第10讲 概率与统计 第1课时 计数原理与二项式定理 专题训练 含答案2021届高考（理科）数学二轮复习

第 10 讲 概率与统计 第 1 课时 计数原理与二项式定理 专题训练作业(二十三) 一、选择题 1．2020 年元旦晚会期间，高三二班的学生准备了 6 个参赛节目，其中有 2 个舞 蹈节目，2 个小品节目，2 个歌曲节目．要求歌曲节目一定排在首尾，另外 2 个 舞蹈节目一定要排在一起，则这 6 个节目出场的不同编排种数为( ) A．48 B．36 C．24 D．12 2．已知 2x－ 1 3 x n 的展开式中没有常数项，则 n 不可能是( ) A．8 B．7 C．6 D．5 3．(2020·湖南三湘名校教育联盟联考)“中国梦”的英文翻译为“China Dream”， 其中 China 又可以简写为 CN，从“CN Dream”中取 6 个不同的字母排成一排，含 有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有( ) A．360 种 B．480 种 C．600 种 D．720 种 4．(2020·重庆市高三调研)在 x3 x－ 1 x 10 的展开式中，常数项为( ) A．－252 B．－45 C．45 D．252 5．若(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn 的展开式中的各项系数和为 243，则 a1 ＋2a2＋…＋nan＝( ) A．405 B．810 C．243 D．64 6．若甲、乙等 5 名同学分别被保送到北京大学、清华大学、复旦大学三所大学 就读，若要求每所大学至少有一名保送生，则不同的保送方法种数为( ) A．240 B．180 C．150 D．540 7．(2020·湛江市第二十一中学模拟)(1－x)(1＋2x)4 展开式中 x2 的系数为( ) A．－24 B．－8 C．16 D．24 8．(2019·湖北四校联考) 1 x2 ＋4x2＋4 3 展开式中的常数项为( ) A．120 B．160 C．200 D．240 9．(2020·高三模拟)4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、 浙江省、安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去 旅游，则恰有一个地方未被选中的方法种类为( ) A．144 B．288 C．342 D．576 10．某班班会上老师准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言，要求甲、乙 2 名学生至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么 不同的发言顺序的种数为( ) A．360 B．520 C．600 D．720 11．(2020·宜春市高三模拟)在(2x＋y)(x－y)5 的展开式中，x4y2 的系数为( ) A．－20 B．－10 C．15 D．5 12．袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任 取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰 好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生 0 到 3 之间取整数值的随机数，分别 用 0，1，2，3 代表“文、明、中、国”这四个字，每三个随机数为一组，表示 取球三次的结果，经随机模拟产生了以下 18 组随机数： 232 321 230 023 123 021 132 220 001 231 130 133 231 013 320 122 103 233 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为( ) A.1 9 B.1 6 C.2 9 D. 5 18 13．在中国文字语言中有回文句，如：“中国出人才人出国中．”其实，在数学 中也有回文数．回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如 3 位回文 数：101，111，121，…，191，202，…，999，则 5 位回文数有( ) A．648 个 B．720 个 C．900 个 D．1 000 个 14．(2020·湛江市第二十一中考试)为了积极稳妥开展疫情期间的复学工作，市教 育局抽调 5 名机关工作人员去某街道 3 所不同的学校开展驻点服务，每个学校至 少去 1 人，若甲、乙两人不能去同一所学校，则不同的分配方法种数为( ) A．114 B．120 C．140 ．150 二、填空题 15．北京大兴国际机场是一座跨地域的超大型国际航空综合交通枢纽，目前建有 “三纵一横”4 条跑道，分别为西一跑道、西二跑道、东跑道、北跑道，示意图 如图所示．若有 2 架飞往不同目的地的飞机要从北京大兴国际机场同时起飞，且 起飞的跑道不同，则 (1)有________种不同的安排方法； (2)若西一跑道、西二跑道至少有一条跑道被选取，则有________种不同的安排 方法．(用数字作答) 16．(2020·唐山市高三年级第一次模拟)中国古代的四书是指：《大学》《中庸》《论 语》《孟子》，甲、乙、丙、丁 4 名同学从中各选一书进行研读，已知四人选取的 书恰好互不相同，且甲没有选《中庸》，乙和丙都没有选《论语》，则 4 名同学所 有可能的选择有________种． 17．设 f(x)＝(1－2x)6，则 x 的奇次项的系数和为________． 18．(2020·河南名师联盟调研) 1 2x－2y 5 的展开式中 x2y3 的系数为________． 19．(2020·厦门市高中毕业班质检)某学校贯彻“科学防疫”，实行“佩戴口罩， 间隔而坐”．一排 8 个座位，安排 4 名同学就座，共有________种不同的安排方 法(用数字作答)． 20．某外商计划在 4 个候选城市中投资 3 个不同的项目，且在同一个城市投资的 项目不超过 2 个，则该外商不同的投资方案有________种． 参考解析答案 1 答案 C 解析 依据题意，分三步讨论：(1)歌曲节目排在首尾，有 A22＝2 种排法；(2)将 2 个小品节目安排在歌曲节目的中间，有 A22＝2 种排法；(3)排好后，2 个小品节 目与 2 个歌曲节目之间有 3 个空位，将 2 个舞蹈节目全排列，安排在中间的 3 个空位，有 A22C31＝6 种排法．则这 6 个节目出场的不同编排种数为 2×2×6＝ 24.故选 C. 2 答案 A 解析 2x－ 1 3 x n 的展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cnr(2x)n－r· － 1 3 x r ＝Cnr(－1)r2n－ rxn－4r 3 . 因为 2x－ 1 3 x n 的展开式中没有常数项，所以 n－4r 3 不能为 0， 当 n＝5，6，7 时，n－4r 3 ＝0 不成立；当 n＝8，r＝6 时，n－4r 3 ＝0 成立，此时 2x－ 1 3 x n 的展开式中有常数项．故选 A. 3 答案 C 解析 从其他 5 个字母中任取 4 个，然后与“ea”进行全排列，由分步乘法计数原 理可知，排法共有 C54A55＝600(种)．故选 C. 4 答案 C 解析 由题意， x－ 1 x 10 的展开式的通项公式为： Tr＋1＝C10r( x)10－r· － 1 x r ＝(－1)r·C10r·x5－r， 令 5－r＝－3，得 r＝8，(－1)r·C10r·x5－r＝(－1)8·C108·x－3＝45x－3， 所以 x3 x－ 1 x 10 的展开式中，常数项为 45.故选 C. 5 答案 B 解析 因为(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn， 两边求导得 2n(2x＋1)n－1＝a1＋2a2x＋…＋nanxn－1， 令 x＝1，则 2n×3n－1＝a1＋2a2＋…＋nan， 又因为(2x＋1)n 的展开式中各项系数和为 243， 所以令 x＝1，可得 3n＝243，解得 n＝5. 所以 a1＋2a2＋…＋nan＝2×5×34＝810.故选 B. 6 答案 C 解析 由题意可知 5 名保送生可分为 1，1，3 和 1，2，2 两种情况，故满足题意 的不同的保送方法种数为 C53A33＋C52C32 A22 ·A33＝150.故选 C. 7 答案 C 解析 由题意(1－x)(1＋2x)4＝(1＋2x)4－x(1＋2x)4， 二项式(1＋2x)4 展开式的通项公式 Tr＋1＝C4r·14－r·(2x)r＝C4r·2r·xr， 令 r＝2，C4r·2r·xr＝C42·22·x2＝24x2； 令 r＝1，C4r·2r·xr＝C41·2·x＝8x； 所以 x2 的系数为 24－8＝16.故选 C. 8 答案 B 解 析 方 法 一 ： 1 x2 ＋4x2＋4 3 ＝ 1 x ＋2x 6 ， 展 开 式 的 通 项 公 式 为 Tr ＋ 1 ＝ C6r 1 x 6－r ·(2x)r＝C6r2rx2r－6，令 2r－6＝0，可得 r＝3，故展开式的常数项为 160. 方法二：展开式的常数项为：43＋C31·4·C21·4＝64＋96＝160. 9 答案 A 解析 从四个地方选出一个地方空出有 C41 种情况，从 4 名学生中任选 2 名“捆 绑”在一起，有 C42 种情况，再任意分配到三个地方有：A33 种， 则恰有一个地方未被选中有：C41C42A33 种．故选 A. 10 答案 C 解析 若甲、乙同时被选中，则只需再从剩下的 5 人中选取 2 人，有 C52 种选法， 因为在安排顺序时，甲、乙不相邻需“插空”，所以安排方式有 A32A22 种，从而 此种情况下不同的发言顺序的种数为 C52A32A22＝120.若甲、乙只有一人被选中， 则先从甲、乙中选一人，有 C21 种选法，再从剩下的 5 人中选取 3 人，有 C53 种 选法，因为在安排顺序时无要求，所以此种情况下不同的发言顺序的种数为 C21C53A44＝480.综上，不同的发言顺序的种数为 120＋480＝600.故选 C. 11 答案 C 解析 因为(2x＋y)(x－y)5＝(2x＋y)(x－y)(x－y)(x－y)(x－y)(x－y)， 所以若从第一个式子 2x＋y 中选择 2x，则后面的式子中有 C53 种可能出现 x3(－ y)2，相乘得 2C53x4y2；若从第一个式子 2x＋y 中选择 y，则后面的式子中有 C51 种可能出现 x4(－y)，相乘得－C51x4y2，即 x4y2 的系数为 2C53－C51＝15.故选 C. 12 答案 B 解析 由题意知样本空间包含的基本事件总数为 18 个，恰好第三次就停止包含 的基本事件有 023，123，132，共 3 个，由此可以估计，恰好第三次就停止的概 率 P＝ 3 18 ＝1 6.故选 B. 13 答案 C 解析 由题设中定义回文数的概念可知：先考虑五位回文数的中间的一个位置， 每个数字都能选取，共有 10 种可能；其次是考虑首位数字应有除了 0 之外的 9 个数字，共有 9 种；最后再考虑第二个位置，10 个数字都可选取，共有 10 种可 能．由分步乘法计数原理可得所有五位回文数的个数是 9×10×10＝900.故选 C. 14 答案 A 解析 分四种情况： (1)安排甲去一所学校共有 C31 种方法， 安排乙到第二所学校共有 C21 种方法， 余下三人去第三所学校共有 1 种方法，共有 C31×C21×1＝6 种方法． (2)安排甲去一所学校共有 C31 种方法， 安排乙到第二所学校共有 C21 种方法， 余下的三人中两人一起去第三所学校有 C32 种方法， 另一个人去前两所学校中任意一所共有 C21 种方法， 共有 C31×C21×C32×C21＝36 种方法． (3)安排甲去一所学校共有 C31 种方法， 安排乙到第二所学校共有 C21 种方法， 余下的三人中一人去第三所学校有 C31 种方法， 另外两人一起去前两所学校中任意一所共有 C21 种方法， 共有 C31×C21×C31×C21＝36 种方法． (4)安排甲去一所学校共有 C31 种方法， 安排乙到第二所学校共有 C21 种方法， 余下的三人中一人去第三所学校有 C31 种方法， 另外两人分别去前两所学校中任意一所共有 A22 种方法， 共有 C31×C21×C31×A22＝36 种方法． 综上，共有 6＋36＋36＋36＝114 种方法．故选 A. 15 答案 (1)12 (2)10 解析 (1)由排列组合知识知有 A42＝12(种)不同的安排方法． (2)方法一(互斥事件)： ①西一跑道、西二跑道只选一条，则不同的安排方法有 C21C21A22＝8(种)； ②西一跑道、西二跑道选两条，则不同的安排方法有 C22C20A22＝2(种)． 由分类加法计数原理可得，不同的安排方法有 8＋2＝10(种)． 方法二(对立事件)： 记“西一跑道、西二跑道至少有一条跑道被选取”为事件 A，则 A 表示“西一 跑道、西二跑道都未被选取”． 由(1)知，从 4 条跑道中选取 2 条，不同的安排方法有 12 种． 事件 A 表示选取东跑道和北跑道，不同的安排方法有 A22＝2(种)． 所以事件 A 的安排方法有 12－2＝10(种)． 16 答案 10 解析 分以下两种情况讨论：(1)乙、丙两人中没有一人选《中庸》，则乙、丙两 人在《大学》《孟子》中各选一书，则甲只能选《论语》，丁只能选《中庸》，此 时选法种数为 A22；(2)乙、丙两人中有一人选《中庸》，则另一人可在《大学》《孟 子》中选择一书，甲、丁两人选书时没有限制，此时选法种数为 C21C21A22.综上 所述，4 名同学所有可能的选择种数为 A22＋C21C21A22＝10. 17 答案 －364 解析 设 f(x)＝(1－2x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6， 当 x＝1 时，1＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6，① 当 x＝－1 时，36＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6，② ①－②得1－36 2 ＝a1＋a3＋a5， ∴a1＋a3＋a5＝－364. ∴x 的奇次项的系数和为－364. 18 答案 －20 解析 由二项式定理可知展开式的通项公式为 Tr＋1＝C5r 1 2x 5－r (－2y)r， 要求解 1 2x－2y 5 的展开式中含 x2y3 的项，则 r＝3， 所求系数为 C53 1 2 2 (－2)3＝－20. 19 答案 120 解析 可先将 4 名同学全排列，有 A44＝24 种排法，因四个空座位产生五个位置， 四名同学插空就座，有 C54 种方法，因此共有 C54A44＝120 种安排方法． 20 答案 60 解析 试题分析：每个城市投资 1 个项目有 C43A33 种，有一个城市投资 2 个项目 有 C42C21C32 种，投资方案共 C43A33＋C42C21C32＝24＋36＝60(种)．