第9讲 解析几何 第1课时 圆与椭圆小题 专题训练 含答案 2021届高考（理科）数学二轮复习

第 9 讲 解析几何 第 1 课时 圆与椭圆小题 专题训练·作业(二十) 一、选择题 1．(2020·山东日照模拟)已知倾斜角为θ的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，则sin2θ 的值为( ) A.3 5 B.4 5 C.1 5 D．－1 5 2．过坐标原点 O 作圆(x－3)2＋(y－4)2＝1 的两条切线，切点分别为 A，B，直线 AB 被圆截得的弦的长度为( ) A.2 6 5 B.4 6 5 C. 6 D.3 6 5 3．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 A：(x－1)2＋y2＝1，点 B(3，0)，过动点 P 引圆 A 的切线，切点为 T.若 PT＝ 2PB，则动点 P 的轨迹方程为( ) A．x2＋y2－14x＋18＝0 B．x2＋y2＋14x＋18＝0 C．x2＋y2－10x＋18＝0 D．x2＋y2＋10x＋18＝0 4．(2020·山东四县市联考)已知直线 x－2y＋a＝0 与圆 O：x2＋y2＝2 相交于 A， B 两点(O 为坐标原点)，则“a＝ 5”是“OA→ ·OB→ ＝0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．(2020·山东省高考统一模拟试卷)设曲线 x＝ 2y－y2上的点到直线 x－y－2＝0 的距离的最大值为 a，最小值为 b，则 a－b 的值为( ) A. 2 2 B. 2 C. 2 2 ＋1 D．2 6．点 P(x，y)是圆 x2＋(y－1)2＝1 上任意一点，若点 P 的坐标满足不等式 x＋y ＋m≥0，则实数 m 的取值范围是( ) A．(－8，－ 2] B．[ 2－1，＋∞) C．( 2，＋∞) D．[1－ 2，＋∞) 7．(2020·广州市高三阶段训练)某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点 的椭圆，其轨道的离心率为 e，设地球半径为 R，该卫星近地点离地面的距离为 r，则该卫星远地点离地面的距离为( ) A.1＋e 1－e r＋ 2e 1－eR B.1＋e 1－e r＋ e 1－eR C.1－e 1＋er＋ 2e 1＋eR D.1－e 1＋er＋ e 1＋eR 8．在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 E：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的右焦点为 F(c， 0)，若 F 到直线 2bx－ay＝0 的距离为 2 2 c，则 E 的离心率为( ) A. 3 2 B.1 2 C. 2 2 D. 2 3 9．(2020·课标全国Ⅰ，文)已知圆的方程为 x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被 该圆所截得的弦的长度的最小值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 10．(2020·马鞍山市高中毕业班质检)已知 F 为椭圆 C：x2 25 ＋y2 16 ＝1 的左焦点，O 为坐标原点，点 P 在椭圆 C 上且位于 x 轴上方，点 A(－3，4)，若直线 OA 平分 线段 PF，则∠PAF 的大小为( ) A．60° B．90° C．120° D．无法确定 11.2019 年 1 月 3 日 10 点 26 分(北京时间)，“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球 背面东经 177.6 度、南纬 45.5 度附近的预选着陆区，并通过“鹊桥”中继星传回 了月背影像图，揭开了古老月背的神秘面纱．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星 沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点 P 变轨进入以月球球心 F 为一个 焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦 点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，若用 e1 和 e2 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的离心率，则 ( ) A．e1>e2 B．e10)上任意一点，M，N 是椭圆上关于坐标原 点对称的两点，且直线 PM，PN 的斜率分别为 k1，k2(k1k2≠0)，若|k1|＋|k2|的最 小值为 1，则下列结论不正确的是( ) A．椭圆 E 的方程为x2 4 ＋y2＝1 B．椭圆 E 的离心率为1 2 C．曲线 y＝log3x－1 2 经过 E 的一个焦点 D．直线 2x－y－2＝0 与 E 有两个公 共点 14．已知双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，实轴长为 6，渐近线方程为 y＝±1 3x，动点 M 在双曲线左支上，点 N 为圆 E：x2＋(y＋ 6)2 ＝1 上一点，现有下列命题： ①双曲线的虚轴长为 1； ②双曲线 C 方程为x2 9 －y2＝1； ③|MN|＋|MF2|的最小值为 9； ④|MN|的最小值为6 10 5 －1. 其中正确的是( ) A．②③④ B．①②③ C．②③ D．②④ 二、填空题 15．(2020·浙江)已知直线 y＝kx＋b(k>0)与圆 x2＋y2＝1 和圆(x－4)2＋y2＝1 均相 切，则 k＝________，b＝________． 16．(2020·广东四校期末联考)已知直线 ax＋y－1＝0 与圆 C：(x－1)2＋(y＋a)2 ＝1 相交于 A，B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数 a 的值为________． 17．已知椭圆x2 a2 ＋y2＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 F1 关于直线 y＝－x 的 对称点 P 仍在椭圆上，则△PF1F2 的周长为________． 18．已知椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)，点 A 是椭圆的右顶点，点 B 为椭圆的上顶 点，点 F(－c，0)是椭圆的左焦点，椭圆的长轴长为 4，且 BF⊥AB，则 c＝________． 19．定义曲线a2 x2 ＋b2 y2 ＝1 为椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1 的“倒椭圆”．已知椭圆 C1：x2 4 ＋y2＝ 1，它的“倒椭圆”C2：4 x2 ＋ 1 y2 ＝1 的一个对称中心为________；过“倒椭圆”C2 上的点 P 作直线 PA 垂直 x 轴于点 A，作直线 PB 垂直 y 轴于点 B，则直线 AB 与椭圆 C1 的公共点个数为________． 20．(2020·浙大附中高考全真模拟)已知点 F1 是椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的左焦点， 过原点作直线 l 交椭圆于 A，B 两点，M，N 分别是 AF1，BF1 的中点，若存在以 MN 为直径的圆过原点，则椭圆的离心率的取值范围是________． 1．(2020·青岛市高三自主检测)若直线 l1：a2x－3y＋2＝0，l2：2ax＋5y－a＝0.p： a＝0，q：l1 与 l2 平行，则下列选项中正确的( ) A．p 是 q 的必要不充分条件 B．q 是 p 的充分不必要条件 C．p 是 q 的充分不必要条件 D．q 是 p 的既不充分也不必要条件 2．(2020·山东省高考统一模拟试卷三)已知点 P 在圆 x2＋y2＝4 上，A(－2，0)， B(2，0)，M 为 BP 中点，则 sin∠BAM 的最大值为( ) A.1 4 B. 10 10 C.1 3 D.1 2 3．(2019·安徽江南十校第二次联考)已知在直角坐标系 xOy 中，A(4，0)，B 0，3 2 ， 若点 P 满足 OP＝1，PA 的中点为 M，则 BM 的最大值为________． 4．(2019·江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 y＝x＋4 x(x>0)上的一个动点， 则点 P 到直线 x＋y＝0 的距离的最小值是________． 5．(2019·浙江)已知圆 C 的圆心坐标是(0，m)，半径长是 r.若直线 2x－y＋3＝0 与圆 C 相切于点 A(－2，－1)，则 m＝________，r＝________． 6．(2020·四川乐山一中高三模拟)已知 A，B 两点分别为椭圆x2 8 ＋y2 4 ＝1 的左焦点 与上顶点，C 为椭圆上的动点，则△ABC 面积的最大值为________． 7．(2020·山东济南市高三模拟)已知 F1，F2 分别是椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的左、 右焦点，A，B 是椭圆上关于 x 轴对称的两点，AF2 的中点 P 恰好落在 y 轴上， 若BP→·AF2 → ＝0，则椭圆 C 的离心率的值为________． 参考解析答案 1 答案 B 解析 设直线 l 的斜率为 k，∵直线 l 与直线 x＋2y－3＝0 垂直，∴k＝ －1 －1 2 ＝2， 即 tanθ＝2，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝ 2sinθcosθ sin2θ＋cos2θ＝ 2tanθ tan2θ＋1 ＝4 5.故选 B. 2 答案 B 解析 设圆的圆心为 P，则 P(3，4)，由切线长定理可知|OA|＝|OB|，且 OA⊥PA， OB⊥PB，因为|OP|＝ 32＋42＝5，圆的半径 r＝1，所以|OA|＝|OB|＝2 6，易知 AB⊥OP ， 所 以 S 四 边 形 OAPB ＝ 1 2 |OP| · |AB| ＝ 2S △ OAP ， 所 以 |AB| ＝ 4S△OAP |OP| ＝ 4×1 2 ×2 6×1 5 ＝4 6 5 . 3 答案 C 解析 设 P(x，y)，由圆的切线的性质知，PT2＋AT2＝PA2.因为 PT＝ 2PB，所以 2PB2＋AT2＝PA2，即 2[(x－3)2＋y2]＋1＝(x－1)2＋y2，整理，得 x2＋y2－10x＋18 ＝0，故选 C. 4 答案 A 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 x－2y＋a＝0， x2＋y2＝2， 化为 5y2－4ay＋a2－2＝0， 直线 x－2y＋a＝0 与圆 O：x2＋y2＝2 相交于 A，B 两点(O 为坐标原点)， ∴Δ＝16a2－20(a2－2)>0，解得 a20， 则“a＝ 5”是“OA→ ·OB→ ＝0”的充分不必要条件，故选 A. 5 答案 C 解析 将 x＝ 2y－y2化为：x2＋(y－1)2＝1，x≥0，∴圆心(0，1)，半径 r＝1， ∵圆心到直线 x－y－2＝0 的距离 d＝3 2 2 ， ∴圆上的点到直线的最小距离 b＝3 2 2 －1， 最大值为(0，2)到直线的距离，即 a＝ 4 2 ＝2 2， 则 a－b＝ 2 2 ＋1.故选 C. 6 答案 B 解析 方法一：由题意可设 x＝cosθ，y＝1＋sinθ，θ∈[0，2π)．由 x＋y＋m≥0， 得 m≥－(x＋y)．而－(x＋y)＝－cosθ－(1＋sinθ)＝－(cosθ＋sinθ)－1＝－ 2·sin θ＋π 4 －1，则[－(x＋y)]max＝ 2－1.故 m≥ 2－1.故选 B. 方法二：画图易知若 x＋y＋m≥0，则圆在直线的右侧．所以圆心(0，1)到直线 x ＋y＋m＝0 的距离不小于半径 1，即1＋m 2 ≥1，∴m≥ 2－1.故选 B. 7 答案 A 解析 设该卫星远地点离地面的距离为 r′，则由题意分析可知 a－c＝r＋R， a＋c＝r′＋R， 所 以 a＝r＋r′＋2R 2 ， c＝r′－r 2 ， 所以离心率 e＝c a ＝ r′－r r＋r′＋2R ，解得 r′＝1＋e 1－e r＋ 2e 1－eR，故选 A. 8 答案 A 解析 由 F到直线 2bx－ay＝0的距离为 2 2 c，得直线2bx－ay＝0 的倾斜角为 45°， 所以2b a ＝1，即 4(a2－c2)＝a2，解得 e＝ 3 2 .故选 A. 9 答案 B 解析 将圆的方程 x2＋y2－6x＝0 化为标准方程(x－3)2＋y2＝9，设圆心为 C，则 C(3，0)，半径 r＝3.设点(1，2)为点 A，过点 A(1，2)的直线为 l，因为(1－3)2＋ 22a2>0，c1>c2>0，且 a1－c1＝a2－c2.令 a1－c1＝a2－c2＝t，t>0， ∴a1＝t＋c1，a2＝t＋c2. ∴1 e1 ＝a1 c1 ＝c1＋t c1 ＝1＋ t c1 ，1 e2 ＝a2 c2 ＝c2＋t c2 ＝1＋ t c2 . ∵c1>c2>0，t>0，∴ t c1 < t c2 ，∴1 e1 e2.故选 A. 12 答案 A 解析 由题意，圆(x－1)2＋(y－1)2＝4 的圆心 C(1，1)，半径 r＝2， 直线 x＋my－m－2＝0 变形得 x－2＋m(y－1)＝0，得直线过定点 A(2，1)， ∵|CA|＝ （2－1）2＋（1－1）2＝10)与圆 x2＋y2＝1，圆(x－4)2＋y2＝1 都相 切，所以 |b| 1＋k2 ＝|4k＋b| 1＋k2 ＝1，得 k＝ 3 3 ，b＝－2 3 3 . 方法二：因为直线 y＝kx＋b(k>0)与圆 x2＋y2＝1，圆(x－4)2＋y2＝1 都相切，所 以直线 y＝kx＋b 必过两圆心连线的中点(2，0)，所以 2k＋b＝0.设直线 y＝kx＋b 的倾斜角为θ，则 sinθ＝1 2 ，又 k>0，所以θ＝π 6 ，所以 k＝tanπ 6 ＝ 3 3 ，b＝－2k＝－ 2 3 3 . 16 答案 1 或－1 解析 本题考查直线与圆的位置关系．△ABC 是等腰直角三角形，则圆心 C 到 直线 AB 的距离等于 2 2 r(r 为圆 C 的半径)，即 |－1| a2＋1 ＝ 2 2 ，则 a＝±1. 17 答案 2 2＋2 解析 设 F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)，则点 F1 关于直线 y＝－x 的对称点 P 的坐 标为(0，c)．∵点 P 在椭圆上，∴0 a2 ＋c2＝1，则 c＝b＝1，∴a2＝b2＋c2＝2，∴a ＝ 2.故△PF1F2 的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝2 2＋2. 18 答案 5－1 解析 由题意得 A(a，0)，B(0，b)，a2＝b2＋c2，由 BF⊥AB 及 OB⊥AF(O 为坐 标原点)，可得|BO|2＝|OF|·|OA|，即 b2＝ac，又 a2＝b2＋c2，所以 ac＝a2－c2， 又 a＝2，所以 c＝ 5－1(负值已舍去)． 19 答案 (0，0) 1 解析 易知“倒椭圆”C2 的一个对称中心为(0，0)． 因为 4 x2 ＝1－ 1 y2 ∈(0，1)，所以 x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)． 设 P(x0，y0)(x0y0≠0)，则 4 x02 ＋ 1 y02 ＝1.① A(x0，0)，B(0，y0)， 于是直线 AB 的方程为 x x0 ＋ y y0 ＝1，代入x2 4 ＋y2＝1，得关于 x 的方程(x02＋4y02)x2 － 8x0y02x ＋ 4x02(y02 － 1) ＝ 0 ， Δ ＝ 64x02y04 － 16x02(x02 ＋ 4y02)(y02 － 1) ＝ － 16x02(x02y02－x02－4y02)， 由①可得 4y02＋x02＝x02y02，从而Δ＝0，所以直线 AB 与椭圆 C1 的公共点个数为 1. 20 答案 2 2 ，1 解析 如图所示，当点 M，N 分别是 AF1，BF1 的中点时，OM， ON 是△ABF1 的两条中位线，若以 MN 为直径的圆过原点，则 有 OM⊥ON，AF1⊥BF1， 设点 A(x0，y0)，则点 B(－x0，－y0)，又点 F1(－c，0)， 所以，AF1 → ＝(－c－x0，－y0)，BF1 → ＝(－c＋x0，y0)， 则AF1 → ·BF1 → ＝c2－x02－y02＝0，又x02 a2 ＋y02 b2 ＝1， 所以，c2 a2x02＋b2－c2＝0，得 x02＝a2（c2－b2） c2 ， 即只需 0