2021届新高考数学·立体几何的解题技巧 素材

数学·立体几何的解题技巧 一立 体 几 何 解 题 技 巧 1. 直 线 与 平 面 垂 直 的 五 个 结 论 (1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线. (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面. (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这一条直线与另一个平面也垂直. (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面. 2. 证 明 线 面 垂 直 的 常 用 方 法 (1)利用线面垂直的判定定理. (2)利用“两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”. (3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则与另一个也垂直”. (4)利用面面垂直的性质定理. 3. 证 明 线 线 垂 直 的 常 用 方 法 (1)利用特殊图形中的垂直关系. (2)利用等腰三角形底边中线的性质. (3)利用勾股定理的逆定理. (4)利用直线与平面垂直的性质. 4. 在证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形底边上的高、 中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的 对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度,经计算满足勾股定理)、直角 梯形等等. 5. 面 面 垂 直 的 证 明 方 法 (1)定义法:利用面面垂直的定义,即判定两平面所成的二面角为直二面角,将 证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题. (2)定理法:利用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的 一条垂线,把问题转化成证明线面垂直加以解决. 6. 线 面 角 、 二 面 角 求 法 根据线面角的定义或二面角的平面角的定义,作(找)出该角,再解三角形求出 该角,步骤是作(找)⇒证⇒求(算)三步曲.也可用射影法: 设斜线段 AB 在平面α内的射影为 A'B',AB 与α所成角为θ,则 cosθ= ; 设△ABC 在平面α内的射影三角形为△A'B'C',平面 ABC 与α所成角为θ,则 cosθ= . 例 1.(2019 山东潍坊三模,8)下列说法错误的是( ) A.垂直于同一个平面的两条直线平行 B.若两个平面垂直,则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一 个平面垂直 C.一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行,则这两个平面平行 D.一条直线与一个平面内的无数条直线垂直,则这条直线和这个平面垂直 答案：D 解析：由线面垂直的性质定理可得选项 A 正确;由面面垂直的性质定理知选项 B 正确;由面面平行的判定定理知选项 C 正确;由直线与平面垂直的定义知,选 项 D 错误. 例 2.已知 l,m 是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断: ①l⊥m;②m∥α;③l⊥α. 以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确命 题: . 答案：若 l⊥α,m∥α,则 l⊥m 解析：将所给论断,分别作为条件、结论,得到如下三个命题: (1)如果 l⊥α,m∥α,则 l⊥m,正确; (2)如果 l⊥α,l⊥m,则 m∥α,不正确,有可能 m 在平面α内; (3)如果 l⊥m,m∥α,则 l⊥α,不正确,有可能 l 与α斜交、l∥α.故答案为:如果 l⊥α,m∥α,则 l⊥m. 例 3.图 1 是由矩形 ADEB,Rt△ABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形,其 中 AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿 AB,BC 折起使得 BE 与 BF 重合, 连接 DG,如图 2. (1)证明:图 2 中的 A,C,G,D 四点共面,且平面 ABC⊥平面 BCGE; (2)求图 2 中的四边形 ACGD 的面积. 解：(1)证明由已知得 AD∥BE,CG∥BE,所以 AD∥CG,故 AD,CG 确定一个 平面,从而 A,C,G,D 四点共面. 由已知得 AB⊥BE,AB⊥BC,BE∩BC=B,故 AB⊥平面 BCGE. 又因为 AB⊂平面 ABC,所以平面 ABC⊥平面 BCGE. (2)解取 CG 的中点 M,连接 EM,DM. 因为 AB∥DE,AB⊥平面 BCGE, 所以 DE⊥平面 BCGE,故 DE⊥CG. 由已知,四边形 BCGE 是菱形,且∠EBC=60°得 EM⊥CG,DE∩EM=E,故 CG⊥平面 DEM.因此 DM⊥CG. 在 Rt△DEM 中,DE=1,EM= ,故 DM=2.所以四边形 ACGD 的面积为 4. 二立 体 几 何 解 题 技 巧 1.异面直线判定的一个定理 过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线. 2.唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直. (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直. 3.共面、共线、共点问题的证明 (1)证明点或线共面问题的两种方法: ①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后证其余的线(或点)在 这个平面内; ②将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合. (2)证明点共线问题的两种方法: ①先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上; ②直接证明这些点都在同一条特定直线上. (3)证明线共点问题的常用方法是:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线 经过该点. 4.求解异面直线所成角的方法 方法 解读 平移法 通过作图(如结合中位线、平行四边形补形等)来构造平行线,作出异面直线所 成的角,通过解三角形来求解 补形法 补成长方体或正方体 转化法 当异面直线所成角为 时,可转化为证明垂直 典 型 例 题 例 1(多 选 )已 知 空 间 中 两 条 直 线 a, b 所 成 的 角 为 50 °,P 为 空 间 中 给 定 的 一 个 定 点 ,直 线 l 过 点 P 且 与 直 线 a 和 直 线 b 所 成 的 角 都 是 θ(0 °