小题压轴题专练15—数列（2）-2021届高三数学二轮复习 含答案

小题压轴题专练 15—数列（2） 一、单选题 1．整数列{ } 1na n… 满足 1 1a  ， 2 4a  ，且对任意 2n… 有 2 1 1 1 2n n n na a a     ，则 2020a 的个位数 字是 ( ) A．8 B．4 C．2 D．前三个答案都不对 解：因为 2 1 1 1 2n n n na a a     ，则 2 2 2 1 2 1 1 1 22 ,2 2 2n n n n n n n n n na a a a a a a a a          ， 2 1 1 1 3 1 2 2 2 2n n n n n n a a a a a a a a a         ， 因为 2 2 1 3 2a a a  ，则 3 14a  ，故 2 1 1 1 3 1 2 2 2 2 4n n n n n n a a a a a a a a a          ， 即 1 14 2n n na a a   ，欲求个位数字，只需让 na 模 10，其结果为 1,4,4,8,4,0,2,8,8,6,8,0,4,6,6,2,6,0,8,2,2,4,2,0,6,4,4,8,4,0 从 2a 开始周期为 24，则 2000a 的个位数字是 8， 故选： A ． 2．已知数列{ }na 满足， 2 1 1 1n n n na a a a      ， 1a a ，则一定存在 a ，是数列中 ( ) A．存在 *n N ，有 1 2 0n na a   B．存在 *n N ，有 1 2( 1)( 1) 0n na a    C．存在 *n N ，有 1 2 5 5( )( ) 04 4n na a    D．存在 *n N ，有 1 2 3 3( )( ) 02 2n na a    解：函数 21 1y x x x     与 y x 有两个交点 (0,0) ， (1,1) ， 可知当 1 0a  时，数列递减， 0na  ； 当 10 1a  时，数列递增，并且 na 趋向 1； 当 1 1a  时，数列递减，并且 na 趋向 1，则可知 A ， B 错误； 又当 1x  时， 2 21 3 1 31 1 1 ( ) 1 ( )2 4 2 2y x x x x x x x               ， 则当 1 1a  时， 2a 一定小于 3 2 ，则之后均小于 3 2 ， D 错误； 对于 C ，可取 1 3 2a  ，得 3 4 5 5( )( ) 04 4a a   ，满足要求． 故选： C ． 3 ． 已 知 数 列 { }na 满 足 ： 1 2 1 2, 5 ( *)1, 6n n na n Na a a n     „ … ． 若 正 整 数 ( 5)k k… 使 得 2 2 2 1 2 1 2k ka a a a a a    成立，则 (k  ) A．16 B．17 C．18 D．19 解： 1 2 1 2, 5 ( *)1, 6n n na n Na a a n     „ … ， 即 1 2 3 4 5 2a a a a a     ， 5 6 1 2 3 5 1 2 1 31a a a a a      ， 6n… 时， 1 2 1 1n na a a a   ， 1 2 11n na a a a    ， 两式相除可得 11 1 n n n a aa   ， 则 2 1 1n n na a a   ， 6n… ， 由 2 6 7 6 1a a a   ， 2 7 8 7 1a a a   ， ， 2 1 1k k ka a a   ， 5k… ， 可得 2 2 2 6 7 1 6 5k ka a a a a k      2 2 2 1 2 1 6 120 5 16k k ka a a a a k a k           ， 且 1 2 11k ka a a a    ， 正整数 ( 5)k k… 时，要使得 2 2 2 1 2 1 2k ka a a a a a    成立， 则 1 116 1k ka k a     ，则 17k  ， 故选： B ． 4．数列{ }na 满足 1 11 ( 1)n n na a n      ，且 60 1a  ．记数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，则当 nS 取最大值时 n 为 ( ) A．11 B．12 C．11 或 13 D．12 或 13 解：设 1a t ，由 1 11 ( 1)n n na a n      ， 可得 2 9a t  ， 3 1a t  ， 4 6a t  ， 5 2a t  ， 6 3a t  ， 7 3a t  ， 8a t  ，， 60 1a  可得 0 3 1t   ，可得 2 3t  ， 则数列{ }na 的奇数项为首项为 t ，公差为 1 的等差数列；偶数项为首项为9 t ，公差为 3 的 等差数列， 且每隔两项的和为 9，7，5，3，1， 1 ，，为递减， 可 得 10 9 5 7 5 3 1 25S        ， 11 1125 30S a t    ， 12 25 1 24S    ， 13 1324 24 6 30S a t t       ， 14 24 3 21S    ，， 则当 nS 取最大值时 11n  或 13． 故选： C ． 5 ． 等 差 数 列 * 1 2, , ( )na a a n N  ， 满 足 1 2 1 2 1 2 1 2| | | | | | | 1| | 1| | 1| | 2 | | 2 | | 2 | | 3| | 3| | 3| 2010n n n na a a a a a a a a a a a                     ，则 ( ) A． n 的最大值是 50 B． n 的最小值是 50 C． n 的最大值是 51 D． n 的最小值是 51 解：不妨设 1 0a  ， 0d  ， 由对称性可得： 2n k ， *k N ． 则 1 0 0 k k a a     ， 1 3 0ka    ． 1 ( 1) 0a k d   ， 1 0a kd  ， 1 3 0a kd   ， 3d   ． 1 2 1 2( ) 2010k k ka a a a a      ， 2 2010k d   ， 2 2010 3k    ，解得： 670k  ， 2 2 670k  ， 2 50k „ ． n 的最大值为 50． 故选： A ． 6．已知数列{ }na 的前 n 项和为 nS ， 11 2n nS a  ，设 1 2n nT a a a  ， 1 n n n b T  ，则 3 3n na b 的最小值为 ( ) A． 2 3 B． 9 2 C． 3 32 2  D． 31 6 解： 11 2n nS a  ， 2n … 时， 1 1 1 11 (1 )2 2n n n n na S S a a       ，化为： 1 1 3n na a  ． 1n  时， 1 1 11 2a a  ，解得 1 2 3a  ． 数列{ }na 是等比数列，首项为 2 3 ，公比为 1 3 ． 12 1 1( ) 2 ( )3 3 3 n n na      ． ( 1) 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 12 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( )3 3 3 3 3 n n n n n n n n nT a a a              ．  1 2 1 2 1 1 1 3212 ( )3 n n nn n b T       ， 则 1 1 321 1 6 3 3 6 3 3 3 3 93 3 2 ( ) 3 3 3 3 33 2 3 4 4 3 4 4 2 n n n n n n n n n na b             … ， 当且仅当 6 3 33 4 n n  ，即 3 4n  时取等号，可知此时整数 n 不存在，因此等号不成立． 利用单调性经过验证可得 1n  时， 3 3n na b 取得最小值 3 32 2  ． 故选： C ． 7．设 [ ]x 表示不超过 x 的最大整数，已知数列 { }na 中， 1 1 2a  ，且 1 ( 1)n n na a a   ，若 1 2 1 2 [ ] 1201 1 1 n n aa a a a a      ，求整数 n 的值是 ( ) A．120 B．121 C．122 D．123 解：因为 1 ( 1)n n na a a   ， 故 1 1 1 1 1n n na a a     1 1 1 1 1n n na a a    ，  1 1 1 11 1 ( )1 1 i i i i i a a a a a        ， 故 1 2 1 2 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 21 1 1 n n n n n n aa a n n na a a a a a a a a a a a                    ； 由 1 1 2a  ，且 1 ( 1)n n na a a   ，当 n 趋于无穷大时，可得 1 1 (0,1) na   ， 1 2 1 2 [ ] 2 1201 1 1 n n aa a na a a         ， 所以： 122n  ． 故整数 n 的值是 122． 故选： C ． 8 ． 已 知 数 列 { }na 中 ， 1 1a  ， 且 1 1( ) ( )2 n n na a n N       ， 若 存 在 正 整 数 n ， 使 得 1( )( ) 0n nt a t a    成立，则实数t 的取值范围为 ( ) A． 2 13 t  B． 1 12 t  C． 2 5 3 6t  D． 1 22 t  解：数列{ }na 的首项 1 1a  ，且满足 1 1( ) ( )2 n n na a n N       ， 可得 1 2 1 3 2 1( ) ( ) ( )n n na a a a a a a a        1 111 1 1 2 1( 2)1 ( ) ( ) [1 ( ) ]12 4 2 3 21 2 n n n             ， 存在正整数 n ，使得 1( )( ) 0n nt a t a    成立， 当 n 为偶数时， 2 1[1 ( ) ]3 2 n na   ，递增，可得 na 的最小值为 2 1 2a  ； 1 1 2 1[1 ( ) ]3 2 n na     ，递减，可得 1na  的最大值为 3 3 4a  ， 可得 1n na t a   ，即有 1 3 2 4t  ； 当 n 为奇数时， 2 1[1 ( ) ]3 2 n na   ，递减，可得 na 的最大值为 1 1a  ； 1 1 2 1[1 ( ) ]3 2 n na     ，递增，可得 1na  的最小值为 2 1 2a  ， 可得 1n na t a   ，即有 1 12 t  ． 则t 的取值范围是 1(2 ，1) ． 故选： B ． 9．已知数列{ }na 满足 * 1 1 1 12 ( )n n n n a a n Na a      ，则 ( ) A．当 *0 1( )na n N   时，则 1n na a  B．当 *1( )na n N  时，则 1n na a  C．当 1 1 2a  时，则 1 1 1 2 4n n a na     D．当 1 2a  时，则 1 1 1 3 20n n a na     解：分别画出函数 1( )f x x x   ， 1( ) 2 ( 0)g x x xx    的图象， * 1 1 1 12 ( )n n n n a a n Na a      ，可得 2 2na … ， 1n na a  ． 20 2na  时， 1n na a  ，由此可得 A ， B 都不正确； C ． 1 1 1 1( )n n n n n a a aa a      ，又 1 1 2a  ． 1 1 1 2 1 1 1 1 5( ) ( ) 2 42n n n na n a a a a na a            ，因此 C 正确； 或利用 2 2 2 1 1 1 1 1( ) (2 ) ( ) 2n n n n n n a a aa a a        证明． D ． 1 1 1 12n n n n a aa a     ，当 1 2a  时， 2 2 1 14 232a a     ，因此 D 不正确． 故选： C ． 10．已知 n N ，直线 y ax b  与曲线 ( ) ( 2)f x lnx n   相切，设 ab 的最大值为 nc ，数列 { }nc 的前 n 项和为 nS ，则正确的是 ( ) A．存在 0n N ， 0 0nc  B．{ }nc 为等差数列 C．对于 n N ， 1 1nS e   D． 3 2 1eS e  解：设直线 y ax b  与曲线 ( ) ( 2)f x lnx n   相切于点 0(x ， 0 )y ． 1( )f x x   ， ( 0)x  ． 则 0 0 1( )f x ax    ， 0 0 ( 2)ax b lnx n    ． 可得： 1b lna n    ． (1 )ab alna a n     ． 令 g （a） (1 )alna a n    ． n N ， 0a  ． g（a） lna n   ， 可得 na e 时，函数 g （a）取得极大值即最大值． 1( )n nng e ce    ． 数列{ }nc 的前 n 项和 1 1 1(1 ) 1 1 1 1 11 n n n e e eS e e e       ． 23 3 3 11 1 1 e eeS e e     ． 可知 A ， B ， D 错误． 因此只有 C 正确． 故选： C ． 二、多选题 11．已知数列{ }na 满足 2 4a  ， 1 1( 1) ( 1) ( 1n n nn n a n a na n      且 *)n N ，数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，则 ( ) A． 1 3 2a a  B． 1 3 4a a  C．2020 2021 2020 8080S a  D．2021 2021 2020 4040S a  解：因为 2 4a  ， 1 1( 1) ( 1)n n nn n a n a na     ， 令 2n  ，则 3 2 12 2a a a  ， 3 12 4 2a a  ，所以 1 3 2a a  ，故 A 正确， B 错误； 因为 1 1( 1) ( 1) ( 1n n nn n a n a na n      且 *)n N ， 同除以 ( 1)n n  ，得 1 1 1 n n n a aa n n      ， 所以 1 2 1 2 n n n a aa n n     ，， 2 3 12 aa a  ， 1 2 3 2 1 12 1 2 3 1 2 1 2 41 2 3 2 2 1 1 n n n n n n n n a a a a a aaS a a a a a a a an n n n n n                           ， 所以 2020 2021 42020 aS   ， 即 2021 20202020 8080S a  ，故 C 正确， D 错误． 故选： AC ． 12．已知数列{ }na 满足 1 10a  ， 5 2a  ，且 2 12 0( *)n n na a a n N     ，则下列结论正确的 是 ( ) A． 12 2na n  B． 1 2 3 2 30, 5| | | | | | | | 5, 5n na a a a n n        „ C．| |na 的最小值为 0 D．当且仅当 5n  时， 1 2 3 na a a a   取最大值 30 解：由 2 12 0n n na a a    ，可得 2 1 1n n n na a a a     ， 所以数列{ }na 是等差数列， 因为 1 10a  ， 5 2a  ，所以 5 1 25 1 a ad    ， 所以 1 ( 1) 10 2( 1) 12 2na a n d n n        ，故 A 正确； 当 6n  时， 0na  ，所以当 5n„ 时， 0na  ，当 6n… 时， 0na „ ， 所以当 5n„ 时， 2 1 2 3 1 2 3 (10 12 2 )| | | | | | | 112n n n na a a a a a a a n n           ， 当 6n… 时 ， 2 2 1 2 3 1 2 5 6 1 2 3 1 2 5 5| | | | | | | | ( ) 2( ) 2 (11 ) 60 11 60n n n na a a a a a a a a a a a a a a a S S n n n n                          ， 所以 2 1 2 3 2 11 , 5| | | | | | | | 11 60, 6n n n na a a a n n n         „ … ，故 B 错误； | | |12 2 |na n  ，当 6n  时，| |na 取得最小值为 0，故 C 正确； 当 5n  或 6n  时， 1 2 3 na a a a   取最大值 30，故 D 错误． 故选： AC ． 13．已知等差数列{ }na 的公差 0d  ，前 n 项和为 nS ，且 1 1? 2n n nS a a    ，则 ( ) A． 1? 2d  B． 1 1a  C．数列{ }na 中可以取出无穷多项构成等比数列 D．设 ( 1)n n nb a   ，数列{ }nb 的前 n 项和为 nT ，则 2| |nT n 解： 1 1? 2n n nS a a    ， 当 2n… 时，有 1 1 1 2n n nS a a   ， 两式相减得： 1 1( ) 2n n n n na a a a d a     ， 2n… ， 又 0d  ， 2 1d  ，解得： 1 2d  ，选项 A 正确； 又当 1n  时，有 1 1 2 1 2S a a  ，即 1 1 1 1 1( )2 2a a a   ，解得： 1 1a  或 1 1 2a   ，故选项 B 错 误； 又 1 11 2 2n n na     ，或 1 1 2 2 2 2n n na      ， ①当 1 2n na  时： 令 2 1kn   ， *k N ，则 1 2 1 2 1 1 22k k k na a       ，则数列 2 1{ }ka  是等比数列， 又 1( 1) ( 1) 2 n n n n nb a       ， 2 1 1 2 1 3 1 4 1 2 1 1 2 1( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2n n n nT                  ，此时 2| | 2n nT  ； ②当 2 2n na  时： 令 2 2kn   ， *k N ，则 1 2 2 2 2 2 22k k k na a       ，则数列 2 2{ }ka  是等比数列， 又 2( 1) ( 1) 2 n n n n nb a       ， 2 1 2 2 2 3 2 4 2 2 1 2 2 2( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2n n n nT                  ，此时 2| | 2n nT  ， 故选项 C 正确，选项 D 错误， 故选： AC ． 14．大衍数列来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国 传统文化中的太极衍生原理．如图示，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过 的两仪数量总和，其前 10 项依次是 0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，此数列记 为 { }na ， 其 前 n 项 的 和 记 为 nS ， 则 ( ) A． 20 200a  B． 29 420a  C． 19 1200S  D． 30 4720S  解：根据题意： 当 n 为奇数时， 21 ( 1)2na n  ， 当 n 为偶数时， 21 2na n ， 所以     2 2 1 ( 1)2 1 2 n n n a n n      为奇数 为偶数 ， 对于 A ：当 20n  时， 2 20 1 20 2002a    ，故 A 正确； 对于 B ：当 29n  时， 2 29 1 (29 1) 4202a     ，故 B 正确； 对 于 C ： 当 第 n 项 为 奇 数 时 ， 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 ( 1)(2 1) ( 1)( 1)(2 3)(1 1) (2 ) ( 1) (1 2 .. )2 2 2 2 2 2 6 2 12n n n n n n n n nS n n                       ； 所以 19 (19 1) (19 1) (2 19 3) 123012S        ，故 C 错误； 对于 D ：当第 n 项为偶数时， 2 2 21 1 1 ( 2)(2 1)(1 1) 22 2 2 12n n n nS n          ， 所以 30 30 (30 2) (2 30 1) 472012S       ，故 D 正确． 故选： ABD ． 三、填空题 15．已知数列{ }na 满足：对任意 *n N ， (0, )2na  ，且 1 3a  ， 1( ) ( )n nf a f a   ，其中 ( ) tanf x x ，则使得 1 2 1sin sin sin 10ka a a   成立的最小正整数 k 为 ． 解： sin( ) tan cos xf x x x   ， 2 2 2 2( ) 1 tancos x sin xf x xcos x     ． 1( ) ( )n nf a f a   ，则 2 1tan 1n na tan a   ， 即 2 2 1tan tan 1n na a   ． 数列 2{tan }na 是以 3 为首项，公差为 1 的等差数列． tan 2na n  ， (0, )2na  ， 2sin 3n na n    ． 1 2 3 4 5 2 3 1sin sin sin 4 5 6 3 3 10k ka a a k k            ． 解得 297k  ， 使得 1 2 1sin sin sin 10ka a a  成立的最小正整数 k 为 298． 故答案为：298． 16．对于正整数 n ，设 nx 是关于 x 的方程 2 12 1 log 3n n x n nx    的实数根．记 1[ ]2n n a x  ，其 中[ ]x 表示不超过 x 的最大整数，则 1a  ；设数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，则 2020S  ． 解：当 1n  时， 22 1 log 4xx   ，设 22 1( ) log 4f x xx    单调递减， 1( ) 1 02f   ， f （1） 3 0   ，所以 1 1 12 x  ， 1 1 1 12 2x   ， 1 1 1[ ] 02a x   ； 令 1 2n n t x  ，则方程化为： 2 2 1(2 ) log 2 3n n nt n t n n   ， 令 2 2 1( ) (2 ) log 2 3nf x x n x n n    ，则 ( )f x 在 (0, ) 单调递增， 1( ) log 3 02 n nf n n n   ， 1( ) 1 02 nf    ， 由零点存在定理可得 (2 nx  ， 1)2 n  ， ( ) 0f x  ， 当 *2 1( )n k k N   ， 2 1( 2n kt  ， )k ， [ ] 1n na t k   ； 当 *2 ( )n k k N  ， 2 1( , )2n kt k  ， [ ]n na t k  ， 1010 1010 2 2020 1 1 ( 1) 1010 k k S k k         ，  2020 1010S  ． 故答案为：0，1010． 17．已知等差数列{ }na 满足： 1 0a  ， 100 74a … ， 200 200a  ，且该数列在区间 1(2 ，8) 中的项 比在区间[14 ， 43]2 中的项少 2，则{ }na 的通项公式为 ． 解： 100 1 99 74a a d  … ， 1 0a  ； 74 99d  ； 100 74a … ， 200 200a  ， 200 100100 200 74d a a     ， 74 63 99 50d  ， 在区间 1(2 ，8) 中的项比[14 ， 43]2 中的项少 2， 且{ }na 为等差数列， 1 438 142 2    ， 1 2 ，8，14， 43 2 是数列的项， 存在 1m ， 2m ， 3m ， * 4m N ， 1 18 2 m d  ， 214 8 m d  ， 3 114 2 m d  ， 4 43 1 2 2 m d  ；  15 362 2   ，存在 *n N ，使 3 2nd  ， 故 74 3 63 99 2 50n   ，故 50 297 42 148n  ，故 2n  ，故 3 1 3 2 2 4d    ， 100 1 399 744a a   … ，故 1 1 4a … ，而 1 0a  ， 1 2 是数列的项， 1 1 4a   ，故 1 3 3( 1) 14 4 4na n n      ， 故答案为： 3 14na n  ， *n N ． 18．已知等比数列{ }na 的公比为 ( 0)q q  ，前 n 项和为 nS ，且满足 1a q ， 5 1 4a a S  ．若 对一切正整数 n ，不等式15 2 2 n nn m ma mS    ，恒成立，则实数 m 的取值范围为 ． 解：若 1q  ，则 1 1a q  ，即 1na  ，此时 5 1 4a a S  ，与题意不符，舍去； 若 1q  ，由 5 1 4a a S  ，可得 4 4 1 1 1 (1 ) 1 a qa q a q    ， 即 4 4 1 1 (1 )(1 ) 01 a qa q q    ， 4 1 1(1 )(1 ) 01a q q    解得 1 2q a  ， 则 2n na  ， 2(2 1)n nS   ； 对一切正整数 n ，不等式15 2 2 2 2 (2 1)n nn m m m     恒成立， 化简得15 2 2nn m   ， 分离可得 15 2 2n nm  ， 设 15 2( ) 2n nf n  ，则 1 13 2( 1) 2n nf n    ， 1 2 17( 1) ( ) 2n nf n f n     ， 当1 8n„ „ 时， ( 1) ( )f n f n  ，即 f （9） f （8） f  （1）； 当 9n… 时， ( 1) ( )f n f n  ，即 f （9） (10)f ； 所以 ( )f n 的最小值为 f （9） 3 512   ， 故答案为： 3 512m   ．