泸州市高 2018 级第二次教学质量诊断性考试
数学（文）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 4
页．共 150 分．考试时间 120 分钟．
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在
答题卡上指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑．
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题内区域，作图题可先用铅
笔绘出，确认后再用 0.5 毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区
域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共有 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合要求的．
1．已知集合 2A x x x ， 1 1A x x ，则 A B （ ）
A． 1,2 B． 0,1 C． 1,2 D． 0,1
2．若 1 4z i i ，则 z （ ）
A． 2 2i B． 2 2i C． 2 2i D． 2 2i
3．某调查机构对全国互联网进行行业调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图
和 90 后从事互联网行业者岗位分布图（90 后指 1990 年及以后出生，80 后指 1980-1989 年之
间出生，80 前指 1979 年及以前出生），则下列结论中不一定正确的（ ）
整个互联网行业从业者年龄分布饼状图 90 后从事互联网行业者岗位分布图
A．互联网行业从业人员中 90 后占一半以上
B．互联网行业中从事设计岗位的人数 90 后比 80 前多
C．互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多
D．互联网行业中从事市场岗位的 90 后人数不足总人数的 10%
4．若 x ， y 满足
3
2
x
x y
y x
，则 2x y 的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
5．已知一组正数 1x ， 2x ， 3x 的方差 2 2 2 2
1 2 3
1 123S x x x ，则数据 13 1x ， 23 1x ， 33 1x
的平均数为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
6．把函数 2sin cosf x x x 的图象向右平移
6
个单位长度得到函数 g x ，若 g x 在 0,a 上
是增函数，则 a 的最大值为（ ）
A．
12
B．
6
C．
3
D． 5
12
7．在 ABC△ 中， 4AB ， 2AC ，点 M 是边 BC 的中点，则 BC AM 的值为（ ）
A． 6 B．6 C． 8 D．8
8．在 ABC△ 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 2 2 2b c a bc ， 3tan 2C ，
则 tan B 的值为（ ）
A．3 3 B． 7
14 C． 3 21
14 D． 3
9
9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
正视图 侧视图 俯视图
A．1 B． 1
2 C． 1
3 D． 2
3
10．已知
lna
， 2
ln 2a ， c e ，则 a ， b ， c 的大小关系为（ ）
A． a c b B． c a b C． c b a D． b a c
11．双曲线 C ：
2 2
2 2 1x y a ba b
的左焦点和虚轴的一个端点分别为 F ， A ，点 P ，为
C 右支上一动点，若 AP PF 的最小值为5a ，则 C 的离心率为（ ）
A． 5
2 B． 2 C． 3 D． 5
12．直六棱柱的底面是正六边形，其体积是 6 3 ，则该六棱柱的外接球的表面积的最大值是
（ ）
A． 4 B．8 C．12 D． 24
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
注意事项：
（1）非选择题的答案必须用 0.5 毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，
确认后再用 0.5 毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效．
（2）本部分共 10 个小题，共 90 分．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题纸上）．
13．从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 人参加社会实践，则选中一名男同学和一名女同学
的概率为______．
14．定义在 R 上的奇函数 f x 是 , 上的增函数，若 22 0f a f a ，则实数 a 的
取值范围是______．
15．抛物线 C ： 2 4y x 的焦点为 F ，过 C 上一点 P 作 C 的准线 l 的垂线，垂足为 A ，若直线
AF 的斜率为 2 ，则 PAF△ 的面积为______．
16．关于函数 3 21
3f x x x c 头有如下四个命题：
①函数 y f x 的图象是轴对称图象；
②当 0c 时，函数 f x 有两个零点；
③函数 y f x 的图象关于点 1, 1f 中心对称；
④过点 0, 0f 且与曲线 f x 相切的直线有两条．
其中所有真命题的序号是______（填上所有正确的序号）．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 12 分）
为了解某水果批发店的日销售量，对过去 100 天的日销售量进行了统计分析，发现这 100 天
的日销售量都没有超出 4.5 吨，统计的结果见频率分布直方图．
（Ⅰ）求这 100 天中日销售量的中位数（精确到小数点后两位）；
（Ⅱ）从这 100 天中抽取了 5 天，统计出这 5 天的日销售量 y（吨）和当天的最高气温 x（℃）
的 5 组数据 , 1,2, ,5i ix y i ，研究发现日销售量 y 和当天的最高气温 x 具有的线性相关关
系，且
5
1
82i
i
x
，
5
1
18i
i
y
，
5
2
1
1620i
i
x
， 5
1
68.8i i
i
x x y y
．求日销售量 y （吨）
关于当天最高气温 x （℃）的线性回归方程 ˆˆ ˆy bx a ，并估计水果批发店所在地区这 100 天
中最高气温在 10℃~18℃内的天数．
参考公式：
1 1
2 2 2
1
1 1
ˆ
n n
i i i i
i i
n n
i
i i
x x y y x y nxy
b
x x x nx
， ˆˆa y bx ．
18．（本小题满分 12 分）
已知等差数列 na 的公差 d 不为零， 4 7a ，且 2a 是 1a 与 5a 的等比中项．
（Ⅰ）求数列 na 的通项公式；
（Ⅱ）设
1
1
n
n n
b a a
，数列 nb 的前 n 项和为 nT ，求使 20
41nT 成立的最小整数 n ．
19．（本小题满分 12 分）
如图，已知直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 的底面 ABCD 是变长为 2 的正方形， 1 4AA ，E ，F 分
别为 1A A ， AB 的中点．
（Ⅰ）求证：直线 1D E ，CF ， DA 交于一点；
（Ⅱ）求多面体 1BCD EF 的体积．
20．（本小题满分 12 分）
已知椭圆 C ：
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的离心率为 3
2
，短轴长为 2 2 ．
（Ⅰ）求 C 的方程；
（Ⅱ）设不过点 2,1T 的直线 l 与 C 相交于 A ， B 两点，且直线TA ，TB 的倾斜角互补，证
明直线l 的斜率是定值，并求出该定值．
21．（本小题满分 12 分）
设函数 ln 1 1f x x k x k ．
（Ⅰ）讨论函数 f x 的单调性；
（Ⅱ）确定 k 的所有可能值，使得存在 1m ，对任意 1,x m ，恒有 21f x x 成立．
（二）选考题：共 10 分。请考生在 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一
题计分。
22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 动 直 线 1l ： 1 , 0y x k R kk
且 与 动 直 线 2l ：
4 , 0y k x k R k 且 交点 P 的轨迹为曲线 1C ．以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为
极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线 1C 的极坐标方程；
（Ⅱ）若曲线 2C 的极坐标方程为 sin 3 03
，求曲线 1C 与曲线 2C 的交点的极坐标．
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 2 3f x x x ．
（Ⅰ）求不等式 7f x 的解集；
（Ⅱ）若 a ， b ， c 为正实数，函数 f x 的最小值为 t ，且 2a b c t ，求 2 2 2a b c 的最
小值．
泸州市高 2018 级第二次教学质量诊断性考试
数 学（文科）参考答案及评分意见
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要
考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和
难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答分数的一半；如果
后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B B C D C D A A D B D C
二、填空题：
13． 3
5
； 14． 2,1 ； 15．10； 16．①③④．
三、解答题：
17．（Ⅰ）由频率分布直方图性质知，各组频率之和为 1，
所以 0.5 0.08 0.16 0.4 0.52 0.12 0.08 0.04 2 1a ，
解得 0.3a ，
设中位数为 x ，则 0.04 0.08 0.15 0.20 2 0.52 0.5x ，
解得 2.06x ，即这 100 天中日销售量的中位数约为 2.06 吨；
（Ⅱ）因为
5
1
1 16.45 i
i
x x
，
5
1
1 3.65 i
i
y y
，
1 1
68.8
n n
i i i i
i i
x y nxy x x y y
，
所以 1
2
2 2
1
68.8 68.8ˆ 0.251620 5 16.4 275.2
n
i i
i
n
i
i
x y nxy
b
x nx
，
ˆˆ 3.6 0.25 16.4 0.5a y bx ，
所以销售量 y （吨）关于当天最高气温 x （℃）的线性回归方程是： ˆ 0.25 0.5y x ；
当 10x 时， 0.25 0.5 0.25 10 0.5 2y x ，
当 18x 时， 0.25 0.5 0.25 18 0.5 4y x ，
当最高气温早 10℃~18℃内时，日销售量在 2~4 吨，根据频率分布直方图可得再次范围的频率
为：
0.52 0.3 0.12 0.08 0.5 0.51 ，
所以估计该景区这 100 天中最高气温在 10℃~18℃内的天数约为： 0.51 100 51 天．
18．解：（Ⅰ）因为 4 7a ，则 1 3 7a d ，
因为 2a 是 1a 与 5a 的等比中项；
所以 2
2 1 5a a a ，
即 2
1 1 1 4a d a a d ，
解得 2d ，或 0d （舍去），则 1 1a ，
所以 *1 N2na n n ；
（Ⅱ）因为
1
1
n
n n
b a a
，则
1 1 1 1
2 1 2 1 2 2 1 2 1nb n n n n
，
所以 1 1 1 1 1 112 3 3 5 2 1 2 1nT n n
1 112 2 1 2 1
n
n n
，
由 20
41nT 得： 20
2 1 41
n
n
，即 20n ，
所以 20
41nT 成立的最小整数是 21n ．
19．解：（Ⅰ）连接 EF ， 1A B ，因为 E ， F 分别为 1AA ， AB 的中点．
所以 1//EF A B 且 1
1
2EF A B ．
因为 1 1 1 1ABCD A B C D 是直四棱柱，且底面是正方形，
所以 1 1// //BC AD A D ，且 1 1BC AD A D ，
即四边形 1 1A BCD 是平行四边形，
所以 1 1//A B D C 且 1 1A B D C ，
所以 1//EF D C ，且 1EF D C ，
所以四边形 1EFCD 为梯形，
所以 1D E 与CF 交于一点，记为 P ，
因为 P平面 ABCD ， P平面 1ADD A，
所以 P（平面 ABCD 平面 1 1ADD A ），
又因为平面 ABCD 平面 1 1ADD A AD ，
所以 P直线 AD ，即直线 1D E ， CF ， DA 交于一点 P ．
（Ⅱ）
1 1 1BCD EF B EFD B CD FV V V
1 1D BEF D BCFV V
1 1 1 11 2 2 1 2 43 2 3 2
2 ．
20．解：（Ⅰ）由 3
2e 得
2
2
31 4
b
a
，
又因为 2 2 2b ，所以 2b
解得： 2 8a ， 2 2b ，
故椭圆 C 的方程为
2 2
18 2
x y ；
（Ⅱ）当直线 l 的斜率不存在时，设直线 l ： 0 0 2x x x ，
且l 与 C 相交于 0 ,A x n ， 0 ,B x n 两点，
故直线TA ，TB 的斜率分别为
0
1
2TA
nk x
，
0
1
2TB
nk x
，
因为直线TA ，TB 的倾斜角互补，
所以 0TA TBk k ，即
0 0
1 1 02 2
n n
x x
，
故 2 0 ，矛盾，故直线 l 的斜率存在，
设直线l ： y kx m ，代入
2 2
18 2
x y 整理得：
2 2 21 4 8 4 8 0k x kmx m ，
设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，则 0 ，
且 1 2 2
8
1 4
kmx x k
，
2
1 2 2
4 8
1 4
mx x k
，
因为直线TA ，TB 的倾角互补，所以 0TA TBk k ，即 1 2
1 2
1 1 02 2
y y
x x
，
所以 1 2 2 12 1 2 1 0x y x y ，
即 1 2 2 12 1 2 1 0x kx m x kx m ，
所以
2
2 2
4 8 82 2 1 4 1 01 4 1 4
m kmk k m mk k
，
整理得： 2 1 2 1 0k m k ，
所以 2 1 0k 或 2 1 0m k ，
当 2 1m k 时，直线 l ： 2 1y k x 过点 2,1T ，不合题意，故舍去；
所以 2 1 0k ，即 1
2k ，即直线 l 的斜率是定．
21．解（Ⅰ）因为 ln 1 0f x x k x x ，
所以 1f x kx
，
当 0k 时， 0f x 恒成立，所以 f x 在 0, 上为增函数；
当 0 1k 时，由 1 0f x kx
得： 10 x k
，
所以 f x 在 10, k
上是增函数，在 1 ,k
上是减函数；
（Ⅱ）①当 1k 时，由（Ⅰ）知： f x 在 0,1 上是增函数，在 1, 上是减函数，
所以 1 0f x f ，故 f x f x ，
设 22 ln 1 1g x f x x x x x ，
所以
21 2 3 11 2 2 x xg x xx x
，
令 22 3 1 0x x ，得 1
1
2x ， 2 1x ，
所以函数 g x 在 1 ,12
上是增函数，在 1, 上是减函数，
所以 1 0g x g ，
所以 1k ，存在 1m ，对任意 1,x m ，恒有 21f x x 成立；
②由（Ⅰ）知：对任意 1k ，总存在 1 1m ，使函数 f x 在 11,m 上是增函数，
1 0f x f ，所以当 11,x m 时， f x f x ，
因为 1k 时，设 2 21 ln 1 1F x f x x x k x x ，
所以 21 12 1 2 2 1F x k x x k xx x
，
令 22 2 1h x x k x ，
因为 0 1 0h ， 1 1 0h k ，
所以 0h x 必有两根 1x ， 2x ，且 1 0x ， 2 1x ，
所以函数 F x 在 20, x 上的增函数，
所以对任意 1k ，存在 1 2min 1m m x ，使函数 F x 在 1,m 上是增函数，
故 1 0F x F ，即 21 0f x x ，即 21f x x ，
所以对任意 1k ，不存在 1m ，对任意 1,x m ， 21f x x 成立．
综上知， 1k ．
22．解：（Ⅰ）设直线 1l 与 2l 的交点 0 0,P x y ，
所以 0 0
1y xk
和 0 0 4y k x ，
消去参数 k 得 1C 的普通方程为 2 2
0 0 04 0x x y ，
把 0 cosx ， 0 siny 代入上式得：
2 2cos 4 cos sin 0 ，
所以曲线 1C 的极坐标方程为 4cos （ 0 且 4 ）；
（Ⅱ）将 4cos 代入 sin 3 03
得：
即 1 34cos sin cos 3 02 2
，
所以 sin 2 03
，则 1
2 6k k Z ，
即曲线 1C 与 2C 交点的极坐标分别为 2, 22 k
， 112 3, 26 k k Z
．
23．解：（Ⅰ）由不等式 7f x 可得： 2 3 7f x x x ，
可化为： 3
2 3 7
x
x x
或 3 2
2 3 7
x
x x
或 2
2 3 7
x
x x
，
解得： 4 3x 或 3 2x 或 2 3x ，
所以不等式的解集为 4,3 ；
（Ⅱ）因为 2 3 2 3 5f x x x x x ，
所以 f x 的最小值为 5t ，即 2 5a b c ，
由柯西不等式得： 22 2 2 2 2 2 22 1 1 2 25a b c a b c t ，
当且仅当 1
2b c a ，即 5
3a ， 5
6b c 时，等号成立，
所以 2 2 2a b c 的最小值为 25
6
．
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