江苏省南通市五校2020-2021学年高一数学下学期第一次联考试题（Word版附答案）

江苏省南通市五校 2020—2021 学年高一下学期 第一次联考数学试题 一、单选题（本大题共 8 小题，共 40 分） 1．下列命题中正确的是（ ） A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B．模相等的两个平行向量是相等向量 C．若 a 和b  都是单位向量，则 a b  D．两个相等向量的模相等 2．在 ABC 中，D，E，F 分别为 AB ， BC ，CA 的中点，则 DE FC  等于（ ） A． AB  B． BC  C． AC  D． AE  3． cos24 cos36 cos66 cos54      （ ） A．0 B． 1 2 C． 3 2 D． 1 2  4．已知点 C 在线段 AB 上，且 3 5AC AB  ，则 AC  等于（ ） A． 2 3 BC  B． 3 2 BC  C． 2 3 BC  D． 3 2 BC  5．在边长为 2 的菱形 ABCD 中， 60BAD   ，E 是 BC 的中点，则 AC AE   （ ） A． 3 3 3  B． 9 2 C． 3 D．9 6．已知向量  2,1a   ，  1,b m 且 a b  ，那么 m 等于（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．已知向量  1,2a  ，  2,0b   ，则 a b  的值等于（ ） A． 4 B． 3 C． 2 D．1 8．在 ABC 中，点 D 是 AC 上一点，且 4AC AD  ，P 为 BD 上一点，向量 ( 0, 0)AP AB AC         ，则 4 1   的最小值为（ ） A．16 B．8 C．4 D．2 二、多选题（本大题共 4 小题，共 20 分） 9．给出下列四个命题，其中假命题为（ ） A．向量 AB  的长度与向量 BA  的长度相等 B．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同 C．若向量 AB  与向量CD  是共线向量，则点 A，B，C，D 必在同一条直线上 D．有向线段就是向量，向量就是有向线段 10．若点 D，E，F 分别为 ABC 的边 BC ，CA ， AB 的中点，且 AB a  ， BC b  ，则下 列结论正确的是（ ） A． 1 2DA a b   B． 1 1 2 2BE a b    C． 1 2CF a b    D． 1 1 2 2DF a b   11．已知正方形 ABCD 的边长为 2，向量 a ，b  满足 2AB a  ， 2AD a b   ，则（ ） A． 2 2b  B． a b  C． 2a b  D．  4a b b   12．若点 O 在 ABC 所在的平面内，则以下说法正确的是（ ） A．若 0OA OB OC      ，则点 O 为 ABC 的重心 B．若 0AC AB BC BAOA OB AC AB BC BA                              ，则点 O 为 ABC 的垂心 C．若     0OA OB AB OB OC BC           ，则点 O 为 ABC 的外心 D．若OA OB OB OC OC OA          ，则点 O 为 ABC 的内心 三、单空题（本大题共 4 小题，共 200 分） 13．若 0, 2      ， 4cos 6 5       ，则sin  ______． 14．已知 1e  ， 2e  是不平行的向量，设 1 2a e ke   ， 1 2b ke e   则 a 与 b  共线的充要条件是 实数 k 等于______． 15．平面向量 a ， b  满足 1a  ， 2b  ，且    2 7a b a b       ，则向量 a ， b  的夹角 为______． 16．如图，在 ABC 中，D 是 BC 的中点，E，F 是 AD 上的两个三等分点， · 4BA CA   ， · 1BF CF    ，则 ·BE CE   的值是______． 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17．已知 a 与 b  同向，  1,2b  ， 10a b  ． （1）求 a 的坐标（2）若  2, 1c   ，求  a b c  及 a b c   ． 18．如图，F 为线段 BC 的中点， 2CE EF ， 3 5DF AF ，设 AC a  ，AB b  ，试用 a ， b  表示 AE  ， AD  ， BD  ． 19．已知均为锐角，且 5sin 5   ， 10cos 10   ，求  的值． 20．已知  2,0A ，  0,4B ，  cos ,sinC   ，O 为坐标原点． （Ⅰ）若 / /OC AB   ，求 tan  的值；（Ⅱ）若 3OA OC   ，且  0,  ，求OB OC  ． 21. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量  2, 1a   ，又点  0,8A ， （1）已知  3,5C ，若 O，A，B，C 四点按顺时针顺序构成平行四边形，求 AB  与 BC  夹角的 余弦值； ★（2）若  , 0 2M t ksin       ，且向量 AM  与向量 a 共线，当 4k  ，且 sint  取最 大值为 4 时，求OA OM  ． 22．如图在矩形 ABCD 中，AB a  ，AD b  ，N 是CD 的中点，M 是线段 AB 上的点， 2a  ， 1b  ． （1）若 M 是 AB 的中点，求证： AN  与CM  共线； ★（2）在线段 AB 上是否存在点 M，使得 BD  与CM  垂直？若不存在请说明理由，若存在请 求出 M 点的位置； ★（3）若动点 P 在矩形 ABCD 上运动，试求 AP AB  的最大值及取得最大值时 P 点的位置． 江苏省南通市五校 2020—2021 学年高一下学期第一次联考 数学试题答案 一、单选题（本大题共 8 小题，共 40 分 ） 1．D 2．C 3．B 4．D 5．D 6．C 7．C 8．A 二、多选题（本大题共 4 小题，共 20．0 分） 9．CD 10．BC 11．AD 12．AC 三、单空题（本大题共 4 小题，共 20．0 分） 13． 3 3 4 10  14． 1 15． 2  16． 7 8 点评：基底法 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17．【答案】解：（1）设 a  ，   ,2 0b     ，则 4 10a b      ，∴ 2  ，∴  2,4a  ． （2）∵ 1 2 2 1 0b c       ， 10a b  ，∴   0 0a b c a       ，      10 2, 1 20, 10a b c      ． 18．【答案】解：∵F 为线段 BC 的中点， 2CE EF= ，∴ 1 3CE CB ，又 AC a  ， AB b  ， ∴  1 1 2 1 2 1 3 3 3 3 3 3AE AC CE AC CB AC AB AC AC AB a b                     ； ∵F 是 BC 的中点，∴    1 1 2 2AF AC AB a b       ， 又∵ 3 5DF AF ，∴  8 8 1 4 4 5 5 2 5 5AD AF a b a b          ； 4 4 4 1 5 5 5 5BD AD AB a b b a b             ． 19．【答案】解：∵ ，  均为锐角，且 5sin 5   ， 10cos 10   ，∴ 2 5cos 5   ， 3 10sin 10   ， ∴  ，且 2 5 10 5 3 10cos( ) cos cos sin sin 5 10 2 5 10 2              ． 又∵ ，  均为锐角，∴ 02       ．故 4     ． 20．【答案】解：（Ⅰ）因为  2,0A ，  0,4B ，  cos ,sinC   ， 所以  cos ,sinOC   ，  2,4AB   ，又 / /OC AB   ，所以 4cos 2sin 0   ， 则sin 2cos   ，即 tan 2   ； （Ⅱ）  cos ,sinOC   ，  2,0OA  ，则  2 cos ,sinOA OC      ， 因为 3OA OC   ，所以  2 22 cos sin 3    ， 即5 4cos 3  ，即 1cos 2    ， 又  0,  ，所以 2 3sin 1 cos 2     ，  cos ,sinOC   ，  0,4OB  ， 所以 34sin 4 2 32OB OC       ． 21．【答案】解：（1）设  ,B x y ，∵四边形OABC 是平行四边形，∴OA CB  ， 又  0,8OA  ，  3, 5CB x y   ，∴ 3 0 5 8 x y      ， 3 13 x y    ，∴  3,13B ； ∴  3,5AB  ，  0, 8BC   ，∴ 3 0 5 8 40AB BC        ， 2 23 5 34AB   ， 8BC   ； ∴ AB  与 BC  夹角的余弦值为 40 5 34cos 3434 8 AB BC AB BC           ； （2）若  , sin 0 2M t k       ，且向量 AM  与向量 a 共线， ∵  , sin 8AM t k   ，  2, 1a   ，∴    2 sin 8 0k t     ， ∴ 16 2 sint k   ；∴ 2sin 16sin 2 sint k    ； 设   22 sin 16sinf k     ， 则   242 (s 32in )f k kk      ； 当 4k  时， 40 1k   ； ∴ 4sin k   时，  f  取得最大值为 32 k ， 由 32 4k  ，解得 8k  ，此时 1sin 2   ， 6   ， 116 2 8 82t      ， ∴  8,4OM  ，  0,8OA  ，∴ 0 8 8 4 32OA OM       ． 22．【答案】（1）证明：∵ 1 2AN AD DN b a        ， 1 2CM CB BM b a         ， ∴ AN CM   ，∴ AN  与CM  共线． （2）解：在线段 AB 上存在点 M，使 BD  与CM  垂直． 理由：设 BM a  ， BD AD AB b a        ， CM CB BM b a         ， ∵ BD  与CM  垂直，∴ 0BD CM   ． 即    0b a b a       ，∵ 2a  ， 1b  ， 0a b  ，∴ 1 4    ． ∴存在满足条件的点 M，即 3 2AM  ，使得 BD  与CM  垂直． 此时点 M 在线段 AB 的四等分点，最靠近点 B 的位置． （3）解： ①当 P 在线段 AB 上时，设 AP ka  ，  0 1k  ，则： 4AP AB ka a k       ， ∴ AP AB  的最大值为 4，此时 P 在 B 点处； ②当 P 在线段 BC 上（不含端点）时，设 AP a kb   ，∴   4AP AB a kb a        ， 此时 P 在线段 BC 上（端点除外）； ③当 P 在线段CD 上时，设CP ka   ， 0 1k  ，    4 1AP AB a b ka a k           ， ∴ AP AB  的最大值为 4，此时 P 在 C 点处； ④当 P 在线段 AD 上时， 0AP AB   ． 综上所述，当 P 在线段 BC 上时， AP AB  的最大值是 4．