专题 16 空间几何体（客观题）
一、单选题
1．《算数书》竹简于上世纪八十年代在我省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统
的数学典籍，其中有一道求“困盖”体积的题：困下周六丈高二丈，求积．即已知圆锥的底面
周长为 6 丈，高为 2 丈，求圆锥的体积．《算数书》中将圆周率 近似取为 3，则该困盖的
体积(单位：立方丈)约为
A．2 B．3
C．4 D．6
【试题来源】2020 年湖北省普通高中学业水平合格性考试
【答案】A
【解析】设圆锥底面半径为 r ，则 2 6r ， 3r ，
2
2
1 1 9 62 2 23 3V r ．故选 A．
2．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．已
知四棱锥 S ABCD 为阳马，SD 底面 ABCD ，其三视图如图所示，正视图是等腰直角三
角形，其直角边长为 2，俯视图是边长为 2 的正方形，则该阳马的表面积为
A． 4 2 8 B． 4 2 4
C．8 D． 8
3
【试题来源】浙江省百校 2020-2021 学年高三上学期 12 月联考
【答案】A
【解析】由本题三视图知，该阳马是底面为正方形的四棱锥，两个侧面是等腰直角三角形，
另外两个侧面是直角三角形，证明如下： SD 平面 ABCD ， BC 平面 ABCD ，所以
SD BC ，又 BC CD ，CD SD D ，所以 BC ⊥ 平面 SDC ， SC 平面 SDC ，
所以 BC SC ．同理 AB SA ．
所以 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 82 2 2 2S ．故选 A．
3．如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径 6cm，高 8cm(不含杯脚)，已知水的高度
是 4cm，现往杯子中放入一种直径为 1cm 的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体
积不变．如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠
A．98 颗 B．106 颗
C．120 颗 D．126 颗
【试题来源】湖北省黄冈市部分普通高中 2020-2021 学年高三上学期 12 月联考
【答案】D
【解析】作出圆锥的轴截面图如图，由题意， 8OP ， 1 4O P ， 3OA ，
设 1 1O A x ，则 4
8 3
x ，即 3
2x ．
则最大放入珍珠的体积
2
21 1 33 8 4 213 3 2V
，
因为一颗珍珠的体积是
34 1
3 2 6
．由
21 126
6
，最多可以放入珍珠 126 颗．选 D.
4．已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的所有顶点都在球 O 的表面上，若球O 的体积为36 ，
则正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的体积为．
A． 2 3 B．3 3
C．12 3 D． 24 3
【试题来源】天津市和平区 2020-2021 学年高三上学期期末
【答案】D
【分析】先求出球 O 的半径，再根据正方体的棱长与其外接球半径的关系，求出正方体的
棱长，即可求出正方体的体积．
【解析】 球O 的体积为 36 ，即 34 363 R ，解得 3R ，
设正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 a ，由题意知 2 2 22R a a a ，即 6 3a ，
解得 2 3a ，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的体积 3
2 3 24 3V ．故选 D．
5．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是
A． 4
3 B． 4
C． 8
3 D．8
【试题来源】北京房山区 2021 届高三上学期数学期末试题
【答案】A
【解析】根据三视图可知，该四棱锥的直观图如图 P ABCD 所示，底面为对角线长为 2
的正方形，与底面垂直的侧棱的长度为 2，其体积为 1 2 42 23 2 3V
，故选 A．
6．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是
A．6 B．3
C．4 D．8
【试题来源】浙江省金华市义乌市 2020-2021 学年高三上学期第一次模拟考试
【答案】A
【解析】由三视图可知，该几何体是一个以直角梯形为底面，高为 6 的四棱柱，
所以体积为 (1 2) 2 2 62
．故选 A．
7 ． 如 图 ， 已 知 四 棱 台 1 1 1 1ABCD A B C D 的 上 下 底 面 均 为 正 方 形 ，
1 1 1 1 1 12 2, 2, 2AB A B AA BB CC DD ，则下述正确的是
A．该四棱台的高为 2 3 B． 1 1AA CC
C．该四棱台的表面积为 26 D．该四棱台外接球的表面积为16
【试题来源】四川省师范大学附属中学 2020-2021 学年高三上学期期中（理）
【答案】D
【解析】将四棱台 1 1 1 1ABCD A B C D 的侧棱延长，相交于点 P ，形成四棱锥 P ABCD
设正方形 ABCD 和 1111 DCBA 的中心分别为 1,O O ，如图所示：
A 选项：由于 1 12 2, 2AB A B ，则 1 1,A B 分别为 ,PA PB 中点，
12 4PA AA ， 2 2 2 24 2 2 3PO PA AO ， 1
1 32OO PO ，
即四棱台 1 1 1 1ABCD A B C D 的高为 3 ，故 A 错误；
B 选项：连接 ,AC APC （或其补角）、即直线 1AA 与 1CC 所成的夹角，
4, 4, 4PA PC AC ， PAC△ 是等边三角形，
60APC ，即 1AA 与 1CC 所成的夹角为 60 ，故 B 错误；
C 选项： 2
2 2 8ABCDS 正方形 ，
1 1
142 2 2 3 72
2 2ABBS
梯形A
，
则该四棱台的表面积 3 78 2 4 10 6 72S ，故 C 错误；
D 选项：设该四棱台外接球的球心 M 到上底面 1111 DCBA 的距离为 x ，
则 2 2
1 1AM R x ， 222 3AM R x ，所以 22 2 21 2 3x x ，
解得 3x ，则外接球半径 221 3 2R ，
故该四棱台外接球的表面积 24 16S R ，故 D 正确，故选 D.
8．刍甍，中国古代数学中的一种几何体．《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而
上有袤无广．刍，草也．甍屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一
条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶”．如图为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视
图为等腰三角形，则搭建它（无底面，不考虑厚度）需要的茅草面积至少为
A．14 B．8 5
C．16 D．8 6
【试题来源】 2020-2021 学年高三上学期 11 月月考（理）
【答案】B
【分析】由三视图可知该刍甍是一个组合体，它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成，
根据三视图中的数据可得其需要覆盖的面积．
【解析】根据三视图画出其立体图形：如图，茅草覆盖面积即为几何体的侧面积，
根据立体图形可知该几何体的侧面为两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形．
其中，等腰梯形的上底长为 2，下底长为 4，高为 2 21 2 5 ；等腰三角形的底边长为 2，
高为 2 21 2 5 ，故侧面积为 4 2 5 12 2 2 5 8 52 2S
．
即需要茅草覆盖面积至少为8 5 ，故选 B．
9．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前 344 年商鞅督造的一种标准量器——商
鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，今有一球的体积与该商鞅铜方升的体积相当，设
球的半径为 R ，则 3R (单位：寸 3 )的值约为
A．2.9 B．3.0
C．3.1 D．3.2
【试题来源】河南省 2021 届高三名校联盟模拟信息卷（文）
【答案】B
【解析】由三视图作出直观图，如图，易得商鞅铜方升是由一圆柱和一长方体组合而成，
故其体积
215.4 1.6 3 1 1.6 11.4 0.42V
，
设球的半径约为 R ，则 34 11.4 0.43 R ，得 3 3.0R ．故选 B．
10．已知三棱锥 P-ABC 满足：PC=AB= 5 ，PA=BC= 3 ，AC=PB=2，则三棱锥 P-ABC 的
体积为
A． 6
2
B． 6
3
C． 2 6
3
D． 6
4
【试题来源】贵州省 2021 届高考适应性月考卷（三）（文）
【答案】B
【解析】因为 PC=AB= 5 ，PA=BC= 3 ，AC=PB=2，构造长方体如图所示：
则 PC AB PA BC AC PB， ， ， ， ， 为长方体的面对角线，
设 , ,AD a BD b CD c ，则
2 2
2 2
2 2
5
3
4
a b
c b
a c
，解得
3
2
1
a
b
c
，所以三棱锥 P-ABC 的体积为
长方体的体积减去三棱锥 , , ,C DAB F PAC G PBC E PAB 的体积，
即 1 13 2 1 4 3 23 2V 61 3
，故选 B．
11．某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 2
3
，面积为
3
的扇形，则该圆锥的外接球的表
面积为
A． 27 2
64
π B． 27
16
π
C． 9
8
D． 3
2
【试题来源】周口市商丘市大联考 2020-2021 学年第一学期高中毕业班阶段性测试（三）
【答案】C
【解析】解析设圆锥的母线长为l ，则侧面积 21 2
2 3 3S l ，所以 1l ．
设圆锥的底面半径为 r ，则 22 3r l ，所以 1
3r ，
所以圆锥的高
2
2 2 2 1 2 21 2 3h l r
，因为 h r ，所以球心在圆锥的高上．
设外接球的半径为 R ，由 22 2R h R r ，得
2 2
2 2 2 1
3 3R R
，解得 3 2
8R ，
所以球的表面积为
2
2 3 2 94 4 8 8R
．故选 C．
12．如图，在直三棱柱 1 1 1 ABC A B C 的侧面展开图中，B ，C 是线段 AD 的三等分点，且
3 3AD ．若该三棱柱的外接球O 的表面积为12 ，则 1AA
A． 2 B． 2
C． 5 D． 2 2
【试题来源】广东省高州市 2021 届高三上学期第一次模拟
【答案】D
【分析】根据展开图，得到直观图为直三棱柱，求得底面的外接圆半径，由外接球体积求得
外接球的半径，进而利用勾股定理求得球心到三棱柱底面的距离，乘以 2 即得三棱柱的高，
即为 1AA 的长．
【解析】由展开图可知，直三棱柱 1 1 1 ABC A B C 的底面是边长为 3 的等边三角形，
其外接圆的半径满足 32 2sin60r
，所以 1r ．由 24 12R 得 3R ．
由球的性质可知，球心O 到底面 ABC 的距离为 2 2 2d R r ，
结合球和直三棱柱的对称性可知， 1 2 2 2AA d ，故选 D．
13．已知长方体的两个底面是边长为1的正方形，长方体的一条体对角线与底面成 45 角，
则此长方体的外接球表面积为
A． 4 B． 6
C．12 D． 24
【试题来源】宁夏 2021 届高三上学期期末考试（文）
【答案】A
【解析】记该长方体为 1 1 1 1ABCD A B C D ， 1BD 为该长方体的一条体对角线，其与底面所
成角为 45 ，因为在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，侧棱 1DD 底面 ABCD ，
则 1D BD 为 1BD 与底面所成角，即 1 45D BD ，
因为长方体的两个底面是边长为1的正方形，所以 2 2 2BD AD AB ，
则 1 2DD BD ，所以 1 2 2 2BD ，又长方体的外接球直径等于其体对角线的长，
即该长方体外接球的直径为 12 2 2 2R BD ，
所以此长方体的外接球表面积为 24 4S R ．故选 A．
14．已知三棱锥 S ABC 的所有棱长都相等，点 M 是线段 SB 上的动点，点 N 是线段 SC
上靠近 S 的三等分点，若 AM MN 的最小值为 2 13 ，则三棱锥 S ABC 外接球的表面
积为
A． 27 B．81
C．54 D．108
【试题来源】百校联盟 2021 届普通高中教育教学质量监测考试（全国卷 11 月）（文）试卷
【答案】C
【分析】根据条件作出图示，将平面 SAB 、平面 SBC 展开后利用平面图形分析 AM MN
的最小值，结合余弦定理计算出三棱锥的棱长，再考虑三棱锥与正方体的关系，通过正方体
的外接球求解出三棱锥的外接球的半径，从而表面积可求．
【解析】如下图所示：将平面 SAB ，平面 SBC 展开至同一平面，连接 AN 交 SB 于点 M ，
故 AM MN 的值最小为 2 13AN ，设三棱锥 S ABC 的棱长为 3a ，
则在 SAN△ 中， 120ASN ， 3SA a ， SN a ，
由余弦定理可知
2 2 2 1cos 2 2
SA SN ANASN SA SN
，解得 2a ，
所以三棱锥 S ABC 的棱长为 6，将该四面体置于正方体中，可得正方体的外接球即为四
面体的外接球，如下图所示：
所以正方体的棱长为 6 3 2
2
，所以正方体的外接球半径为 1 3 63 2 32 2
，
故四面体的外接球半径为 3 6
2
，外接球表面积 24 54S R ．故选 C．
【名师点睛】正四面体可以看成是正方体的三组对棱所构成的三棱锥，此时正四面体的棱长
是正方体棱长的 2 倍．
15．四面体 ABCD 中， , , 2AB BC CD BC BC ，且异面直线 AB 与 CD 所成的角为
60 ．若四面体 ABCD 的外接球半径为 5 ，则四面体 ABCD 的体积的最大值为
A． 2 3 B． 4 3
C． 3
3
D． 3
6
【试题来源】浙江省绍兴市稽阳联谊学校 2020-2021 学年高三上学期 11 月联考
【答案】A
【解析】构建直三棱柱 ABE FCD ，设 ,G H 分别为 ,ABE CDF△ △ 的外心，连接 GH ，
取其中点O ，则O 为直三棱柱 ABE CDF 的外接球的球心，也为四面体 ABCD 的外接球
的球心，因为异面直线 AB 与 CD 所成的角为 60 ，所以 60ABE ．
设三棱柱底面 ABE△ 的外接圆半径为 r ，则 5 1 2r ， 2 sin 60 2 3AE r ，再
由余弦定理， 2 2 2 2 22 cos60 12AE AB BE AB BE AB BE AB BE ，
所以 2 212 2AB BE AB BE AB BE AB BE AB BE ，
即 12AB BE ，当且仅当 2 3AB BE 时，等号成立，
所以 1 1 3sin60 2 33 2 6A BCD A DBE D ABEV V V AB BE DE AB BE ，
故四面体 ABCD 的体积的最大值为 2 3 ．故选 A．
【名师点睛】本题解题关键是构建直三棱柱 ABE FCD ，再利用等体积法将 A BCDV 转化
为 D ABEV ，进一步只需求出 ABE△ 面积的最大值即可．
16．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有木长二丈，围之三尺．葛生其下，
缠木七周，上与木齐．问葛长几何？术曰：以七周乘三尺为股，木长为勾，为之求弦．弦者，
葛之长”意思是今有 2 丈长的圆木，其横截面周长3尺，葛藤从圆木底端绕圆木 7 周至顶端，
问葛藤有多长？九章算术还有解释：七周乘以三尺为股（直角三角形较长的直角边），木棍
的长为勾（直角三角形较短的直角边），葛的长为弦（直角三角形的斜边）（注：1丈 10 尺）
A． 29 尺 B． 27 尺
C． 23尺 D． 21尺
【试题来源】大庆铁人、鸡西一中、三校 2020-2021 学年高三上学期联考（理）
【答案】A
【解析】根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，如下图所示，矩形的高（即木棍的高）为
20 尺，矩形的底边长为 7 3 21 （尺），因此葛藤长 2 220 21 29 （尺）．故选 A．
【名师点睛】对于空间几何体中最值问题的求解方法：（1）计算多面体或旋转体的表面上折
线段的最值问题时，一般采用转化的方法进行，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直”
或“化曲为直”来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状；（2）对于几何体内
部折线段长的最值，可采用转化法，转化为两点间的距离，结合勾股定理求解．
17．《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设 1AA 是正八
棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正八棱柱的顶点为顶点，以 1AA 为底面矩形的一边，则
这样的阳马的个数是
A．8 B．16
C．24 D．28
【试题来源】江苏省南通市启东市 2020-2021 学年高三上学期期中
【答案】C
【解析】根据正八边形的性质可得，底面边长都相等，底面每个内角都为135 ，
22.5HAG BAC ， 45HAF BAD ，所以
AB AF ， AC AG ， AD AH ，因为 1AA 平面 ABCDEFGH ，
且 1AA AB A ，则 AF 平面 1 1AA B B ，因为 AF // 1 1A F // BE // 1 1B E ，所以共有 4 个
阳马；同理， AG 平面 1 1AAC C ，共 4 个； AH 平面 1 1AA D D ，共 4 个；
AB 平面 1 1AA F F ，共 4 个； AC 平面 1 1AAG G ，共 4 个；
AD 平面 1 1AA H H ，共 4 个；故有 24 个阳马．故选 C．
18．在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1 2AB CC ， 1BC ，点 M 在正方形 1 1CDD C 内，
1C M 平面 1ACM ，则三棱锥 1 1M ACC 的外接球表面积为
A．11 π2 B．7π
C．11π D．14π
【试题来源】广东省广州市 2021 届高三上学期阶段训练
【答案】C
【解析】长方体 1AC 中， 1 1A D 平面 1 1CDD C ， 1C M 平面 1 1CDD C ，所以 1 1 1C M A D ，
又 1C M 平面 1ACM ， 1AC 平面 1ACM ，所以 1 1C M AC ，
因为 1 1 1 1AC A D A ，所以 1C M 平面 1 1ACD ，而 1CD 平面 1 1ACD ，所以 1 1C M CD ，
1 1CDD C 是正方形，所以 M 是 1CD 与 1C D 交点，即为 1CD 的中点，也是 1C D 的中点．
1C MC△ 是直角三角形，设 E 是 1CC 中点， F 是 1BB 中点，则由 / /EF BC 可得 EF 平
面 1MCC （长方体中棱与相交面垂直）， E 是 1C MC△ 的外心，三棱锥 1 1A MCC 的外接
球球心O 在直线 EF 上（线段 EF 或 EF 的延长线上）．
设OE h ，则
2 2
2 2 22 2( 2) (1 )2 2h h
，解得 3
2h ，
所以外接球半径为
223 2 11
2 2 2r
，表面积为 2 114 4 114S r ．
故选 C．
19．已知点 P，A，B，C 在同一个球的球表面上，PA⊥平面 ABC，AB⊥AC，PB= 5 ，BC= 3 ，
PC= 2 ，则该球的表面积为
A．6π B．8π
C．12π D．16π
【试题来源】四川省宜宾市 2021 届高三上学期第一次诊断考试（文）
【答案】A
【解析】如图，三棱锥 P ABC 补体在长方体中，三棱锥的外接球就是补体后长方体的外
接球，长方体的外接球的直径
2 2 2 2 2 2
2 2 22 2
PA AB AB AC PA AC
R PA AB AC
2 2 2
62
PB BC PC ，即 6
2R ，则该球的表面积 24 6S R ．故选 A.
【名师点睛】本题考查了球与几何体的综合问题，考查空间想象能力以及化归和计算能力，
（1）当三棱锥的三条侧棱两两垂直时，并且侧棱长为 , ,a b c ，那么外接球的直径
2 2 22R a b c ，（2）当有一条侧棱垂直于底面时，先找底面外接圆的圆心，过圆心做
底面的垂线，球心在垂线上，根据垂直关系建立 R 的方程．
20．已知四棱锥 A BCDE 中， AB 平面 BCDE ，底面 BCDE 是边长为 2 的正方形，且
3AB ，则该四棱锥外接球的表面积为
A． 4 B．17
4
C．17 D．8
【试题来源】四川省泸州市 2021 届高三第一次诊断性考试（文）（一模）试题
【答案】C
【分析】由题意，可把四棱锥 A BCDE 放置在如图所示的一个长方体内，得到四棱锥
A BCDE 的外接球和长方体的外接球表示同一个球，结合长方体的性质，求得球的半径，
根据球的面积公式，即可求解．
【解析】由题意，四棱锥 A BCDE 中，四边形 BCDE 是边长为 2 的正方形，
3AB 且 AB 平面 BCDE ，可把四棱锥 A BCDE 放置在如图所示的一个长方体内，
其中长方体的长、宽、高分别为 2,2,3 ，则四棱锥 A BCDE 的外接球和长方体的外接球表
示同一个球，设四棱锥 A BCDE 的外接球的半径为 R ，可得 2 2 22 2 3 2R ，解得
17
2R ，所以该四棱锥外接球的表面积为 2 217=4 =4 ( ) 172S R ．故选 C．
【名师点睛】解决与球有关的组合体的方法与策略：（1）一般要过球心及多面体中的特殊点
或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体个元素的关系，结合球的截面的
性质和 2 2 2R r d ，进行求解；（2）若球面上四点 , , ,P A B C 中 , ,PA PB PC 两两垂直或三
棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定球的直径解决外接球问题．
21．已知四棱锥 A BCDE 中，四边形 BCDE 是边长为 2 的正方形， 3AB 且 AB 平面
BCDE ，则该四棱锥外接球的表面积为
A． 4 B．17
4
C．17 D．8
【试题来源】四川省泸州市 2021 届高三第一次教学质量诊断性考试（文）
【答案】C
【分析】由题意，可把四棱锥 A BCDE 放置在如图所示的一个长方体内，得到四棱锥
A BCDE 的外接球和长方体的外接球表示同一个球，结合长方体的性质，求得球的半径，
根据球的面积公式，即可求解．
【解析】由题意，四棱锥 A BCDE 中，四边形 BCDE 是边长为 2 的正方形，
3AB 且 AB 平面 BCDE ，可把四棱锥 A BCDE 放置在如图所示的一个长方体内，
其中长方体的长、宽、高分别为 2,2,3 ，则四棱锥 A BCDE 的外接球和长方体的外接球表
示同一个球，设四棱锥 A BCDE 的外接球的半径为 R ，可得 2 2 22 2 3 2R ，解得
17
2R ，所以该四棱锥外接球的表面积为 2 217=4 =4 ( ) 172S R ．故选 C．
22．已知三角形 ABC 的三个顶点在球O 的球面上， ABC 的外接圆圆心为 M ，外接圆面
积为 4 ，且 AB BC AC OM ，则球O 的表面积为
A． 64π B． 48
C．36 D． 32
【试题来源】山东省济南市商河县第二中学 2020-2021 学年高三上学期期中考试
【答案】A
【解析】因为 ABC 的外接圆 M 面积为 4 ，所以圆 M 半径为 2，即 =2MA 因为
AB BC AC OM ，所以点 M 为 ABC 的重心，设 AB a= ，所以 2 3 23 2
a ，即
2 3a ，所以 2 3 AB BC AC OM ，又 OM 平面 ABC ，
所以 2 2 2 16 OA OM MA ，所以 4OA ，即球的半径为 4，所以球 O 的表面积为
24 4 64 ．故选 A.
23．已知三棱锥 P ABC 的三条侧棱两两垂直，且 , ,PA PB PC 的长分别为 , ,a b c ，又
2( ) 16 2a b c ，侧面 PAB 与底面 ABC 成 45 角，当三棱锥体积最大时，其外接球的表
面积为
A．10 B． 40
C． 20 D．18
【试题来源】河北省邯郸市 2021 届高三上学期期末质量检测
【答案】A
【解析】 2
1 1 16 2 1 16 2 2 2
6 6 ( ) 6 4 3V abc ab aba b ab
，当且仅当 a b 时取等号，
因为侧面 PAB 与底面 ABC 成 45 角，则 2
2PC a c ， 21 2 2 2
6 2 3V a a ，
2, 2a b c ，所以 2 2 2 24 10R a b c ，故外接球的表面积为10 ．故选 A．
24．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所
得开立方除之，即立圆径意思是球的体积 V 乘 16，除以 9，再开立方，即为球的直径 d，由
此我们可以推测当时球的表面积 S 计算公式为
A． 227
8S d B． 227
2S d
C． 29
2S d D． 211
14S d
【试题来源】江苏省泰州市 2020-2021 学年高三上学期期未
【答案】A
【解析】因为 3 16
9
V d ，所以
339 4
16 3 2
d dV
，所以 27
8
，
所以
2 2
227 274 42 8 4 8
d dS d
，故选 A．
25．已知三棱锥 P ABC ，
3BAC ， 3BC ， PA 平面 ABC 且 2 3PA ，则
此三棱锥的外接球的体积为
A．16
3
B． 4 3
C．16 D． 32
3
【试题来源】安徽省淮北市 2020-2021 学年高三上学期第一次模拟考试（文）
【答案】D
【分析】可得球心到平面 ABC 的距离等于 PA 的一半，由正弦定理可求得三角形 ABC 外接
圆半径，即可根据勾股定理求得球半径，得出体积．
【解析】如图，设球心为O ，三角形 ABC 外接圆心为 1O ，
PA 平面 ABC ， 1
1 32OO PA ，设球半径为 R ，圆 1O 的半径为 r ，
则在三角形 ABC 中，由正弦定理可得
32 2sin 3
2
BCr BAC
，即 1r ，
在直角三角形 1AOO 中， 2 2 2
1 1OO AO OA ，即 2 2 23 r R ，解得 2R ，
则外接球的体积为 34 32
3 3R ．故选 D．
26．某几何体的三视图均为如图所示的五个边长为单位 1 的小正方形构成，则该几何体与其
外接球的表面积分别为
A．18,3 B． 20,3
C．30,11 D．32,11
【试题来源】陕西省宝鸡市 2020-2021 学年高三上学期高考模拟检测（一）（理）
【答案】C
【解析】由三视图的几何体如图所示，可知几何体的表面积为 1 1 5 6 30S ，
设该几何体外接球的半径为 R ，则 2 2 22 1 1 3 11R ，
所以该几何体外接球的表面积为
2
114 112S
．故选 C．
27．在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，三棱锥 1 1A B CD 的表面积为 4 3 ，则正方体外接球
的体积为
A． 4 3 B． 6
C．32 3 D．8 6
【试题来源】天津市滨海七校 2020-2021 学年高三上学期期末联考
【答案】B
【解析】设正方体的棱长为 a ，则 1 1 1 1 1 1 2B D AC AB AD B C D C a ，
由于三棱锥 1 1A B CD 的表面积为 4 3 ，所以 1
21 3 34 4 22 42AB CS S a
，
所以 2a ，所以正方体的外接球的半径为 2 2 2
2 2 2 6
2 2
，
所以正方体的外接球的体积为
3
4 6 63 2
故选 B ．
【名师点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，
明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正
方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体
的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．
28．已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积是 8
3
，则 x
A．1 B． 2
C． 4 D． 6
【试题来源】江西省吉安市 2021 届高三大联考数学（理）（3-2）试题
【答案】B
【分析】作出原几何体对应的直观图，可知该几何体为一个圆台中挖去一个以圆台上底面为
底面的圆柱后所得，结合题中的数据以及台体、柱体的体积公式可求得 x 的值．
【解析】作出原几何体对应的直观图如下图所示：
由三视图可知，该几何体为一个圆台中挖去一个以圆台上底面为底面的圆柱后所得，
圆台的上底面半径为1，下底面半径为 2 ，高为 x ，圆柱底面半径为1，高为 x ，
则其体积为 2 2 2 2 21 41 2 1 2 13 3V x x x ，
由题设知， 4 8
3 3x ， 2x ，故选 B．
【名师点睛】求解几何体体积的方法如下：（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的
关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积
公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形
法等方法进行求解．
29．如图，小方格是边长为 1 的小正方形，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的
外接球表面积为
A． 32 B． 30 2
C． 41 D． 40 3
【试题来源】江西省五市九校协作体 2021 届高三第一次联考
【答案】C
【解析】根据三视图可得原几何体如图所示，且 PH 平面 ABCD ， 4PH ， H 为 AB
的中点，四边形 ABCD 为正方形，其边长为 4．设 1O 为正方形 ABCD 的中心， 2O 为 PAB△
的外心，则外接球的球心O 满足 1OO 平面 ABCD ， 2OO 平面 PAB ，
所以 2 1//HO OO ，又 2HO 平面 PAB ，故 2 2OO HO ，同理 1 1OO HO
所以四边形 2 1HO O O 为矩形．在正方形 ABCD 中， 1 2HO ，
在 PAB△ 中， 2 2
2 24 4PO PO ，故 2
5
2PO ，
故外接球半径为 25 4144 2
，故外接球的表面积为 414 414
，故选 C．
【名师点睛】几何体外接球的半径的求法，关键是球心位置的确定，可用球心与各面的外接
圆的圆心的连线与此面垂直来确定，如果球心的位置不确定，那么可用补体的方法来确定球
心的位置．
30．在 三棱锥 P ABC 中， 2 2AB AC ， 120BAC ， 2 6PB PC ，
2 5PA ，则该三棱锥的外接球的表面积为
A． 40 B． 20
C．80 D． 60
【试题来源】江西省名校 2021 届高三上学期第二次联考（理）
【答案】A
【解析】在 BAC 中， 2 2 2 2 cos 24BC AB AC AB AC BAC ，即 2 6BC ，
又 2 6PB PC ，所以 PBC 为等边三角形，根据题意，有如下示意图：
如图，设 ABC 的外接圆的圆心为 1O ，连接 1O C ， 1O A， 1BC O A H ，连接 PH．
由题意可得 AH BC ，且 1
1 22AH O A ， 1 62BH BC ．
所以由上知 PH BC 且 22(2 6) 6 3 2PH ，又 2 2 2PH AH PA ，
所以 PH AH ，由 AH BC H ， PH 平面 ABC．
设 O 为三棱锥 P ABC 外接球的球心，连接 1OO ，OP ，OC 过 O 作OD PH ，垂足为
D，则外接球的半径 R 满足 22 2 2 2
1 1 1 ( )R OO CO PH OO OD ， 1 2 2AC BO ，
1 2OD O H AH ，代入解得 1 2OO ，即有 2 10R ，
所以三棱锥 P ABC 外接球的表面积为 24 40R ．故选 A．
二、填空题
1．已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 1，E，F，M 分别为棱 AB ， 1 1A D ， 1 1D C 的中
点，过点 M 与平面CEF 平行的平面与 AB 交于点 N，则四面体 NCEF 的体积为________．
【试题来源】江西省五市九校协作体 2021 届高三第一次联考
【答案】 1
24
【解析】取 1MD 的中点 H ，连接CH FH、 ，因为 F H、 是 1 1A D 、 1MD 的中点，
所以 1 //MA FH ，取 CD 中点 P ，连接 AP MP、 ，
因为 1 1,// =AA MP AA MP ，四边形 1AA MP 是平行四边形，所以 1 //MA AP ，
所以 //FH AP ，因为 ,// =AE CP AE CP，所以四边形 AECP 是平行四边形，
所以 //CE AP ，所以 //CE FH ，即四边形CEFH 为平面图形，
且 1MA 平面 CEFH ， FH 平面CEFH ， 1 //MA FH ，所以 1 //MA 平面CEFH ，
设Q 为 EB 中点，连接 1AQ MQ EH、 、 ，所以 //QE MH QE MH ， ，
所以四边形QEHM 是平行四边形，所以 //HE MQ ，且 MQ 平面CEFH ，
HE 平面CEFH ，所以 //MQ 平面 CEFH ，又 1MQ A M M ，
所以平面 //CEFH 平面 1AQM ，所以过 M 点且与平面 EFC 平行的平面就是 1AQM ，
Q 点即是 N 点， 1 1 1 1
2 2 4 8CENS EQ CB ，
所以 1
1 1 1 1 113 3 2 4 24N CEF F CEN CENV V S AA ．故答案为 1
24
．
2．在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， E 是 CD 的中点， F 是 1CC 上的动点，则
三棱锥 A DEF 外接球表面积的最小值为________．
【试题来源】安徽省淮北市 2020-2021 学年高三上学期第一次模拟考试（理）
【答案】13
【解析】如图 1 所示，设圆柱的底面半径为 r ，母线长为 h ，圆柱的外接球半径为 R ，
取圆柱的轴截面，则该圆柱的轴截面矩形的对角线的中点O 到圆柱底面圆上每个点的距离
都等于 R ，则 O 为圆柱的外接球球心，由勾股定理可得 2 222 2r h R ．
本题中， AD 平面 DEF ，设 DEF 的外接圆为圆 1O ，可将三棱锥 A DEF 内接于圆
柱 1 2O O ，如图 2 所示：
图 1 图 2 图 3
设 DEF 的 外 接 圆 直 径 为 2r ， AD h ， 该 三 棱 锥 的 外 接 球 直 径 为 2R ， 则
2 2 22 2R r h ．
如图 3 所示：设 CF x ，则 0 2x ， tan CEF x ， tan 2
xCDF ，
2
tan tantan tan 1 tan tan 2
CEF CDF xDFE CEF CDF CEF CDF x
1 1 1 2
2 42 2 22x xx x
，
当且仅当 2x 时， tanDFE 取得最大值 2
4
，
由 2 2
sin 2tan cos 4
sin cos 1
sin 0
DFEDFE DFE
DFE DFE
DFE
，可得 1sin 3DFE ， 2 2cos 3DFE ，
所以，sin DFE 的最大值为 1
3
，由正弦定理得 2 3sin
DEr DFE
，即 2r 的最小值为3，
因此， 2 2 2 2 22 2 3 2 13R r h ，所以，三棱锥 A DEF 外接球的表面积为
24 13S R ．故三棱锥 A DEF 外接球的表面积的最小值为13 ．故答案为13 ．
【名师点睛】求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方
体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；
③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，
找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可．
3．在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1 2AB CC ， 1BC ，点 M 在正方形 1 1CDD C 内，
1C M 平面 1ACM ，则三棱锥 1 1M ACC 的外接球表面积为________．
【试题来源】安徽省 2020-2021 学年高三上学期期中（理）
【答案】11
【解析】如图所示： 1C M 平面 1ACM ，连接 1CD ，
又 1 1CDD C 为正方形，点 M 为正方形 1 1CDD C 对角线的交点，
则 1MCC△ 是等腰直角三角形， M 是直角顶点，设 E 是 1CC 中点，则 E 是 1MCC△ 的外
心，取 F 是 1BB 中点，则 / /EF BC ，而 BC ⊥ 平面 1 1DCC D ， EF 平面 1 1DCC D ，
三棱锥 1 1M ACC 的外接球的球心O 在直线 EF 上，
由已知可计算，
2 2
2
1
2 6 2 101 , 22 2 2 2FC A F
FC ，
O 在 EF 的延长线上，设OF x ，则由 1OA OC 得
2 2
2 210 2( 1)2 2x x
，
解得 1
2x ，
221 2 1112 2 2OC
，外接球表面积 11S ．
4．已知三棱锥 S ABC 中， SA SB ， SA SC ， SB SC ，若三棱锥 S ABC 的外接
球的表面积为 24 ，记 SBC SAC SABS S S ，则 S 的最大值为________．
【试题来源】华大新高考联盟 2021 届高三 11 月教学质量测评（联考）（文）
【答案】12
【分析】设 SA x ，SB y ，SC z ，则 22 2 2 2x y z R ，从而可得 2 2 2 24x y z ，
而 1
2SBC SAC SABS S S S xy yz xz ，然后利用基本不等式可求得结果
【解析】设 SA x ， SB y ， SC z ，则 22 2 2 2x y z R ；而 24 24R ，得
2 2 2 24x y z ；
故 2 2 21 1 122 2SBC SAC SABS S S S xy yz xz x y z ，
当且仅当 2 2x y z 时等号成立，故 S 的最大值为 12．
5．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于
八分之五．已知三棱锥 A BCD 的每个顶点都在球 O 的球面上， AB 底面 BCD ，
BC CD ，且 3AB CD ， 2BC ，利用张衡的结论可得球O 的表面积为________．
【试题来源】山东省日照第一中学 2020-2021 学年高三第二次联合考试
【答案】10 10
【分析】由 BC CD ，得到 BCD△ 的外接圆的圆心 1O 为BD 的中点，再由 AB 底面 BCD，
由截面圆的性质得到球O 的球心为侧棱 AD 的中点求解．
【解析】如图所示：因为 BC CD ，所以 7BD ， BCD△ 的外接圆的圆心 1O 为 BD
的中点，又 AB 底面 BCD，由截面圆的性质得球 O 的球心为侧棱 AD 的中点，
从而球O 的直径为 10AD ，利用张衡的结论可得
2 5
16 8
，则 10 ，
所以球O 的表面积为
2
104 10 10 102
．故答案为10 10 .
6．如图，已知三棱锥V ABC ，点 P 是VA 的中点，且 2, 4AC VB ，过点 P 作一个截
面，使截面平行于VB 和 AC ，则截面的周长为________．
【试题来源】 2021 届高三上学期期中
【答案】6
【解析】设 AB、BC、VC 的中点分别为 D、E、F，连接 DE、EF、PF、PD，如图所示
因为 D、E 分别为 AB、BC 的中点，所以 DE AC ，同理 P、D 分别为 VA、AB 的中点，
所以 DP VB ， DE DP ， 平面 EFPD，VB AC ， 平面 EFPD，
所以VB P 平面 EFPD， AC 平面 EFPD，所以截面 EFPD 就是所求平面，
因为 2, 4AC VB ，所以 1DE PF ， 2PD FE ，
所以截面 EFPD 的周长为 2+2+1+1=6，故答案为 6.
7．在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，已
知三棱柱 1 1 1ABC A B C 是一个“堑堵”，其中 1 2AB BB ， 1BC ， 5AC ，则这个
“堑堵”的外接球的表面积为________．
【试题来源】江苏省南通市启东市 2020-2021 学年高三上学期期中
【答案】 9
【解析】因为 2, 1, 5AB BC AC ，所以 2 2 2AB BC AC ，所以 AB BC ，
所以可将三棱柱 1 1 1ABC A B C 补成一个长方体，如图：
则该长方体的对角线长等于这个“堑堵”的外接球的直径 2R ，所以 2 2 12 2 2 1 3R ，
所以 3
2R ．所以外接球的表面积为 2 234 4 ( ) 92R ．故答案为 9
【名师点睛】将三棱柱 1 1 1ABC A B C 补成一个长方体，利用长方体的对角线长等于这个“堑
堵”的外接球的直径求解是本题解题关键．
8 ． 在 三 棱 锥 P ABC 中 ， 侧 棱 PA 底 面 , 120 , 1ABC BAC AB AC 且
2 ,PA BC 则该三棱锥的外接球的体积为________．
【试题来源】 2020-2021 学年高三第二次诊断试题
【答案】 32
3
【分析】根据题意，画出图形，根据余弦定理、正弦定理，结合球的体积公式进行求解即可．
【解析】在 ABC 中，由余弦定理可知
2 2 2 cos 1 1 2 1 1 cos120 3,BC AB AC AB BC BAC
因为 120 , 1BAC AB AC ，所以 ABC 是顶角为钝角的等腰三角形，
设 ABC 的外接圆的直径为 AD ，由正弦定理可知 3 2sin sin120
BCAD BAC
，
因为侧棱 PA 底面 ABC ， 2 2 3PA BC ，所以三棱锥 P ABC 的外接球的直径为
PD ，由勾股定理可知 2 2 2 22 (2 3) 4P D PAAD ，
所以三棱锥 P ABC 的外接球的半径为 1 4 22R ，
所以三棱锥 P ABC 的外接球的体积为 3 34 4 322 .3 3 3V R 故答案为 32
3
.
9．已知正三棱柱 1 1 1ABC A B C 的体积为 54， 6AB ，记三棱柱 1 1 1ABC A B C 的外接球
为球 1O ，则外接球 1O 的表面积是________．
【试题来源】山西省 2021 届高三上学期八校联考（文）
【答案】 60π
【分析】先求出底面三角形的面积，以及底面外接圆半径，根据体积，得出正三棱柱的高，
进而可求出外接球的半径，从而可得出外接球的表面积．
【解析】因为正三棱柱 1 1 1ABC A B C 的底面积 21 6 sin60 9 32S ，
底面外接圆半径 6 2 32sin 60r
，所以正三棱柱 1 1 1ABC A B C 的高 2 3Vh S
，
所以外接球 1O 的半径
2
2 152
hR r
，则 24π 60πS R ，故答案为 60π．
10．长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长分别为 2 ， 3 ，2 ，则其外接球的体积为________．
【试题来源】吉林省 2020-2021 学年高三上学期第三次月考（文）
【答案】 9
2
【分析】根据长方体的结构特征，得到其外接球的直径即等于长方体的体对角线的长，由此
求出外接球半径，进而可得外接球的体积．
【解析】因为长方体的外接球直径等于长方体的体对角线的长，又长方体 1 1 1 1ABCD A B C D
的棱长分别为 2 ， 3 ，2 ，所以该长方体外接球的直径为 2 2 22 3 32 2R ，
即外接球半径为 3
2R ，所以外接球的体积为 34 9
3 2V R ．故答案为 9
2
．
11．在三棱锥 D ABC 中，CD 底面 ABC， , 5, 4AC BC AB BD BC ，则此三
棱锥的外接球的表面积为________．
【试题来源】宁夏石嘴山市第三中学 2021 届高三上学期第三次月考（期末）（文）
【答案】 34
【解析】因为CD 底面 ABC，所以CD AC ，CD BC ，又 AC BC ，所以三棱锥
D ABC 的外接球就是以 , ,CD CA CB 为棱的长方体的外接球，其直径为长方体的对角线，
因为 2 2 2 25 4 3CD BD BC ， 2 2 2 25 4 3AC AB BC ，所以外接
球 的 直 径 2 2 2 2 2 22 3 4 3 34R CD BC AC ， 所 以 外 接 球 的 表 面 积 为
24 34 34R ．故答案为34
【名师点睛】利用三棱锥 D ABC 的外接球就是以 , ,CD CA CB 为棱的长方体的外接球求
解是解题关键．
12．已知一个棱长为 1 的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下
底面的四个顶点在半球体的底面圆内，则该半球体(包括底面)的表面积为________．
【试题来源】陕西省榆林市 2020-2021 学年高三上学期第一次高考模拟测试（文）
【答案】 9
2
【分析】根据正方体和半球的关系，作出对应的轴截面，根据对应关系求得求得半径，结合
面积公式，即可求解．
【解析】作出半球和正方体的轴截面，如图所示，设求得的半径为 R ，
因为正方体的棱长为 1，所以正方体的对角线长 2AB ，
在直角 OBC 中， 2 22 6( ) 12 2R OC ，
半球的表面积为 2 2 2 21 6 1 6 94 ( ) 4 ( )2 2 2 2 2S R R ．故答案为 9
2
．
13．已知直三棱柱 1 1 1 1, 2, 2 3, 2,ABC A B C AB AC BC AA 其外接球的体积为
________．
【试题来源】吉林省四平市公主岭市范家屯镇第一中学两校联考 2021 届高三上学期期末（理）
【答案】 20 5
3
【解析】已知 AB=AC，所以三角形 ABC 为等腰三角形，取 M 为 BC 的中点，连接 AM，则
AM ⊥ BC ， 由 已 知 得 BC= 2 3 ， 3BM ， 又 2, 60AB BAM ， 所 以
120BAC ，再由正弦定理
2 3 4 2sin 3
2
BC rA
，（r 为三角形 ABC 外接圆半径），r=2，
设两底面的外接圆的圆心分别为 1 2,O O ，外接球球心 O 为 1 2O O 的中点，外接球的半径
2
2 1 52
AAR OA r
，所以球的体积为 34 20 5
3 3R ，故答案为 20 5
3
．
14．我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥．已知某方锥各棱长均为 2，则
其内切球的体积为________．
【试题来源】百校联盟 2021 届普通高中教育教学质量监测考试（全国新高考卷）
【答案】 6 6 10 2 π3
【解析】如图，设方锥底面的中心为O ，则在 Rt ABC△ 中， 2 2AC ，
所以 2AO CO ，在 Rt PAO△ 中， 2PO ，所以方锥的体积为 4 2
3
，
设方锥内切球的半径为 r ，而方锥的表面积为 21 34 4 2 4 4 32 2
，
由等体积法可得 4 2 1 4 4 33 3 r ，解得 6 2
2r ，
体积为
3
4 6 2 6 6 10 2π π3 2 3
．故填： 6 6 10 2 π3
．
【名师点睛】几何体与球相切问题解题策略：（1）体积分割法求内切球半径；（2）作出合适
的截面（过球心、切点等），在平面上求解；（3）多球相切问题，连接各球球心，转化为处
理多面体问题．
15．已知正三棱锥的底边边长为 2 3 ，侧棱长为 7 ，则该正三棱锥的外接球半径和内切球
半径的比值为________．
【试题来源】长沙市广益实验中学 2020-2021 学年高三上学期第一次新高考适应性考试
【答案】 7
2
【解析】如图正三棱锥 A BCD 中，AM是高，M 是底面 BCD△ 外心，O 是外接球球心，
2 3 2 3 23 2BM ， 2 2 3AM AB BM ，设外接球半径为 R ，
则 2 2 23 2R R ，解得 7 3
6R （ 3R 说明 O 在 AM延长线上），
21 3 (2 3) 3 33 4A BCDV ， E 是 CD 中点， 2 2 2AE AC CE ，
1 1 2 3 2 2 32 2ACDS CD AE △ ， 23 (2 3) 3 34BCDS △ ，
所以三棱锥 A BCD 在全面积为 3 2 3 3 3 9 3S ，
设内切球半径为 r ，则 1
3 A BCDSr V ，即 1 9 3 33 r ， 3
3r ，所以 7
2
R
r
．
16．鳖臑（biē nào）出自《九章算术·商功》：“斜解立方，得两重堵．斜解壍堵，其一为阳
马，一为鳖臑．”鳖臑是我国对四个面均为直角三角形的三棱锥的古称．如图，三棱锥
A BCD 是一个鳖臑，其中 AB BC ，AB BD ，BC CD ，且 4AB BC DC ，
过点 B 向 AC 引垂线，垂足为 E，过 E 作 CD 的平行线，交 AD 于点 F，连接 BF．设三棱锥
A BCD 的 外 接 球 的 表 面 积 为 1S ， 三 棱 锥 A BEF 的 外 接 球 的 表 面 积 为 2S ， 则
1
2
S
S
________．
【试题来源】广东省肇庆市 2021 届高三上学期第一次（11 月）统一检测
【答案】12
5
【解析】AB BC ，AB BD ，BC BD B ，则 AB 平面 BCD，CD 平面 BCD，
所以 AB CD ，又CD BC ， BC AB BI ，所以CD 平面 ACB ， ,BE AC 平面
ACB ，所以 CD AC ， CD BE ．又 / /CD EF ，所以 EF BE ， AC EF ，又
BE AC ，所以三棱锥 E ABF 可补形成以 , ,EA EF EB 为棱的一个长方体，其外接球的
直径的平方等于 , ,EA EF EB 的平方和，而由 ,AB BD AC DC ，则 AD 是三棱锥
A BCD 外接球的直径．因为 4AB BC DC ，所以 4 2AC ， 2EF ， 2 2EB ，
2 2EA = ， 4 2BD ， 2 24 (4 2) 4 3AD ，所以 2 2 2 20EA EB EF ，
2
1
484 4 482 4
ADS
，
2
2
204 202S
，所以 1
2
48 12
20 5
S
S
．
【名师点睛】本题考查求三棱锥外接球的表面积，解题关键是外接球球心，求出球的直径．
三棱锥外接球球心在过各面外心且与此面垂直的直线上．有时可利用直角三角形去寻找外接
球球心．
17．如图，是由正四棱锥和长方体拼接而成的组合体，其顶点都在半径为 R 的球面上，记 r
为 ABCD 的外接圆半径．若该正四棱锥和长方体体积相等，则 r
R
________．
【试题来源】河南省开封市 2021 届高三第一次模拟考试（理）
【答案】 4 3
7
【解析】设正四棱锥的顶点为 P，与底面 A、B、C、D 对应的顶点记为 1 1 1 1A B C D、 、 、 ，
设正四棱锥 P ABCD 与长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的公共外接球的球心为 O，所以 O 是长
方体的中心，设正方形 ABCD 的中心为 Q，正方形 1111 DCBA 的中心为 H，则 P、H、O、Q
在 一 条 过 棱 锥 的 高 和 长 方 体 中 心 的 直 线 上 ， 长 方 体 的 高 为
2 22 2 2 2
1 1 2 2 2HQ CC AC AC R r R r ，
且 2 2 2 2
1 1PH OP OH R OC C H R R r ，
因为正四棱锥与长方形的底面积相等，它们的体积又相等，所以 1
3HQ PH ，
即 2 2 2 21 23 R R r R r ，所以
21 17
r
R
， 4 3
7
r
R
． 故答案为 4 3
7
．
【名师点睛】本题考查了组合体的几何体特征，解题的关键点是找到它们的高之间的关系然
后用 R、r 来表示，考查了空间想象力和计算能力．
18．已知三棱锥 A BCD 中， 5 2AB CD AC BD ， ， 3AD BC ，若该三
棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为________．
【试题来源】 2021 届高三上学期第三次月考（文）
【答案】 6
【分析】由三棱锥的棱两两相等，所以把它扩展为长方体，即可由此求出球半径，得出体积．
【解析】由题可知，该三棱锥是由长方体的面对角线构成，如图，
设长方体的棱长分别为 , ,a b c ，则 2 2 2 2 2 25, 4, 3a b b c a c ，则 2 2 2 6a b c ，
设球半径为 R ，则 2 2 22 6R a b c ，即 6
2R ，则球的体积为
34 63
R ．
19．以 ABC 为底的两个正三棱锥 P ABC 和 Q ABC 内接于同一个球，并且正三棱锥
P ABC 的侧面与底面 ABC 所成的角为 45°，记正三棱锥 P ABC 和正三棱锥Q ABC
的体积分别为 1V 和 2V ，则 1
2
V
V
________．（注：底面为正三角形且顶点在底面的射影为底
面中心的三棱锥为正三棱锥）
【试题来源】湖南省株洲市 2020-2021 学年高三上学期第一次教学质量统一检测
【答案】 1
4
【分析】取 AB 中点 E，连接 CE，PE，则 1O 在CE 上，可得 1 45PEO ，求出 1PO ，再
由 2 2 2
1 1OO O C OC 求出球半径，即可得出 1QO ，由 1 1
2 1
V PO
V QO
即可得出．
【解析】如图，连接 PQ，则 PQ 中点为球心 O，PQ 与平面 ABC 交于 1O ，即三角形 ABC
中心，且 PQ 平面 ABC ，设三角形 ABC 边长为 2，
取 AB 中点 E，连接 CE，PE，则 1O 在CE 上，且 ,CE AB PE AB ，
1PEO 即为 P ABC 的侧面与底面 ABC 所成的角， 1 45PEO ，
1 1
3
3PO EO ，设球半径为 R，在直角三角形 1OO C 中， 2 2 2
1 1OO O C OC ，
即
2 2
23 2 3
3 3R R
，解得 5 3
6R ， 1
5 3 3 3
6 3 2OO ，
则 1
5 3 3 4 3
6 2 3QO ， 1 1
2 1
1
4
V PO
V QO
．故答案为 1
4
．
【名师点睛】本题考查外接球问题，解题的关键是根据球的外接关系求出 1 1,PO QO 的关系，
将体积之比转化为高之比，即 1 1,PO QO 之比即可．
20．沿正三角形 ABC 的中线 AD 翻折，使点 B 与点C 间的距离为 3 ，若该正三角形边长
为 2 ，则四面体 ABCD 外接球表面积为________．
【试题来源】陕西省宝鸡市 2020-2021 学年高三上学期高考模拟检测（一）（理）
【答案】 7
【解析】由题意，折叠后的四面体中，AD⊥CD，AD⊥DB，CDDB=D，AD⊥面 BCD，
且 AB＝AC＝2，在 Rt ADB 中， AD＝ 3 ，且 BC＝ 3 ，
设
△
BCD 的外心为 N，外接圆半径 r，过 N 作 MN⊥平面 BDC，过 A 作 AM / / DN，则四边
形 ADNM 为矩形，MN＝AD＝ 3 ，因为△BDC 中，BD＝DC＝1，BC＝ 3 ，故∠BDC＝
120°，由正弦定理可得，
3
3
2
＝2r，即 r＝1，则可得外接球球心 O 在 MN 的中点，R2＝ON2+r2
＝ 23( ) 12
＝ 7
4
，四面体 A﹣BCD 的外接球表面积 S＝4πR2＝ 7 ．故答案为 7 ．
21．沿正三角形 ABC 的中线 AD 翻折，使点 B 与点C 间的距离为 2 ，若该正三角形边长
为 2，则四面体 ABCD 外接球表面积为________．
【试题来源】陕西省宝鸡市 2020-2021 学年高三上学期高考模拟检测（一）（文）
【答案】 5
【解析】由题意，折叠后的四面体中，AD⊥CD，AD⊥DB，CDDB=D，AD⊥面 BCD，
且 AB＝AC＝2，在 Rt ADB 中， AD＝ 3 ，且 BC＝ 2 ，
设
△
BCD 的外心为 N，外接圆半径 r，过 N 作 MN⊥平面 BDC，过 A 作 AM / / DN，则四边
形 ADNM 为矩形，MN＝AD＝ 3 ，因为△BDC 中，BD＝DC＝1，BC＝ 2 ，故∠BDC＝
90°，由正弦定理可得， 2
1
＝2r，即 r＝ 2
2
，则可得外接球球心 O 在 MN 的中点，R2＝
ON2+r2＝ 23 1( )2 2
＝ 5
4
，四面体 A﹣BCD 的外接球表面积 S＝4πR2＝ 5 ．故答案为5 ．
22．圆台上、下底面的圆周都在一个直径为 10 的球面上，其上、下底面半径分别为 4 和 5，
则该圆台的体积为________．
【试题来源】2021 年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学
【答案】 61
【解析】圆台的下底面半径为 5，故下底面在外接球的大圆上，
如图所示，设球的球心为 O，圆台上底面的圆心为 'O ，
则圆台的高 2 2 2 2' ' 5 4 3OO OQ O Q ，
据此可得圆台的体积： 2 21 3 5 5 4 4 613V ．故答案为 61 ．
【名师点睛】本题考查圆台与球的切接问题，解题的关键在于确定下底面与球的关系，然后
利用几何关系确定圆台的高度即可求得其体积．
23．在三棱锥 P ABC 中， 4PA PB ， 4 2BC ， 8AC ，AB BC ．平面 PAB
平面 ABC ，若球O 是三棱锥 P ABC 的外接球，则球O 的半径为________．
【试题来源】江苏省连云港市 2020-2021 学年高三上学期期末
【答案】4
【解析】因为 4 2BC ， 8AC ， AB BC ，所以 4 2AB ，因为 4PA PB ，
所以 2 2 2PA PB AB ，所以 PA PB ，因为平面 PAB 平面 ABC ，平面 PAB 平面
ABC AB ， AB BC ， BC 平面 ABC ，所以 BC ⊥ 平面 PAB ，
取 ,AB AC 中点 ,D E ，连接 DE ， DP ，所以 //DE BC ， 2 2DE ， 2 2DP ，
所以 DE 平面 PAB ，所以 DE PD ，此时 1 42EB AC EA EC ，
2 2 4EP DP DE ，所以 4EA EB EC EP ，
即球O 的球心球心O 即为 E （O 与 E 重合），半径为 4EA ．故答案为 4 ．
【名师点睛】本题解题的关键在于寻找球心，在本题中， ,PAB ABC△ △ 均为直角三角形，
故易得 AC 中点即为球心．考查空间思维能力，运算求解能力，是中档题．
24．四面体 A BCD 中， AB BC ，CD BC ， 2BC ，且异面直线 AB 和CD 所成
的角为 60，若四面体 ABCD 的外接球半径为 5 ，则四面体 A BCD 的体积的最大值为
________．
【试题来源】浙江省宁波市镇海中学 2020-2021 学年高三上学期 11 月期中
【答案】 2 3
【解析】四面体 A BCD 中，AB BC ，CD BC ，异面直线 AB 和 CD 所成的角为 60，
可得如图 1：过 B 点作 / /BD CD 且 BD CD ，连接 DD，
则有 60ABD 且 BC ⊥ 面 ABD ，
如图 2，若 O 为 ABD△ 外接圆圆心，则可找到外接球圆心 O ， E 为 BC 的中点，即
, 1OE BC BE EC ，外接球半径为 5OC ，
所以四边形 'BO OE 为矩形， 2 2 2OE O B OC EC ，
所以在平面 ABD 中有 2, 120O B O A O D AO D ，可得 2 3AD ，
图 1 图 2 图 3
令 ,BD a AB b ，则四面体 A BCD 的体积 1 1 3sin60 23 2 6
abV b a ，
而由余弦定理知 2 2 22 cos60 12a b ab AD ，即 12ab 当且仅当 a b 时等号成立，
所以 3 2 36
abV ，故答案为 2 3 ．
25 ． 如 图 所 示 ， 在 三 棱 锥 B ACD 中 ，
3ABC ABD DBC ， 3AB ，
2BC BD ，则三棱锥 B ACD 的外接球的表面积为________．
【试题来源】湖南省怀化市新博览 2020-2021 学年高三上学期期中联考
【答案】 19
2
【解析】由题意知在 , ,ABC CBD DBA 中，根据余弦定理有：
2 9 4 12cos 73AC ， 2 4 4 8cos 43CD ， 2 4 9 12cos 73DA ，
所以 CAD 中有 7, 2AC DA CD ，即 CBD 为等边三角形，若 E 为CD 中点，连
接 ,BE AE ，可得 3, 6BE AE ，而 3AB ，则在 AEB△ 中有 2 2 2AB BE AE ，
所以 BE AE⊥ ，又 BE CD 且 AE CD E ，即 BE面 ACD ，
又由 BE 面 CBD 知面 CBD 面 ACD ，
图 1 图 2
所以三棱锥 B ACD 的外接球球心：在 AEB△ 中，过 BE 三等份点 E 作 BE 的垂线与 AB
的垂直平分线的交点即为球心O ，所以令外接球半径为 R， 3
3EE ，则：
2 2 24 1( 6 )3 3R R ，解得 2 19
8R ，所以由球的表面积 2 194 2S R ，
故答案为 19
2
．
三、双空题
1．在三棱锥 P ABC 中， PA 平面 ABC ， AB BC ， 1 PA AB ， 2AC ．三
棱锥 P ABC 的所有顶点都在球 O 的表面上，则球 O 的半径为________；若点 M 是
ABC 的重心，则过点 M 的平面截球O 所得截面的面积的最小值为________．
【试题来源】四川省成都市 2020-2021 学年高三上学期第一次诊断性检测（文）
【答案】 3
2
4π
9
【解析】（1） PA 平面 ABC ， BC 平面 ABC ， PA BC ，又 AB BC ，且
PA AB A ， BC 平面 PAB ， PB 平面 PAB ， BC PB ，所以 PC 是两个直
角三角形 PAC 和 PBC 的斜边，取 PC 的中点O ，点 O 到四点 , , ,P A B C 的距离相等，即
点O 是三棱锥 P ABC 的外接球的球心， 221 2 3PC ， 3
2R
（2）当点 M 是截面圆的圆心时，此时圆心到截面的距离最大，那么截面圆的半径最小，
即 此 时 的 面 积 最 小 ， 点 N 是 AC 的 中 点 ， M 是 ABC 的 重 心 ，
1 1 2
3 6 6MN BN AC ， 1 1
2 2ON PA ，所以 2 2 11
6OM ON MN ，截
面圆的半径 22 2
3r R OM ，所以 2 4
9minS r .故答案为 3
2
； 4
9
.
【名师点睛】本题考查了球与几何体的综合问题，考查空间想象能力以及化归和计算能力，
（1）当三棱锥的三条侧棱两两垂直时，并且侧棱长为 , ,a b c ，那么外接球的直径
2 2 22R a b c ，（2）当有一条侧棱垂直于底面时，先找底面外接圆的圆心，过圆心做
底面的垂线，球心在垂线上，根据垂直关系建立 R 的方程．（3）而本题类型，需要过两个
平面外接圆的圆心作面的垂线，垂线的交点就是球心．
2．在三棱锥 P ABC 中， PA 平面 ABC ， AB BC ， 1 PA AB ， 2AC ．三
棱锥 P ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，则球O 的半径为________；若点 M 、 N 分
别是 ABC 与 PAC△ 的重心，直线 MN 与球O 的表面相交于 D 、E 两点，则线段 DE 的
长度为________．
【试题来源】四川省成都市 2020-2021 学年高三上学期第一次诊断性检测（理）
【答案】 3
2
2 6
3
【解析】将三棱锥 P ABC 补成长方体 1 1 1ABCF PB C F ，如下图所示，
则长方体 1 1 1ABCF PB C F 的体对角线长为 2 2 3PC PA AC ，
所以，球O 的半径为 3
2
，且 2 2 1AF AC AB ，
以点 A为坐标原点， AB 、 AF 、 AP 所在直线别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系，
则 0,0,0A 、 1,0,0B 、 1,1,0C 、 0,0,1P 、 1 1 1, ,2 2 2O
、 2 1, ,03 3M
、 1 1 1, ,3 3 3N
，
1 1 1, ,6 6 6NO
， 1 1,0,3 3NM
，所以， 0NO NM ， NO MN ，
所以，球心O 到直线 MN 的距离为 3
6NO ，因此， 23 2 62 4 3DE NO ．
故答案为 3
2
； 2 6
3
．
3．我国古代数学家祖暅求几何体的体积时，提出一个原理：幂势即同，则积不容异．意思
是夹在两个平行平面之间的两个等高的几何体被平行于这两个面的平面去截，若截面积相等，
则两个几何体的体积相等，这个定理的推广是夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这两
个平面的平面所截，若截得两个截面面积比为 k ，则两个几何体的体积比也为 k ．已知线段
AB 长为 4，直线l 过点 A 且与 AB 垂直，以 B 为圆心，以 1 为半径的圆绕l 旋转一周，得
到环体 M ；以 A，B 分别为上下底面的圆心，以 1 为上下底面半径的圆柱体 N ；过 AB 且
与l 垂直的平面为 ，平面 / / ，且距离为 h ，若平面 截圆柱体 N 所得截面面积为 1S ，
平面 截环体 M 所得截面面积为 2S ，则 1
2
S
S
________，环体 M 体积为_________．
【试题来源】安徽省全省名校实验班 2020-2021 学年高三上学期大联考（文）
【答案】 1
2
28
【解析】画出示意图，可得 2 2
1 2 1 4 8 1S h h ， 2 2
2S r r 外 内 ，
其中 2
22 4 1 hr 外 ， 2
2 24 1r h 内 ，故 2
2 116 1 2S h S ，即 1
2
1
2
S
S ，
环体 M 体积为 22 2 4 8V 柱 ．
4．粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成．因各
地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长
均为8cm 的正四棱锥，则这个粽子的表面积为________ 2cm ，现在需要在粽子内部放入一
颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，其半径与正四棱锥的高
的比值为________．
【试题来源】海南省 2021 届高三年级第一次模拟考试
【答案】 64 3 64 3 1
2
【解析】每个侧面三角形的面积均为 23 64 16 3cm4
，底面正方形的面积为 264cm ，
所以四棱锥的表面积为 264 3 64 cm ；球的体积要达到最大，则需要球与四棱锥五个面
都相切，正四棱锥的高为 2 24 3 4 4 c2 mh ，设球的半径为 r ，
所以四棱锥的体积 31 164 3 64 64 4 2 cm3 3V r
，故 2 2 3 1 cmr ，
3 1
2
r
h
．故答案为 64 3 64 ； 3 1
2
.
【名师点睛】在四棱锥中的内切球，利用分割法，可分割为以球心为顶点的三棱锥与四棱锥，
棱锥的高都为球半径，根据等体积法即可求出球的半径．
5．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个实心．．工艺品（如图所示）．该工艺品可
以看成一是个球体被一个棱长为8 的正方体的 6个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中
心重合）．若其中一个截面圆的周长为 6 ，则该球的半径为___；现给出定义：球面被平面
所截得的一部分叫做球冠．截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球
冠 的 高 ． 如 果 球 面 的 半 径 是 R ， 球 冠 的 高 是 h ， 那 么 球 冠 的 表 面 积 计 算 公 式 是
2S Rh ． 由此可知，该实心．．工艺品的表面积是________．
【试题来源】江苏省南通市海安市实验中学 2020-2021 学年高三上学期第三次学情检测
【答案】5 94
【分析】设截面圆半径为 r ，球的半径为 R ，求出截面圆的半径，利用几何关系可求出球体
的半径，求出球体的表面积和一个球冠的表面积，再利用球体的表面积减去6个球冠的表面
积并加上 6个截面圆的面积可得出该实心工艺品的表面积．
【解析】设截面圆半径为 r ，球的半径为 R ，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半
即此距离为 4 ，根据截面圆的周长可得 6 2 r ，得 3r ，故 2 2 23 4 25R ，得 5R ，
所 以 球 的 表 面 积 100S ． 如 图 ， 5OA OB R ， 且 1 4OO ， 则 球 冠 的 高
1 1h R OO ，得所截的一个球冠表面积 2 2 5 1 10S Rh ，且截面圆面积
为 23 9 ，所以工艺品的表面积 24 6 9 100 6 94S R S ．
故答案为5；94．
微信/支付宝扫码支付