湖北省武汉市2021届高三数学3月质量检测试题（Word版附答案）

武汉市 2021 届高中毕业生三月质量检测数学试卷 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. 复数 z 满足 z iz  ，则复平面上表示复数 z 的点位于（ ） A. 第一或第三象限 B. 第二或第四象限 C. 实轴 D. 虚轴 【答案】B 2. “ tan 3  ”是“ 3sin 2 2   ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 3. 设 0.53a  ， 0.44b  ， 0.35c  ，则（ ） A. a b c  B. c b a  C. c a b  D. a c b  【答案】C 4. 已知正整数 7n  ，若 1 (1 )nx xx      的展开式中不含 4x 的项，则 n 的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 5. 从 3 双不同的鞋子中随机任取 3 只，则这 3 只鞋子中有两只可以配成一双的概率是（ ） A. 2 5 B. 1 2 C. 3 5 D. 2 3 【答案】C 6. 某圆锥母线长为 2，底面半径为 3 ，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大 值为（ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 7. 过抛物线 E ：  2 2 0y px p  焦点 F 的直线交抛物线于 A ，B 两点，过 A ，B 分别向 E 的准线作垂线，垂足分别为C ，D ，若 ACF 与 BDF 的面积之比为 4，则直线 AB 的斜率 为（ ） A.  B. 3 C. 2 D. 2 2 【答案】D 8. 设函数    ( ) 2sin 1 0f x x      ，若对于任意实数 ， ( )f x 在区间 3,4 4       上至 少有 2 个零点，至多有 3 个零点，则 的取值范围是（ ） A. 8 16,3 3     B. 164, 3     C. 204, 3     D. 8 20,3 3     【答案】B 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分. 9. 图中矩形表示集合U ， A ， B 是U 的两个子集，则阴影部分可以表示为（ ） A.  U A Bð B.  B A Bð C.   U UA B D. A B Að 【答案】ABD 10. 已知函数 2 , 0( ) , 0 x xf x x x     ，则有（ ） A. 存在 0 0x  ，使得  0 0f x x  B. 存在 0 0x  ，使得   2 0 0f x x C. 函数  f x 与 ( )f x 的单调区间和单调性相同 D. 若    1 2f x f x 且 1 2x x ，则 1 2 0x x  【答案】BC 11. 两个等差数列 na 和 nb ，其公差分别为 1d 和 2d ，其前 n 项和分别为 nS 和 nT ，则下列 命题中正确的是（ ） A. 若 nS 为等差数列，则 1 12d a B. 若 n nS T 为等差数列，则 1 2 0d d  C. 若 n na b 为等差数列，则 1 2 0d d  D. 若 * nb N ，则 nba 也为等差数列，且公差为 1 2d d 【答案】AB 12. 设函数 2( ) 8 6x xf x e e x   ，若曲线 ( )y f x 在点   0 0,P x f x 处的切线与该曲线恰 有一个公共点 P ，则选项中满足条件的 0x 有（ ） A. ln 2 B. ln 2 C. ln 4 D. ln5 【答案】BCD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 两个单位向量 1e  ， 2e  满足 1 1 2e e e    ，则 21e e   __________. 【答案】 3 14. 双曲线 E ：   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的半焦距为 c ，若双曲线 E 与圆： 2 2 29x c y a   恰有三个公共点，则 E 的离心率为___________. 【答案】 2 15. 在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，立德中学高三某小组的学生表现 优异，发现的正确结论得到老师和同学的一致好评.设随机变量  ~ ,X B n p ，记  1 n kk k k np C p p   ， 0,1,2, ,k n  .在研究 kp 的最大值时，小组同学发现：若 1n p 为 正整数，则  1k n p  时， 1k kp p  ，此时这两项概率均为最大值；若 1n p 为非整数， 当 k 取 1n p 的整数部分，则 kp 是唯一的最大值.以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质 地均匀的骰子并实时记录点数 1 出现的次数.当投掷到第 20 次时，记录到此时点数 1 出现 5 次， 若继续再进行 80 次投掷试验，则当投掷到第 100 次时，点数 1 总共出现的次数为____________ 的概率最大. 【答案】18 16. 如图，该图展现的是一种被称为“正六角反棱柱”的多面体，其由两个全等且平行的正六 边形作为基底，侧面由 12 个全等的以正六边形的边为底的等腰三角形组成.若某个正六角反棱 柱各棱长均为 1，则其外接球的表面积为___________. 【答案】 3 3  四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知公比不为 1 的等比数列 na 满足 1 3 5a a  ，且 1a ， 3a ， 2a 构成等差数列. （Ⅰ）求 na 的通项公式； （Ⅱ）记 nS 为 na 的前 n 项和，求使 23 8kS  成立的最大正整数 k . 【答案】（Ⅰ） 114 2 n na       ；（Ⅱ）3. 18. 在 ABC 中，它的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，且 2 3B  ， 6b  . （Ⅰ）若 2cos cos 3A C  ，求 ABC 的面积； （Ⅱ）试问 1 1 1a c   能否成立？若能成立，求此时 ABC 的周长；若不能成立，请说明理由. 【答案】（Ⅰ） 3 3 ；（Ⅱ）不能成立，理由见解析. 19. 如图，四棱锥 P ABCD 中，CD  平面 PAD ， //AB CD ， 1AB  ， 2CD  ，M 为棱 PC 上一点. （1）若 BM CD ，证明： //BM 平面 PAD ； （2）若 2PA PD AD   ，且 //PA 平面 BMD ，求直线 PC 与平面 BMD 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 3 6 8 . 20. 在关研究表明，正确佩戴安全头盔，规范使用安全带能够将交通事故死亡风险大幅降低， 对保护群众生命安全具有重要作用.2020 年 4 月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地开展. 行动期间，公安交管部门将加强执法管理，依法查纠摩托车和电动自行车骑乘人员不佩戴安 全头盔，汽车驾乘人员不使用安全带的行为，助推养成安全习惯.该行动开展一段时间后，某 市针对电动自行车骑乘人员是否佩戴安全头盔问题进行调查，在随机调查的 1000 名骑行人员 中，记录其年龄和是否佩戴头盔情况，得到如下的统计图表： （Ⅰ）估算该市电动自行车骑乘人员的平均年龄； （Ⅱ）根据所给的数据，完成下面的列联表： 是否佩戴头盔 年龄 是 否  20,40  40,70 （Ⅲ）根据（Ⅱ）中的列联表，判断是否有99%把握认为遵守佩戴安全头盔与年龄有关？ 附：        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      ，  2P K k 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（Ⅰ）39；（Ⅱ）列联表见解析；（Ⅲ）没有把握. 21. 已知椭圆C ：   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的左右顶点分别为 A ，B ，过椭圆内点 2 ,03D     且 不与 x 轴重合的动直线交椭圆C 于 P ，Q 两点，当直线 PQ 与 x 轴垂直时， 4 3PD BD  . （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）设直线 AP ， AQ 和直线l ： x t 分别交于点 M ， N ，若 MD ND 恒成立，求t 的 值. 【答案】（Ⅰ） 2 2 14 2 x y  ；（Ⅱ） 2 9t   或 10 3t  . 22. 已知函数  ( ) 1 lnx af x x e x   . （Ⅰ）当 1a  时，求 ( )f x 的最小值； （Ⅱ）证明：当 0 1a  时， ( ) lnf x a 恒成立. 【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ）证明见解析.