燕尾定理
例题精讲
燕尾定理：
在三角形 ABC 中， AD ， BE ， CF 相交于同一点 O ，那么 : :ABO ACOS S BD DC ．
O
F
E
D
C
B
A
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为 ABO 和 ACO 的形状很象燕子的尾巴，所以这
个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何
一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.
通过一道例题证明一下燕尾定理：
如右图， D 是 BC 上任意一点，请你说明： 1 4 2 3: : :S S S S BD DC
S
3
S
1
S
4
S
2
E
D
C
B
A
【解析】三角形 BED 与三角形 CED 同高，分别以 BD 、 DC 为底，
所以有 1 4: :S S BD DC ；三角形 ABE 与三角形 EBD 同高， 1 2: :S S ED EA ；三角形 ACE 与三角形
CED 同高， 4 3: :S S ED EA ，所以 1 4 2 3: :S S S S ；综上可得 1 4 2 3: : :S S S S BD DC .
【例 1】 如右图，三角形 ABC 中， : 4:9BD DC ， : 4:3CE EA ，求 :AF FB ．
O
F
E
D
C
B
A
【巩固】如右图，三角形 ABC 中， : 3: 4BD DC ， : 5:6AE CE ，求 :AF FB .
O
F
E
D
C
B
A
【巩固】如图， : 2:3BD DC , : 5:3AE CE ,则 :AF BF
G
F
E
D
C
B
A
【巩固】如右图，三角形 ABC 中， : 2:3BD DC ， : 5: 4EA CE ，求 :AF FB .
O
F
E
D
C
B
A
【例 2】 如图，三角形 ABC 被分成 6 个三角形，已知其中 4 个三角形的面积，问三角形 ABC 的面积是多少?
35
30
40
84
O
F
E
D
C
B
A
【例 3】 如图，三角形 ABC 的面积是1， E 是 AC 的中点，点 D 在 BC 上，且 : 1: 2BD DC ， AD 与 BE 交
于点 F ．则四边形 DFEC 的面积等于 ．
F
E
D
C
B
A
3
3
3
2
1
F
E
D
C
B
A
A
B
C
D
E
F
F
E
D
C
B
A
【巩固】如图，已知 BD DC ， 2EC AE ，三角形 ABC 的面积是30 ，求阴影部分面积.
【巩固】如图，三角形 ABC 的面积是 2200 cm ，E 在 AC 上，点 D 在 BC 上，且 : 3:5AE EC , : 2:3BD DC ，
AD 与 BE 交于点 F ．则四边形 DFEC 的面积等于 ．
F
E
D
C
B
A
A
B
C
D
E
F
F
E
D
C
B
A
【巩固】如图，已知 3BD DC ， 2EC AE ，BE 与 CD 相交于点 O ,则 ABC△ 被分成的 4 部分面积各占 ABC△
面积的几分之几？
O
E
D
C
B
A
13.5
4.5
9
2
1
1
2
1
3
O
E
D
C
B
A
【巩固】如图所示，在 ABC△ 中， 1
2CP CB ， 1
3CQ CA ， BQ 与 AP 相交于点 X ，若 ABC△ 的面积为 6 ，
则 ABX△ 的面积等于 ．
X
Q
P
A
B
C
X
Q
P
A
B
C
4
4
1
1
X
Q
P
C
B
A
【巩固】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是 3，7 ，7 ，
则阴影四边形的面积是多少？
【巩固】如图，三角形 ABC 的面积是1， 2BD DC ， 2CE AE ， AD 与 BE 相交于点 F ，请写出这 4 部分
的面积各是多少?
A
B
C
D
E
F
4
8
6
2
1
A
B
C
D
E
F
【巩固】如图，E 在 AC 上，D 在 BC 上，且 : 2:3AE EC , : 1: 2BD DC ，AD 与 BE 交于点 F ．四边形 DFEC
的面积等于 222 cm ，则三角形 ABC 的面积 ．
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
2.4
1.6
2
A
B
C
D
E
F
1
2
【巩固】三角形 ABC 中， C 是直角，已知 2AC ， 2CD ， 3CB ， AM BM ，那么三角形 AMN (阴影
部分)的面积为多少？
【例 4】 如图所示，在 ABC△ 中， : 3:1BE EC ， D 是 AE 的中点，那么 :AF FC ．
F
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
【巩固】在 ABC 中， : 3: 2BD DC ， : 3:1AE EC ，求 :OB OE ？
A
B
C
D
E
O
A
B
C
D
E
O
【巩固】在 ABC 中， : 2:1BD DC ， : 1:3AE EC ，求 :OB OE ？
A
B
C
D
E
O
【例 5】 如图 9，三角形 BAC 的面积是 1，E 是 AC 的中点，点 D 在 BC 上，且 BD:DC=1:2，AD 与 BE 交
于点 F，则四边形 DEFC 的面积等于 。
【例 6】 如 图 1 ， ABC 中 ， 点 E 在 AB 上 ， 点 F 在 AC 上 ， BF 与 CE 相 交 于 点 P ， 如 果
4BEP CFPAEPFS S S 四边形 ，则 BPCS .
【例 7】 如图 4，三角形田地中有两条小路 AE 和 CF，交叉处为 D，张大伯常走这两条小路，他知道 DF＝
DC，且 AD＝2DE。则两块田地 ACF 和 CFB 的面积比是___________。
【例 8】 如图，长方形 ABCD 的面积是 2 平方厘米， 2EC DE ， F 是 DG 的中点．阴影部分的面积是多少
平方厘米?
【例 9】 如图所示，在四边形 ABCD 中， 3AB BE ， 3AD AF ，四边形 AEOF 的面积是12 ，那么平行四
边形 BODC 的面积为________．
O
F
E
D
C
B
A
6
8
4
6
2
1
O
F
E
D
C
B
A
【例 10】 ABCD 是边长为12 厘米的正方形， E 、 F 分别是 AB 、 BC 边的中点， AF 与 CE 交于 G ，则四边
形 AGCD 的面积是_________平方厘米．
G
F
E
D
C
B
A
G
F
E
D
C
B
A
【例 11】如图，正方形 ABCD 的面积是120 平方厘米，E 是 AB 的中点，F 是 BC 的中点，四边形 BGHF 的
面积是_____平方厘米．
【例 12】如图，四边形 ABCD 是矩形，E 、F 分别是 AB 、BC 上的点，且 1
3AE AB ， 1
4CF BC ， AF 与
CE 相交于 G ，若矩形 ABCD 的面积为120 ，则 AEG 与 CGF 的面积之和为 ．
【例 13】正六边形 1A ， 2A ， 3A ， 4A ， 5A ， 6A 的面积是 2009 平方厘米， 1B ， 2B ， 3B ， 4B ， 5B ， 6B 分别是正
六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是
平方厘米．
【例 14】已知四边形 ABCD ，CHFG 为正方形， : 1:8S S 乙甲 ， a 与 b 是两个正方形的边长，求 : ?a b
【例 15】右图的大三角形被分成 5 个小三角形，其中 4 个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积
是 ．
【例 16】如右图，三角形 ABC 中， : : : 3: 2AF FB BD DC CE AE ，且三角形 ABC 的面积是1，则三角
形 ABE 的面积为______，三角形 AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．
I
H
G
F
E
D
C
B
A
I
H
G
F
E
D
C
B
A
【巩固】 如右图，三角形 ABC 中， : : : 3: 2AF FB BD DC CE AE ，且三角形 GHI 的面积是1，求三角形
ABC 的面积．
I
H
G
F
E
D
C
B
A
I
H
G
F
E
D
C
B
A
【巩固】如图， ABC 中 2BD DA ， 2CE EB ， 2AF FC ，那么 ABC 的面积是阴影三角形面积的
倍．
【巩固】如图在 ABC△ 中， 1
2
DC EA FB
DB EC FA
,求 GHI
ABC
△ 的面积
△ 的面积
的值．
I
H
G
F
E
D
C
B
A
I
H
G
F
E
D
C
B
A
【巩固】如图在 ABC△ 中， 1
3
DC EA FB
DB EC FA
,求 GHI
ABC
△ 的面积
△ 的面积
的值．
I
H
G
F
E
D
C
B
A
I
H
G
F
E
D
C
B
A
【巩固】如右图，三角形 ABC 中， : : : 4:3AF FB BD DC CE AE ，且三角形 ABC 的面积是 74 ，求角形 GHI
的面积．
I
H
G
F
E
D
C
B
A
I
H
G
F
E
D
C
B
A
【例 17】三角形 ABC 的面积为 15 平方厘米，D 为 AB 中点，E 为 AC 中点，F 为 BC 中点，求阴影部分的面
积．
【例 18】如右图， ABC△ 中，G 是 AC 的中点，D 、E 、F 是 BC 边上的四等分点，AD 与 BG 交于 M ，AF
与 BG 交于 N ，已知 ABM△ 的面积比四边形 FCGN 的面积大 7.2 平方厘米，则 ABC△ 的面积是多
少平方厘米？
N
M
G
A
B
C
D
E
F
N
M
G
A
B
C
D
E
F
【巩固】如图， ABC 中，点 D 是边 AC 的中点，点 E 、 F 是边 BC 的三等分点，若 ABC 的面积为 1，那么
四边形 CDMF 的面积是_________．
F
A
B
C
D
E
M
N
F
A
B
C
D
E
M
N
【例 19】如图，等腰直角三角形 DEF 的斜边在等腰直角三角形 ABC 的斜边上，连接 AE、AD、AF，于是
整个图形被分成五块小三角形．图中已标出其中三块的面积，那么△ABC 的面积是________．
（36）
【例 20】如图，三角形 ABC 的面积是1， BD DE EC ， CF FG GA ，三角形 ABC 被分成 9 部分，请
写出这 9 部分的面积各是多少?
G
F
E
D
C
B
A
N
M
Q
P
G
F
E
D
C
B
A
【巩固】如图， ABC 的面积为 1，点 D 、 E 是 BC 边的三等分点，点 F 、 G 是 AC 边的三等分点，那么四
边形 JKIH 的面积是多少？
K
J
I
H
A
B
C
D
E
F
G
K
J
I
H
A
B
C
D
E
F
G
【例 21】如右图，面积为1的 ABC△ 中， : : 1: 2:1BD DE EC ， : : 1: 2:1CF FG GA ， : : 1: 2:1AH HI IB ，
求阴影部分面积．
【例 22】如图，面积为 l 的三角形 ABC 中，D、E、F、G、H、I 分别是 AB、BC、CA 的三等分点,求阴影部
分面积.
【例 23】如图，面积为 l 的三角形 ABC 中，D、E、F、G、H、I 分别是 AB、BC、CA 的三等分点,求中心六
边形面积.
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