小题压轴题专练 9—椭圆（2）
一、单选题
1．动直线 y x n 与椭圆
2
2 14
x y 有两个不同的交点 A ，B ，在椭圆上找一点 C 使 ABC
的面积 S 最大，则 S 的最大值是 ( )
A．1 B．2 C．3 3 D． 3 3
2
解：设 1(A x ， 1)y ， 2(B x ， 2 )y ，
联立 2
2 14
y x n
x y
，得 2 25 8 4 4 0x nx n ，
△ 2 2 264 20(4 4) 80 16 0n n n ，得 5 5n ．
1 2
8
5
nx x ，
2
1 2
4 4
5
nx x ，
2 2
2
1 2
64 4(4 4) 4 2| | 2 | | 2 525 5 5
n nAB x x n ，
当过 C 点直线与动直线平行且与椭圆只有一个交点时， C 点到动直线距离取到最值（最
大或最小），
不妨设过 C 点直线方程为 y x b ，联立 2
2 14
y x b
x y
，整理得 2 25 8 4 4 0x bx b ，
则根据△ 2 264 20(4 4) 0b b ，可得 5b ，
不妨取 5b ，则 C 到直线 AB 的距离 | 5 |
2
nd ，
2 21 1 4 2 | 5 | 2| | 5 5 ( 5 )2 2 5 52ABC
nS d AB n n n
，
令 5 n t ， (0,2 5)t ，则 5n t ．
2 4 32 25 ( 5 ) 2 55 5ABCS t t t t ．
令 4 3( ) 2 5g t t t ，则 3 2 2( ) 4 6 5 (4 6 5)g t t t t t ．
当 3 5(0, )2t 时， ( ) 0g t ，当 3 5( 2t ， 2 5) 时， ( ) 0g t ，
3 5 675( ) ( )2 16maxg t g ．
ABCS 的最大值为 2 675 3 3
5 16 2
．
故选： D ．
2．已知椭圆与双曲线有公共焦点， 1F ， 2F ， 1F 为左焦点， 2F 为右焦点， P 点为它们在第
一象限的一个交点，且 1 2 4F PF ，设 1e ， 2e 分别为椭圆双曲线离心率，则
1 2
1 1
e e
的最大
值为 ( )
A． 2 B． 2 2 C．3 2 D． 4 2
解：设椭圆与双曲线的标准方程分别为：
2 2
2 2
1 1
1x y
a b
，
2 2
2 2
2 2
1x y
a b
．
且 2 2 2 2 2
1 1 2 2c a b a b ， 1a ， 2a ， 1b ， 2 0b ．
设 1| |PF m ， 2| |PF n ，
则 12m n a ， 22m n a ．
解得： 1 2m a a ， 1 2n a a ．
2 2 2(2 ) 2 cos 4c m n mn ，
2 2
1 1 2 1 24 (2 ) ( )( )(2 2)c a a a a a ，
2 2 2
1 1 2
1 1 14 4 (2 2)( )e e e
，
化为： 2 2
1 2
2 2 2 2 4e e
．
令
1
2 2( e
，
2
2 2 )e
， 1(
2 2
， 1 )
2 2
．
| | | | | | ，
2
2 2
1 2 1 2
1 1 2 2 2 2 1 1( ) ( )( )
2 2 2 2e e e e
．
1 2
1 1 44 2 22e e
．当且仅当 1
2
3 2 2e
e
时取等号．
故选： B ．
3．设椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的右焦点为 F ，椭圆 C 上的两点 A 、 B 关于原点对称，
且满足 0FA FB
，| | | | 2 | |FB FA FB ，则椭圆 C 的离心率的取值范围是 ( )
A． 2[ 2
， 5]3 B． 5[ 3
，1) C． 2[ 2
， 3 1] D．[ 3 1 ，1)
解：作出椭圆的左焦点 F ，由椭圆的对称性可知，四边形 AFBF 为平行四边形，
又 0FA FB
，
即 FA FB ，故平行四边形 AFBF 为矩形，
| | | | 2AB FF c ，
设 AF n ， AF m ，
则在直角三角形 ABF 中， 2m n a ， 2 2 24m n c ，①
得 22mn b ，②
① ②得
2
2
2m n c
n m b
，令 m tn
，得
2
2
1 2ct t b
，
又由| | | | 2 | |FB FA FB ，得 [1m tn
， 2]，
2
2
1 2 [2ct t b
， 5]2
，即
2
2 [1c
b
， 5]4
即
2
2
51 4
c
b ，得
2
2
4 15
b
c ，即
2 2
2
4 15
a c
c
，即
2
2
4 1 15
a
c
，
则
2
2
9 25
a
c ，即
2
2
1 5
2 9
c
a ，得 1 5
2 9e 得 2 5
2 3e
则椭圆的离心率的取值范围是 2[ 2
， 5]3
，
故选： A ．
4．已知直线l 与椭圆
2
2
2: 1(0 1)yE x bb
相切于第一象限的点 0(P x ， 0 )y ，且直线l 与 x 轴、
y 轴分别交于点 A 、 B ，当 (AOB O 为坐标原点）的面积最小时， 1 2 1(3F PF F 、 2F 是椭
圆的两个焦点），则此时△ 1 2F PF 中 1 2F PF 的平分线的长度为 ( )
A． 2 3
5 B． 4 3
5 C． 2 3
15 D． 4 3
15
解：由题意，切线方程为 0
0 2 1y yxx b
，
直线l 与 x 、 y 轴分别相交于点 A 、 B ，
0
1(A x
， 0) ，
2
0
(0, )bB y
，
2
0 0
1
2AOB
bS x y ，
2
2 0 0 0
0 2
21 y x yx b b
0 0
1 2
x y b
，
AOBS b
，当且仅当 0
0
2
2
yx b
时， (AOB O 为坐标原点）的面积最小，
设 1| |PF x ， 2| |PF y ，则 2 2x y a ，由余弦定理可得 2 2 24c x y xy ， 24
3xy b ，
△ 1 2PF F 的面积 21 3sin2 3 3S xy b ，
2
0
1 322 3c y b ，
2
0
3 2
3 2
by bc
， 6
3c b ，
2 2 2 1c b a ， 15
5b ，
设△ 1 2F PF 中 1 2F PF 的平分线的长度为 m ，
则 1 2
1 1 3 3| | sin | | sin ( )2 6 2 6 4 2 3 5
m mPF m PF m x y ，
2 3
5m ，
故选： A ．
5．已知点 0(P x ， 0 0)( )y x a 在椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
上，若点 M 为椭圆 C 的右顶点，
且 (PO PM O 为坐标原点），则椭圆 C 的离心率 e 的取值范围是 ( )
A． 3(0, )3 B． 3( 3
，1) C． 2( 2
，1) D． 2(0, )2
解：由题意知 ( ,0)M a ，点 0(P x ， 0 )y ，
则 0(PO x ， 0 )y ， 0(PM a x ， 0 )y ，
PO PM ， 0 0 0( )( ) ( )( ) 0PO PM x a x y y
，
2 2
0 0 0 0y ax x ；
又 0a x a ，代入椭圆方程中，
整理得 2 2 2 3 2 2
0 0( ) 0b a x a x a b ；
令 2 2 2 3 2 2( ) ( ) 0f x b a x a x a b ， ( , )x a a ；
2 2(0) 0f a b ， f （a） 0 ，
如图所示：△ 3 2 2 2 2 2 2( ) 4 ( ) ( ) (a b a a b a 4 2 2 4 2 2 2 24 4 ) ( 2 ) 0a a b b a a c
，
对称轴满足
3
2 20 2( )
a ab a
，即
3
2 20 2( )
a aa b
，
2
2 12
a
c
，
2
2
1
2
c
a
， 2
2
ce a
；
又 0 1e ， 2 12 e ；则椭圆 C 的离心率 e 的取值范围是 2( 2
，1) ．
故选： C ．
6．已知 1F ， 2F 是椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yE a ba b
的左右焦点，若 E 上存在不同两点 A ， B ，
使得 1 23F A F B ，则该椭圆的离心率的取值范围为 ( )
A． ( 3 1 ，1) B． (0, 3 1) C． (2 3 ，1) D． (0,2 3)
解：延长 1AF 交椭圆于 1A ，根据椭圆的对称性，则 2 1 1F B A F ， 1 1 13F A A F ，
设直线 1AA 的方程 x my c ， 1(A x ， 1)y ， 1 2(A x ， 2 )y ，
联 立 2 2
2 2 1
x my c
x y
a b
， 整 理 得 ： 2 2 2 2 2 4( ) 2 0b m a y b mcy b ， 则
2
1 2 2 2 2
2b mcy y b m a
，
4
1 2 2 2 2
by y b m a
，
由 1 1 13F A A F ，则 1 23y y ，
解得：
2
2 2 2 2
2
(1 3)( )
b mcy
b m a
，
2
1 2 2 2
2 3
(1 3)( )
b mcy
b m a
，
由
2 2 4
1 2 2 2 22 2 2 2 2 2
2 3 2
(1 3)( ) (1 3)( )
b mc b mc by y b m ab m a b m a
， 整 理 得 ：
2
2
2 2
(2 3) 0
2 3 (2 3)
am
c b
，
则 2 22 3 (2 3) 0c b ，即
2
2
2
2 3 (2 3)
2 3
c
a
，
椭圆的离心率 2 3ce a
，
椭圆的离心率的取值范围 (2 3 ，1) ，
方法二：利用椭圆的极坐标方程．
由 1 2F A F B ，且 1| | 1 cos
epF A e
， 1 1| | 1 cos
epA F e
，
由 1 1 2A F F B ，所以
1 cos 1 cos
ep ep
e e
，整理得 1cos 1e
，其中 [0 ， 2 ) ，
由 A ， B 不重合，所以 0 ，
3 1cos
3 1
e e
，解得 2 3e ，所以，椭圆的离心率的取值范围 (2 3 ，1) ，
故选： C ．
7．已知点 A 为椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的左顶点， ( ,0)F c 为椭圆的右焦点， B 、 E 在
椭 圆 上 ， 四 边 形 OABE 为 平 行 四 边 形 (O 为 坐 标 原 点 ）， 过 直 线 AE 上 一 点 P 作 圆
2
2 2( ) 4
bx c y 的切线 PQ ，Q 为切点，若 PQF 面积的最小值大于
2
8
b ，则椭圆 C 的离心
率的取值范围是 ( )
A． 10 2(0, )3
B． 10 2( ,1)3
C． 5 1(0, )3
D． 5 1( ,1)3
解：因为四边形 OABE 为平行四边形，
所以 / /BE AO ，| | | |BE AO a ，
设 E 点纵坐标为 m ，代入椭圆的方程得
2 2
2 2 1x m
a b
，
解得 2 2ax b mb
，
则 2 2 2 2( )a ab m b m ab b
，解得 3
2m b ，
当 3
2m b ，可得 2 23( )2 2
a ax b bb
，
(2
aE ， 3 )2 b ， ( ,0)A a ，
所以直线 AE 的方程为
3
32 ( ) ( )3 3
2
b by x a x aaa
，
化简可得 3 3 3 0bx ay ab ，
所以| |minPF 即为点 F 到直线 AE 的距离
2 2
3 ( )
3 9
b a cd
b a
，
所以 2 2 2 21| | 4PQ d R d b ，
所以
2
2 21 1 1( ) | |2 2 2 4 8PFQ min
b bS PQ R d b ，
整理得 2 21
2d b ，
故
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
3 ( ) 3( ) ( 1) 1
3 9 3( ) 9 4 2
b a c a c b e b bb a a c a e
，
所以 2 21( 1) (4 )2e e ，
所以 23 4 2 0e e ，
所以 2 10 (3e s 舍去）或 10 2
3e ，
所以 e 的取值范围为 10 2( 3
，1) ．
故选： B ．
8．已知 1F ， 2F 是离心率为 1
3
的椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的焦点， M 是椭圆上第一象限的
点，若 I 是△ 1 2MF F 的内心，G 是△ 1 2MF F 的重心，记△ 1 2IF F 与△ 1GF M 的面积分别为 1S ，
2S ，则 ( )
A． 1 2S S B． 1 22S S C． 1 23 2S S D． 1 24 3S S
解：离心率为 1
3
， 1
3
c
a
，则 3a c ， 2 2 28 2 2b a c c c ，
设 M 的坐标为 0(x ， 0 )y ，三角形△ 1 2MF F 的面积为 S ，
则 0 0
1 22S c y cy ， G 是△ 1 2MF F 的重心， 1
3GO OM ，
即 2
1
3S S ，设内切圆的半径为 r ，则
1 2 1 21 2MF I MIF MF FS S S IF F S ，
则 1 1 0
1 1 1 1 12 ( ) 2 2 22 2 2 2 2cr MF MF r cr ar cy ，
即 0( )c a r cy ，即 04cr cy ，则 0
4
yr ，则 0
1
1 122 4 4
yS cr cr c S ，
即则 1
2
1
34
1 4
3
SS
S S
，即 1 24 3S S ，故选： D ．
9．已知椭圆
2
2: 12
xC y ，直线 l 过椭圆 C 的左焦点 F 且交椭圆于 A 、 B 两点， AB 的中
垂线交 x 轴于 M 点，则 2
| |
| |
FM
AB
的取值范围为 ( )
A． 1 1( , )16 4 B． 1 1[ , )8 4 C． 1 1( , )16 2 D． 1 1[ , )8 2
解：由椭圆的方程：
2
2 12
x y ，可得左焦点 ( 1,0)F ，
( )i 当直线l 的斜率为 0 时，则直线 l 为 x 轴， AB 的中垂线为 y 轴，这时 M 与原点 O 重合，
这时| | 2 2 2AB a ，| | 1FM c ，
所以 2
| | 1
| | 8
FM
AB
，
( )ii 当直线l 的斜率不存在时， AB 的中垂线为 x 轴，舍去，
( )iii 当直线的斜率不为 0 时，设直线 l 的方程为 1x my ，设 A ，B 的坐标分别为 1(x ， 1)y ，
2(x ， 2 )y ，
联立直线与椭圆的方程： 2
2
1
12
x my
x y
，整理可得： 2 2(2 ) 2 1 0m y my ，
1 2 2
2
2
my y m
， 1 2 2
1
2y y m
，
所以弦长
2 2
2 2 2
1 2 1 2 2 2 2 2
4 4 2 2(1 )| | 1 ( ) 4 1 (2 ) 2 2
m mAB m y y y y m m m m
，
2
1 2 1 2 2 2
2 4( ) 2 22 2
mx x m y y m m
，
所以 AB 的中点坐标 2
2(2 m
， 2 )2
m
m
，
所以直线 AB 的中垂线方程为： 2 2
2( )2 2
my m xm m
，
令 0y ，可得 2
1
2x m
，所以 2
1(2M m
， 0) ，
所以
2
2
1| | 2
mFM m
，
所以
2
2 2 2
| | 1 2 1 1 1(1 ) (| | 8 1 8 1 8
FM m
AB m m
， 1)4
，
综上所述 2
| |
| |
FM
AB
的取值范围 1[8
， 1)4
，
故选： B ．
10．已知 1F ， 2F 是椭圆
2
2
2: 1( 1)xC y aa
的左、右焦点，且椭圆上存在一点 P ，使得
1 2
2
3F PF ，若点 M ， N 分别是圆 2 2: ( 3) 3D x y 和椭圆 C 上的动点，则当椭圆 C 的
离心率取得最小值时， 2| | | |MN NF 的最大值是 ( )
A． 4 3 3 B．3 4 3 C． 4 3 2 D．3 4 2
解：若要满足椭圆上存在一点 P ，使得 1 2
2
3F PF ，只需 1 2F PF 的最大值不小于 2
3
即可，
在三角形 1 2PF F 中，由余弦定理可得：
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
| | | | | | (| | | |) 4cos 12| || | 2| || |
PF PF F F PF PF cF PF PF PF PF PF
2 2 2
2
21 21 2
2 2 21 1 1| | | |2 | || | ( )2
b b b
PF PFPF PF a
，
当且仅当 1 2| | | |PF PF a ，即此时 P 为椭圆短轴的端点时， 1 2F PF 最大，
如图，不妨设 P 点为短轴的上顶点时， 1 2F PF 最大，设 1 2F PF ，则 2
3
，
所以 3sin [ ,1)2 2
ce a
，因此当椭圆 C 的离心率取得最小值 3
2
时， 2 4a ，故椭圆的标
准方程为
2
2 14
x y ，
连接 DN ，则 2 2(| | | |) 3 (| | | |)max maxMN NF DN NF ，所以只需研究 2| | | |DN NF 的最
大值即可，
连接 1NF ， 1DF ， 2 1 1| | | | 4 | | | | 4 | | 4 2 3DN NF DN NF DF ，当且仅当 N ，D ， 1F
三点共线 (N 点在线段 1DF 的延长线上）时，不等式取得等号，
所以 2| | | |DN NF 的最大值 4 2 3 ，故 2| | | |MN NF 的最大值是 4 3 3 ．
故选： A ．
二、多选题
11．设椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，点 P 在椭圆上，且 1 1 2PF F F ，
1
4| | 3PF ， 2
14| | 3PF ．过点 ( 2,1)M 的直线 l 交椭圆于 A ， B 两点，且 A ， B 关于点 M 对
称，则下列结论正确的有 ( )
A．椭圆的方程为
2 2
19 4
x y
B．椭圆的焦距为 5
C．椭圆上存在 4 个点 Q ，使得 1 2 0QF QF
D．直线l 的方程为8 9 25 0x y
解：由椭圆的定义知 1 22 | | | | 6a PF PF ，故 3a ，
因为 1 1 2PF F F ，所以 2 2
1 2 2 1| | | | | | 2 5 2F F PF PF c ，所以 5c ， 2b ，
所以椭圆的方程为
2 2
19 4
x y ，
所以椭圆的焦距为 2 2 5c ，则 A 正确， B 错误，
由 1 2 0QF QF 知 1 2 90FQF ，故点 Q 在以 1 2F F 为直径的圆上，
由 c b 知圆与椭圆有 4 个交点， C 正确，
依题意知点 ( 2,1)M 为弦 AB 的中点，设 1(A x ， 1)y ， 2(B x ， 2 )y ，
则
2 2
1 1
2 2
2 2
19 4
19 4
x y
x y
，两式作差可得 1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) ( )( ) 09 4
x x x x y y y y ，
因为 1 2 4x x ， 1 2 2y y ，所以 1 2
1 2
8
9AB
y y
x x
k ，
故直线 l 的方程为： 81 ( 2)9y x ，即8 9 25 0x y ， D 正确，
故选： ACD ．
12．已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，其长轴长是短轴长的 5
4
，
若点 P 是椭圆上不与 1F ， 2F 共线的任意点，且△ 1 2PF F 的周长为 16，则下列结论正确的是 (
)
A． C 的方程为
2 2
125 16
x y
B． C 的离心率为 4
5
C．双曲线
2 2
15 4
x y 的渐近线与椭圆 C 在第一象限内的交点为 10 4( , 5)3 3
D．点Q 是圆 2 2 25x y 上一点，点 A ， B 是 C 的左、右顶点 (Q 不与 A ， B 重合），设
直线 PB ，QB 的斜率分别为 1k ， 2k ，若 A ， P ， Q 三点共线，则 1 225 16k k
解：根据题意可得
2 2 2
5
4
2 2 16
a b
a c
a b c
，解得 5a ， 4b ， 3c ，
对于 A ：椭圆的方程为
2 2
125 16
x y ，即 A 正确；
对于 3: 5
cB e a
，即 B 错误；
对于 C ：双曲线
2 2
15 4
x y 的渐近线为 2 5
5
by x xa
，
联立
2 2
2 5
5
125 16
y x
x y
，且 0x ， 0y ，解得 10
3x ， 4 5
3y ，
双曲线
2 2
15 4
x y 的渐近线与椭圆 C 在第一象限内的交点为 10 4( , 5)3 3
，即 C 正确；
对于 D ：由题意知， ( 5,0)A ， (5,0)B ，
设 1(P x ， 1)y ，则 1
1
1 5
y
x
k ，
Q 在圆 2 2 25x y 上，且 A ， P ， Q 三点共线，
AQ BQ ， 1
2
1
51
AQ
x
y
k k
，
2
12
1 1
2 2
2 1 1
16(1 ) 1625
25 25 25
x
y
x x
k
k
，即 1 225 16k k ，故选项 D 正确．
故选： ACD ．
13．一般地，我们把离心率为 5 1
2
的椭圆称为“黄金椭圆”．则下列命题正确的有 ( )
A．若
2 2
110
x y
m
是“黄金椭圆”，则 5 5 5m
B．若 2c ，且点 A 在以 1F ， 2F 为焦点的“黄金椭圆”上，则△ 1 2AF F 的周长为 6 2 5
C．若 1F 是左焦点， C ， D 分别是右顶点和上顶点，则 1 2F DC
D．设焦点在 x 轴上的“黄金椭圆”左右顶点分别为 A ， B ，“黄金椭圆”上动点 P （异
于 A ， )B ，设直线 PA ， PB 的斜率分别为 1k ， 2k ，则 1 2
1 5
2
k k
解： A 中没有指明焦点在 x 轴还是 y 轴，应该由两个值，所以 A 不正确；
B 中 ， 由 题 意 2c ， 则 5 1
2
ce a
， 所 以 5 1a ， 则 △ 1 2AF F 的 周 长 为
2 2 2( 5 1) 2 2 6 2 5a c ，所以 B 正确；
C 中，由题意可得 1| |FC a c ， 2 2
1| |F D c b a ， 2 2 2 2| | 2DC a b a c ，要使椭
圆为“黄金椭圆”，则 5 1
2
c
a
，
所以 5 1
2c a ，所以 5 1
2a c a ，
所以 1
5 1| | 2FC a ， 2 25 1 1 5| | 2 ( )2 2DC a a a ，
因为 2 2
1
3 5| | 2FC a ， 2 2 2 2 2
1
1 5 3 5| | | | 2 2F D DC a a a ，
所以 2 2 2
1 1| | | | | |FC F D DC ，所以 1 2F DC ，所以 C 正确；
D 中，由题意可得 ( ,0)A a ， ( ,0)B a ，设 0(P x ， 0 )y ，
则为
2
0 0 0
1 2 2 2
0 0 0
y y y
x a x a x a
k k ，
因为 P 在椭圆上
2 2
0 0
2 2 1x y
a b
，所以
2
2 2 0
0 2(1 )xy b a
，
所以
2
1 2 2
b
a
k k ，
因为黄金椭圆”上动点 P ，所以 5 1
2
c
a
，所以
2
2
2
5 1 3 5( )2 2
c
a
，而 2 2 2c a b ，
所以
2
2
3 51 2
b
a
，即
2
2
3 5 1 512 2
b
a
，
所以 1 2
1 5
2
k k ，可得 D 正确．
故选： BCD ．
14．已知椭圆
2
2: 14
xC y 的左、右两个焦点分别为 1F 、 2F ，直线 ( 0)y x k k 与 C 交于 A 、
B 两点， AE x 轴，垂足为 E ，直线 BE 与椭圆 C 的另一个交点为 P ，则下列结论正确的
是 ( )
A．若 1 2 60F PF ，则△ 1 2F PF 的面积为 3
6
B．四边形 1 2AF BF ，可能为矩形
C．直线 BE 的斜率为 1
2 k
D．若 P 与 A 、 B 两点不重合，则直线 PA 和 PB 斜率之积为 4
解：由椭圆
2
2: 14
xC y ，得 2a ， 1b ， 3c ，
在△ 1 2PF F 中，由余弦定理可得， 2 2 2
1 2 1 2 1 2| | | | | | 2| || | cos60F F PF PF PF PF ，
即 2 2
1 24 4 3| || |c a PF PF ，解得 1 2
4| || | 3PF PF ，
1 2
1 4 3 3
2 3 2 3F PFS ，故 A 错误；
若四边形 1 2AF BF 为矩形，则 1 1AF BF ，即 1 1 0F A F B ，
即 ( )( ) 0A B A Bx c x c y y ，
联立 2
2 14
y x
x y
k
，得 2 2(4 1) 4x k ，
得 0A Bx x ， 2
4
4 1A Bx x k
，
2
2
4
4 1A By y
k
k
，
即
2
2 2
4 43 04 1 4 1
k
k k
，得 28 1 0 k ，该方程有实根，故 B 正确；
由 2 2(4 1) 4x k ，得 2
12 4 1x k
，由对称性，不妨设 0k ，
得 2
1(2 4 1A k
，
2
2 )
4 1
k
k
， 2
1( 2 4 1B k
，
2
2 )
4 1
k
k
，
则 2
1(2 4 1E k
， 0) ，则
2
2
2
4 1
4 2
4 1
BE
k
kkk
k
，故 C 正确；
A P B P B P
PA
A P B P B P
y y y y y y
x x x x x x
k ，
BE 所在直线方程为
2
2( )2 4 1
y x
k
k
，与椭圆
2
2 14
x y 联立，
可得 2 2 2
2
2( ) 4 0
4 1
x x
k
k
，
即
2 2
2 2
22
4 4( 1) 4 04 14 1
x x
k kk kk
．
得
2
2 2
1 4
1 4 1B Px x
k
k k
，
2
2 2 2 2 2
1 4 4 2( )2 1 4 1 4 1 ( 1) 4 1B Py y
k k k
k k k k k
，
故 1
2PA k k
，则 1 1
2 2 4PA PB kk k k
，故 D 错误．
故选： BC ．
三、填空题
15．把半椭圆：
2 2
2 2 1( 0)x y xa b
和圆弧： 2 2 2( 1) ( 0)x y a x 合成的曲线称为“曲圆”，
其中点 (1,0)F 是半椭圆的右焦点， 1A ， 2A 分别是“曲圆”与 x 轴的左、右交点， 1B ， 2B 分
别是“曲圆”与 y 轴的上、下交点，已知 1 2 120B FB ，过点 F 的直线与“曲圆”交于 P ，
Q 两点，则半椭圆方程为
2 2
14 3
x y ( 0)x
，△ 1A PQ 的周长的取值范围是 ．
解：由 2 2 2( 1) ( 0)x y a x ，令 0y ，可得 1x a 以及 1( 1 ,0)A a ，
再由椭圆的方程及题意可得 2 ( ,0)A a ， 2 (0, )B b ， 1(0, )B b ，
由 1 2 120B FB ，可得 3b
c
，
由 (1,0)F 可得 3b ，
所以 2a ，
所以半椭圆及圆弧的方程分别为
2 2
1( 0)4 3
x y x
， 2 2( 1) 4( 0)x y x ，
所以 1 2 1 2( 1,0), (2,0), (0, 3), (0, 3)A A B B ，
可得 1A 相当于椭圆的左焦点，
△ 1A PQ 的周长为 1 1PF PA AQ QF ，
当 P 从 2A （不包括 2 )A 向 2B 运动时， 2 4PA PF a ，
当 Q 在 y 轴右侧时， 1 2 4AQ QF a ，所以这时三角形的周长为 8，
当 P 从 2B 向 1A 运动时，Q 在第四象限，则 1 2 4AQ QF a ， 1 1 22 2 4PF PA r A B a ，
这时三角形的周长小于 8，
当 P 运动到 1A 时， Q 在 2A 处，不构成三角形，三角形的周长接近 1 22 6A A ，
由曲圆的对称性可得 P 运动到 x 轴下方时，与前面的一样，
综上所述，△ 1A PQ 的周长的取值范围为 (6 ，8] ．
故答案为：
2 2
14 3
x y ； (6 ，8] ．
16．在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的焦距为 4 6 ，直线l 与
椭圆 C 交于 A ，B 两点，且 OA OB ，过 O 作 OD AB 交 AB 于点 D ，点 D 的坐标为 (2,1) ，
则椭圆 C 的方程为
2 2
130 6
x y ．
解：由已知可得 1AB OD k k ，所以 1 1 21
2
AB
OD
k k
，
则直线 BA 的方程为： 1 2( 2)y x ，即 2 5y x ，
代入椭圆方程消去 y 整理可得： 2 2 2 2 2 2 2( 4 ) 20 25 0b a x a x a a b ，
设 1(A x ， 1)y ， 2(B x ， 2 )y ， 2(B x ， 2 )y ，则
2 2 2 2
1 2 1 22 2 2 2
20 25,4 4
a a a bx x x xb a b a
，
又由已知可得： 2 4 6c ，所以 2 6c ，则 2 2 24a b ，
所以
2 2 4
1 2 1 22 2
20 49,5 24 5 24
a a ax x x xa a
，
所以
2 4
1 2 1 2 1 2 1 2 2
121 4 600( 2 5)( 2 5) 4 10( ) 25 5 24
a ay y x x x x x x a
，
又由 OA OB 可得 1 2 1 2 0x x y y ，
所以
2 4 2 4
2
49 121 4 600 05 24
a a a a
a
，即 4 234 120 0a a ，
解得 2 30a 或 4（舍去），所以 2 30a ， 2 6b ，
所以椭圆的方程为
2 2
130 6
x y ，
故答案为：
2 2
130 6
x y ．
17．设 1F ， 2F 分别为椭圆
2
2 14
x y 的左、右焦点，O 为坐标原点，点 P 是椭圆上的动点，
过点 2F 作 1 2F PF 的角平分线 PT 的垂线，交 PT 于 M ，交直线 1PF 于 Q ，则点 M 的横坐标
的最小值为 3
3
．
解：设 0(P x ， 0 )y ， 1(Q x ， 1)y ，因为点 P 在椭圆上，
所以
2
20
0 14
x y ，
又 1( 3F ， 0) ，
所以
2
2 2 2 20
1 0 0 0 0 0 0
3 3| | ( 3) ( 3) (1 ) 2 3 4 24 4 2
xPF x y x x x x ，
所以 2 1 0
3| | | | 4 | | 2 2PQ PF PF x ，
1 1 0| | | | | | 3QF PF PQ x ，
分别过点 P ，Q 作 PG x 轴于 G ， QH x 轴于 H ，则 / /QH PG ，
所以 1 1
1 1
| | | |
| | | |
QF HF
PF GF
，
所以 0 1
0
0
3 3
3 32 2
x x
xx
，即 0 0
1
0
3 ( 3)3
32 2
x xx
x
，
有 M 是 2QF 的中点，所以
2
0 0 0 0 0 01
0
0 0 0
3 ( 3) 3 43
2 4 3 3 4 3 4M
x x x x x xxx x
x x x
，
令 03 4t x ，
故 4 4 4 5 3 3
3 33 3 3 3M
t t tx
t t
，（当且仅当 4
3 3
t
t
，即 2t 时，取等号）
即点 M 的横坐标的最小值为 3
3
．
故答案为： 3
3
．
18．已知点 A ， B ， 1F ， 2F 分别是椭圆
2
2
2 1( 1)x y aa
的右顶点、下顶点、左焦点和右焦
点，点 M ，N 是椭圆上任意两点，若 MAB 的面积最大值为 2 1 ，则 1 2
1 2
| | | |
| | 9 | |
NF NF
NF NF
的最
大值为 ．
解：如图所示， ( ,0)A a ， (0, 1)B ， 2| | 1AB a ， ABk a ．
直线 AB 的方程为： 1 1y xa
．
设与直线 AB 平行且与椭圆相切于点 M 的直线l 方程为： 1y x ma
、
联立
2 2 2 2
1y x ma
x a y a
，化为： 2 2 2 22 2 0x amy a m a ，
令△ 2 2 2 2 24 8( ) 0a m a m a ，
解得： 2 2m ．取 2m ．
l 与 AB 之间的距离
2
| 1|
11
md
a
．
MAB 的面积最大值 2
2
1 | 1|2 1 12 11
m a
a
．解得 2a ．
设 1| |NF t ， 2| |NF n ．
则 4t n ．
则 1 2
1 2
| | | | 1 1 4 1
1 9 1 1 9| | 9| | 9 410 2 9( )( )4
NF NF tn
NF NF t n t nn t n t
，当且仅当 3 3t n 时
取等号．
1 2
1 2
| | | |
| | 9 | |
NF NF
NF NF
的最大值为 1
4
．
故答案为： 1
4
．
微信/支付宝扫码支付