小题压轴题专练11—双曲线（2）-2021届高三数学二轮复习 含答案

小题压轴题专练 11—双曲线（2） 一、单选题 1．已知 1F ， 2F 分别为双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左，右焦点，过 1F 的直线交双曲线的 左支于 A ， B 两点，若 1 13AF F B  ， 2 3cos 5AF B  ，则双曲线的离心率 (e  ) A． 5 2 B． 5 2 C． 10 2 D． 5 3 解：设 1| |BF m ，则 1| | 3AF m ， 由双曲线的定义知， 2 1| | | | 2BF BF a  ， 2 1| | | | 2AF AF a  ， 2| | 2BF m a   ， 2| | 3 2AF m a  ， 在 2ABF 中，由余弦定理知， 2 2 2 2 2 2 2 2 | | | | | |cos 2| | | | AF BF ABAF B AF BF     ，  2 2 23 (3 2 ) ( 2 ) (4 ) 5 2(3 2 )( 2 ) m a m a m m a m a       ，化简得， 2 22 3 0a am m   ， m a  或 1 3m a  （舍负）， 1| |BF a  ， 2| | 3BF a ， 2| | 5AF a ，| | 4AB a ， 2 2 2 2 2| | | | | |AB BF AF   ，即 2 90ABF   ， 2 2 2 1 2 1 2| | | | | |BF BF F F   ，即 2 2 2(3 ) (2 )a a c  ， 2 25 2a c  ，离心率 10 2 ce a   ． 故选： C ． 2．已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的左焦点为 1F ，若直线 :l y x k ， 3[ , 3]3 k 与 双曲线 C 交于 M 、 N 两点，且 1 1MF NF ，则双曲线 C 的离心率的取值范围是 ( ) A． (1,2) B．[ 2,2) C．[ 2, 3 1] D． (2, 3 1] 解：如图， 由直线 :l y x k ， 3[ , 3]3 k ，可得直线l 的倾斜角为 [ 6   ， ]3  ， 1 1MF NF ，由对称性可得四边形 1 2MF NF 为矩形，则 1 2| | | | 2MN F F c  ， 则| |ON c ，得 ( cos , sin )N c c  ， 由 N 在双曲线上，可得 2 2 2 2 2 2 2 1c cos c sin a c a    ， 整理可得： 4 2 2cos 2 1 0e e    ． 解得 2 1 1 sine   或 2 1 1 sine   （舍 ) ． [ 6   ， ]3  ， 2 222 4 2 3 ( 3 1) 2 3 e     „ „ ， 即 2 3 1e „ „ ； 又 3b a  ， 2 2 2 3c a a   ，即 2 24c a ，得 2ce a   ． 双曲线 C 的离心率的取值范围是 (2 ， 3 1] ． 故选： D ． 3．设点 A ， B 分别为双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的左、右焦点，点 M ， N 分别在双 曲线 C 的左、右支上，若 5MN AM  ， 2 MB MN MB    ，且| | | |MB NB  ，则双曲线 C 的离 心率为 ( ) A． 65 5 B． 85 5 C．13 5 D．17 7 解：设| |AM m ，则| | 5 ( 0)MN m m  ，  2 2 ( )MB MN MB MB BN MB MB BN MB                ，  0BN MB   ，即 BN MB ， 则 2 2 2| | | | | |MB BN MN    ，即 2 2 2(2 ) (6 2 ) (5 )a m m a m    ， 解得 m a 或 2 3m a ． ①若 2 3m a 时， 8| | 3BM a ，| | 2NB a ，不满足| | | |MB NB  （舍去）， ②若 m a 时，| | 3BM a ，| | 4NB a ，满足| | | |MB NB  ，则 m a ． | | 4 4cos | | 5 5 BN aMNB MN a     ， 在 ANB 中， 2 2 2| | | | | | 2| || | cosAB AN BN AN BN MNB     即 2 2 2 44 36 16 2 6 4 5c a a a a      ， 整理得 2 2684 5c a ，即 2 17 5e  ，得 17 85 5 5e   ． 故选： B ． 4．已知双曲线 2 2 : 19 16 x yC   ，其左、右焦点分别为 1F ， 2F ，点 M 的坐标为 (3,2) ，双曲线 C 上的点 0(P x ， 0 0)( 0y x  ， 0 0)y  满足 1 1 1 2 1 1 1 2| | | | F P F M F F F M F P F F         ，则 1PMF 与 2PMF 面积的 差 1 2 (PMF PMFS S   ) A． 2 B．2 C．4 D．6 解：双曲线 2 2 : 19 16 x yC   的 3a  ， 4b  ， 5c  ，  1 1 1 2 1 1 1 2| | | | F P F M F F F M F P F F         ， 1 1 1 1 2| | cos | | cosMF MF P MF MF F      ， 1 1 2MF P MF F   ， 1( 5,0)F  、 2 (5,0)F ，点 (3,2)M ， 1| | 2 17MF  ， 2| | 2 2MF  ， 1 2| | 2 10F F c  ， 故由余弦定理可得 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 | | | | | | 68 100 8 4cos 2| | | | 2 2 17 10 17 MF F F MFMF F MF F F          ， 2 1 2 1 2 15cos 2cos 1 17PF F MF F      ， 2 1 2 1 2 8sin 1 17PF F cos PF F      ， 1 2 1 2 1 2 sin 8tan cos 15 PF FPF F PF F     ， 直线 1PF 的方程为 8 ( 5)15y x  ． 把它与双曲线联立可得 16(5, )3P ， 1 34| | 3PF  ， 1 2 1sin 17 MF F   ， 1 1 34 1 342 172 3 317 S MPF       ， 2 1 16 1622 3 3PMFS     ， 1 2 34 16 63 3PMF PMFS S     ． 故选： D ． 5．已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，P 是双曲线上一点，△ 1 2PF F 是以 1F P 为底边的等腰三角形，且 2 160 120PF F    ，则该双曲线的离心率的取值范 围是 ( ) A． (1,2) B． 3 1( , )2   C． 3 1(1, )2  D． 3 1( ,2)2  解：△ 1 2PF F 是以 1F P 为底边的等腰三角形， 2 1 2| | | | 2PF F F c   ， 在△ 1 2PF F 中，由余弦定理知， 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1| | | | | | 2| | | | cosPF F F PF F F PF PF F     2 2 2 2 1 2 14 4 2 2 2 cos 8 (1 cos )c c c c PF F c PF F          1 2 1| | 2 2 1 cosPF c PF F     ， 由双曲线的定义知， 1 2 2 12 || | | || | 2 2 1 cos 2 |a PF PF c PF F c       ， 2 160 120PF F     ，  2 1 1 1cos2 2PF F    ，  2 1 2 61 cos2 2PF F    ，  2 10 2 2 1 cos 2 (2 3 2)c PF F c c       ，  0 2 (2 3 2)a c   ， 离心率 3 1 2 ce a   ，即 3 1( , )2e   ． 故选： B ． 6．已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的左、右焦点分别为 1( ,0)F c ， 2 ( ,0)F c ，点 P 在双 曲线 C 支上，满足 1 2 1 2| | | |PF PF PF PF      ， 1 2| | 3| |PF PF ，又直线 :3 4 3 0l x y c   与双 曲线 C 的左、右两支各交于一点，则双曲线 C 的离心率的取值范围是 ( ) A． 10 5( , )3 4 B． 13 5( , )3 4 C． 5 13( , )4 2 D． 5 10( , )4 2 解：以 1PF ， 2PF 为边，作平行四边形 1 2PF EF ， 如图所示： 则 1 2PF PF PE    ， 1 2 2 1PF PF F F    ， 又 1 2 1 2| | | |PF PF PF PF      ，所以 2 1| | | |PE F F ， 因为对角线相等的平行线四边形是矩形，所以 1 2PF PF ， 根据双曲线的性质，可知 1 2| | | | 2PF PF a  ， 因为 1 2| | 3| |PF PF ，所以 1 2 2| | | | 2 2 | |PF PF a PF   ， 即 2| |PF a ， 1 2| | 2 | | 3PF a PF a   ， 在 Rt △ 1 2PF F 中，有 2 2 2 2 1 2 1 2| | | | | | 4PF PF F F c   ， 又 1 2| | | | 2PF PF a  ，所以 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2(| | | |) | | | | 2| || | 4PF PF PF PF PF PF a     ， 所以 2 2 2 2 2 1 2 1 22| | | | | | | | 4 4 4PF PF PF PF a c a      ， 因为 2| |PF a ， 1| | 3PF a ，即 2 1 2| | | | 3PF PF a  ， 所以 2 2 2 1 22| | | | 4 4 6PF PF c a a    ，解得 2 2 2 5 2 c ea   ， 又因为双曲线的离心率 (1, )e  ，所以 101 2e  ， 由题意知，双曲线的渐近线方程为 by xa   ， 又直线 :3 4 3 0l x y c   与双曲线 C 的左右两支各交于一点， 所以直线 l 的斜率大于双曲线的渐近线 by xa   的斜率， 所以 3 4 b a    ，即 3 4 b a  ， 所以 2 2 2 2 2 2 91 16 b c a ea a     ，解得 5 4e  （或 5 4e   舍去）， 综上所述， 5 10( , )4 2e ． 故选： D ． 7．已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左焦点为 F ， M 是双曲线右支上的一点，点 M 关 于原点的对称点为 N ，若 F 在以 MN 为直径的圆上，且 5[ , ]3 12FNM    ，则该双曲线的离 心率的取值范围是 ( ) A． (1, 2] B．[ 2, 3 1] C． (1, 3 1] D．[ 2, ) 解：由题意可知 FM FN ，设双曲线右焦点为 F ，则四边形 MFNF 为矩形， OM OF c    ， MF FN  ， 设 MF m ， MF n  ，则 2 2 24m n c  ， 由双曲线定义可知： 2m n a  ，故 2 2 22 4m n mn a   ， 2 22 2mn c a   ， 2 21 2MFFS mn c a     ， 设 FMN   ，则 2MOF    ，故 21 1sin 2 sin 22 2MOFS c c c       ， 又 2MFF MOFS S    ， 2 2 2 sin 2c a c    ， 5[ , ]3 12FNM    ， 所以 [ , ]12 6    故 2 2 (1 sin 2 )a c   ， 2 2 2 1 1 sin 2 ce a     ， 2 [ 6   ， ]3  ， 1sin 2 [2   ， 3)2 ， 2 2e … ，故 2e… ．并且 2 4 2 3e „ ，故 3 1e „ ． 该双曲线的离心率的取值范围是[ 2 ， 3 1] 故选： B ． 8．设 1F 、 2F 是椭圆 1C 和双曲线 2C 的公共焦点， P 是它们的一个公共点，且 1 2| | | |PF PF ， 线段 1| |PF 垂直平分线经过 2F ，若 1C 和 2C 的离心率分别为 1e 、 2e ，则 1 29e e 的最小值 ( ) A．2 B．4 C．6 D．8 解：设椭圆 1C 的方程为 2 2 2 2 1 1 1x y a b   ，焦距为 12c ， 双曲线 2C 的方程为 2 2 2 2 2 2 1x y a b   ，焦距为 22c ， 1F 、 2F 是椭圆 1C 和双曲线 2C 的公共焦点， 1 22 2c c c   ． 线段 1| |PF 垂直平分线经过 2F ， 2 1 2| | | | 2PF F F c   ， 1 2| | 2 2PF a c   ， 由 1 2 1 2| | | | 2 4 2PF PF a c a    ，得 1 2 2a a c  ， 则 1 2 1 2 1 1 2a a e e c    ，则 1 2 1 1 1( ) 12 e e   ， 1 0e  ， 2 0e  ，  1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 91 1 1 19 (9 )( ) (10 )2 2 e ee e e e e e e e        1 2 2 1 91 1(10 2 ) (10 2 3) 82 2 e e e e      … ． 当且仅当 1 23e e 时，上式等号成立． 1 29e e  的最小值为 8． 故选： D ． 9．已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，以 1OF 为直径的圆与双 曲线的一条渐近线交于点 M ，若线段 1MF 交双曲线于点 P ，且 2 1| | 5 | |PF PF ，则双曲线的 离心率为 ( ) A． 26 4 B． 34 4 C． 2 D． 3 解：由双曲线的定义知， 2 1| | | | 2PF PF a  ， 2 1| | 5 | |PF PF ， 1| | 2 aPF  ， 2 5| | 2 aPF  ， 点 M 在以 1OF 为直径的圆上， 1 90F MO   ， 焦点 1( ,0)F c 到渐近线 by xa   的距离 1 2 | | | | ( ) 1 b caMF b b a     ， 在 Rt △ 1F MO 中， 1 1 2 1 | |cos | | MF bMF F OF c    ， 在 △ 1 2PF F 中 ， 由 余 弦 定 理 知 ， 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 254| | | | | | 2 34 4cos 2 | | | | 2 22 a acPF F F PF c aMF F aPF F F acc          ，  2 22 3b c a c ac  ，化简得 2 22 3c a ab  ， 2 2 22( ) 3a b a ab    ，解得b a 或 2b a  （舍 ) ， 2 2 2 2 1 ( ) 2a b be a a      ． 故选： C ． 10．已知点 1F 、 2F 分别为双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yT a ba b     的左、右焦点，过 2F 的直线与双 曲线T 的左、右两支分别交于 A 、 B 两点，若 1 1| |:| |:| | 5:5: 4AF BF AB  ，则双曲线T 的离心 率为 ( ) A． 46 2 B． 46 C． 2 7 D． 7 解： 1 1| |:| |:| | 5:5: 4AF BF AB  ， 设 2| |BF m ， 1| | 5AF t ，| | 4AB t ，则 1| | 5BF t ， 1| | 5AF t ， 根据双曲线的定义，得 2 1 1 2| | | | | | | | 2AF AF BF BF a    ， 即 4 5 5 2t m t t m a     ， 解得 t a ， 3m a ， 即 1| | 5AF a ， 2| | 7AF a ， 1| | 5BF a ，| △ 2 1F BF 中， 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1| | | | | | 2| | | | cosF F BF BF BF BF F BF     2 2 2 2 14 9 25 2 3 5 cosc a a a a F BF       ， 在三角形 1 2ABF F 中， 2 2 2 1 1 1 1| | | | | | 2| | | | cosAF BF AB BF AB ABF     2 2 2 14 16 25 2 4 5 cosc a a a a ABF       ， 2 1 1cos cos 0F BF ABF    ， 2 24 46c a ，可得 46 2c a ， 因此，该双曲线的离心率 46 2e  ． 故选： A ． 二、多选题 11．已知 1F ， 2F 分别为双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左、右焦点， 1A ， 2A 分别为其实轴 的左、右端点，且 2 1 2| | bF F a  ，点 P 为双曲线右支一点， I 为△ 1 2PF F 的内心，则下列结论 正确的有 ( ) A．离心率 2 1e   B．点 I 的横坐标为定值 a C．若 1 2 1 2 ( )IPF IPF IF FS S S R      成立，则 2 1   D．若 PH 垂直 x 轴于点 H ，则 2 1 2| | | | | |PH HA HA  解： 2 1 2| | 2bF F ca   ，且 2 2 2b c a  ， 2 22 0c ac a    ， 1ce a   ， 2 2 1 0e e    ， 2 1e   ，即选项 A 正确； 设内切圆 I 与△ 1 2PF F 的三边分别相切于点 M ， N ，T ，如图所示， 由圆的切线长定理知，| | | |PM PN ， 1 1| | | |F M FT ， 2 2| | | |F N F T ， 由双曲线的定义知， 1 2 1 2 1 22 | | | | | | | | (| | | |) | | | |a PF PF PM F M PN F N FT F T        ， 而 1 2| | | | 2FT F T c  ， 1| |FT c a   ， 2| |F T c a  ， ( ,0)T a ，即点 I 的横坐标为定值 a ，故选项 B 正确； 设圆 I 的半径为 r ，  1 2 1 2 ( )IPF IPF IF FS S S R      ，  1 2 1 2 1 1 1| | | | | |2 2 2PF r PF r F F r      ，即 1 2 1 2| | | | | |PF PF F F  ， 1 2 1 2| | | | | |PF PF F F   ，即 2 2a c  ， 1 1 2 1 2 1 a c e        ，即选项 C 正确； 假设点 P 在第一象限，设其坐标为 ( , )m n ，则 2 2 2 2 1m n a b   ， PH 垂直 x 轴于点 H ， 2 2 2 2 2| | (1 )mPH n ba     ， 1| |HA m a  ， 2| |HA m a  ， 2 2 1 2| | | | ( )( )HA HA m a m a m a       ， 若 2 1 2| | | | | |PH HA HA  ，则 2 2 2 2 2(1 )m b m aa    ，化简得 2 2m a ， 此时点 P 与 H 重合，不符合题意，即选项 D 错误． 故选： ABC ． 12．已知 1F 、 2F 分别为双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左、右焦点，且 a ，b ，c 成等比数 列 (c 为双曲线的半焦距），点 P 为双曲线右支上的点，点 I 为△ 1 2PF F 的内心．若 1 2 1 2IPF IPF IF FS S S    成立，则下列结论正确的是 ( ) A．当 2PF x 轴时， 1 2 30PF F   B．离心率 1 5 2e  C． 5 1 2   D．点 I 的横坐标为定值 a 解： a ， b ， c 成等比数列， 2b ac  ， 对于 A ，当 2PF x 轴时，点 P 为 2 ( , )bc a ， 2 2 1 2 1 2 | | 1tan | | 2 2 2 b PF acaPF F F F c ac       ，显然 1 2 30PF F  ，即选项 A 错误； 对于 B ， 2 2 2b ac c a   ， 1ce a   ， 2 1 0e e    ，解得 1 5 2e  （舍负），即选项 B 正确； 对于 C ，设圆 I 的半径为 r ，  1 2 1 2IPF IPF IF FS S S    ，  1 2 1 2 1 1 1| | | | | |2 2 2r PF r PF r F F      ，即 1 2 1 2| | | | | |PF PF F F  ， 由双曲线的定义知， 1 2| | | | 2PF PF a  ， 2 2a c   ，即 1 5 1 2 a c e     ，故选项 C 正确； 对于 D ，设直线 1PF ， 2PF 和 1 2F F 分别与圆 I 相切于点 M ， N ，T ，如图所示， 由双曲线的定义和切线长的性质可知， 1 2 1 2| | | | 2 | | | |PF PF a TF TF    ， 1 2| | | | 2TF TF c  ， 2| |TF c a   ，即 ( ,0)T a ， 点 I 的横坐标为定值 a ，即选项 D 正确． 故选： BCD ． 13．已知点 P 是双曲线 2 2 : 116 9 x yE   的右支上一点， 1F ， 2F 为双曲线 E 的左、右焦点，△ 1 2PF F 的面积为 20，则下列说法正确的是 ( ) A．点 P 的横坐标为 20 3 B．△ 1 2PF F 的周长为 80 3 C． 1 2 3F PF  小于 D．△ 1 2PF F 的内切圆半径为 3 4 解：设△ 1 2F PF 的内心为 I ，连接 IP ， 1IF ， 2IF ， 双曲线 2 2 : 116 9 x yE   中的 4a  ， 3b  ， 5c  ， 不妨设 ( , )P m n ， 0m  ， 0n  ， 由△ 1 2PF F 的面积为 20，可得 1 2 1 | | 5 202 F F n cn n   ，即 4n  ， 由 2 16 116 9 m   ，可得 20 3m  ，故 A 符合题意； 由 20( 3P ， 4) ，且 1( 5,0)F  ， 2 (5,0)F ， 可得 121 35kPF  ， 122 5kPF  ， 则 1 2 12 12 3605 35tan (0, 3)12 12 3191 5 35 F PF       ， 则 1 2 3F PF   ，故 C 符合题意； 由 2 1 2 35 25 37 13 50| | | | 16 169 9 3 3 3PF PF        ， 则△ 1 2PF F 的周长为 50 80103 3   ，故 B 符合题意； 设△ 1 2PF F 的内切圆半径为 r ，可得 1 2 1 2 1 2 1 1(| | | | | |) | | 42 2r PF PF F F F F     ， 可得 80 403 r  ，解得 3 2r  ，故 D 不符合题意． 故选： ABC ． 14．已知 1F ， 2F 分别为双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左右焦点，且 2 1 2 2| | bF F a  ，点 P 为 双曲线右支上一点， I 为△ 1 2PF F 的内心，过原点 O 作 PI 的平行线交 1PF 于 K ，若 1 2 1 2IPF IPF IF FS S S    成立，则下列结论正确的有 ( ) A． 5 1 2   B． 5 1 2   C．点 I 的横坐标为 a D． PK a 解： 2 1 2 2| | bF F a  ， 2 2 22 2 22 b c ac a a    ，整理得 2 1 0(e e e   为双曲线的离心率）， 1e  ， 1 5 2e   ． 设△ 1 2PF F 的内切圆半径为 r ， 由双曲线的定义得 1 2| | | | 2PF PF a  ， 1 2| | 2F F c ， 1 1 1 | |2IPFS PF r  ， 2 2 1 | |2IPFS PF r  ， 1 2 1 22IF FS c r cr    ，  1 2 1 2IPF IPF IF FS S S    ， 1 2 1 1| | | |2 2PF r PF r cr   ， 故 1 2| | | | 1 5 1 2 21 5 2 PF PF a c c        ，所以 A 正确， B 错误． 设内切圆与 1PF 、 2PF 、 1 2F F 的切点分别为 M ， N ，T ， 可得| | | |PM PN ． 1 1| | | |F M FT ， 2 2| | | |F N F T ． 由 1 2 1 2 1 2| | | | | | | | | | | | 2PF PF F M F N FT F T a      ， 1 2 1 2| | | | | | 2F F FT F T c   ， 可得| 2 |F T c a  ，可得T 的坐标为 ( ,0)a ，即 I 的横坐标为 a ，故 C 正确； 设 PI 延长线与 1 2F F 交于 H ，可得 2 2 1 1 | | | | | | | | PF F H PF F H  ，由 1 2| | | | 2PF PF a  ， 可得 1 1 2 2 | | | | | | a OH PF F H  ，①由三角形的相似的性质可得 1 1 | || | | | | | PFPK OH HF  ，② 由①②可得| |PK a ．故 D 正确． 故选： ACD ． 三、填空题 15．已知双曲线 2 2 19 4 x y  的左顶点为 A ，B ，C 分别为双曲线左、右两支上的点，且 / /BC x 轴，过 B ，C 分别作直线 AB ，AC 的垂线，两垂线相交于点 D ，若 27 3 4BCDS  ，则| |BC  3 6 ． 解：由双曲线方程 2 2 19 4 x y  ，得 ( 3,0)A  ，由题意设 0(B x ， 0 0)( 0)y x  ， 则点 0(C x ， 0 )y ，得 2 2 0 0 19 4 x y  ，且 0 0y  ． 直线 AB 的斜率 0 0 3AB y x  k ，则直线 BD 的方程为 0 0 0 0 3( )xy y x xy     ． 同理可得直线 CD 的方程为 0 0 0 0 3 ( )xy y x xy    ， 联立 0 0 0 0 0 0 0 0 3 ( ) 3 ( ) xy y x xy xy y x xy          ，解得 0 3 13 4 x yy   ， 则 013(3, )4 yD ，结合 0| | 2 | |BC x ， 得 0 0 0 0 0 131 92 | | | | | |2 4 4BCD yS x y x y      ， 27 3 4BCDS  ，  2 2 0 0 9 27 3( | |) ( )4 4x y  ，又 2 2 0 0 19 4 x y  ，  4 2 0 04 12 0y y   ，解得 2 0 2y  ，则 0 3 6| | 2x  ， 0| | 2 | | 3 6BC x   ． 故答案为： 3 6 ． 16．如图，已知 F 为双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的右焦点，过点 F 的直线交两渐近线于 A ， B 两点．若 120OAB   ， OAB 内切圆的半径 3 5 a br  ，则双曲线的离心率为 19 4 ． 解：过 ( ,0)F c 作 FH 垂直渐近线 by xa  于 H ，则 2 | | | | 1 ( ) b caFH b b a     ， 120OAB   ， 60FAH   ， 2 3| | 3AF b  ， 在 OAF 中，由余弦定理知， 2 2 2| | | | | | 2| | | | cos120OF OA AF OA AF      ， 即 2 2 22 3 2 3| | ( ) 2 | | cos1203 3c OA b OA b       ， 解得 3| | 3OA a b  ， 设 OAB 的内心为 M ，作 MN OA 于 N ，则 60MAO   ， 3| | 5 a bMN r   ， 3 3 3| | | |3 15 a bAN MN    ， 3 3 3 12 4 3| | | | | | 3 15 15 a b a bON OA AN a b        ， 3 | | 35tan | | 412 4 3 15 a b MNMON ON a b        ，即 3 4 b a  ， 2 23 191 ( ) 1 ( )4 4 be a       ． 故答案为： 19 4 ． 17．已知 1F ， 2F 分别为双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左焦点和右焦点，过点 2F 且斜率为 ( 0)k k  的直线l 与双曲线的右支交于 A ， B 两点，△ 1 2AF F 的内切圆圆心为 1O ，半径为 1r ， △ 1 2BF F 的内切圆圆心为 2O ，半径为 2r ，则直线 1 2O O 的方程为： x a ；若 1 23r r ，则 k  ． 解：△ 1 2AF F 的内切圆圆心为 1O ， 边 1AF 、 2AF 、 1 2F F 上的切点分别为 M 、 N 、 E ， 则| | | |AM AN ， 1 1| | | |F M F E ， 2 2| | | |F N F E ， 由 1 2| | | | 2AF AF a  ，得 1 2| | | | (| | | |) 2AM MF AN NF a    ，则 1 2| | | | 2MF NF a  ， 即 1 2| | | | 2F E F E a  ，记 1O 的横坐标为 0x ，则 0(E x ， 0) ， 于是 0 0( ) 2x c c x a    ，得 0x a ， 同理可得内心 2O 的横坐标也为 a ，则有直线 1 2O O 的方程为 x a ； 设直线 l 的倾斜角为 ，则 2 2 2OF O   ， 1 2 90 2O F O     ， 在△ 1 2O EF 中， 1 1 2 2 tan tan(90 )2 | | rO F O EF      ， 在△ 2 2O EF 中， 2 2 2 2 tan tan 2 | | rO F O EF    ， 由 1 23r r ，可得 3tan tan(90 ) cot2 2 2       ， 解得 3tan 2 3   ， 则直线的斜率为 2 2 32tan 32tan 311 12 3tan        ． 3k  ． 故答案为： a ； 3 ． 18．已知双曲线 2 2 1 2: 1( 0)yC x bb    的一条渐近线方程为 3y x ，则双曲线 1C 的离心率为 2 ；若抛物线 2 2 : 2 ( 0)C y px p  的焦点 F 与双曲线 1C 的一个焦点相同，M 是抛物线 2C 上 一点， FM 的延长线交 y 轴的正半轴于点 N ，交抛物线 2C 的准线l 于点 P ，且 3FM MN  ， 则| |NP  ． 解：由双曲线 2 2 1 2: 1( 0)yC x bb    的一条渐近线方程为 3y x ，得 3b  ，  2 2 2c a b   ，则双曲线 1C 的离心率为 2ce a   ； 且双曲线 1C 的右焦点为 (2,0) ， 而抛物线 2 2 : 2 ( 0)C y px p  的焦点 F 与双曲线 1C 的一个焦点相同， 抛物线 2 2 : 2 ( 0)C y px p  的焦点 F 为 (2,0) ，则 22 p  ， 4p  ． 抛物线 2 2 : 8C y x ． 抛物线 2: 8C y x 的焦点为 (2,0)F ，准线方程为 : 2l x   ， 根据题意画出图形，根据 3FM MN  ，设| |FM a ，则 1| | 3MN a ， 过 M 作 MA 垂直于准线，垂足为 A ，交 y 轴于点 B ， 由抛物线的定义知| | | |FM MA a  ， 由 BMN OFN ∽ ，得 | | | | 1 | | | | 4 BM MN OF NF   ， 即 1 1| | | |4 2BM OF  ， 1 5| | | | 22 2MA MF     ， 1 5 5| | 3 2 6MN    ．又 BMN APM ∽ ，  | | | | 1 | | | | 4 MN BM NP AB   ，则 5 10| | 4 | | 4 6 3NP MN    ． 故答案为：2； 10 3 ．