2021届甘肃省高考数学诊断试卷（理科）（2021.03） （解析版）

2021 年甘肃省高考数字诊断试卷（理科）（3 月份） 一、选择题（共 12 小题）. 1．已知集合 M＝{x|0≤x≤1}，N＝{x|y＝lg（1﹣x）}，则 M∪N＝（ ） A．[0，1） B．[0，1] C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，1] 2．已知复数 z 满足（1﹣i）（3+z）＝1+i（i 为虚数单位），则 z 的共轭复数为（ ） A．3﹣i B．3+i C．﹣3﹣i D．﹣3+i 3．若双曲线 ＝1（a＞2）的一条渐近线经过点 P（2，1），则双曲线的焦距是（ ） A． B． C． D． 4．正方形 ABCD 边长为 4，点 E 为 BC 边的中点，点 F 为 CD 边的一点，若 ， 则| |＝（ ） A．5 B．3 C．2 D．1 5．某学校高一开展数学建模活动，有六位教师负责指导该活动，现有甲、乙两位同学分别 从这六位教师中选择一位作为自己的指导教师，所有可能的选择方法数共有（ ） A．64 种 B．36 种 C．30 种 D．15 种 6．函数 f（x）＝xex 的图象如图所示，则函数 f（1﹣x）的图象为（ ） A． B． C． D． 7．《九章算术•商功》有如下叙述：“斜解立方，得两堵斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳 马居二，鳖臑居一，不易之率也．”（阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓）．取 一个长方体，按如图所示将其一分为二，得两个一模一样的三棱柱，均称为堑堵，再沿 堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个．其中以矩形为底，有一棱与 底面垂直的四棱锥，称为阳马．余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为 鳖臑．那么如图所示，a＝3，b＝4，c＝5 的阳马外接球的表面积是（ ） A．20 π B．25 π C．50 π D．200 π8．一组数据 x1 ，x2 ，x3 ，…，xn 的平均数为 ，现定义这组数据的平均差为 D＝ ．如图是甲、乙两组数据的频率分布折 线图． 根据折线图，可判断甲、乙两组数据的平均差 D1，D2 的大小关系是（ ） A．D1＞D2 B．D1＝D2 C．D1＜D2 D．无法确定 9．若椭圆 ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，椭圆上存在一点 P，使|PF1| ﹣|PF2|＝2b，|PF1|•|PF2|＝ ，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 10．已知递增等比数列{an}满足 ，a3＝4，则 a7＝（ ） A．8 B．8 C．16 D．16 11．下列四个命题： ① 命题“ ∀ x ∈ R，cosx≤1”的否定是“ ∃ x0 ∈ R，cosx0＞1” ②α ， β 是两个不同的平面， α ⊥ β ， α ∩ β ＝l，m⊥l，则 m⊥ β ． ③ 函数 f（x）＝ 为 R 上的增函数． ④ sin2x+ ≥4（x≠k π ，k ∈ Z）． 其中真命题的个数是（ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 12．若函数 f（x）为定义在 R 上的偶函数，当 x ∈ （﹣∞，0）时，f′（x）＞ex﹣e﹣x，则不 等式 f（2x﹣1）﹣f（x﹣1）＞ex﹣1（ex﹣1）（1﹣e2﹣3x）的解集为（ ） A．（0，2） B．（0， ） C．（﹣∞，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，0）∪（ ，+∞） 二、填空题（共 4 小题）. 13．019 年 1 月 1 日，“学习强国”学习平台在全国上线，某单位组织全体党员登录学习， 统计学习积分得到的频率分布直方图如图所示．若学习积分在[1，1.5）（单位：万分） 的人数是 32 人，则该单位共有 名党员，若学习积分超过 2 万分的党员可获得“学 习达人”称号，则该单位有 名党员能获得该称号． 14．已知 x，y 满足约束条件 ，则 z＝2x+y 的最大值为 ． 15．已知等差数列{an}的公差大于 0，其前 n 项和为 Sn，且 a2•a5＝10，a3+a4＝7，则 tan ＝ ． 16．如图，正方体 A1C 的棱长为 1，点 M 在棱 A1D1 上，A1M＝2MD1，过 M 的平面 α 与平面 A1BC1 平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．△ABC 中，角 A，B，C 所对的边为 a，b，c，已知 bcos ＝asinB． （Ⅰ）求 A； （Ⅱ）若△ABC 的面积 S＝2 ，D 为 BC 的中点，求 BC 边上中线 AD 的最小值． 18．在三棱锥 P﹣BCD 中，A 是 CD 的中点，AB＝AC，BC＝6，PB＝BD＝6 ，PC＝12． （Ⅰ）证明：BC⊥平面 PBD； （Ⅱ）若 PD＝6 ，求二面角 D﹣PB﹣A 的余弦值． 19．2020 年 1 月 15 日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作 的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020 年起不再组织开展高校自主招生 工作，改为实行强基计划．强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合 素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程 中通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目 且每门科目是否通过相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为 ，该 考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为 ， ，m，其中 0＜m＜1． （Ⅰ）若 m＝ ，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的 概率； （Ⅱ）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数 学期望为依据作出决策，则当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求 m 的范围． 20．已知函数 f（x）＝ x+ ﹣cosx． （Ⅰ）当 a＝2 时，证明：f（x）＞x 对 x ∈ （0， π ）恒成立； （Ⅱ）若函数 g（x）＝xf（x）在 x ∈ （0， π ）存在极大值点 x0，求 acos2x0﹣sinx0 的最小 值． 21．已知抛物线 y2＝4x 及点 P（4，0）． （Ⅰ）以抛物线焦点 F 为圆心，|FP|为半径作圆，求圆 F 与抛物线交点的横坐标； （Ⅱ）A、B 是抛物线上不同的两点，且直线 AB 与 x 轴不垂直，弦 AB 的垂直平分线恰 好经过点 P，求 的范围． [选修 4-4:坐标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数）．以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ 2 ＝ ． （Ⅰ）写出曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程； （Ⅱ）已知点 P 是曲线 C2 上一点，求线段 OP 的中点 M 到曲线 C1 距离的最小值． [选修 4-5:不等式选讲] 23．已知 f（x）＝﹣|x+a|﹣|x﹣3|． （Ⅰ）当 a＝﹣1 时，画出函数 y＝f（x）的图象； （Ⅱ）若关于 x 的不等式 f（x）≥﹣a2﹣1 有解，求实数 a 的取值范围． 参考答案 一、选择题（共 12 小题）. 1．已知集合 M＝{x|0≤x≤1}，N＝{x|y＝lg（1﹣x）}，则 M∪N＝（ ） A．[0，1） B．[0，1] C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，1] 解：∵M＝{x|0≤x≤1}，N＝{x|1﹣x＞0}＝{x|x＜1}， ∴M∪N＝（﹣∞，1]． 故选：D． 2．已知复数 z 满足（1﹣i）（3+z）＝1+i（i 为虚数单位），则 z 的共轭复数为（ ） A．3﹣i B．3+i C．﹣3﹣i D．﹣3+i 解：因为（1﹣i）（3+z）＝1+i， 所以 ， 故 z＝﹣3+i， 所以 z 的共轭复数为﹣3﹣i． 故选：C． 3．若双曲线 ＝1（a＞2）的一条渐近线经过点 P（2，1），则双曲线的焦距是（ ） A． B． C． D． 解：双曲线 ＝1（a＞2）的一条渐近线 2x﹣ay＝0， 双曲线 ＝1（a＞2）的一条渐近线经过点 P（2，1）， 可得 2×2﹣a×1＝0，解得 a＝4，因为 b＝2，所以 c＝ ＝ ＝2 ． 所以双曲线的焦距为：4 ． 故选：D． 4．正方形 ABCD 边长为 4，点 E 为 BC 边的中点，点 F 为 CD 边的一点，若 ， 则| |＝（ ） A．5 B．3 C．2 D．1 【解答】解；如图所示： ∵ ， ∴ ﹣ ＝0， 即 •（ ）＝0， ∴ ＝0， ∴AE⊥EF， 连接 EF，令 DF＝x，在直角三角形 AEF 中有： AE2+EF2＝AF2， ∵AE2＝AB2+BE2＝42+22＝20， EF2＝EC2+CF2＝22+（4﹣x）2， AF2＝AD2+DF2＝42+x2， ∴20+22+（4﹣x）2＝42+x2， 解得：x＝3， ∴CF＝4﹣3＝1， 故选：D． 5．某学校高一开展数学建模活动，有六位教师负责指导该活动，现有甲、乙两位同学分别 从这六位教师中选择一位作为自己的指导教师，所有可能的选择方法数共有（ ） A．64 种 B．36 种 C．30 种 D．15 种 解：根据题意，甲在六位教师中选择一位作为自己的指导教师，有 6 种选法， 同理：乙在六位教师中选择一位作为自己的指导教师，有 6 种选法， 则甲乙两人共有 6×6＝36 种选法， 故选：B． 6．函数 f（x）＝xex 的图象如图所示，则函数 f（1﹣x）的图象为（ ） A． B． C． D． 解：把函数 f（x）的图象先关于 y 轴对称，得到 f（﹣x）的图象，再向右平移 1 个单位， 得到 f[﹣（x﹣1）]＝f（1﹣x）的图象，所以只有选项 B 符合题意． 故选：B． 7．《九章算术•商功》有如下叙述：“斜解立方，得两堵斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳 马居二，鳖臑居一，不易之率也．”（阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓）．取 一个长方体，按如图所示将其一分为二，得两个一模一样的三棱柱，均称为堑堵，再沿 堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个．其中以矩形为底，有一棱与 底面垂直的四棱锥，称为阳马．余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为 鳖臑．那么如图所示，a＝3，b＝4，c＝5 的阳马外接球的表面积是（ ） A．20 π B．25 π C．50 π D．200 π解：因为长方体、堑堵、阳马、鳖臑，各个几何体的顶点都在同一个外接球的表面上， 所以它们的外接球是相同的，外接球的直径就是长方体的体对角线的长度， 所以外接球的半径为：R＝ ＝ ， 阳马外接球的表面积是 4 π R2＝50 π ． 故选：C． 8．一组数据 x1 ，x2 ，x3 ，…，xn 的平均数为 ，现定义这组数据的平均差为 D＝ ．如图是甲、乙两组数据的频率分布折 线图． 根据折线图，可判断甲、乙两组数据的平均差 D1，D2 的大小关系是（ ） A．D1＞D2 B．D1＝D2 C．D1＜D2 D．无法确定 解：根据题意知，平均差也表示一组数据的离散程度，平均差越小，说明该组数据越集 中， 由频率分布折线图知，甲组数据较为分散，平均差大些，乙组数据较为集中，平均差小 些， 所以 D1＞D2． 故选：A． 9．若椭圆 ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，椭圆上存在一点 P，使|PF1| ﹣|PF2|＝2b，|PF1|•|PF2|＝ ，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 解：|PF1|﹣|PF2|＝2b，两边平方可得：|PF1|2|+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|＝4b2 ⇒ （|PF1|+|PF2|）2 ﹣4|PF1||PF2|＝4b2， 由椭圆的定义可得：4a2﹣4× ＝4b2，可得 b2＝ a2， 所以椭圆的离心率 e＝ ＝ ＝ ＝ ． 故选：A． 10．已知递增等比数列{an}满足 ，a3＝4，则 a7＝（ ） A．8 B．8 C．16 D．16 解：根据题意，设等比数列{an}的公比为 q， 又由数列{an}为递增等比数列，且 ，a3＝4，则 q＞1， 则有 + + ＝ + + ＝ ， 解可得 q2＝2 或 （舍）， 则 a7＝a3q4＝16， 故选：C． 11．下列四个命题： ① 命题“ ∀ x ∈ R，cosx≤1”的否定是“ ∃ x0 ∈ R，cosx0＞1” ②α ， β 是两个不同的平面， α ⊥ β ， α ∩ β ＝l，m⊥l，则 m⊥ β ． ③ 函数 f（x）＝ 为 R 上的增函数． ④ sin2x+ ≥4（x≠k π ，k ∈ Z）． 其中真命题的个数是（ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 解： ① 命题“ ∀ x ∈ R，cosx≤1”的否定是“ ∃ x0 ∈ R，cosx0＞1”，则命题为真命题，故 ①正确， ② 根据面面垂直的性质知垂直于交线的直线一定垂直平面，故 ② 正确， ③ 当 x＞1 时，函数 y＝2x﹣3 为增函数，当 x≤1 时，函数 y＝ex﹣1 为增函数， 当 x＝1 时，y＝ex﹣1＝1，y＝2x﹣3＝﹣1，则 1＞﹣1，即 f（x）在 R 上不是增函数，故 ③ 错误， ④ 当 x≠k π 时，sinx≠0， 设 t＝sin2x，则 0＜t≤1，则 sin2x+ ＝t+ 在（0，1]上为减函数，则当 t＝1 时，函 数最小为 1+4＝5，故 ④ 错误， 故正确的是 ①② ， 故选：C． 12．若函数 f（x）为定义在 R 上的偶函数，当 x ∈ （﹣∞，0）时，f′（x）＞ex﹣e﹣x，则不 等式 f（2x﹣1）﹣f（x﹣1）＞ex﹣1（ex﹣1）（1﹣e2﹣3x）的解集为（ ） A．（0，2） B．（0， ） C．（﹣∞，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，0）∪（ ，+∞） 解：令 g（x）＝f（x）﹣ex﹣e﹣x， 则 g′（x）＝f′（x）﹣ex+e﹣x， 当 x ∈ （﹣∞，0）时，f′（x）＞ex﹣e﹣x， 故 g′（x）＞0 即 g（x）在（﹣∞，0）上单调递增， ∵f（x）是偶函数，∴f（x）＝f（﹣x）， ∴g（﹣x）＝f（﹣x）﹣e﹣x﹣ex＝g（x ）， ∴g（x）是偶函数， ∴f（2x﹣1）﹣f（x﹣1） ＞ex﹣1（ex﹣1）（1﹣e2﹣3x） ＝（e2x﹣1﹣ex﹣1）（1﹣e2﹣3x）， ＝e2x﹣1﹣ex﹣1﹣e﹣x+1+e1﹣2x 等价于 f（2x﹣1）﹣e2x﹣1﹣e1﹣2x＞f（x﹣1）﹣e﹣x+1﹣ex﹣1 即 g（2x﹣1）＞g（x﹣1）， ∵g（x）为偶函数，在（﹣∞，0）递增，在（0，+∞）递减， ∴|2x﹣1|＜|x﹣1|，解得：0＜x＜ ， 故选：B． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．019 年 1 月 1 日，“学习强国”学习平台在全国上线，某单位组织全体党员登录学习， 统计学习积分得到的频率分布直方图如图所示．若学习积分在[1，1.5）（单位：万分） 的人数是 32 人，则该单位共有 80 名党员，若学习积分超过 2 万分的党员可获得“学 习达人”称号，则该单位有 8 名党员能获得该称号． 解：由频率分布直方图得： 学习积分在[1，1.5）（单位：万分）的频率为： 0.8×0.5＝0.4， ∵学习积分在[1，1.5）（单位：万分）的人数是 32 人， ∴该单位共有： ＝80， 学习积分超过 2 万分的党员所占频率为： 0.2×0.5＝0.1， ∵学习积分超过 2 万分的党员可获得“学习达人”称号， ∴该单位有 0.1×80＝8 名党员能获得该称号． 故答案为：80，0.1． 14．已知 x，y 满足约束条件 ，则 z＝2x+y 的最大值为 5 ． 解：由约束条件作出可行域如图， 联立 ，解得 A（2，1）， 由 z＝2x+y，得 y＝﹣2x+z，由图可知，当直线 y＝﹣2x+z 过 A 时， 直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为 2×2+1＝5． 故答案为：5． 15．已知等差数列{an}的公差大于 0，其前 n 项和为 Sn，且 a2•a5＝10，a3+a4＝7，则 tan ＝ 1 ． 解：因为等差数列{an}的公差大于 0，且 a2•a5＝10，a3+a4＝a2+a5＝7， 所以 a2＝2，a5＝5，d＝1， 故 a9＝9， 则 tan ＝tan ＝tan ＝1． 故答案为：1． 16．如图，正方体 A1C 的棱长为 1，点 M 在棱 A1D1 上，A1M＝2MD1，过 M 的平面 α 与平面 A1BC1 平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为 ． 解：在平面 A1D1DA 中寻找与平面 A1BC1 平行的直线时，只需要 ME∥BC1，如图所示， 因为 A1M＝2MD1，故该截面与正方体的交点位于靠近 D1，A，C 的三等分点处，故可得 截面为 MIHGFE， 设 正 方 体 的 棱 长 为 3a ， 则 ， ， 所以截面 MIHGFE 的周长为 ， 又因为正方体 A1C 的棱长为 1，即 3a＝1， 故截面多边形的周长为 ． 故答案为： ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．△ABC 中，角 A，B，C 所对的边为 a，b，c，已知 bcos ＝asinB． （Ⅰ）求 A； （Ⅱ）若△ABC 的面积 S＝2 ，D 为 BC 的中点，求 BC 边上中线 AD 的最小值． 解：（I）∵bcos ＝asinB， 由正弦定理可得：sinBcos ＝sinAsinB， sinB≠0，可得：cos ＝sinA＝2sin cos ， ∵cos ≠0，∴sin ＝ ， A ∈ （0， π ），∴ ＝ ，即 A＝ ． （Ⅱ）∵△ABC 的面积 S＝2 ，∴ bcsin ＝2 ， 化为：bc＝8． ∵D 为 BC 的中点， ∴由中线长定理可得：b2+c2＝ +2AD2， 由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc•cos ， 代入上式可得：4AD2＝b2+c2+bc≥3bc＝24， 解得 AD≥ ，当且仅当 b＝c＝2 时，BC 边上中线 AD 取得最小值 ． 18．在三棱锥 P﹣BCD 中，A 是 CD 的中点，AB＝AC，BC＝6，PB＝BD＝6 ，PC＝12． （Ⅰ）证明：BC⊥平面 PBD； （Ⅱ）若 PD＝6 ，求二面角 D﹣PB﹣A 的余弦值． 【解答】（Ⅰ）证明：由题意可知，A 是 CD 的中点，又 AB＝AC， 在△BCD 中，AB＝AC＝AD，所以△CBD 为直角三角形，则∠CBD＝90°，即 BC⊥BD， 由题意可知， ，则有 PC2＝PB2+BC2，所以 BC⊥PB， 因为 BD，PB ⊂ 平面 PBD，BD∩PB＝B，所以 BC⊥平面 PBD； （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，BC⊥平面 PBD，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为 PD＝6 ，则 B（0，0，0）， ， 则 ， 设平面 PBA 的法向量为 ，则有 ，即 ， 令 y＝1，则 ， 平面 PBD 的一个法向量为 ， 则有 ， 故二面角 D﹣PB﹣A 的余弦值为 ． 19．2020 年 1 月 15 日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作 的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020 年起不再组织开展高校自主招生 工作，改为实行强基计划．强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合 素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程 中通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目 且每门科目是否通过相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为 ，该 考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为 ， ，m，其中 0＜m＜1． （Ⅰ）若 m＝ ，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的 概率； （Ⅱ）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数 学期望为依据作出决策，则当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求 m 的范围． 解：（Ⅰ）某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为 ， ∴甲通过的考试科目的门数 X～B（3， ）， ∴该考生报考甲大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率为： P＝ ＝ ． 当 m＝ 时，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为 ， ， ， ∴该考生报考乙大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率为： P＝ +（1﹣ ）× +（1﹣ ）×（1﹣ ）× ＝ ． （Ⅱ）∵甲通过的考试科目的门数 X～B（3， ）， ∴E（X）＝3× ＝ ． 设乙通过的考试科目的门数为 Y， 则 P（Y＝0）＝（1﹣ ）×（1﹣ ）×（1﹣m）＝ ， P（Y＝1）＝（1﹣ ）×（1﹣ ）×m+（1﹣ ）× ×（1﹣m）+ ×（1﹣ ）×（1 ﹣m）＝ ， P（Y＝2）＝ + + ＝ ， P（Y＝3）＝ ＝ ， ∴E（Y）＝ + +3× ＝ m+ ， ∵该考生更希望通过乙大学的笔试， ∴E（Y）＞E（X），∴m+ ＞ ， 再由 0＜m＜1，解得 ． ∴当该考生更希望通过乙大学的笔试时，m 的范围是（ ，1）． 20．已知函数 f（x）＝ x+ ﹣cosx． （Ⅰ）当 a＝2 时，证明：f（x）＞x 对 x ∈ （0， π ）恒成立； （Ⅱ）若函数 g（x）＝xf（x）在 x ∈ （0， π ）存在极大值点 x0，求 acos2x0﹣sinx0 的最小 值． 解：（Ⅰ）证明：a＝2 时，f（x）＝x+ ﹣cosx， 要证 f（x）＞x 对 x ∈ （0， π ）恒成立， 即证 ﹣cosx＞0 对 x ∈ （0， π ）恒成立， 即证 sinx﹣xcosx＞0 对 x ∈ （0， π ）恒成立， 令 h（x）＝sinx﹣xcosx，x ∈ （0， π ）， 则 h′（x）＝cosx﹣cosx+xsinx＝xsinx＞0， 故 h（x）在（0， π ）单调递增，且 h（0）＝0， 故 h（x）＞0，即 sinx﹣xcosx＞0， 故 f（x）＞x 在 x ∈ （0， π ）上恒成立； （Ⅱ）g（x）＝xf（x）＝ x2+sinx﹣xcosx， 故 g′（x）＝ax+cosx﹣cosx+xsinx＝ax+xsinx， ∵g（x）在 x ∈ （0， π ）上存在极大值点 x0， ∴g′（x）＝ax+xsinx＝x（a+sinx）＝0 有 x＝x0 这个解， ∵x ∈ （0， π ），∴只有﹣a＝sinx0，∴cos2x0＝1﹣sin2x0＝1﹣a2， 故 acos2x0﹣sinx0＝a（1﹣a2）+a＝2a﹣a3，a ∈ [﹣1，0）， 设 f（a）＝2a﹣a3，a ∈ [﹣1，0）， 则 f′（a）＝2﹣3a2，令 f′（a）＝0，解得：a＝﹣ ， 故 a ∈ （﹣1，﹣ ）时，f′（a）＜0，a ∈ （﹣ ，0）时，f′（a）＞0， 故 f（a）min＝f（﹣ ）＝﹣ ， 故 acos2x0﹣sinx0 的最小值是﹣ ． 21．已知抛物线 y2＝4x 及点 P（4，0）． （Ⅰ）以抛物线焦点 F 为圆心，|FP|为半径作圆，求圆 F 与抛物线交点的横坐标； （Ⅱ）A、B 是抛物线上不同的两点，且直线 AB 与 x 轴不垂直，弦 AB 的垂直平分线恰 好经过点 P，求 的范围． 解：（Ⅰ）由抛物线的方程可得焦点 F（1，0），|PF|＝3， 所以抛物线焦点 F 为圆心，|FP|为半径作圆的方程为：（x﹣1）2+y2＝9， 联立 ，整理可得：x2+2x﹣8＝0，解得 x＝﹣4 或 2， 由抛物线的方程可得 x＞0， 所以圆 F 与抛物线交点的横坐标为 2； （Ⅱ）设直线 AB 的方程为：y＝kx+b，A（x1，y1），B（x2，y2），k≠0， 整理可得：ky2﹣4y+4b＝0， △＝16﹣16kb＞0 ⇒ bk＜1，且 y1+y2＝ ，y1y2＝ ，y1+y2＝k（x1+x2）+2b，所以 x1+x2 ＝ ﹣ ， 所以 AB 的中点坐标（ ， ），即 AB 的中点（ ﹣ ， ） 所以线段 AB 的中垂线的方程为：y﹣ ＝﹣ （x﹣ + ）， 过（4，0） ⇒ 0﹣ ＝﹣ （4﹣ + ） ⇒ 2k2+bk﹣2＝0， ＝（x1﹣1，y1）， ＝（x2﹣1，y2）， 所以 • ＝（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2＝（ ﹣1）（ ﹣1）+y1y2＝ y12y22﹣ [（y1+y2） 2﹣2y1y2]+1+y1y2＝ ﹣ + +1， 因为 2k2+bk﹣2＝0， 所以 ① k＝±1 时，b＝0，则 • ＝﹣ +1＝﹣3， ② k≠±1 时，b＝﹣2k+ ， 所以 • ＝ ﹣ + +1＝﹣7+ ， bk＜1，所以﹣2k2+2＜1，k2 ， 所以 k4 ， ∈ （0，4），所以 ∈ （0，16）， 所以 • ∈ （﹣7，9）， 综上所述： • 的取值范围为：（﹣7，9）． [选修 4-4:坐标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数）．以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ 2 ＝ ． （Ⅰ）写出曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程； （Ⅱ）已知点 P 是曲线 C2 上一点，求线段 OP 的中点 M 到曲线 C1 距离的最小值． 解：（Ⅰ）曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数），转换为直角坐标方程为 ． 曲线 C2 的极坐标方程为 ρ 2＝ ，根据 ，转换为直角坐标方 程为 ． （Ⅱ）把 转换为参数方程为 （ θ 为参数）， 线 段 OP 的 中 点 M （ ） 到 直 线 的 距 离 d ＝ ， 当 时， ． [选修 4-5:不等式选讲] 23．已知 f（x）＝﹣|x+a|﹣|x﹣3|． （Ⅰ）当 a＝﹣1 时，画出函数 y＝f（x）的图象； （Ⅱ）若关于 x 的不等式 f（x）≥﹣a2﹣1 有解，求实数 a 的取值范围． 解：（Ⅰ）当 a＝﹣1 时，f（x）＝﹣|x﹣1|﹣|x﹣3|＝ ， 其图象如图所示． （Ⅱ）f（x）＝﹣|x+a|﹣|x﹣3|≤﹣|（x+a）﹣（x﹣3）|＝﹣|a+3|， 因为关于 x 的不等式 f（x）≥﹣a2﹣1 有解， 则﹣|a+3|≥﹣a2﹣1， 当 a≥﹣3 时，不等式即为﹣a﹣3≥﹣a2﹣1，即 a2﹣a﹣2≥0， 解得﹣3≤a≤﹣1 或 a≥2； 当 a＜﹣3 时，不等式即为 a+3≥﹣a2﹣1，即 a2+a+4≥0， △＝1﹣16＝﹣15＜0，所以 a2+a+4≥0 恒成立， 所以 a＜﹣3， 综上可得，实数 a 的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．