小题压轴题专练 2—函数零点（2）
一、单选题
1．已知函数 2( ) | log |f x x ，
0,0 1
( ) 1| 2 | , 12
x
g x
x x
，则方程| ( ) ( ) | 1f x g x 的实根个数为
( )
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
解：方程| ( ) ( ) | 1 ( ) ( ) 1f x g x f x g x ，
1,0 1
( ) 1 1| 2 | , 12
x
y g x
x x
，
1,0 1
( ) 1 3| 2 | , 12
x
y g x
x x
．
（1）分别画出 ( )y f x ， ( ) 1y g x 的图象．
由图象可得： 0 1x 时，两图象有一个交点；1 2x 时，两图象有一个交点； 2x 时，
两图象有一个交点．
（2）分别画出 ( )y f x ， ( ) 1y g x 的图象．
由图象可知： 7
2x 时，两图象有一个交点．
综上可知：方程| ( ) ( ) | 1f x g x 实数根的个数为 4．
故选： C ．
2 ． 已 知 ( ) ( ) 1f x f x x ， 且 (0) 1f ， 2( ) ( ) 1g x x f x x ． 若 关 于 x 的 方 程
2( ( )) ( 1) ( ) 0g x m g x e 有三个不等的实数根 1x ， 2x ， 3x ，且 1 2 30x x x ，其中 m R ，
2e ， 71828 为自然对数的底数，则 2
1 2 3( ( )) ( ) ( )g x g x g x 的值为 ( )
A． e B． e C．1 D． 1
2
解： ( ) ( ) 1f x f x x 恒成立，可设 ( ) xf x x e ，
满足 ( ) ( ) 1 1x xf x f x x e e x ，
满足 (0) 1f ， 2( ) ( ) 1 1xg x x f x x xe ，
再令 ( )t g x ， (1 ) xt x e ，可得 1x 时， 0t ，函数t 递减； 1x 时， 0t ，函数 t 递
增，可得函数 t 在 1x 处取得最大值，且为 1 1e ，
由关于 x 的方程 2( ( )) ( 1) ( ) 0g x m g x e 有三个不等的实数根 1x ， 2x ， 3x ，
且 1 2 30x x x ，可得 2 ( 1) 1 0t m t 有两个不等实根 1t ， 2t ，
且 _1
1 1 1xt x e ， _ 2 _3
2 2 31 1x xt x e x e ，且 1 2t t e ，
可得 2 2
1 2 3 1 2( ( )) ( ) ( ) ( )g x g x g x t t e ，
故选： B ．
3．已知函数 2( ) ( 1)f x x x aln x 有且只有一个零点，则实数 a 的取值范围为 ( )
A． ( ， 0] B．[0 ， ) C． (0 ，1) (1 ， ) D．( ，0] {1}
解： 2( ) ( 1)f x x x aln x ，可得 (0) 0 1 0f aln ，
由题意可得函数 ( )f x 有且只有零点 0，
2 ( 1) 0x x aln x ， 0x ， 1x ，
可得
2
( 1)
x xa ln x
，
设
2
( ) ( 1)
x xg x ln x
， 2
(2 1) ( 1)( ) ( 1)
x ln x xg x ln x
，
当 0x 时，设 ( ) (2 1) ( 1)h x x ln x x ，
( ) 2 ( 1) 01
xh x ln x x
，
可得 ( )h x 在 (0, ) 递增，即有 ( ) (0) 0h x h ，
可得 ( ) 0g x ，即 ( )g x 在 (0, ) 递增，
由
2 ( 1)( ) 1 ( 1)
x x ln xg x ln x
， 0x ，
设 2( ) ( 1)m x x x ln x ，
21 2 3( ) 2 1 01 1
x xm x x x x
，
可得 ( ) (0) 0m x m ，即有 ( ) 1g x 恒成立；
当 1 0x ，可得 ( ) 2 ( 1) 01
xh x ln x x
，
可得 ( ) (0) 0h x h ， ( ) 0g x ，即 ( )g x 在 ( 1,0) 递增，
由 ( ) 0g x ，且
21 2 3( ) 2 1 01 1
x xm x x x x
，
可得 ( ) (0) 0m x m ，即有 ( ) 1g x 恒成立．
可得实数 a 的取值范围为 0a 或 1a ．
故选： D ．
4．函数 1 1( ) sin (x xf x e e a x x R ， e 是自然对数的底数， 0)a 存在唯一的零点，
则实数 a 的取值范围为 ( )
A． (0 ， 2 ] B． 2(0, ) C． (0 ， 2] D． (0,2)
解：函数 1 1( ) sin (x xf x e e a x x R ，e 是自然对数的底数， 0)a 存在唯一的零点等
价于：
函数 ( ) sinx a x 与函数 1 1( ) x xg x e e 只有唯一一个交点，
（1） 0 ， g （1） 0 ，
函数 ( ) sinx a x 与函数 1 1( ) x xg x e e 唯一交点为 (1,0) ，
又 1 1( ) x xg x e e ，且 1 0xe ， 1 0xe ，
1 1( ) x xg x e e 在 R 上恒小于零，即 1 1( ) x xg x e e 在 R 上为单调递减函数，
又 ( ) sinx a x ( 0)a 是最小正周期为 2，最大值为 a 的正弦函数，
可得函数 ( ) sinx a x 与函数 1 1( ) x xg x e e 的大致图象如图：
要使函数 ( ) sinx a x 与函数 1 1( ) x xg x e e 只有唯一一个交点，则（1） g
（1），
（1） cosa a ， g（1） 1 1 1 1 2e e ， 2a
，解得 2a ，
又 0a ，实数 a 的范围为 (0 ， 2 ]
．故选： A ．
5．已知函数
2| 1| 1, [ 2,0]( ) 1
2 ( 2), (0, )
x xf x x
f x x
，若函数 ( ) ( ) 2 1g x f x x m 在区间[ 2 ，4]内
有 3 个零点，则实数 m 的取值范围是 ( )
A． 1 1{ | }2 2m m B． 1{ | 1 }2m m
C． 1{ | 1 2m m 或 1}m D． 1 1{ | 2 2m m 或 1}m
解：当 2 1x 时，
2( 1)( ) 1 1 1 21
xf x x xx
，
当 1 0x 时，
2( 1)( ) 1 ( 1) 11
xf x x xx
，
当 0 1x 时， 2 2 1x ，此时 ( ) 2 ( 2) 2( 2 2) 2f x f x x x ，
当1 2x 时， 1 2 0x ，此时 ( ) 2 ( 2)f x f x
2( 2) 2 4x x ，
当 2 3x 时， 0 2 1x ，此时 ( ) 2 ( 2)f x f x
4( 2) 4 8x x ，
当 3 4x 时，1 2 2x ，此时 ( ) 2 ( 2)f x f x
2( 2 2) 2x x ，
当 0 1x 时， 2 2 1x ，此时 ( ) 2 ( 2)f x f x
2[ 2( 2) 4] 4 16x x ，
由 ( ) ( ) 2 1 0g x f x x m ，得 2 1 ( )m f x x
2, 2 1
2 , 1 0
, 0 1
3 4, 1 2
3 8, 2 3
5 16, 3 4
x
x x
x x
x x
x x
x x
，
设 ( ) ( )h x f x x ， [ 2x ， 4]，
作出 ( )h x 在[ 2 ， 4]上的图象如图：
要使 2 1m 与 ( )h x 有三个交点，则 2 1 1m 或 2 2 1 0m ，即 1m 或 1 1
2 2m ，
即实数 m 的取值范围是 1 1{ | 2 2m m 或 1}m ，
故选： D ．
6．定义在 R 上的奇函数 ( )f x 满足，当 (0,2)x 时， ( ) cos( ( 1))2f x x ，且 2x
时，有
1( ) ( 2)2f x f x ，则函数 2( ) ( )F x x f x x 在[ 2 ， 5] 上的零点个数为 ( )
A．9 B．8 C．7 D．6
解：当 (0,2)x 时， ( ) cos( ( 1)) cos( ) sin( )2 2 2 2f x x x x ，
( )f x 是奇函数， (0) 0f ，
当 2x
时，有 1( ) ( 2)2f x f x ，
f （2） 1 (0) 02 f ， f （4） 1
2 f （2） 0 ，
若 ( 2,0)x ，则 (0,2)x ，则 ( ) sin( ) sin( ) ( )2 2f x x x f x ，
即 ( ) sin( )2f x x ， ( 2,0)x
即当 2 2x 时， ( ) sin( )2f x x ，
当 2 4x 时 ， 0 2 2x ， 此 时
1 1 1 1( ) ( 2) sin[ ( 2)] sin( ) sin( )2 2 2 2 2 2 2f x f x x x x ，
当 4 5x 时 ， 2 2 3x ， 此 时
1 1 1 1( ) ( 2) sin[ ( 2)] sin( ) sin( )2 4 2 4 2 4 2f x f x x x x ，
由 2( ) ( ) 0F x x f x x ，得：
当 0x 时，由 (0) 0F ，即 0x 是 ( )F x 的一个零点，
当 0x 时，由 2 ( ) 0x f x x 得 ( ) 1xf x ，即 1( )f x x
，
作出函数 ( )f x 与 1( )g x x
在，[ 2 ， 5] 上的图象如图：
由图象知两个函数在[ 2 ， 5] 上共有 7 个交点，加上一个 0x ，
故函数 2( ) ( )F x x f x x 在[ 2 ，5] 上的零点个数为 8 个，
故选： B ．
7．已知函数 5
2
| (1 ) |, 1( ) ( 2) 2, 1
log x xf x x x
，则方程 1( 2) ( )f x a a Rx
的实数根个数不可能 ( )
A．5 个 B．6 个 C．7 个 D．8 个
解：如图所示：函数 5
2
| (1 ) |, 1( ) ( 2) 2, 1
log x xf x x x
，即
5
5
2
log (1 ), 0
( ) log (1 ),0 1
( 2) 2, 1
x x
f x x x
x x
．
因为当 ( ) 1f x 时，求得 4x ，或 4
5
，或 1，或 3．
则①当 1a 时，由方程 1( 2) ( )f x a a Rx
，可得 1 2 4x x
，或 4
5
，或 1，或 3．
又因为 1 2 0x x
，或 1 2 4x x
，
所以，当 1 2 4x x
时，只有一个 2x 与之对应，其它 3 种情况都有 2 个 x 值与之对
应．
故此时，原方程 1( 2)f x ax
的实数根有 7 个根．
②当1 2a 时， ( )y f x 与 y a 有 4 个交点，故原方程有 8 个根．
②当 2a 时， ( )y f x 与 y a 有 3 个交点，故原方程有 6 个根．
综上：不可能有 5 个根，
故选： A ．
8． 2( ) 2f x x ax 有两个零点 1x ， 2x ， 2( ) 1g x x x a 有两个零点 3x ， 4x ，若
1 3 4 2x x x x ，则实数 a 的取值范围是 ( )
A． ( 1,1) B． (1, ) C． 5( , )4
D． 5( , 1)4
解：由 2( ) 2 0f x x ax 得 2 2ax x ，则
2 2 2xa xx x
，则方程 2a x x
的两个根
为 1x ， 2x ，
由 2( ) 1 0g x x x a 得 2 1a x x ，则方程的两个根为 3x ， 4x ，
由 22 1a x x xx
，得 222 1x xx
，即
2
22( 1) 1x xx
，即 2 2( 1)(1 ) 0x x
，
得 1x ，或 2x ，
当 1x 时， 2 1 2 1x x
，当 1x 时， 2 1 2 1x x
，
当 2x 时， 2 2 1 1x x
，
做出函数 2y x x
和 2 1y x x 的图象如图：
要使 y a 与 2y x x
的交点横坐标 1x ， 2x 和
与 2 1y x x 交点的横坐标 3x ， 4x ，
满足 1 3 4 2x x x x ，则直线 y a 必须在 1y 和 1y 之间，即 1 1a ，
即实数 a 的取值范围是 ( 1,1) ，
故选： A ．
9．关于 x 的方程 | | | | 01 14
t x
x tx t
有四个不同的实数根，且 1 2 3 4x x x x ，则
4 1 3 2( ) ( )x x x x 的取值范围 ( )
A． (2 6,4 3) B． (2 6,4 2 2) C． (4 2 2,4 3) D．[2 6,4 3]
解：依题意可知， 2 2| 4 1| 1x x t ，由方程有四个根，所以函数 2 1y t 与 2| 4 1|y x x
的图象有四个交点，
由图可知， 1 4 4x x ， 2 3 4x x ， 21 1 3t ，解得 2 (0,2)t ，
由 2 24 1 1x x t 解得 2
1 2 4x t ；
由 2 2( 4 1) 1x x t 解得 2
2 2 2x t ；
所以 2 2
4 1 3 2 1 2( ) ( ) 8 2( ) 2( 4 2 )x x x x x x t t
设 2 (0,2)m t ， 4 2n m m ，
2 2 24 2 2 2 8 6 2 ( 1) 9 (6,6 4 2)n m m m m m ，
即 ( 6m ， 2 2) ，所以 4 1 3 2( ) ( )x x x x 的取值范围是 (2 6 ， 4 2 2) ．
故选： B ．
10．已知函数 1, 0( ) ( 1), 0
x xf x f x x
， 3( ) ( )g x ax f x ．若函数 ( )g x 恰有两个非负零点，则
实数 a 的取值范围是 ( )
A． 4 (1, )27
B． 1 1 4[ , ]27 8 27
C． 1 1 4[ , ] (1, )27 8 27
D． 1 1[ , ] (1, )27 8
解：显然， 0x 满足 ( ) 0g x ，因此，只需再让 ( ) 0g x 有另外一个唯一正根即可．
3 ( ) 0ax f x ，即为 3 ( )ax f x ．作出 3( )h x ax ， ( )y f x 图象如下：
说明：射线与线段是 ( )y f x 的部分图象，因为要分三种情况分析，故 ( )y h x 的图象作了
三个（只做出 y 轴右侧部分），分别对应①、②、③．
（1）对于第一种情况：因为 (0) 0 1h ，所以当 ( )y h x （如图象① ) 与 ( )y f x x 在[0 ，
1) 上的图象有交点 A 时，只需 h （1） 1a 即可；
（2）对于第二种情况： ( )y h x （图象② ) 与 ( ) 1y f x x 在[1， 2) 上的图象切于点 B ，
设切点为 ( , 1)m m ，因为 2( ) 3h x ax ，则
2
3
3 1
1
am
m am
，解得 4
27a ；
（3）当 ( )y h x （图象③ ) 与 1(1 2)y x x 相交于点 C ，且满足 h（2） 1 ，即 1
8a 时，
只需 [2x ， 3) 时， ( ) 0g x
恒成立即可．
所 以 3 2ax x
， [0x ， 2] 恒 成 立 即 可 ， 且 只 能 在 3x 处 取 等 号 ， 即 3
2xa x
，
3
2 , 2,3xu x xx
令 ， 4
2( 3)( ) 0xu x x
在[2 ，3] 上恒成立，故 ( )u x 在[2 ，3] 上递增，
所以 ( )maxu x u （3） 1
27
， 1
27a故
．故此时 1 1
27 8a 即为所求．
综上可知， a 的范围是 1 1 4[ , ] { } (1, )27 8 27
．
故选： C ．
二、多选题
11．已知函数 , 0( ) (2
( 1), 0
x
x
me mx xf x e
e x x
为自然对数的底数），若方程 ( ) ( ) 0f x f x 有且
仅有四个不同的解，则实数 m 的值不可能为 ( )
A． e B． 2e C．6 D．3e
解：设 ( ) ( ) ( )F x f x f x ，可得 ( ) ( )F x F x ，即有 ( )F x 为偶函数，
由题意考虑 0x 时， ( )F x 有两个零点，
当 0x 时， 0x ， ( ) 2
x mf x e mx ，
即有 0x 时， ( ) 2 2
x x x xm mF x xe e e mx xe mx ，
由 ( ) 0F x ，可得 02
x mxe mx ，
由 xy xe ， 1( )2y m x 相切，设切点为 ( , )tt te ，
xy xe 的导数为 ( 1) xy x e ，可得切线的斜率为 ( 1) tt e ，
可得切线的方程为 ( 1) ( )t ty te t e x t ，
由切线经过点 1(2
， 0) ，可得 1( 1) ( )2
t tte t e t ，解得 1t 或 1
2
（舍去），
即有切线的斜率为 2e ，
由图象可得 2m e 时，直线与曲线有两个交点，
综上可得 m 的范围是 (2 , )e ，不可能是 e ， 2e ，
故选： AB ．
12．定义在 R 上的函数 ( )f x 满足 2( ) ( )f x f x x ，且当 0x 时， ( )f x x ，记集合
2 21 1{ | ( ) (1 ) (1 ) }2 2A x f x x f x x
，若函数 ( ) xg x e e x a 在 x A 时存在零点，则
实数 a 的取值可能是 ( )
A． 1
2 B．
2
e C．
2
e D． e
解：令函数 21( ) ( ) 2T x f x x ，因为 2( ) ( )f x f x x ，
2 2 21 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 02 2T x T x f x x f x x f x f x x ，
( )T x 为奇函数，
当 0x 时， ( ) ( ) 0T x f x x ， ( )T x 在 ( ， 0]上单调递减， ( )T x 在 R 上单调递减．
存在 0 { | ( ) (1 )}x x T x T x
，得 0 0( ) (1 )T x T x
， 0 01x x ，即 0
1
2x ，
( ) xg x e ex a ； 1( )2x ，
0x 为函数 ( )y g x 的一个零点；
当 1
2x 时， ( ) 0xg x e ex ，函数 ( )g x 在 1
2x 时单调递减，
由选项知 0a ，取 1
2
ax
e
，
又 ( ) 0
a
eag e
e
，要使 ( )g x 在 1
2x 时有一个零点，
只需使 (g 1 1) 02 2e e a ，解得
2
ea
a 的取值范围为[ 2
e ， ) ，
故选： BCD ．
13．关于函数 ( ) sinxf x e a x ， ( , )x ，下列结论正确的有 ( )
A．当 1a 时， ( )f x 在 (0 ， (0))f 处的切线方程为 2 1 0x y
B．当 1a 时， ( )f x 存在唯一极小值点 0x
C．对任意 0a ， ( )f x 在 ( , ) 上均存在零点
D．存在 0a ， ( )f x 在 ( , ) 上有且只有一个零点
解： : ( ) sinxA f x e a x ，则 ( ) cosxf x e a x ，
当 1a 时， ( ) cosxf x e x ，则 (0) 1 1 2f ，
因为 (0) 1f ，所以切线过 (0,1) 点，斜率为 2，所以切线方程为 2 1 0x y ，故 A 正确；
B ：由 A 可知，当 1a 时， ( ) sinxf x e x ， ( ) cosxf x e x ，
作出 xy e 和 cosy x 的图象，如图所示：
由图易知：存在 0 ( , )2x 使得 cosxe x ，
故当 0( , )x x 时， ( ) 0f x ， ( )f x 是单调递减的；
当 0(x x ， ) 时， ( ) 0f x ， ( )f x 是单调递增的，
所以 ( )f x 存在唯一的极小值点，故 B 正确；
C ， : ( ) sinxD f x e a x ， ( , )x ，令 ( ) 0f x ，即 sin 0xe a x ，
当 ( , 1)x Z k k k 时， sin 0x ，上式显然不成立，
故上述方程可化为
sin
xea x
，令 ( ) sin
xeg x x
，则 2
2 cos( )4( ) sin
xe x
g x x
，
令 ( ) 0g x ，则 3
4x k ，所以当 3( , )4x k k 时， ( )g x 单调递减；
当 3( , )4x k k 时， ( )g x 单调递增，存在极小值
3 3
4 43( ) 2 24f e e
k
k
，
1( , )4x k k 时， ( )g x 单调递增； 1( , )4x k k 时， ( )g x 单调递减，
存在极大值
1 1
4 41( ) 2 24f e e
k
k ，故选项 C 中任意 0a 均有零点错误，
选项 D 中存在 0a 有且仅有唯一零点，此时
1
42a e
， D 正确．
故选： ABD ．
14．已知函数 2
2
( 2)
log ( 1) , 1
( )
2 , 1x
x x
f x
x
，若关于 x 的方程 ( )f x m 有四个不等实根 1x ， 2x ，
3x ， 4 1 2 3 4( )x x x x x ，则下列结论正确的是 ( )
A．1 2m B． 1 1sin cos 0x x
C． 3 44 1x x D． 2 2
1 2 2mx x log 的最小值为 10
解：作出 ( )f x 的图像如下：
若 1x 时， 2( ) | log ( 1) |f x x ，
令 ( ) 2f x ，得 2| log ( 1) | 2x ，即 2log ( 1) 2x 或 2log ( 1) 2x ，
所以 21 2x 或 21 2x ，解得 3x 或 3
4x ，
令 ( ) 1f x ，得 2| log ( 1) | 1x ，即 2log ( 1) 1x 或 2log ( 1) 1x ，
所以 1 2x 或 11 2x ，解得 1x 或 1
2x
若 1x 时， 2( 2)( ) 2 xf x ，令 ( ) 2f x ，得 2( 2)2 2x ，解得 1x 或 3 ，
令 ( ) 1f x ，得 2( 2)2 1x ，即 2( 2) 0x ，解得 2x ，
当1 2m 时， ( )f x m 有四个实数根，故 A 正确，
由图可知 13 2x ， 22 1x ， 3
3 1
4 2x ， 41 3x ，
对于选项 :1 2A m ， ( )f x m 有 4 个根，故 A 正确．
对于选项 B ：因为 13 2x ，所以当 1
33 4x ， 1 1sin cosx x
，即 1 1sin cos 0x x
，
当 1
3 24 x ， 1 1sin cosx x ，即 1 1sin cos 0x x ，故 B 错误，
对于选项 C ：因为 3
3 1
4 2x ，所以 33 4 2x ，所以 3 42 4 1x x ，故 C 错误，
对于选项 D ：令 2 2
1 2 log 2my x x ，由于 2
1( 2)2 x m ， 2
2( 2)2 x m ，
则 1 2 2x log m ， 2 2 2x log m ，
所以 2 2 2 2
1 2 2 2 2log 2 ( 2) ( 2) log 2 2log 8 log 2m m my x x log m log m m
2
2 2
2 2
2 12log 8 2log 82
logm mlog m log m
，
因为1 2m ，所以 2log 0m ，
所以 2
2
12log 8 2 8 102y m log m
，当且仅当 2
2
12log 2m log m
，即 2m 时，取等
号，所以 2 2
1 2 log 2mx x 的最小值为 10，故 D 正确．
故选： AD ．
三、填空题
15．已知函数
2
2
| 2 |, 0
( ) 1 , 03
x
x ax a x
f x e ex a xx
，若存在实数 k ，使得函数 ( )y f x k 有 6 个零点，
则实数 a 的取值范围为 3( ,3)2
．
【解答】解：由题得函数 ( )y f x 的图象和直线 y k 有六个交点，显然有 0a ， 2 0a a ，
当 0x 时， 2
( 1)( ) ( 0)
xe xf x xx
，
函数 ( )f x 在 (0,1) 单调递减，在 (1, ) 单调递增，且 21(1) 03f a ，
由 题 得 2 21( ,| |), (0, ), (1, )3A a a a B a C a ， A ， B ， C 三 点 的 高 度 应 满 足 A B ch h h
或
B A Ch h h
，所以 21| 1| 3a a a a
或 21| 1| 3a a a a
，
0a ， 2 0a a ， 2 3a 或 3 22 a ，综合得 3 32 a ．
故答案为： 3( ,3)2
．
16．已知函数 ( ) ( )(xf x xe a x lnx e 为自然对数的底数）有两个不同零点，则实数 a 的取
值范围是 ( , )e ．
解：由 ( ) ( )( 0)xf x xe a x lnx x ，
当 0x lnx 时，由零点存在性定理可知， 0 (0,1)x ，使得方程 0x lnx 成立；
当 0x lnx 时，令 ( ) 0f x ，则 ( 0
xxea xx lnx
且 0 )x x ，
令 ( ) ( 0
xxeg x xx lnx
且 0 )x x ，则 2
( 1)[( 1) ]( ) ( )
xe x x lnxg x x lnx
，
当 0x 且 0x x 时， ( 1) 0xe x ，
又当 00 x x 或 0 1x x 时， 1 0x lnx ， ( ) 0g x ，
此时 ( )g x 在 0(0, )x 和 0(x ，1) 上单调递减；
当 1x 时， 1 0x lnx ， ( ) 0g x ，此时 ( )g x 单调递增，
( )g x g 极小值 （1） e ，且极小值唯一，
要使 ( )g x 有两个不同零点，只需函数 y a 与 ( )g x 有两个交点，
a g （1） e ，
a 的取值范围为 ( , )e ．
17．已知关于 x 的方程 2 1 22 2 1x ax x ax 在区间 1[2
， 3] 上有两个不相等的实数根，则
实数 a 的取值范围为 5(2, ]2
．
解：因为方程 2 1 22 2 1x ax x ax ，所以变形为 2 1 22 ( 1) 2x axx ax ，
令 ( ) 2tf t t ，则有 2( 1) ( )f x f ax ，
因为 ( ) 2tf t t 在 R 上单调递增，所以 2( 1) ( )f x f ax 即为 2 1x ax ，
故当 1[ ,3]2x 时， 2 1x ax 有两个不相等的实数根，
在 2 1 0x ax 中，则有
1 32 2 1
0
1( ) 02
(3) 0
a
f
f
，即
2
1 6
4 0
1 1 1 04 2
9 3 1 0
a
a
a
a
，解得 52 2a ，
所以实数 a 的取值范围为 5(2, ]2
．
故答案为： 5(2, ]2
．
18.已知函数
2 2 6, 0( )
, 0
x x xf x
lnx x
，若函数 ( ) ( ) 2g x f x mx 有四个零点，则实数 m 的
取值范围是 (2, )e ．
解：若函数 ( ) ( ) 2g x f x mx 有四个零点，需 ( )y f x 和 2y mx 有四个交点，
当 0x 时，作出函数 ( )f x lnx 和 2y mx 的图象如下图所示，
直线 2y mx 恒过定点 (0, 2) ，
设 2y mx 于 y lnx 相切于点 0(x ， 0 )y ，则 0 0 2y mx ， 0 0y lnx ，
由 y lnx ，得 1y x
，所以
0
1 mx
，解得 0
1 ,x m ee
，
即当 0 m e 时，函数 ( )f x lnx 与 2y mx 有两个交点，
当 0x 时，若 2y mx 与 2 2 6y x x 有两个交点，需 2 2 4( 0)mx x x x 有两个
不相等的实根，
当 0x 时， m 无解；
当 0x 时， 42m x x
，
由对勾函数图象可得，当 2 4m ，即 2m 时， 2y m 与 4y x x
有两个交点，
故 2y mx 与 2 2 6y x x 有两个交点，
综上可得，当 2 m e 时，函数 ( ) ( ) 2g x f x mx 有四个零点．
故答案为： (2, )e ．
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