怀仁市 2020—2021 学年度下学期一模
高三教学质量调研测试
理科数学
（考试时间 120 分钟，满分 150 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合要求的
1．已知 i 是虚数单位，则复数 z 满足 (1 ) | 3 |i z i ，则 z 虚部为（ ）
A． 1 B． 2 C． i D． 2i
2．若集合 21ln 0 , 2 0A x B x x xx
∣ ∣ ，则 R A B ð （ ）
A．[1,2] B． (1,2] C．[ 1,0] [1,2] D．[ 1,0) (1,2]
3．某学校举行诗歌朗诵比赛，最终甲、乙、丙三位同学夺得前三名，关于他们三人的排名评
委老师给出以下说法：①甲是第一名：②乙不是第二名：③丙不是第一名，若三种说法中只
有一个说法正确，则得第三名的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判定
4．在对具有线性相关关系的两个变量 x 和 y 进行统计分析时，得到如下数据：
x 4 m 8 10 12
y 1 2 3 5 6
由表中数据求得关于的回归方程为 ˆ 0.65 1.8y x ，则 (4,1),( ,2),(8,3)m 这三个样本点中，
距离回归直线最近的点是：（ ）
A． (4,1) B． ( ,2)m C． (8,3) D． (4,1) 或 ( ,2)m
5．世界著名的数学杂志《美国数学月刊》于 1989 年曾刊登过一个红极一时的棋盘问题，把
题中的正六边形棋盘，用三种全等（仅朝向和颜色不同）的菱形图案全部填满（如图），若向
棋盘内随机投掷 3 点，则至少有 2 点落在灰色区域内的概率为（ ）
A． 13
27 B． 2
3 C． 7
27 D． 20
27
6．函数
2 sin 62
4 1
x
x
x
y
的图象大致为（ ）
A． B． C．
D．
7．若直线 l 与曲线 y x 和圆 2 2 4
9x y 都相切，则 l 的方程为（ ）
A． 2 2 2 0x y B． 2 2 2 0x y C． 2 2 2 0x y
D． 2 2 2 0x y
8．已知过抛物线 2 4 2y x 焦点 F 的直线与抛物线交于 ,A B 两点，且 2AF FB ，则 AOB
（O 为坐标原点）的面积为（ ）
A．3 2 B． 3 2
2
C．3 D． 3
2
9．“提丢斯数列”是由 18 世纪德国数学家提丢斯给出，具体如下：0,3,6,12,24,48,96,192 ，…，
容易发现，从第 3 项开始，每一项是前一项的 2 倍；将每一项加上 4 得到一个数列：
4,7,10,16,28,52,100,196 ，…；再将每一项除以 10 后得到：“提丢斯数列”：
0.4,0.7,1.0,1.6,2.8,5.2,10.0 ，…，则下列说法中，正确的是（ ）
A．“提丢斯数列”是等比数列 B．“提丢斯数列”的第 99 项为
983 2 4
10
C．“提丢斯数列”前 31 项和为
303 2 121
10 10
D．“提丢斯数列”中不超过 20 的有 9 项
10．已知双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
的左焦点为 F，右顶点 A，过 F 作 C 的一条渐进
线的垂线 ,FD D 为垂足，若| | | |DF DA ，则 C 的离心率（ ）
A． 2 2 B． 3 C．2 D． 2
11．设函数 ( )y f x 的定义域为 D，若对任意 1x D ，存在 2x D ，使得 1 2 1f x f x ，
则称函数 ( )y f x 具有性质 M，给出下列四个结论：
①函数 3y x x 不具有性质 M ②函数
2
x xe ey
其有性质 M；
③若函数 8log ( 2), [0, ]y x x t 具有性质 M，则 510t ；
④若函数 3sin
4
x ay 具有性质 M，则 5a ．其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
12．在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 2 的正方形，P 在底面的射影为正方形
的中心 , 4,O PO Q 点为 AO 中点．点 T 为该四棱锥表面上一个动点，满足 ,PA BD 都平行
于过 QT 的四棱锥的截面，则动点 T 的轨迹围成的多边形的面积为（ ）
A．5 5 B． 5 5
4
C． 3 5
4
D． 5 5
2
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
13．在
6
2 1x x
的展开式中，常数项是__________．（用数字作答）
14．已知向量 ( ,2), (1,1)a x b ，若| | | | | |a b a b ，则实数 x ___________．
15．在菱形 ABCD 中， 4 60AB A ， ，将 ABD 沿对角线 BD 折起使得二面角
A BD C 的大小为 60，则折叠所得的四面体 ABCD 的外接球的半径为_________．
16．在数列 na 中， *
1 2 2 11, 2, 2n n na a a a a n N 记 3 2 ( 1)n n
n nc a ，若对
任意的 *
1, n nn c c N 恒成立，则实数 的取值范围为__________．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21
题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．（12 分）
在① 1cos cos3 2B B
，② sin (sin sin ) sina A c C A b B ，③
3 tan tancos
c A Bb A
这三个条件中，仼选一个，补充在下面问题中，（注：如果选择多个
条件分别解答，按第一个解答计分）
问题：在 ABC 中， , ,a b c 分别为角 , ,A B C 所对的边， 2 3b ，________．
（1）求角 B；
（2）求 2a c 的最大值
18．（12 分）2020 年九月十日“第二界国民健康高峰论坛”在人民日报社新媒体大厦成功举
办．会上，人民网舆情数据中心与中南大学爱尔眼科学院联合公布了《2020 中国青少年近视
防控大数据报告》疫情期间半年学生近视率增加了11.7% ，主要原因：大规模线上教学的开
展使学生户外活动的时长严重不足．青少年是国家的未来和民族的希望，“少年强，青年强则
国强”，新时代的青年应五育并举，为了改变现状，强健学生体魄，山西省怀仁市某学校决定
全校学生参与健身操运动．为了调查学生对健身操的喜欢程度，现从全校学生中随机抽取了
20 名男生和 20 名女生的测试成绩（满分 100 分）组成一个样本，得到如图所示的茎叶图，并
且认为得分不低于 80 分得学生为喜欢．
男生成绩 女生成绩
521
60
86532
94311
887
4
5
6
7
8
12
045
44568
1244579
20 9 489
（1）请根据茎叶图填写下面的列联表，并判定能否有85%的把握认为该校学生是否喜欢健身
操与性别有关？
喜欢 不喜欢 合计
男生
女生
合计
（2）从样本中随机抽取男生，女生各 1 人，求其中恰有 1 人喜欢健身操的概率．
（3）用样本估计总体，将样本频率视为概率，现从全校男生，女生中各抽取 1 人，求其中喜
欢健身操的人数 X 的分布列及数学期望．
参考公式及数据：
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
，其中 n a b c d
2
0P K k 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
19．（12 分）如图所示，四棱锥 S ABCD 中， / / , , 2 2 4AB CD AD DC CD AD AB
6SA SB SD ．
（1）求证： BC 平面 SBD ；
（2）若点 M 是线段 SC 上的动点，平面 ABM 与平面 SBD 所成的锐二面角的余弦值为 58
29
，
求 AM 的长．
20．（12 分）已知椭圆
2 2
1 22 2: 1( 0)x yC a b F Fa b
，， 分别为 C 的左右焦点，离心率
1
2e P ， 为椭圆上的任意一点，且 1PF 的最小值为 1．
（1）求椭圆 C 的标准方程．
（2）过 2F 的直线交椭圆 C 与 ,A B 两点，其中 A 关于 x 轴的对称点为 A （异与点 B）试判断
A B 所在的直线是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标，若不是请说明理由．
21．（12 分）已知函数 ( ) lnxf x ae x ，（其中 2.71828e …是自然对数的底数），
2( ) ln , ( 0)g x x x a a
（1）讨论函数 ( )f x 的单调性；
（2）设函数 ( ) ( ) ( )h x g x f x ，若 ( ) 0h x 对任意的 (0,1)x 恒成立，求实数 a 的取值范
围．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做则按所做的第一
题计分．作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22．［选修 44：坐标系与参数方程］（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程
为
1
4
3 14
x t
y t
（t 为参数）以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C
的极坐标方程为 4sin
（1）求曲线 1C 的普通方程和 2C 的直角坐标方程；
（2）设点 P 的直角坐标为 (0, 1) ，若曲线 1C 与 2C 相交于 ,A B两点，求 1 1
| | | |PA PB
的值．
23．【选修 4：不等式选讲】（10 分）已知函数 ( ) | 2| 2| 3|f x x x
（1）若不等式 ( )f x m 恒成立，求实数 m 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若 a b c、 、 为正实数，且三数之和为 m 的最大值，求证：
2 2 2 25
3a b c
怀仁市 2020—2021 学年度下学期一模
高三教学质量调研测试
理科数学答案
一、选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A C B B C A D A C C B D
二、填空题：13．15 14．2 15． 2 13
3 16． 3 ,12
三、解答题：
17.（12 分）（1）解：选择①：由 1cos cos3 2B B
，得 1 3 1cos sin cos2 2 2B B B
即 3 1 1sin cos2 2 2B B 所以 1sin 6 2B
因为，0 B ，所以 5
6 6 6B ，
故
6 6B 所以
3B 6 分
选择②：由正弦定理 sin (sin sin ) sina A c C A b B ，可化为 2 2 2a c b ac
由余弦定理得
2 2 2 1cos 2 2
a c bB ac
因为 0 B ，所以
3B ， 6 分
选择③：由正弦定理得 3 3sin
cos sin cos
c C
b A B A
，又
sin sin sin( ) sintan tan cos cos cos cos cos cos
A B A B CA B A B A B A B
，由 3 tan tancos
c A Bb A
得
sin 3sin
cos cos sin cos
C C
A B B A
因为 sin 0C 所以 tan 3B 因为 0 B ，所以
3B ． 6 分
（2）在 ABC 中，由（1）及 2 32 3, 4sin sin sin 3
2
b a cb B A C
，
4sin , 4sina A c C ， 8 分
所以 22 4sin 8sin 4sin 8sin 8sin 4 3 cos3a c A C A A A A
4 7 sin( )A 10 分
因为 20 3A 且 为锐角，所以存在角 A 使得
2A ，所以 2a c 的最大值为 4 7
12 分
18.（12 分）详解：（1）列联表如下：
喜欢 不喜欢 合计
男生 5 15 20
女生 10 10 20
合计 15 25 40
240(5 10 15 10) 2.667 2.07215 25 20 20k 4 分
所以，有85%的把握认为该校学生是否喜欢健身操与性别有关． 5 分
（2）记事件 A 为“从样本中随机抽取男生，女生各 1 人，其中恰有 1 人喜欢健身操”
则
1 1 1 1
5 10 15 10
1 1
20 20
1( ) 2
C C C CP A C C
7 分
（3）由题意知的可能取值为 0,1,2
3 1 3( 0) 4 2 8P x 3 1 1 1 1( 1) 4 2 4 2 2P x 1 1 1( 2) 4 2 8P x
所以 X 的发布列为
X 0 1 2
P 3
8
1
2
1
8
3 1 1 3( ) 0 1 28 2 8 4E X 12 分
19.（本大题 12 分详解（1）证明：因为 / / , , 2AB CD AD DC AB AD ，所以
2 2, 2 2BD BC 又因为 4CD ，所以 2 2 2CD BD BC ，所以 BC BD ，取 BD 的
中点为 O，连接 ,OA OS ，因为 6SA SB SD 所以 SO BD SOB SOA ，
所以 SO OA ，因为OA OB O ，所以 SO 平面 ABCD 所以 BC SO ，
又因为 SO BD O ，所以 BC 平面 SBD 5 分
（2）如图，以 A 为原点，分别以 ,AD AB
和垂直平面 ABCD 的方向为 , ,x y z 轴的正方向，建
立空间直角坐标系 A xyz ，
则 (0,0,0), (0,2,0), (2,4,0), (2,0,0), (1,1,2)A B C D S
设 (0 1)CM CS ，则 (2 ,4 3 ,2 )M ，
由（1）得平面 SBD 的一个法向量为 (2,2,0)BC
设 ( , , )n x y z 为平面 ABM 的一个法向量， (0,2,0), (2 ,4 3 ,2 )AB AM
由 • 0
• 0
n AB
n AM
，得 2 0
(2 ) (4 3 ) 2 0
y
x y z
不妨设 (2 ,0, 2)n 8 分
设平面 SBD 与平面 ABM 所成的二面角为
所以
2 2 2
4 2 58| cos | 292 2 4 ( 2) 5 4 4
整理得 26 1 0 ，解得 1
3
或 1
2
（舍去） 10 分
所以 5 2 25 4 110,3, ,| | 93 3 9 9 3AM AM
12 分
20．（本大题 12 分）详解（1）根据题意知
1
2
1
c
a
a c
，解的 2, 1a c 由此可得， 2 3b 故
椭圆的标准方程为
2 2
14 3
x y 4 分
（2）由（1）知， 2 (1,0)F ，直线 A B 的斜率不可能为 0，因此设直线 A B 的方程为
( 0)x my t m ，与椭圆 C 联立，得关于 y 的一元二次方程
2 2 23 4 6 3 12 0m y mty t
设 1 1 2 2, , ,A x y B x y ，则 1 1,A x y
根据韦达定理有
2
1 2 1 22 2
6 3 12,3 4 3 4
mt ty y y ym m
① 7 分
而 AB 所在的直线经过点 2 (1,0)F ，因此 2 1
2 1 1 2 2 1
2 1
01 1
y y y x y x y yx x
等价于 1 2 1 22 ( 1) 0my y t y y
将①式代入，得 22 3 12 ( 1)6 0m t t mt ，化简得 4t ，
因此直线 A B 恒过定点 (4,0) ． 12 分
21．（本大题 12 分）详解：（1）因为 ( ) lnxf x ae x ，所以 1( ) ln , (0, )xf x ae x xx
．
令 1( ) lnk x x x
，则 2
1( ) xk x x
，当 (0,1)x 时， ( ) 0k x ，函数 ( )k x 单调递减；
当 (1, )x 时， ( ) 0k x ，函数 ( )k x 单调递增．
所以 ( ) (1) 1 0k x k ，又因为 0, 0xa e ，
所以 ( ) 0, ( )f x f x 在定义域 (0, ) 上单调递增 5 分
（2）由 ( ) 0h x 得 ( ) ( ) 0g x f x 即，即： 2 ln lnxx x a ae x
即： ( ln ) ln , ln lnx x xx x a ae x x ae ae x
所以 lnln x
x
aex
x ae
，即 lnln x
x
aex
x ae
，对任意 (0,1)x 恒成立，
设 ln( ) xH x x
，则 2
1 ln( ) xH x x
所以，当 (0,1)x 时， ( ) 0H x ，函数 ( )H x 单调递增，且当 (1, )x 时，
( ) 0 (0,1)H x x ， 时， ( ) 0H x ．
若 1xae x ，则 0 ( )xH ae H x ，
若 0 1xae ，因为 ( )xH ae H x ，且 ( )H x 在 (0,1) 上单调递增，所以 xae x ，
综上可知， xae x 对任意 (0,1)x 恒成立，即 x
xa e
对任意 (0,1)x 恒成立． 10 分
设 ( ) , (0,1)x
xG x xe
，则 1( ) 0, (0,1)x
xG x xe
所以 ( )G x 在 (0,1) 单调递增，所以 1( ) (1)G x G ae
，即 a 的取值范围为 1 ,e
． 12
分
22．（本大题 10 分）解：（1）把参数方程
1
4
3 14
x t
y t
（t 为参数）消去参数 t 得 3 1 0x y
由 2C 的极坐标方程为 4sin ，两边同乘以 ，得 2 4 sin ，将 cos
sin
x
y
且
2 2 2x y 代入，得曲线 2C 的直角坐标方程为 2 2 4 0x y y ； 5 分
（2）直线 1C 的标准参数方程
1
2
3 12
x t
y t
，
（t 为参数）
把直线 1C 的参数方程
1
2
3 12
x t
y t
，
（t 为参数）代入曲线 2C 的普通方程 2 2 4 0x y y 中，
整理得 2 3 3 0, 0t t
1 2 1 23, 3 0t t t t ，利用参数的几何意义知：
2
1 2 1 21 2 1 2
1 2 1 2 11 2 2
41 1 1 1 15
| | | | 3
t t t tt t t t
PA PB t t t t t t tt
． 10 分
23.（本大题 10 分）详解：（1）由题可知
3 4, 2
( ) 8 , 2 3
3 4, 3
x x
f x x x
x x
当 2x 时， ( ) 3 4 10f x x
当 2 3x 时， ( ) 8 (5,10)f x x
当 3x 时， ( ) 3 4 5f x x
所以函数 ( )y f x 的值域为[5, ) ，
若不等式 ( )f x m 恒成立，则 5m 5 分
（2）由（1）知 5a b c
证明： 2 2 2 2 2 22 2 2a b ab b c bca c ac
2 2 22 2 2 2a b c ab bc ac
2 2 2 2 2 23 2 2 2a b c a b c ab bc ac
即： 2 2 2 23 ( ) 25a b c a b c
2 2 2 25
3a b c
当且仅当 a b c 时取“=”号 10 分
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