云南师范大学附属中学2021届高三数学（理）高考适应性月考卷（七）试题（Word版附答案）

云南师范大学附属中学 2021 届高三第七次月考 理科数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答 题卡上填写清楚． 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效． 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分 150 分，考试用时 120 分钟． 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数 2 1 2z i   (i是虚数单位)，则 z  （ ） A. 1 2 5 5 i B. 1 2 5 5 i C. 2 4 5 5 i D. 2 4 5 5 i 2. 已知集合  1,0,1 , | 1 cos ,2M N y y x x M         ，则集合 M N 的真子集的个 数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 某单位有管理人员､业务人员､后勤人员共 m 人，其中业务人员有 120 人，现采用分层抽样 的方法从管理人员､业务人员､后勤人员中抽取部分职工了解他们的健康状况，若抽取的管理 人员有 6 人，且抽取的管理人员与业务人员的比为1: 4，抽取的后勤人员比业务人员少 20 人， 则 m 的值为（ ） A. 170 B. 180 C. 150 D. 160 4. 已知  f x 、  g x 是定义在 R 上的偶函数和奇函数，若     22 xf x g x   ，则  1g   （ ） A. 5 B. 5 C. 3 D. 3 5. 命题 p：存在实数 a，使得对任意实数 x，  cos cosx a x   恒成立；命题 q： 0b  ，   ln b xf x b x   为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ） A.  p q  B.  p q  C. p q D.    p q   6. 若 2xa  ， ya ， 1xa  ( 0a  ，且 1a  )成等比数列，则点 ,x y 在平面直角坐标系内的轨 迹位于（ ） A. 第三象限 B. 第四象限 C. 第一象限 D. 第二象限 7. 方程  2 22 2 0x x m x x n     有 4 个不等的实根，且组成一个公差为 1 的等差数列， 则 mn 的值为（ ） A. 15 8  B. 15 8 C. 15 16  D. 15 16 8. 已知函数    2sinf x x   ( 0 ， 2   )的图象上相邻两个最值点间的距离为 5， 且过点 0, 3 ，则要得到函数  y f x 的图象，只需将函数 2siny x 的图象（ ） A. 向右平移 1 个单位 B. 向左平移 1 个单位 C. 向右平移 1 2 个单位 D. 向左平移 1 2 个单位 9. “干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸被 称为“十天干”，子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字 开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子 ､乙丑､丙寅､……､癸酉､甲戌､己亥､丙子､……､癸未､甲申､乙酉､丙戌､……､癸巳､……，共得 到 60 个组合，周而复始，循环记录.已知 1894 年是“干支纪年法”中的甲午年，那么 2021 年是 “干支纪年法”中的（ ） A. 庚子年 B. 辛丑年 C. 己亥年 D. 戊戌年 10. 在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，三棱锥 1 1A BC D 的内切球的表面积为16 ，则正方体 外接球的体积为（ ） A. 81 B. 288 C. 36 D. 72 2 11. 已知函数   e sin cos2f x x x xx     ，当  4 ,4x    且 0x  时，方程   0f x  的根 的个数是（ ） A. 7 B. 6 C. 9 D. 8 12. 已知双曲线 C： 2 2 12 x y  ，若直线 l：  0y kx m km   与双曲线 C 交于不同的两点 M，N，且 M，N 都在以  0, 1A  为圆心的圆上，则 m 的取值范围是（ ） A.  1 ,0 3,3       B.  3, C.    ,0 3, U D. 1,33     二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 若实数 x，y 满足 2, 0, 0, x x y x y        则不等式组表示的平面区域的面积为___________. 14. 已知点 O 为坐标原点，抛物线 2 3y x 与过焦点的直线交于 A，B 两点，则 OA OB  等于 ___________. 15. 已知 33 n x x     的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等，若把其展开式中所有的 项重新排列，则有理项互不相邻的概率为___________. 16. 设函数   4 2 2ln3 3 3xf x x a   ，若曲线 e 1 e 1sin2 2y x    上存在点 0 0,x y ，使 得   0 0f f y y 成立，则实数 a 的取值范围是___________ . 三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设  3 sin 2 cosb A a B  . （1）求角 B； （2）若 3b  ，且 ABC 的面积等于 3 2 ，求 1 1 a c  的值. 18. 支付宝为人们的生活带来许多便利，为了了解支付宝在某市的使用情况，某公司随机抽取 了 100 名支付宝用户进行调查，得到如下数据： 每周使用支付宝次数 1 2 3 4 5 6 及以上 40 岁及以下人数 3 3 4 8 7 30 40 岁以上人数 4 5 6 6 4 20 合计 7 8 10 14 11 50 （1）如果认为每周使用支付宝超过 3 次的用户“喜欢使用支付宝”，完成下面 2 2 列联表，并 判断能否在犯错误概率不超过 0.05 的前提下，认为是否“喜欢使用支付宝”与年龄有关？ 不喜欢使用支付宝 喜欢使用支付宝 合计 40 岁及以下人数 40 岁以上人数 合计 （2）每周使用支付宝 6 次及以上的用户称为“支付宝达人”，视频率为概率，在该市所有“支付 宝达人”中，随机抽取 3 名用户. ①求抽取的 3 名用户中，既有 40 岁及以下“支付宝达人”又有 40 岁以上“支付宝达人”的概率； ②为了鼓励 40 岁以上用户使用支付宝，对抽出的 40 岁以上“支付宝达人”每人奖励 500 元，记 奖励总金额为 X(单位：元)，求 X 的数学期望. 附：        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    .  2 0P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10828 19. 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，且 //AD BC ， 90ABC  ， PD  平面 ABCD ， 1AD  ， 4BC  ， 2 3CD  . （1）求证：平面 PBD 平面 PCD； （2）若直线 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值为 4 21 21 ，求线段 PD 的长. 20. 已知抛物线  2 2 0y px p  上一点  ,4M m 到焦点 F 的距离是 4. （1）求抛物线的方程； （2）过点 F 任作直线l 交抛物线于 ,A B 两点，交直线 2x   于点 C ， N 是 AB 的中点，求 CA CB CN CF   的值. 21. 已知函数   1ln 1   f x a x bxx . （1）若 2 4a b  ，当 2a  时，讨论  f x 的单调性； （2）若 1b  ，     3F x f x x   ，且当 2 2a   时，不等式   1F x  在区间 1,2 上有解， 求实数 a 的取值范围. 22. 在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 4cos 2sin    ，以极点 O 为原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 2 , 3 2 , x t y t       (t 为参数). （1）求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； （2）若  0, 1P  为平面直角坐标系中的一点，Q 为 C 上的动点，求 PQ 的中点 M 到直线 l 的距离的最大值. 23. 已知函数   2f x x a  . （1）若对任意的  2,2x   ，   4 2f x x   恒成立，求实数 a 的取值范围； （2）若  f x m ，  f y m ，求证： 2 4 3 3 3 ax y m   . 云南师范大学附属中学 2021 届高三第七次月考 理科数学试卷（答案版） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答 题卡上填写清楚． 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效． 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分 150 分，考试用时 120 分钟． 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数 2 1 2z i   (i是虚数单位)，则 z  （ ） A. 1 2 5 5 i B. 1 2 5 5 i C. 2 4 5 5 i D. 2 4 5 5 i 【答案】C 2. 已知集合  1,0,1 , | 1 cos ,2M N y y x x M         ，则集合 M N 的真子集的个 数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 3. 某单位有管理人员､业务人员､后勤人员共 m 人，其中业务人员有 120 人，现采用分层抽样 的方法从管理人员､业务人员､后勤人员中抽取部分职工了解他们的健康状况，若抽取的管理 人员有 6 人，且抽取的管理人员与业务人员的比为1: 4，抽取的后勤人员比业务人员少 20 人， 则 m 的值为（ ） A. 170 B. 180 C. 150 D. 160 【答案】A 4. 已知  f x 、  g x 是定义在 R 上的偶函数和奇函数，若     22 xf x g x   ，则  1g   （ ） A. 5 B. 5 C. 3 D. 3 【答案】D 5. 命题 p：存在实数 a，使得对任意实数 x，  cos cosx a x   恒成立；命题 q： 0b  ，   ln b xf x b x   为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ） A.  p q  B.  p q  C. p q D.    p q   【答案】C 6. 若 2xa  ， ya ， 1xa  ( 0a  ，且 1a  )成等比数列，则点 ,x y 在平面直角坐标系内的轨 迹位于（ ） A. 第三象限 B. 第四象限 C. 第一象限 D. 第二象限 【答案】B 7. 方程  2 22 2 0x x m x x n     有 4 个不等的实根，且组成一个公差为 1 的等差数列， 则 mn 的值为（ ） A. 15 8  B. 15 8 C. 15 16  D. 15 16 【答案】C 8. 已知函数    2sinf x x   ( 0 ， 2   )的图象上相邻两个最值点间的距离为 5， 且过点 0, 3 ，则要得到函数  y f x 的图象，只需将函数 2siny x 的图象（ ） A. 向右平移 1 个单位 B. 向左平移 1 个单位 C. 向右平移 1 2 个单位 D. 向左平移 1 2 个单位 【答案】A 9. “干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸被 称为“十天干”，子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字 开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子 ､乙丑､丙寅､……､癸酉､甲戌､己亥､丙子､……､癸未､甲申､乙酉､丙戌､……､癸巳､……，共得 到 60 个组合，周而复始，循环记录.已知 1894 年是“干支纪年法”中的甲午年，那么 2021 年是 “干支纪年法”中的（ ） A. 庚子年 B. 辛丑年 C. 己亥年 D. 戊戌年 【答案】B 10. 在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，三棱锥 1 1A BC D 的内切球的表面积为16 ，则正方体 外接球的体积为（ ） A. 81 B. 288 C. 36 D. 72 2 【答案】B 11. 已知函数   e sin cos2f x x x xx     ，当  4 ,4x    且 0x  时，方程   0f x  的根 的个数是（ ） A. 7 B. 6 C. 9 D. 8 【答案】D 12. 已知双曲线 C： 2 2 12 x y  ，若直线 l：  0y kx m km   与双曲线 C 交于不同的两点 M，N，且 M，N 都在以  0, 1A  为圆心的圆上，则 m 的取值范围是（ ） A.  1 ,0 3,3       B.  3, C.    ,0 3, U D. 1,33     【答案】A 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 若实数 x，y 满足 2, 0, 0, x x y x y        则不等式组表示的平面区域的面积为___________. 【答案】4 14. 已知点 O 为坐标原点，抛物线 2 3y x 与过焦点的直线交于 A，B 两点，则 OA OB  等于 ___________. 【答案】 27 16  15. 已知 33 n x x     的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等，若把其展开式中所有的 项重新排列，则有理项互不相邻的概率为___________. 【答案】 7 9 16. 设函数   4 2 2ln3 3 3xf x x a   ，若曲线 e 1 e 1sin2 2y x    上存在点 0 0,x y ，使 得   0 0f f y y 成立，则实数 a 的取值范围是___________ . 【答案】 21 3, 22 2 e e     三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设  3 sin 2 cosb A a B  . （1）求角 B； （2）若 3b  ，且 ABC 的面积等于 3 2 ，求 1 1 a c  的值. 【答案】（1） 2π 3 ；（2） 11 2 . 18. 支付宝为人们的生活带来许多便利，为了了解支付宝在某市的使用情况，某公司随机抽取 了 100 名支付宝用户进行调查，得到如下数据： 每周使用支付宝次数 1 2 3 4 5 6 及以上 40 岁及以下人数 3 3 4 8 7 30 40 岁以上人数 4 5 6 6 4 20 合计 7 8 10 14 11 50 （1）如果认为每周使用支付宝超过 3 次的用户“喜欢使用支付宝”，完成下面 2 2 列联表，并 判断能否在犯错误概率不超过 0.05 的前提下，认为是否“喜欢使用支付宝”与年龄有关？ 不喜欢使用支付宝 喜欢使用支付宝 合计 40 岁及以下人数 40 岁以上人数 合计 （2）每周使用支付宝 6 次及以上的用户称为“支付宝达人”，视频率为概率，在该市所有“支付 宝达人”中，随机抽取 3 名用户. ①求抽取的 3 名用户中，既有 40 岁及以下“支付宝达人”又有 40 岁以上“支付宝达人”的概率； ②为了鼓励 40 岁以上用户使用支付宝，对抽出的 40 岁以上“支付宝达人”每人奖励 500 元，记 奖励总金额为 X(单位：元)，求 X 的数学期望. 附：        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    .  2 0P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10828 【答案】（1）列联表答案见解析，在犯错误率不超过 0.05 的前提下，不能认为是否“喜欢使用 支付宝”与年龄有关；（2）① 18 25 ；② 600 . 19. 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，且 //AD BC ， 90ABC  ， PD  平面 ABCD ， 1AD  ， 4BC  ， 2 3CD  . （1）求证：平面 PBD 平面 PCD； （2）若直线 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值为 4 21 21 ，求线段 PD 的长. 【答案】（1）证明见解析；（2） 2 或 6 . 20. 已知抛物线  2 2 0y px p  上一点  ,4M m 到焦点 F 的距离是 4. （1）求抛物线的方程； （2）过点 F 任作直线l 交抛物线于 ,A B 两点，交直线 2x   于点 C ， N 是 AB 的中点，求 CA CB CN CF   的值. 【答案】（1） 2 8y x ；（2）1. 21. 已知函数   1ln 1   f x a x bxx . （1）若 2 4a b  ，当 2a  时，讨论  f x 的单调性； （2）若 1b  ，     3F x f x x   ，且当 2 2a   时，不等式   1F x  在区间 1,2 上有解， 求实数 a 的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2） 1 ,ln 2     . 22. 在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 4cos 2sin    ，以极点 O 为原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 2 , 3 2 , x t y t       (t 为参数). （1）求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； （2）若  0, 1P  为平面直角坐标系中的一点，Q 为 C 上的动点，求 PQ 的中点 M 到直线 l 的距离的最大值. 【答案】（1）C ： 2 2( 2) ( 1) 5x y    ，l ： 2 7 0x y   ；（2） 5 5 2 . 23. 已知函数   2f x x a  . （1）若对任意的  2,2x   ，   4 2f x x   恒成立，求实数 a 的取值范围； （2）若  f x m ，  f y m ，求证： 2 4 3 3 3 ax y m   . 【答案】（1） ( , 8] [4, )   ；（2）证明见解析.