第8讲 立体几何 第2课时 线面关系及空间角 专题训练 含答案 2021届高考（理科）数学二轮复习

第 8 讲 立体几何 第 2 课时 线面关系及空间角 专题训练·作业(十八) 一、选择题 1．(2020·陕西省宝鸡市模拟)已知α，β是两个不同的平面，l，又 m，n 是三条不 同的直线，则不正确的命题是( ) A．若 m⊥α，n∥α，则 m⊥n B．若 m∥α，n∥α，则 m∥n C．若 l⊥α，l∥β，则α⊥β D．若α∥β，l⊄β，且 l∥α，则 l∥β 2．(2020·厦门市高中毕业班质检)若平面α⊥平面β，m 是β内的任意一条直线，则 下列结论正确的是( ) A．任意直线 l⊂α，都有 l⊥β B．存在直线 l⊂α，使得 l∥β C．任意直线 l⊂α，都有 l∥m D．存在直线 l⊂α，使得 l∥m 3.如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1，E 为棱 DD1 上的点，F 为 AB 的 中点，则三棱锥 B1－BFE 的体积为( ) A.1 3 B.1 4 C. 1 12 D.1 6 4．在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝BC＝1，异面直线 AC1 与 BB1 所成的 角为 30°，则 AA1＝( ) A. 3 B．3 C. 5 D. 6 5．已知正方体 ABCD－A1B1C1D1，给出下列四个结论： ①点 P 在直线 BC1 上运动时，三棱锥 A－D1PC 的体积不变； ②点 P 在直线 BC1 上运动时，直线 AP 与平面 AD1C 所成角的大小不变； ③点 P 在直线 BC1 上运动时，二面角 P－AD1－C 的大小不变； ④M 是平面 A1B1C1D1 上到点 D 和 C1 距离相等的点，则点 M 的轨迹是过点 D1 的直线． 其中正确结论的序号是( ) A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 6.(2020·合肥肥东县高级中学调研)如图，已知 P 是矩形 ABCD 所在平面外一点， PA⊥平面 ABCD，E，F 分别是 AB，PC 的中点．若∠PDA＝45°，则 EF 与平面 ABCD 所成角的大小是( ) A．90° B．60° C．45° D．30° 7．(2020·皖南八校联考)已知圆锥顶点为 P，母线 PA，PB 所成角的余弦值为3 4 ， PA 与圆锥底面所成角为 60°，若△PAB 的面积为 7，则该圆锥体积为( ) A．2 2π B. 2π C.2 6 3 π D. 6 3 π 8．如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，E，F 分别为 BC，CD 的中点，H 为 EF 的中点，沿 AE，EF，FA 将正方形折起，使 B，C，D 重合于点 O，在构成 的三棱锥 O－AEF 中，下列结论错误的是( ) A．AO⊥平面 EOF B．三棱锥 O－AEF 的体积为1 3 C．直线 AH 与平面 EOF 所成角的正切值为 2 2 D．AE⊥平面 OAH 9．(2020·厦门市毕业班质量检查)一副三角板由一块有一个内角为 60°的直角三 角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，∠B＝∠F＝90°，∠A＝60°，∠D ＝45°，BC＝DE.现将两块三角板拼接在一起，取 BC 中点 O 与 AC 中点 M，则 下列直线与平面 OFM 所成的角不为定值的是( ) A．AC B．AF C．BF D．CF 10．(2020·北流市实验中学模拟)如图，将边长为 2的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，使得 AC＝1，则三棱锥 A－BCD 的体积为( ) A. 3 6 B. 3 3 C. 3 2 D.1 3 11．(2020·长郡中学高三适应性考试)已知三棱柱 ABC－A1B1C1 内接于一个半径 为 3的球，四边形 A1ACC1 与 B1BCC1 均为正方形，M，N 分别是 A1B1，A1C1 的中点，C1M＝1 2A1B1，则异面直线 BM 与 AN 所成角的余弦值为( ) A. 3 10 B. 30 10 C. 7 10 D. 70 10 12.如图，直线 PA 垂直于圆 O 所在的平面，△ABC 内接于圆 O，且 AB 为圆 O 的直径，点 M 为线段 PB 的中点．以下各命题中，假命题是( ) A．BC⊥PC B．OM 与平面 APC 相交 C．点 B 到平面 PAC 的距离等于线段 BC 的长 D．三棱锥 M－PAC 的体积等于三棱锥 P－ABC 的体积的一半 13.如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，O 为底面 ABCD 的中心， M 为棱 BB1 的中点，则下列结论不正确的是( ) A．D1O∥平面 A1BC1 B．D1O⊥平面 MAC C．异面直线 BC1 与 AC 所成的角为 60° D．MO⊥平面 ABCD 14.(2020·潍 坊高 密 市高 三 模拟)如 图， 已 知正 方 体 ABCD－ A1B1C1D1，过对角线 BD1 作平面α交棱 AA1 于点 F，交棱 CC1 于 点 E，下列说法不正确的是( ) A．平面α分正方体所得两部分的体积相等 B．四边形 BFD1E 一定是平行四边形 C．平面α与平面 DBB1 不可能垂直 D．四边形 BFD1E 的面积有最大值 二、填空题 15．(2020·浙江)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为 2π，且它的侧面展开图是一个 半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________． 16．(2020·江苏)如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已 知螺帽的底面正六边形边长为 2 cm，高为 2 cm，内孔半轻为 0.5 cm，则此六角 螺帽毛坯的体积是________ cm3. 17．(2020·运城市联合体模拟)棱长为 3 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 封闭薄壁容 器内有一个高为 2，底面半径为 1 的圆柱水平移动，在移动过程中，该圆柱的一 个底面恒在平面 ABCD 内，则该圆柱不能到达的区域的体积为________． 18．在 120°的二面角内有一点 P，P 到二面角的两个半平面的距离分别为 1 和 3， 则 P 到该二面角棱的距离为________． 19．(2020·深圳市第二次调研)已知正方形 ABCD 边长为 3，点 E，F 分别在边 AB，AD 上运动(E 不与 A，B 重合，F 不与 A，D 重合)，将△AEF 以 EF 为折痕 折起，当 A，E，F 位置变化时，所得五棱锥 A－EBCDF 体积的最大值为________． 20.(2020·山东日照市第一中学模拟)古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到 两定点 A，B 距离之比为常数λ(λ>0 且λ≠1)的点的轨迹是一个圆心在直线 AB 上 的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝2AD＝2AA1＝6，点 E 在棱 AB 上，BE＝2AE，动 点 P 满足 BP＝ 3PE.若点 P 在平面 ABCD 内运动，则点 P 所形成的阿氏圆的半 径为________；若点 P 在长方体 ABCD－A1B1C1D1 内部运动，F 为棱 C1D1 的中 点，M 为 CP 的中点，则三棱锥 M－B1CF 的体积的最小值为________． 1.如图，一个二面角的棱上有两个点 A，B，线段 AC，BD 分别在这个二面角的 两个面内，并且都垂直于棱 AB，AB＝4 cm，AC＝6 cm，BD＝8 cm，CD＝2 17 cm，则这个二面角的度数为( ) A．30° B．60° C．90° D．120° 2．(2020·深圳市第二次调研考试)设α为平面，m，n 为两条直线，若 m⊥α，则 “m⊥n”是“n⊂α”的( ) A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 参考解析答案 1 答案 B 解析 A 中，若 n∥α，则在α中存在一条直线 l，使得 l∥n，又 m⊥α，l⊂α， 则 m⊥l，又 l∥n，那么 m⊥n，故正确；B 中，若 m∥α，n∥α，则 m∥n 或相 交或异面，故不正确；C 中，若 l∥β，则存在 a⊂β，使 l∥a，又 l⊥α，∴a⊥ α，则α⊥β，故正确；D 中，若α∥β，且 l∥α，则 l⊂β或 l∥β，又 l⊄β，∴l ∥β，故正确．故选 B. 2 答案 B 解析 如图所示，因为平面 A1B1C1D1⊥平面 DD1C1C， 所以设α＝平面 A1B1C1D1，β＝平面 DD1C1C， 连接 B1D1，则 B1D1⊂平面 A1B1C1D1，但 B1D1 不垂直于平面 DD1C1C，故 A 错 误； 如 A1B1⊂平面 A1B1C1D1，A1B1∥平面 DD1C1C，故 B 正确； 连接 DC1，A1B1⊂平面 A1B1C1D1，DC1⊂平面 DD1C1C，但 A1B1 不平行于 DC1， 故 C 错误； 如 m＝CC1⊂平面 DD1C1C，m⊥平面 A1B1C1D1，所以 m 垂直于平面 A1B1C1D1 内所有的直线，故不存在直线与之平行，故 D 错误．故选 B. 3 答案 C 解析 由等体积法可知 VB1－BFE＝VE－BFB1＝1 3S△BB1F·AD＝1 3 ×1 2 ×1×1 2 × 1＝ 1 12.故选 C. 4 答案 D 解析 如图，连接 A1C1，由长方体的性质知 BB1∥AA1，则∠A1AC1 即为异面直线 AC1 与 BB1 所成的角，所以∠A1AC1＝30°.在 Rt△ A1B1C1 中，A1C1＝ A1B12＋B1C12＝ 2.在 Rt△A1AC1 中，tan∠A1AC1 ＝A1C1 AA1 ，即 AA1＝ A1C1 tan∠A1AC1 ＝ 2 3 3 ＝ 6.故选 D. 5 答案 C 解析 如图，①∵VA－D1PC＝VP－AD1C，BC1∥平面 AD1C，∴ BC1 上任意一点到平面 AD1C 的距离相等，∴三棱锥 A－D1PC 的 体积不变，∴①正确；②∵直线 AB 与平面 AD1C 所成的角和直线 AC1 与平面 AD1C 所成的角不相等，∴②不正确；③∵AP⊂平面 BC1D1A，∴二 面角 P－AD1－C 的大小即平面 BC1D1A 与平面 CAD1 所成角的大小，∴③正确； ④∵M 是平面 A1B1C1D1 上到点 D 和 C1 距离相等的点，∴点 M 的轨迹是平面 A1B1C1D1与线段 DC1 的垂直平分线所在平面的交线，而 DD1＝D1C1，∴④正确．故 正确结论的序号是①③④. 6 答案 C 解析 如图，取 PD 中点 G，连接 AG，FG， ∵E，F 分别为 AB，PC 的中点 ， ∴AE＝1 2AB，GF∥DC 且 GF＝1 2DC， 又∵在矩形 ABCD 中 AB∥CD 且 AB＝CD， ∴AE∥GF 且 AE＝GF， ∴四边形 AEFG 是平行四边形， ∴AG∥EF， ∴AG 与平面 ABCD 所成的角等于 EF 与平面 ABCD 所成的角， ∵PA⊥平面 ABCD，AD⊂平面 ABCD，∴PA⊥AD， 过 G 作 GH⊥AD，垂足为 H，GH⊂平面 PAD，则 GH∥PA， ∴GH⊥平面 ABCD， ∴∠GAH 为 AG 与平面 ABCD 所成的角，即为所求角， ∵∠PDA＝45°，G 为 PD 的中点， ∴∠GAH＝45°， 即 EF 与平面 ABCD 所成的角为 45°.故选 C. 7 答案 C 解析 如图所示，设底面半径为 OA＝r， ∵PA 与圆锥底面所成角为 60°， ∴∠PAO＝60°， ∴PA＝PB＝2r，∵母线 PA，PB 所成角的余弦值为3 4 ， ∴sin∠APB＝ 7 4 ，∴1 2(2r)2· 7 4 ＝ 7⇒r＝ 2， ∴V＝1 3 ·S 底面·PO＝1 3 ·(πr2)· 3r＝2 6 3 π.故选 C. 8 答案 D 解析 对于 A，翻折前，AB⊥BE，AD⊥DF，故翻折后，OA⊥OE，OA⊥OF. 又 OE∩OF＝O，OE，OF⊂平面 EOF，∴OA⊥平面 EOF，故正确． 对于 B，∵OA⊥平面 EOF，∴VO－AEF＝VA－OEF＝1 3 ·S△OEF·AO＝1 3 ×1 2 ×1×1×2 ＝1 3 ，故正确． 对于 C，连接 OH，AH，则∠OHA 为 AH 与平面 EOF 所成的角． ∵OE＝OF＝1，H 是 EF 的中点，OE⊥OF，∴OH＝1 2EF＝ 2 2 . 又 OA＝2，∴tan∠OHA＝OA OH ＝2 2，故正确． 对于 D，∵OA⊥平面 EOF，EF⊂平面 EOF，∴OA⊥EF.又 OH⊥EF，OA∩OH ＝O，OA，OH⊂平面 OAH，∴EF⊥平面 OAH. ∴EA 不可能与平面 OAH 垂直，故错误．故选 D. 9 答案 B 解析 因为 O，M 为中点，所以 OM∥AB，所以 OM⊥BC， 又 OF⊥BC，且 OM∩OF＝O，OM，OF⊂平面 OMF， 所以 BC⊥平面 OMF， 所以 BF，CF 与平面 OFM 所成的角分别为∠BFO 和∠CFO，它们相等，等于 45°， 根据直线与平面所成角的定义，知 AC 与平面 OFM 所成的角为∠CMO＝∠CAB ＝60°. 故只有 AF 与平面 OFM 所成的角不为定值．故选 B. 10 答案 A 解析 如图所示，图 1 中，连接 AC 与 BD 相交于点 O，AC⊥BD， 则 OA＝OC＝1 2AC＝1， 图 2 中，△OAC 是等边三角形，OA⊥BD，OC⊥BD，OA∩OC＝O，OA⊂平面 OAC，OC⊂平面 OAC，∴BD⊥平面 OAC， ∴三棱锥 A－BCD 的体积＝1 3 ×S△OAC×BD＝1 3 × 3 4 ×12×2＝ 3 6 .故选 A. 11 答案 B 分析 画出图形，找出 BM 与 AN 所成角的平面角，利用解三角形求出 BM 与 AN 所成角的余弦值． 解析 如图，取 BC 的中点为 O，连接 ON，OA，MN， 则 MN∥1 2B1C1 綊 OB，则四边形 MNOB 是平行四边形，BM 与 AN 所成角就是∠ANO 或其补角， ∵M，N 分别是 A1B1，A1C1 的中点，C1M＝1 2A1B1， ∴A1C1⊥B1C1， 由四边形 A1ACC1 与 B1BCC1 均为正方形，可得 BC＝CA＝CC1， 设 BC＝CA＝CC1＝a， 三棱柱 ABC－A1B1C1 外接球可看作棱长为 a 的正方体外接球， ∵三棱柱 ABC－A1B1C1 内接于一个半径为 3的球， ∴ a2＋a2＋a2＝2 3，解得 a＝2， ∴BC＝CA＝CC1＝2，CO＝1，AO＝ 5，AN＝ 5，NO＝MB＝ B1M2＋BB12＝ （ 2）2＋22＝ 6， 在△ANO 中，由余弦定理可得：cos∠ANO＝AN2＋NO2－AO2 2AN·NO ＝ 6 2× 5× 6 ＝ 30 10 . 故选 B. 12 答案 B 13 答案 D 14 答案 C 解析 对于 A：由正方体的对称性可知，平面α分正方体所得两部分的体积相等， 故 A 正确； 对于 B：因为平面 ABB1A1∥平面 CC1D1D，平面 BFD1E∩平面 ABB1A1＝BF， 平面 BFD1E∩平面 CC1D1D＝D1E，所以 BF∥D1E. 同理可证：D1F∥BE，故四边形 BFD1E 一定是平行四边形，故 B 正确； 对于 C：当 E，F 为棱中点时，EF⊥平面 BB1D，又因为 EF⊂平面 BFD1E， 所以平面 BFD1E⊥平面 DBB1，故 C 不正确； 对于 D：当 F 与 A 重合，当 E 与 C1 重合时，四边形 BFD1E 的面积有最大值， 故 D 正确．故选 C. 15 答案 1 解析 设圆锥底面半径为 r，母线长为 l，则 π×r×l＝2π， 2×π×r＝1 2 ×2×π×l，解得 r＝1， l＝2. 16 答案 12 3－π 2 解析 正六棱柱体积为 6× 3 4 ×22×2＝12 3 (cm3)， 圆柱体积为π 1 2 2 ×2＝π 2 (cm3)，所求几何体体积为 12 3－π 2 cm3. 17 答案 17－2π 解析 该圆柱到达的区域为一个柱体，该柱体的底面积 S＝32－4 1－π 4 ＝5＋π， 高为 2，体积为 10＋2π，所以该圆柱不能到达的区域的体积为 33－(10＋2π)＝17 －2π. 18 答案 2 21 3 解析 如图，设点 P 在两个半平面内的射影分别为 C，B，则 在△PCB 中，PC＝1，PB＝3，∠CPB＝60°，CB2＝1＋9－2×1×3×cos∠CPB ＝7，∴CB＝ 7. 设 P 到棱的距离为 l，则 l＝ CB sin120° ＝2 21 3 . 19 答案 2 3 解析 不妨设|AE|＝3a，|AF|＝3b，a，b∈(0，1)． 在直角三角形 AEF 中，易知 EF 边上的高为 h＝ 3ab a2＋b2. 又五棱锥 A－EBCDF 的底面面积为 S＝9 1－ab 2 ， 欲使五棱锥 A－EBCDF 的体积最大，需平面 AEF⊥平面 EBCDF. ∴Vmax＝1 3Sh＝9 1－ab 2 · ab a2＋b2. ∵a2＋b2≥2ab，∴Vmax≤9 1－ab 2 · ab 2ab ＝9 2 4 (2 ab－ab ab)． 令 t＝ ab，则 t∈(0，1)，∴Vmax≤9 2 4 (2t－t3)，t∈(0，1)， 令 f(t)＝2t－t3，t∈(0，1)，则 f′(t)＝2－3t2， 易知当 t＝ 6 3 时，f(t)取得最大值4 6 9 . ∴Vmax≤9 2 4 ×4 6 9 ＝2 3. 综上所述，当 a＝b＝ 6 3 时，五棱锥 A－EBCDF 的体积取得最大值 2 3. 20 答案 2 3 9 4 解析 (1)以 AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AA1 为 z 轴，建立如图所示的坐标系，在 xAy 坐标平面中，B(6，0)，E(2，0)，设 P(x，y)， 由 BP＝ 3PE 得(x－6)2＋y2＝3[(x－2)2＋y2]， 所以 x2＋y2＝12， 所以若点 P 在平面 ABCD 内运动，则点 P 所形成的阿氏圆的半径为 2 3. (2)在 A－xyz 空间直角坐标系中，B(6，0，0)，E(2，0，0)，设点 P(x，y，z)， 由 BP＝ 3PE 得(x－6)2＋y2＋z2＝3[(x－2)2＋y2＋z2]， 所以 x2＋y2＋z2＝12， 由题得 F(3，3，3)，B1(6，0，3)，C(6，3，0)， 所以FB1 → ＝(3，－3，0)，B1C→ ＝(0，3，－3)，设平面 B1CF 的法向量为 n＝(x0， y0，z0)， 所以 n·FB1 → ＝3x0－3y0＝0， n·B1C→ ＝3y0－3z0＝0， 故 n＝(1，1，1)为其一个法向量， 由题得CP→＝(x－6，y－3，z)， 所以点 P 到平面 B1CF 的距离为 h＝|CP→·n| |n| ＝|x＋y＋z－9| 3 ， 因为(x2＋y2＋z2)(12＋12＋12)≥(x＋y＋z)2，当且仅当 x＝y＝z 时取等号，所以－ 6≤x＋y＋z≤6， 所以 hmin＝|6－9| 3 ＝ 3，所以点 M 到平面 B1CF 的最小距离为 3 2 ， 由题得△B1CF 为等边三角形，且边长为 32＋32＝3 2， 所以三棱锥 M－B1CF 的体积的最小值为1 3 × 3 4 ×(3 2)2× 3 2 ＝9 4. 备选题 1 答案 B 解析 设所求二面角的大小为θ，则〈BD→ ，AC→ 〉＝θ，因为DC→ ＝DB→ ＋BA→ ＋AC→ ， 所以 DC→ 2＝(DB→ ＋BA→ ＋AC→ )2＝DB→ 2＋BA→ 2＋AC→ 2＋2DB→ ·BA→ ＋2DB→ ·AC→ ＋2BA→ ·AC→ . 而依题意可知 BD⊥AB，AC⊥AB，所以 2DB→ · BA→ ＝0，2BA→ ·AC→ ＝0，所以|DC→ |2＝|DB→ |2＋|BA→ |2＋|AC→ |2－2BD→ ·AC→ ，即 4×17＝ 82＋42＋62－2×8×6cosθ，所以 cosθ＝1 2 ，而θ∈[0，π]，所以θ＝60°，故选 B. 2 答案 C 解析 当 m⊥α时，如果 m⊥n，不一定能推出 n⊂α，因为直线 n 可以在平面α 外．当 m⊥α时，如果 n⊂α，根据线面垂直的性质一定能推出 m⊥n，所以若 m⊥α，则“m⊥n”是“n⊂α”的必要不充分条件．故选 C.