第9讲 解析几何 第2课时 双曲线与抛物线小题 专题训练 含答案 2021届高考（理科）数学二轮复习

第 9 讲 解析几何 第 2 课时 双曲线与抛物线小题 专题训练·作业(二十一) 一、选择题 1．(2020·浙大附中高考全真模拟考试)已知双曲线 C：y2 2 －x2＝1，则焦点坐标为 ( ) A．(± 3，0) B．(0，± 3) C．(±1，0) D．(0，±1) 2．(2020·河南省濮阳市二模)若双曲线 C1 与双曲线 C2：x2 4 －y2 6 ＝1 有共同的渐近 线，且 C1 过点(2，3)，则双曲线 C1 的方程为( ) A.y2 2 － x2 3 ＝1 B. x2 3 －y2 2 ＝1 C.x2 2 －y2 3 ＝1 D.y2 3 －x2 2 ＝1 3．(2020·山东济南市高三模拟)已知双曲线 C 的方程为x2 16 －y2 9 ＝1，则下列说法不 正确的是( ) A．双曲线 C 的实轴长为 8 B．双曲线 C 的渐近线方程为 y＝±3 4x C．双曲线 C 的焦点到渐近线的距离为 3 D．双曲线 C 上的点到焦点距离的最小值为9 4 4．(2020·贵州铜仁市高三第二次模拟)设双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的左、右焦 点分别为 F1，F2，过 F1 作倾斜角为π 3 的直线与 y 轴和双曲线的右支分别交于点 A， B，若OA→ ＝1 2(OB→ ＋OF1 → )，则该双曲线的离心率为( ) A．2 B. 5 C．2＋ 3 D. 3 5．(2020·石家庄市综合训练)过双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)右焦点 F 的直线 l 交 C 的右支于 A，B 两点，直线 AO(O 是坐标原点)交 C 的左支于点 D.若 DF⊥AB， 且|BF|＝2|DF|，则双曲线 C 的离心率为( ) A. 10 2 B. 10 C. 29 3 D. 87 3 6．(2020·天一大联考)已知 F1，F2 为双曲线 E：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的左、右焦 点，点 M 为 E 右支上一点．若 MF1 恰好被 y 轴平分，且∠MF1F2＝30°，则 E 的 渐近线方程为( ) A．y＝± 2 2 x B．y＝± 2x C．y＝± 3x D．y＝±2x 7．(2020·河北省正中实验中学模拟)已知双曲线x2 4 －y2 b2 ＝1(b>0)右焦点为 F1，过 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，抛物线 y2＝－16x 的焦点为 F， 若△ABF 为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A. 1＋ 13 2 ，＋∞ B．( 13，＋∞) C．(1，3) D. 1，1＋ 13 2 8．(2020·石家庄市高考数学模拟八)过抛物线 y2＝4x 的焦点的直线 l 与抛物线交 于 A，B 两点，设点 M(3，0)．若△MAB 的面积为 4 2，则|AB|＝( ) A．2 B．4 C．2 3 D．8 9．(2020·昆明市“三诊一模”)已知 F 为抛物线 x2＝2py(p>0)的焦点，点 P 为抛 物线上一点，以线段 PF 为直径的圆与 x 轴相切于点 M，且满足|MF|＝|PM|，|PF| ＝2，则 p 的值为( ) A．4 B．3 C．2 D．1 10．(2020·天一大联考)已知斜率为 k(k>0)的直线 l 过抛物线 y2＝4x 的焦点，且与 圆(x＋2)2＋(y＋1)2＝2 相切．若直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，则|AB|＝( ) A．4 2 B．4 3 C．8 D．12 11．(2020·泸州市高三第三次教学质量诊断)已知点 F 为抛物线 C：y2＝2px(p>0) 的焦点，过点 F 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，与 C 的准线交于点 M，若BM→ ＝2BA→ ， 则|AB|的值等于( ) A.3 4p B．2p C．3p D.9 4p 12．(2020·潍坊高密市高三数学模拟一)已知抛物线 y2＝2x 的焦点为 F，准线为 l， P 是 l 上一点，直线 PF 与抛物线交于 M，N 两点，若PF→＝3MF→ ，则|MN|＝( ) A.16 3 B.8 3 C．2 D.8 3 3 13.(2020·山东四县市高三联考)如图，点 F 是抛物线 y2＝8x 的焦点，点 A，B 分 别在抛物线 y2＝8x 及圆(x－2)2＋y2＝16 的实线部分上运动，且 AB 始终平行于 x 轴，则△ABF 的周长的取值范围是( ) A．(2，6) B．(6，8) C．(8，12) D．(10，14) 14．(2020·济宁嘉祥一中高三模拟)设双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的左、右焦 点分别为 F1，F2，过 F1 的直线 l 分别与双曲线左右两支交于 M，N 两点，以 MN 为直径的圆过 F2，且MF2 → ·MN→ ＝1 2MN→ 2，则以下结论正确的是( ) A．∠F1MF2＝120° B．双曲线 C 的离心率为 2 C．双曲线 C 的渐近线方程为 y＝± 2x D．直线 l 的斜率为 1 15．抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，过点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，交抛物线 C 的准线于 D 点，若BD→ ＝2BF→，|FA|＝2，则下列结论不正确的 是( ) A．F(3，0) B．直线 AB 的方程为 y＝ 3 x－3 2 C．点 B 到准线的距离为 6 D．△AOB(O 为坐标原点)的面积为 3 3 16．(2020·山东省高考统一模拟试卷三)设 M，N 是抛物线 y2＝x 上的两个不同的 点，O 是坐标原点．若直线 OM 与 ON 的斜率之积为－1 2 ，则下列结论不正确的 是( ) A．|OM|＋|ON|＝2 6 B．以 MN 为直径的圆的面积大于 4π C．直线 MN 过定点(2，0) D．点 O 到直线 MN 的距离不大于 2 二、填空题 17．已知双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均与圆 x2＋y2－6y＋5＝0 相切，则双曲线 C 的离心率为________． 18．(2020·泸州市高三第三次教学质量诊断性考试)已知双曲线 C：x2－y2＝m(m>0) 的焦距为 4 2，且它的渐近线与圆 x2＋(y－m)2＝16 有交点，连接所有交点的线 段围成了几何图形 M，则该几何图形 M 的面积为________． 19．(2020·辽宁省抚顺市六校高三联考)已知点 P 在抛物线 y2＝12x 上，点 Q 在圆 (x－3)2＋y2＝1 上，点 M(6，0)，令 t＝|MP|2 |PQ| ，则 t 的最小值为________，此时点 P 的横坐标为________． 20．(2020·5 月湖北省七市联考)已知斜率为 k(k>0)的直线 l 过抛物线 C：y2＝6x 的焦点 F，与抛物线 C 交于 A，B 两点，过 A，B 作 x 轴的垂线，垂足分别为 A1，B1，若S△ABB1 S△ABA1 ＝2，则 k 的值为________． 1．(2020·石家庄市高中毕业班综合训练)已知 P(1，4)为抛物线 C：y2＝2px(p>0) 上一点，抛物线 C 的焦点为 F，则|PF|＝( ) A．3 B．5 C．7 D．8 2．(2020·山东济宁市第五次模拟)抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点是双曲线 x2－y2＝p 的一个焦点，则 p＝( ) A．2 2 B．8 C．4 D．1 3．(2020·拉萨市高三第二次模拟)已知双曲线x2 a2 －y2＝1(a>0)的一条渐近线方程为 x＋y＝0，则 a＝________． 4．(2020·潍坊高密市高三模拟)已知双曲线 C 过点(3， 2)且渐近线为 y＝± 3 3 x， 则双曲线 C 的标准方程为________． 5．(2020·石家庄市高考数学模拟八)已知双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的左右顶 点分别为 A，B，点 P 是双曲线上一点，若△PAB 为等腰三角形，∠PAB＝120°， 则双曲线的离心率为________． 6．(2020·山东师范附中模拟)已知双曲线 x2－y2 8 ＝1，F1，F2 是双曲线的左右两个 焦点，P 在双曲线上且在第一象限，圆 M 是△F1PF2 的内切圆．则 M 的横坐标为 ________，若 F1 到圆 M 上点的最大距离为 4 3，则△F1PF2 的面积为________． 7．(2020·山东省高考统一模拟)已知抛物线 y2＝2px(p>0)与直线 l：4x－3y－2p＝ 0 在第一、四象限分别交于 A，B 两点，F 是抛物线的焦点，若|AF→|＝λ|FB→|，则λ ＝________． 8．(2019·洛阳统考)已知抛物线 C：x2＝4y 的焦点为 F，直线 AB 与抛物线 C 相 交于 A，B 两点，若 2OA→ ＋OB→ －3OF→＝0，则弦 AB 中点到抛物线 C 的准线的距 离为________． 9．(2019·重庆调研)过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 分别作两条直线 l1，l2，直线 l1 与 抛物线交于 A，B 两点，直线 l2 与抛物线交于 C，D 两点，若 l1 与 l2 的斜率的平 方和为 1，则|AB|＋|CD|的最小值为________． 参考解析答案 1 答案 B 解析 ∵y2 2 －x2＝1，∴a2＝2，b2＝1，∴c2＝a2＋b2＝3，∴c＝ 3. 又∵y2 2 －x2＝1，焦点在 y 轴上，∴焦点坐标为(0，± 3)．故选 B. 2 答案 D 解析 设双曲线 C1 的方程为x2 4 －y2 6 ＝λ，将(2，3)代入，可得λ＝－1 2 ， 故双曲线 C1 的方程为y2 3 －x2 2 ＝1.故选 D. 3 答案 D 解析 由双曲线 C 的方程为x2 16 －y2 9 ＝1 得：a2＝16，b2＝9.∴a＝4，b＝3，c＝ a2＋b2 ＝5.∴双曲线 C 的实轴长为 2a＝8，故 A 正确．双曲线 C 的渐近线方程为 y＝± b ax＝±3 4x，故 B 正确．取焦点 F(5，0)，则焦点 F(5，0)到渐近线 y＝±3 4x 的距离 d ＝ |3×5| 32＋42 ＝3，故 C 正确．双曲线 C 上的点到焦点距离的最小值为 c－a＝5－4 ＝1，故 D 错误． 4 答案 C 解析 ∵OA→ ＝1 2(OB→ ＋OF1 → )，∴A 为 BF1 的中点，由题意可得直线方程为 y＝ 3(x ＋c)，当 x＝0 时，y＝ 3c，∴A(0， 3c)，∵F1(－c，0)，设 B(x，y)，∴2×0 ＝x－c，2 3c＝y＋0，∴x＝c，y＝2 3c，∴B(c，2 3c)，∴c2 a2 －12c2 b2 ＝1，即12c2 b2 ＝c2 a2 －1＝a2＋b2 a2 －1＝b2 a2 ，∴b4＝12a2c2，即(c2－a2)2＝12a2c2，整理可得 e4－14e2 ＋1＝0，即 e2＝7＋4 3＝(2＋ 3)2，解得 e＝2＋ 3.故选 C. 5 答案 C 解析 如图，取左焦点 F′，连接 DF′，AF′，BF′，设|AF|＝x， 则|AF′|＝2a＋x， 由题意可得 DF′∥AF，所以 DF′⊥DF，所以|DF′|＝x，|DF|＝|AF ′|＝2a＋x， 而|BF|＝2|DF|，所以|BF|＝4a＋2x，|AB|＝4a＋3x，进而可得|BF′|＝4a＋2x＋2a ＝6a＋2x，在直角三角形 BAF′中，|BF′|2＝|AB|2＋|AF′|2， 所以(6a＋2x)2＝(4a＋3x)2＋(2a＋x)2，解得 x＝4 3a， 所以|AF|＝4 3a，|DF′|＝4 3a，|DF|＝10 3 a，|FF′|＝2c， 在直角三角形 DFF′中，16 9 a2＋ 10 3 a 2 ＝(2c)2，所以可得 e2＝ c a 2 ＝29 9 ， 所以 e＝ 29 3 ，故选 C. 6 答案 B 解析 由 MF1 恰好被 y 轴平分，得 MF2 垂直于 x 轴， 在 Rt△MF1F2 中，∠MF1F2＝30°，|MF1|＝2|MF2|， 又|MF1|－|MF2|＝2a，得到|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c＝ 3|MF2|＝ 3×2a，即 c＝ 3a， 得 b＝ c2－a2＝ 2a，故渐近线方程为 y＝± 2x.故选 B. 7 答案 D 解析 在抛物线 y2＝－16x 中，F(－4，0)， 在双曲线x2 4 －y2 b2 ＝1 中，当 x＝c 时，y＝±b2 2 ，取 A c，b2 2 . 因为△ABF 是锐角三角形，所以∠AFF10)，即 kx－y＋3k＝0. M 到直线 PF1 的距离为 |k－4 3 3 ＋3k| 1＋k2 ＝4 3 3 ，解得 k＝ 3. 所以直线 PF1 的方程为 y＝ 3(x＋3)． 由 y＝ 3（x＋3）， x2－y2 8 ＝1， 且 P 在第一象限，解得 P(5，8 3)． 所以|PF1|＝ （5＋3）2＋（8 3）2＝16，|PF2|＝|PF1|－2a＝14. 所以△F1PF2 的面积为1 2 ×(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)·r＝1 2 ×(16＋14＋6)×4 3 3 ＝24 3. 7 答案 4 解析 直线 l：当 y＝0 时，x＝p 2 ， ∴直线 l 过抛物线的焦点，A，F，B 三点共线， 联立直线与抛物线方程， y2＝2px， 4x－3y－2p＝0， 得 8x2－17px＋2p2＝0， 解得：xA＝2p，xB＝p 8 ，∴|AF|＝xA＋p 2 ＝5 2p，|BF|＝xB＋p 2 ＝5 8p，λ＝|AF→| |FB→| ＝4. 8 答案 9 4 解析 方法一：依题意，得抛物线的焦点 F(0，1)，准线方程是 y＝－1，因为 2(OA→ －OF→)＋(OB→ －OF→)＝0，即 2FA→＋FB→＝0，所以 F，A，B 三点共线．设直线 AB： y＝kx＋1(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由 y＝kx＋1， x2＝4y， 得 x2＝4(kx＋1)，即 x2 －4kx－4＝0，x1x2＝－4.① 又 2FA→＋FB→＝0，因此 2x1＋x2＝0.② 由①②解得 x12＝2，弦 AB 的中点到抛物线 C 的准线的距离为1 2[(y1＋1)＋(y2＋1)] ＝1 2(y1＋y2)＋1＝1 8(x12＋x22)＋1＝5x12 8 ＋1＝9 4. 方法二：依题意，得抛物线的焦点 F(0，1)，准线方程是 y＝－1，因为 2(OA→ －OF→ ) ＋(OB→ －OF→)＝0，即 2FA→＋FB→＝0，所以 F，A，B 三点共线．不妨设直线 AB 的 倾斜角为θ，0