1 2//F A F B ， 则双曲线 C 的离心率为（ ） A. 2 3 3  B. 4 5 3  C. 3 17 4  D. 5 11 4  【答案】C 8. 已知 0,a  函数   1 ln ,a xf x x e a x   若  1,x  时，   0f x  恒成立，则实数 a 的最 小值为（ ） A. 1e  B. 1 e C. 1 e  D. e 【答案】D 二､多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 若方程 2 2 2 3 0x y mx y     表示圆，则 m 的取值范围是    2 2   ， ， B. 若圆 C 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 4 3 0x y  和 x 轴都相切，则该圆的标准 方程是   2 22 1 1x y    C. 已知点  P x y， 在圆 C： 2 2  6 6 14 0x y x y     上， y x 的最大值为 1 D. 已知圆 2 2 1   2 6 1 0C x y x y    ： 和 2 2 2 10 12 45 0C x y x y    ： ，圆 1C 和圆 2C 的 公共弦长为 2 7 【答案】BD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数 a 后，方差也变为原来的 a 倍； B. 若四条线段的长度分别是 1，3，5，7，从中任取 3 条，则这 3 条线段能够成三角形的概率 为 1 4 ； C. 线性相关系数 r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱； D. 设两个独立事件 A 和 B 都不发生的概率为 1 9 ， A 发生且 B 不发生的概率与 B 发生且 A 不 发生的概率相同，则事件 A 发生的概率为 2 3 . 【答案】BD 11. 在 ABC 中角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，能确定 C 为锐角的有（ ） A. 2 2 2a b c  B. 0AC CB   C. ,A B 均为锐角，且 sin cosA B D. sin 2sinA C 【答案】ACD 12. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F，G 分别为 BC，CC1，BB1 的中点，则（ ） A. D1D⊥ AF B. A1G∥平面 AEF C. 异面直线 A1G 与 EF 所成角的余弦值为 10 10 D. 点 G 到平面 AEF 的距离是点 C 到平面 AEF 的距离的 2 倍 【答案】BCD 三､填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 设随机变量 X 的分布列为   1 , 1,2,33 k P X k a k       ，则 a 的值为___________. 【答案】 27 13 14. 将标号为 1，2，3，4，5，6的6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若每个信封放 2 张，其中 标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有________种. 【答案】18. 15. ABC 外接圆的半径为 1，圆心为 O，且 2 0OA AB AC   uur uuur uuur ，| | | |OA AB uur uuur ，则 CA CB  uur uur ______. 【答案】3 16. “横看成岭侧成峰，远近高低各不同.”同一事物从不同角度看，我们会有不同的认识.请 解决以下问题：设函数 2( ) (2 1) 2( , , 0)f x ax b x a a b R a       在 3,4 至少有一个零 点，则 2 2a b 的最小值为______. 【答案】 1 100 四､解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知 ABC 的内角 、 、A B C 所对的边分别是 , , ,a b c 在以下三个条件中任先一个： ① 2 2(sin sin ) sin sin sinB C A B C   ；② 6 2sin 4 4 A  ；③ sin sin2 B Cb a B  ； 并解答以下问题： （1）若选___________ ( 填序号 ) ，求 A 的值； （2）在（1）的条件下，若 3, ( 0)a b m m   ，当 ABC 有且只有一解时，求实数 m 的 范围及 ABC 面积 S 的最大值. 【答案】（1）条件选择见解析； 60A   ；（2）   0, 3 2m   ， max 3 3 4S  . 18. 已知数列 na 的前 n 项和 23 8nS n n  ， nb 是等差数列，且 1n n na b b   . （Ⅰ）求数列 nb 的通项公式； （Ⅱ）令 1( 1) ( 2) n n n n n ac b   .求数列 nc 的前 n 项和 nT . 【答案】（Ⅰ） 3 1nb n  ;（Ⅱ） 23 2n nT n   19. 如图，已知直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 90ACB   , E 是棱 1CC 上的动点， F 是 AB 的 中点， 2AC BC  ， 1 4AA  . （1）当 E 是棱 1CC 的中点时，求证： CF P 平面 1AEB ； （2）在棱 1CC 上是否存在点 E ，使得二面角 1A EB B  的大小是 45 ？若存在，求出CE 的 长，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）在棱 1CC 上存在点 E ，使得二面角 1A EB B  的大小是 45 ， 此时 5 2CE  20. 为迎接 2022 年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标 准是：滑雪时间不超过 1 小时免费，超过小时的部分每小时收费标准为 40 元(不足小时的部 分按 1 小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过 1 小时离开的 概率分别为 1 1,4 6 ；1 小时以上且不超过 2 小时离开的概率分别为 1 2,2 3 ；两人滑雪时间都不会 超过 3 小时. （1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率； （2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量 ，求 的分布列与数学期望  E  ． 【答案】(1) 5 12 (2)见解析 21. 已知椭圆C 过点 21, 2       ，且与曲线 2 2 1 2x y  有共同的焦点. （1）求椭圆C 的标准方程； （2）过椭圆的右焦点 2F 作直线l 与椭圆C 交于 ,A B 两点，设 2F A  2F B ，若  2, 1    ， 点  2,0T ，求 TA TB  的取值范围. 【答案】（1） 2 2 12 x y  ；（2） 13 22, 8       . 22. 已知函数   x xf x e e  ，其中 e 是自然对数的底数. （1）设存在  0 1,x   ，使得    3 0 0 03f x a x x   成立，求正实数 a 的取值集合 A； （2）若 a A ，比较 1ae  与 1ea  的大小，并证明你的结论. 【答案】（1） 1 ,2 e e       ；（2）答案见解析.