2020-2021 学年高三下学期数学考试仿真系列卷二
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答
案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合 { 1}, 0.3 1xA x x B x ∣ ∣ ，则（ ）
A. { 0}A B x x ∣ B. A B R
C. { 1}A B x x ∣ D. A B
【答案】B
【解析】因为 0.3 1 ，所以 0.3xf x 单调递减，由 00.3 1 0.3x 可得 0x ，
即 0B x x ，所以 0 1A B x x ， A B R ，故选:B.
【点睛】本题考查了结合指数函数的单调性化简集合 B ，从而可求出两集合的交集和并集,属
于基础题.
2.已知复数 z 满足 22 i z i i ，则 z 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】因为
2 ( 1 ) 2 2 2 1 3
2 2 2 5 5
i ii i i i iz i i i
，
所以 3 1
5 5z i ，
z 对应点为 3 1,5 5
，所以 z 在复平面内对应的点位于第三象限,故选：C.
【点睛】本题考查了复数的四则运算以及复数的几何意义，属于基础题．
3.已知直线 1 2: ( 2) 1 0, : 2 0l ax a y l x ay ，其中 a R ，则“ 3a ”是“ 1 2l l ”
的
（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】直线 1 2l l 的充要条件是 ( 2) 0 ( 3) 0 0a a a a a a 或 3a ．故
选:A．
【点睛】本题考查了两直线垂直的充要条件，属于基础题.
4.接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接
种某种病毒疫苗后，有 80%不会感染这种病毒，若有 4 人接种了这种疫苗，则最多 1 人被感染
的概率为（ ）
A． 512
625
B． 256
625
C． 113
625
D． 1
625
【答案】A
【解析】P＝ 1 3 4
4
5120.2 0.8 0.8 625C ，故选:A．
【点睛】本题考查了二项分布计算概率,属于基础题.
5.函数 | |
cos( ) 2 x
x xf x 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意，函数 | |
cos( ) 2 x
x xf x 的定义域为 R ，关于原点对称，
又由 cos cos
2 2x x
x x x xf x f x
，所以函数 f x 为奇函数，排除 C、D；又
因为 0, 02 4f f
，结合选项，可得选项 A 适合.故选： .A
【点睛】本题考查了通过研究函数的性质来识别的函数图象,属于基础题.
6.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司 2018 年全年投入研发资金 130
万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开
始超过 200 万元的年份是（ ）
（参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30）
A. 2020 年 B. 2021 年 C. 2022 年 D. 2023 年
【答案】C
【解析】由题意，设第 n 年开始超过 200 万元，
则 2018130 1 12% 200n ，即 2018 21 12% 1.3
n ，
两边同时取以 10 为底的对数，可化为： 2018 lg1.12 lg2 lg1.3n ，
解可得： lg2 lg1.32018 3.8lg1.12n ；则 2022n .故选：C．
【点睛】本题考查了指数函数模型的应用，涉及解指数不等式和对数的运算，属于基础题.
7.数独是源自 18 世纪瑞士的一种运用纸、笔进行演算的逻辑游戏.玩家需要根据 9×9 盘面上
的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（3×3）
内的数字均含 1-9.2020 年中国数独锦标赛决赛作为 2020 数独大会重要赛事之一于 10 月 18
日在国家体育总局举行.某选手在解决如图所示的标准数独题目时，正确完成后，记第 i 行的
数字分别为 1ia ， 2ia ， 3ia ，， 9ia ，令 1 2 3 4 5 6 7 82 3 4 5 6 7 8i i i i i i i i ib a a a a a a a a 99 ia ，
1,2,3, ,8,9i ，则 1 2 9b b b （ ）
A． 45 B． 45 C． 225 D． 225
第 7 题图 第 8 题图
【答案】C
【 解 析 】 由 题 意 可 知 每 一 列 数 字 之 和 为 1 2 3 9 45 … ， 因 此 ，
1 2 9 ( 1 2 3b b b …
9) 45 225 ．故选:C
【点睛】本题考查了以数学文化为背景,考查了等差数列求和,属于基础题.
8.已知点 O 是 ABC 内一点，且满足 42 0, 7
AOB
ABC
SOA OB mOC S
，则实数 m 的值为
（ ）
A. 4 B. 2 C. 2 D. 4
【答案】D
【解析】由 2OA OB mOC 得： 1 2
3 3 3
mOA OB OC
设
3
m OC OD ，则 1 2
3 3OA OB OD
, ,A B D 三点共线
如下图所示：
OC
与OD
uuur 反向共线， 0m ,
3
OD m
OC
3
313
m
OD m
m mCD
73
4AOB
ABC D
S OD
mS
m
C
4m .故选：D.
【点睛】本题考查了向量共线定理的应用，属于中档题.
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9.已知点 ( 5,0)F 为双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
的焦点，以点 F 为圆心， 2 2 为半径的
圆与双曲线 C 的一条渐近线交于 M，N 两点，若 MF NF ，则下列结论正确的是（ ）
A．| | 4MN B．双曲线 C 的实轴长为 4
C．双曲线 C 的渐近线方程为 1
2y x D．双曲线 C 的离心率 5e
【答案】AD
【解析】以点 F 为圆心，2 2 为半径的圆与双曲线 C 的一条渐近线的交点为 M,N，若 MF NF ，
则圆 F 与渐近线相交所得弦长| | 2 2 2 4MN ，所以 A 正确；因为焦点 F 到渐近线的距
离为b ，所以 2 2 2b ，得 2b ，而 5c ，所以 2 2 2 1a c b ，得 1a ，所以双曲线 C
的实轴长为 2，B 不正确；双曲线 C 的渐近线方程为 2y x ，C 不正确；离心率 5e ，D 正
确.故选:AD.
【点睛】本题考查了双曲线的几何性质以及圆的知识,属于基础题.
10.已知函数 ( ) 2sin( )( 0,0 )f x x 的部分图象如图所示，点 0, 3A ，
,03B
，则下列说法错误的是（ ）
A. 直线
12x 是 f x 图象的一条对称轴
B. f x 的最小正周期为
C. f x 在区间 ,3 12
上单调递增
D. f x 的图象可由 ( ) 2sin 2g x x= 向左平移
3
个单位而得到
【答案】D
【解析】由题意，函数 ( ) 2sin( )f x x 的图象过点 0, 3A ，
可得 0 3f ，即 2sin 3 ，即 3sin 2
，
因为 0 ，所以
3
，即 ( ) 2sin( )3f x x ，
又由点 ,03B
，即 ( ) 2sin( ) 03 3 3f ，可得
3 3
，解得 2 ，
所以函数的解析式为 ( ) 2sin(2 )3f x x ，
令
12x ，可得 212 1( ) 2sin(2 ) si2 22 n3f ，所以
12x 是函数 ( )f x 的一条对
称轴，所以 A 是正确的；
由正弦型函数的最小正周期的计算的公式，可得 2 2
2T ，所以 B 是正确的；
当 ( , )3 12x ，则 2 ( , )3 3 2x ，
根据正弦函数的性质，可得函数 ( )f x 在区间 ( , )3 12
单调递增，所以 C 是正确的；
由函数 ( ) 2sin 2g x x= 向左平移
3
个单位而得到函数 22sin[2( )] 2sin(2 )3 3y x xp p= + = + ，
所以选项 D 不正确.
故选：D.
【点睛】本题考查了利用三角函数的图象求解三角函数的解析式以及三角函数的图象与性质
的应用，考查了逻辑推理与数学运算能力，属于基础题.
11.已知 a ，b 是不同直线， ， 是不同平面，且 a ， //b ，则下列四个命题中正确的
是（ ）
A. 若 ba ，则 // B. 若 / /a b ，则
C. 若 ，则 / /a b D. 若 // ，则 a b
r r
【答案】BD
【解析】对于选项 A,若 ba ，则 // 或 , 相交，此时b 平行于 , 的交线,故 A 错误；
对于选项 B,若 / /a b ，a ，则b ，且b / / ，根据线面平行性质定理可知，存在 c ，
使 / /b c ，
所以 c ，又 c ，则 ，故 B 正确；
对于选项 C, 若 ，则 / /a b ，或相交，异面，故 C 错误；
对于选项 D,若 / / ， a ，则 a ，又 b / / ，则 a b
r r ，故 D 正确,故选：BD
【点睛】本题考查了线线，线面，面面的位置关系，以及判断定理和性质定理,考查了空间想
象能力与运算能力，属于基础题.
12.在梯形 ABCD 中，AB=2AD=2DC=2CB，将 BDC 沿 BD 折起，使 C 到 C'的位置（C 与 C'不重
合），E，F 分别为线段 AB，AC'的中点，H 在直线 DC'上，那么在翻折的过程中（ ）
A. DC'与平面 ABD 所成角的最大值为
6
B. F 在以 E 为圆心的一个定圆上
C. 若 BH 丄平面 ADC'，则 '3DH C H
D. 当 AD 丄平面 BDC'时，四面体 C'-ABD 的体积取得最大值
【答案】ACD
【解析】如图，在梯形 ABCD 中，因为 // , 2 2 2AB CD AB AD DC CB ， E 是 AB 的中
点，
所以 // ,CD BE CD BE ，所以四边形 BCDE 是菱形，所以 BC DE ，
由于 AD DE AE ，所以三角形 ADE 是等边三角形，
所以 1
2DE AB ，故 AD BD ，
6BDC DBC .
在将 BDC 沿 BD 翻折至 'BDC 的过程中， ,BDC DBC 的大小保持不变，由线面角的
定义可知， 'DC 与平面 ABD 所成角的最大值为
6
，故 A 正确.
因为 DBC 大小不变，所以在翻折的过程中， 'C 的轨迹在以 BD 为轴的一个圆锥的底面圆周
上，而 EF 是 'ABCV 的中位线，所以点 F 的轨迹在一个圆锥的底面圆周上，但此圆的圆心不
是点 E ，故 B 不正确.
当 BH 平面 'ADC 时， BH DH .因为 '
3HC B ，所以 ' ' '2DC BC C H ，所以
'3DH C H
，故 C 正确.
在翻折的过程中， 'BC D 的面积不变，所以当 AD 平面 'BDC 时，四面体 'C ABD 的体
积取得最大值，故 D 正确,故选：ACD
【点睛】本题考查了根据线面角的知识确定 A 选项的正确性；根据圆锥的几何性质判断 B 选
项的正确性；求得 ' '2DC C H ，由此确定 C 选项的正确性；结合锥体体积求法，确定 D 选
项的正确性,属于中档题.
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 621 (1 )xx
展开式中 2x 的系数为__________
【答案】55
【解析】 6 6 62 21 1 1 1x x xx x
， 61 x 展开式通项 1 6
r r
rT C x ，
61 x 展开式中 2x 的系数为 2
6C , 62 1 xx
展开式中 2x 的系数为 3
62C ,
则 2 3
6 62 55C C ，故答案为:55.
【点睛】本题考查了利用多项式乘法将式子展开,根据二项式定理展开式的通项即可求得 2x 的
系数,属于基础题.
14.写出一个满足前 5 项的和为 10，且递减的等差数列的通项 na ___________.
【答案】 5n （答案不唯一）
【解析】依题意数列是递减的等差数列，所以 0d ，又 1 5
5 3
5 5 102
a aS a
，所以
3 2a ，不妨取等差 1d ，所以 3 3 2 3 1 5na a n d n n
所以 5na n ,故答案为： 5n
15.已知抛物线 2 2 ( 0) (1,0),y px p F F 的焦点为 过点 的直线交抛物线于 A，B 两点，且
2 3 ,AB FA 则 抛物线的准线方程为 ；| |BF 的值为 .（本题第一空 2
分，第二空 3 分）
【答案】 1 3
2x
【解析】抛物线 2 2 ( 0) (1,0), 1, 2,2
py px p F p 的焦点为 则 所以抛物线方程
为 2 4 ,y x 准线为 1.x 如图，取 AF 的中点为 C，分别过点 A，C，F，B 作准线的
垂 线 ， 垂 足 分 别 为 M ， Q ， P ， N. 由
2 3 | | 2| |, | | 2| |AB FA AF FB AM BN ＝ 可知 从而有 .设| | , | | 2 .BN t AM t 则
又| | 2, | | 4 . | | | | 2 | |, 2 2 2(4 )PF CQ t PF AM CQ t t 所以 又 即 ,解得 3,2t 所以
| |BF 3.2
故答案为： 1 3
2x
【点睛】本题考查了抛物线的定义、准线方程与几何性质,属于基础题.
16.已知函数
2
lg , 0{
6 4, 0
x xf x
x x x
，若关于 x 的方程 2 1 0f x bf x 有 8 个不同
根，则实数b 的取值范围是______________．
【答案】 172, 4
【解析】函数 ( )f x 的图像如图所示，因为 2 26 4 ( 3) 5x x x ，所以关于 x 的方程
2 1 0f x bf x 在 (0,4]上有 2 个根．令 ( )t f x ，则方程 2 1 0t bt 在 (0,4]上有
2 个不同的正解，所以 2
0 42
4 0{
(4) 16 1 0
(0) 1 0
b
b
f b
f
，解得 172 4b ．
【点睛】本题考查了分段函数、函数的图象以及利用方程的根的个数求参,其中方程解的个数
问题解法：①研究程 的实根常将参数移到一边转化为值域问题;②当研究程
的实根个数问题，即方程 的实数根个数问题时，也常要进行参变分离，得
到 的形式，然后借助数形结合（几何法）思想求解③也可将方程化为形如
，常常是一边的函数图像是确定的，另一边的图像是动的，找到符合题意的临界
值，然后总结答案即可,属于中档题．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
17.请从下面两个条件中任选一个,补充在下面的问题中，并解决该问题
①△ABC 的面积为 3 15 ; ② 2
6AB AB BC
在 ABC 中,角 CBA ,, 所对的边分别为 .,, cba 已知 2cb ， A 为钝角， 15sin 4A
.
(1)求边 a 的长； (2)求 C2sin 的值.
【答案】(1)8; (2)
32
157cossin22sin CCC
【解析】（1）若选择条件①△ABC 的面积为 3 15 ，
15sin 4A ， 24,1538
15sin2
1 bcbcAbcS ABC
由 2cb ，可得 4,6 cb
而 A 为钝角， 15sin 4A ，所以
4
1cos A
64cos2222 Abccba
8a
（2）
8
7
2cos
222
ab
cbaC
8
15
64
491sin C
32
157cossin22sin CCC
（1）若选②A 为钝角， 15sin 4A ，所以
4
1cos A
-6bccosA)(
2
ACABBCABABBCABAB
24bc
由 2cb ，可得 4,6 cb
而 A 为钝角， 15sin 4A ，所以
4
1cos A
64cos2222 Abccba
8a
（2）
8
7
2cos
222
ab
cbaC
8
15
64
491sin C
32
157cossin22sin CCC
【点睛】本题考查了三角恒等变换、同角三角函数关系、余弦定理以及向量数量积公式，考
查了数学运算能力,属于基础题.
18.已知数列{ }na 的前 n 项和 ( 1)
2n
n nS ，数列{ }nb 满足 1 4b ，且 1 3 2n nb b ．
（1）求证数列{ 1}nb 为等比数列，并求数列 nb 的通项公式；
（2）设 n
n
n
ac b
，求证： 1 2
3
4nc c c ．
【答案】（1）证明见解析， 3 1n
nb ；（2）证明见解析．
【解析】（1）因为 1 3 2n nb b ，所以 1 1 3 2 1 31 1
n n
n n
b b
b b
，
所以数列 1nb 为首项 1 1 3b ，公比为 3 的等比数列，
所以 1
11 1 3 3n n
nb b ，所以 3 1n
nb ．
（2）因为数列{ }na 的前 n 项和 ( 1)
2n
n nS ，所以 1 1 1a S ，
当 2n
时， 1
( 1) ( 1)
2 2n n n
n n n na S S n
，
1n 时，也适合 na n ，综上， , 3 1 3
n
n n n n
n
a n na n c b
，
1 2 2
1 2
3 3 3n n
nc c c L L ，设 2
1 2
3 3 3n
nM L ，
2 3 1
1 1 2
3 3 3 3n
nM L ， 2 1 1
2 1 1 1 1 1 113 3 3 3 3 2 3 3 2n n n n
n nM
L ，
1 2
3 3,4 4nM c c c L ．
【点睛】本题考查了等比数列定义的证明以及“错位相减法”求数列的和，利用“错位相减
法”求数列的和需注意：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一
个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果
一定不能忘记等式两边同时除以1 q ，属于基础题．
19.为检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，某药物研究所科研人员随机选取 200 只小白鼠，并将
该疫苗首次注射到这些小白鼠体内．独立环境下试验一段时间后检测这些小白鼠的某项医学
指标值并制成如下的频率分布直方图（以小白鼠医学指标值在各个区间上的频率代替其概
率）：
(1)根据频率分布直方图，估计 200 只小白鼠该项医学指标平均值 x （同一组数据用该组数据
区间的中点值表示）；
(2)若认为小白鼠的该项医学指标值 X 服从正态分布 ),( 2N ，且首次注射疫苗的小白鼠该
项医学指标值不低于 14.77 时，则认定其体内已经产生抗体；进一步研究还发现，对第一次
注射疫苗的 200 只小白鼠中没有产生抗体的那一部分群体进行第二次注射疫苗，约有 16 只小
白鼠又产生了抗体．这里 近似为小白鼠医学指标
平 均 值 2,x 近 似 为 样 本 方 差 .2s 经 计 算 得
92.62 s ，假设两次注射疫苗相互独立，求一只小
白鼠注射疫苗后产生抗体的概率 p （精确到 0.01)．
附：参考数据与公式
63.292.6 ，若 ),(~ 2NX ，则
① ;6827.0)( XP
② ;9545.0)22( XP
③ .9973.0)33( XP
【答案】（1）17.4；（(2)0.92
【解析】(1)
X 12 14 16 18 20 22 24
p 0.04 0.12 0.28 0.36 0.10 0.06 0.04
4.172404.02206.02010.01836.01628.01412.01204.0 EXx
(2) 77.1463.240.17
8414.02
6827.016827.0)( xp
记事件 A 表示首先注射疫苗后产生抗体，则
8414.0)( Ap ， 1586.0)( Ap
因此 200 只小鼠首先注射疫苗后有 1688414.0200 只产生抗体，有 200-168=32 只没有产
生抗体.
故注射疫苗后产生抗体的概率 92.0200
16168 P
【点睛】本题考查了频率分布直方图求平均数，利用正态分布估计概率，利用概率公式求解
具体问题，属于中档题.
20.如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PD 底面 ABCD ，M 为线段 PC
的中点， PD AD ， N 为线段 BC 上的动点.
（1）证明：平面 MND 平面 PBC ；
（2）当点 N 在线段 BC 的何位置时，平面 MND 与平面 PAB 所成锐二面角的大小为 30°？
指出点 N 的位置，并说明理由.
.【答案】（1）证明见详解；（(2) N 为线段 BC 的中点
【解析】（1）因为 PD 底面 ABCD ， BC 面 ABCD ，所以 PD BC ，
又CD BC ， PD CD D ，所以 BC 平面 PCD，
又 DM 平面 PCD，所以 DM BC ，
因为在 PDC△ 中， PD AD ， M 为 PC 的中点，所以 DM PC ，
又 PC BC C ，所以 DM 平面 PBC ，
又 DM 平面 DMN ，所以平面 MND 平面 PBC ；
（2）设 1PD ，以 D 为坐标原点，分别以 DA
， DC
， DP
方向为 x ， y ， z 轴的正方向，
建 立 空 间 直 角 坐 标 系 D xyz ， 设 ,1,0N ， 则 1,0,1AP ， 0,1,0AB ，
,1,0DN ， 1 10, ,2 2DM
.
设 1 1 1, ,m x y z 为平面 PAB 的一个法向量，
则有 0
0
m AP
m AB
，即 1 1
1
0
0
x z
y
，令 1 1x ，可得 1,0,1m ，
设 2, ,x xn x y z 为平面 MND 的一个法向量，
则有 0
0
n DN
n DM
，即
2 2
2 2
0
1 1 02 2
x y
y z
，令 2 1x ，可得； 1, ,n ，
因为平面 MND 与平面 PAB 夹角为 30 ，所以 3
2
m n
m n
，.
即
2
1 3
22 1 2
，解得 1
2
，
故 N 为线段 BC 的中点.
【点睛】本题考查了空间线面、面面位置关系以及利用面面成角的大小判别点的位置,考查了
空间想象能力以及数学运算,属于基础题.
21. 已知椭圆 E ：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的一个焦点坐标为 F 1,0（ ），其左右顶点分别为 A ，
B ，点 M 31 2
（，）在椭圆 E 上，
（1）求椭圆 E 的标准方程；
（2）若过点 (4,0)P 的直线l 与椭圆 E 交于 ,C D 两点， ,AC BD 交于点T , 求 ATAP 的值.
【答案】（1）
2 2
14 3
x y ；（(2)18.
【解析】(1)设 ' ( 1,0)F ， ' 4 2 , 2MF MF a a ，
2 2 21, , 3c a b c b
椭圆 E 的标准方程为
2 2
14 3
x y
(2)设 1 1 2 2( , ), ( , ),C x y D x y 直线CD 的方程为 ( 4)y k x
联立 2 2
( 4)
,
14 3
y k x
x y
得 2 2 2 2(3 4 ) 32 64 12 0k x k x k
首先 0 所以
2 2
1 2 1 22 2
32 64 12,3 4 3 4
k kx x x xk k
，
直线 ,AC BD 的方程分别为 1 2
1 2
( 2), ( 2)2 2
y yy x y xx x
则
解 出 交 点 横 坐 标
83
)3(2
21
2121
xx
xxxxxT
121
12121
48)(3
)2(2
xxx
xxxxx
）（
12
2
12
2
4834
96
)234
1232(2
xk
k
xk
k
1
434
2464
434
2464
12
2
12
2
xk
k
xk
k
,从而 18AP AT
【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系以及利用基本不等式求最值,考查了逻辑推理能力
与数学运算能力,属于中档题.
22.已知函数 f(x)=2ex+aln(x+1)-2.
（1）当 a=-2 时，讨论 f(x)的单调性；
（2）当 x∈[0，π]时，f(x)≥sinx 恒成立，求 a 的取值范围.
【答案】（1）函数 f x 在(-1，0)单调递减，在 0, 单调递增；（2） 1, .
【解析】（1）当 2a 时 , 2 2ln 1 2, 1xf x e x x .
22 ,1
xf x e f xx
在 1, 单调递增，且 0 0.f
当 1,0x 时， 0f x ；当 0,x 时 , 0f x .
所以函数 f x 在(-1，0)单调递减，在 0, 单调递增.
（2）令 sin 2 ln 1 2 sin , 0,xg x f x x e a x x x
当 0,x 时， sinf x x 恒成立等价于 0 0g x g 恒成立.
由于 cos 2 cos , 0,1
x ag x f x x e x xx
，
所以（i）当 0a 时， 2 1 0,xg x e 函数 y g x 在 0, 单调递增，
所以 0 0g x g ，在区间 0, 恒成立，符合题意.
（ii）当 0a 时， 2 cos1
x ag x e xx
在 0, 单调递增， 0 2 1 1g a a .
①当1 0a
即 1 0a 时， 0 1 0,g x g a
函数 y g x 在 0, 单调递增，所以 0 0g x g
在 0, 恒成立，符合题意.
②当1 0 a 即 1a 时 , 0 1 0, 2 11
ag a g e
，
若 0g ，即 1 2 1a e 时 , g x 在 0, 恒小于 0
则 g x 在 0, 单调递减， 0 0g x g ，不符合题意.
若 0,g 即 1 2 1 1e a 时，存在 0 0,x 使得 0 0.g x
所以当 00,x x 时， 0,g x 则 g x 在 00, x 单调递减，
0 0,g x g 不符合题意，综上所述， a 的取值范围是 1, .
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及利用导数研究不等式恒成立，解题的关
键是构造函数 2 ln 1 2 sin , 0,xg x e a x x x ，不等式等价转化为
0 0g x g 恒成立，考查了分析能力、计算能力以及分类讨论的思想.
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