1
三角函数与解三角形
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：sin α
cos α
＝tan α α≠π
2
＋kπ，k∈Z .
2．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α π
2
－α π
2
＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
口诀 奇变偶不变，符号看象限
3．常见特殊角的三角函数值
n 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
0
6
4
3
2
2
3
3
4
5
6
2
3
2π
sin 0 1
2
2
2
3
2
1 3
2
2
2
1
2 0 -1 0
cos 1 3
2
2
2
1
2 0 - 1
2 - 2
2 - 3
2
-1 0 1
tan 0 3
3
1 3 - 3 -1 - 3
3
0 0
2
4．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1) sin(α
β)＝sin αcos β
cos αsin β；
(2) cos(α
β)＝cos αcos β
sin αsin β；
(3) tan(α
β)＝
RoRo
RoRo
．
5．二倍角公式
(1)基本公式：
①sin 2α＝2sin αcos α；
②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
③tan 2α＝ 2tan α
1－tan2α.
(2)公式变形：
由 cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α可得
降幂公式：cos2α＝1＋cos 2α
2
；sin2α＝1－cos 2α
2
；
升幂公式：cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
6．辅助角公式
asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋θ). （其中
b
atan ）
＝ a2＋b2cos(x＋φ). （其中
b
atan ）
3
7．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R x|x≠kπ＋π
2
值域 [－1,1] [－1,1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 2kπ－π
2
，2kπ＋π
2 [2kπ－π，2kπ] kπ－π
2
，kπ＋π
2
递减区间 2kπ＋π
2
，2kπ＋3π
2 [2kπ，2kπ＋π] 无
对称中心 (kπ，0) kπ＋π
2
，0 kπ
2
，0
对称轴方程 x＝kπ＋π
2 x＝kπ 无
8．简谐运动的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，
ω>0)，x≥0
振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝2π
ω f＝1
T
＝ω
2π ωx＋φ φ
9.函数 y＝sin x 的图象经变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径．
4
10．正弦定理、余弦定理
在△ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为△ABC 外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 (1) a
sin A
＝ b
sin B
＝ c
sin C
＝2R
(2)a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C
变形
(3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(4)sin A＝ a
2R
，sin B＝ b
2R
，sin C＝ c
2R
；
(5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(6)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
(7)cos A＝b2＋c2－a2
2bc
；
cos B＝c2＋a2－b2
2ac
；
cos C＝a2＋b2－c2
2ab
11．三角形常用面积公式
(1)S＝1
2a·ha(ha 表示边 a 上的高)；
(2)S＝1
2absin C＝1
2acsin B＝1
2bcsin A；
(3)S＝1
2r(a＋b＋c)(r 为三角形内切圆半径)．
12．常用推论
sinA= sin(B+C) cosA= - cos(B+C) tanA= - tan(B+C)
sinB= sin(A+C) cosB= - cos(A+C) tanB= - tan(A+C)
sinC= sin(A+B) cosC= - cos(A+B) tanC= - tan(A+B)
5
必刷练习
1．求 cos cos 3f x x x
，
（1）求 f x 的最小正周期；
（2）求 f x 的单调递增区间.
2．设函数 2cos cos 3sinf x x x x x R ．
（1）求函数 y f x 的最小正周期和单调递增区间；
（2）当 0, 2x
时，求函数 f x 的最大值．
6
3．已知函数 sin 2 sin 23 3f x x x
22cos 1x .
（1）求函数 f x 的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数 f x 在区间 ,4 4
上的最大值和最小值.
4．已知函数 22 3sin cos 2cos 1f x x x x .
（1）求函数 f x 的最小正周期和最大值；
（2）讨论函数 f x 的单调递增区间.
7
5．已知函数 2 2( ) cos sin 2 3 sin cos ( )f x x x x x x R
（1）求 ( )f x 的最大值及对应 x 的值；
（2）求 ( )f x 的最小正周期及单调递增区间.
6．已知函数 1 1sin 3cos2 2y x x ，求：
（1）函数 y 的最大值，最小值及最小正周期；
（2）函数 y 的单调递增区间
8
7．已知函数 ( ) 2sin 2 13f x x .
（1）写出 ( )f x 的最小正周期及最值.
（2）求 ( )f x 的单调递增区间.
8．已知函数 sin 2 cos 2 2sin cos3 6f x x x x x
， x R ．
（1）求函数 f x 的最小正周期；
（2）求函数 f x 的对称中心和单调递增区间．
9
9．已知 , ,A B C 为 ABC 的三内角，且其对边分别为 , ,a b c ，若 cos 2 cos 0a C c b A .
（1）求 A ；
（2）若 2 3a ， 4b c ，求 ABC 的面积.
10．已知函数 2( ) 3sin 2 2cos 1f x x x .
（1）求函数 ( )f x 的振幅与单调区间；
（2）在 ABC 中，C 为锐角，满足 2sin 2 2sin 1C A ，若 1
2f C ，求 cos2A.
10
11．已知函数 ( ) sin(2 ) sin(2 ) 3 cos23 3f x x x x m ，x∈R，且 f(x)的最大值为 1.
（1） 求 m 的值，并求 f(x)的单调递增区间；
（2）在△ABC 中，角 A、B、C 的对边 a、b、c，若 ( ) 3 1f B ，且 3 a b c ，试判断△ABC 的形状.
12．已知 , ,a b c 是 ABC 的内角 , ,A B C 的对边，且5cos cos 2 5sin sin cos2B C B C A .
（1）求角 A 的大小；
（2）若 ABC 的面积 3 3, 32S c ，求 sin sinB C 的值
11
13．已知 ABC 中角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ， c ，满足 sin 2 sin sinA B A C .
（1）求 B ；
（2）若点 D 为 BC 上一点， 2DC ， π
6C ， DE 平分 ADC 交 AC 于点 E ， 7ADE CDES S△ △ ，求 BD .
14． ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 A 为锐角，
2 2
sin cos 2
c aB C ab
.
（1）求 A；
（2）若 3
4b c ，且 BC 边上的高为 2 3 ，求 ABC 的面积.
12
15．已知 ABC 的三个内角 A ， B ，C 的对边分别是 a ，b ， c ，且 cos cos 2 cosb C c B a A ．
（1）求角 A ；
（2）若 2 3a ， ABC 的面积为 2 3 ，求 b c 的值．
16．已知 ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，且 3, cos2 cos( )b B A C ，
sin sin 6sina A c C B .
（1）求 B ；
（2）求 ABC 的周长.
13
17．如图，在平面四边形 ABCD 中，AD⊥CD， ∠BAD= 3
4
，2AB=BD=4.
（1）求 cos∠ADB；
（2）若 BC= 22 ，求 CD.
18．在 ABC 中，角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，若 1sin cos sin cos 2a B C c B A b ，且 c b .
（1）求角 B 的值；
（2）若
6A ，且 ABC 的面积为 4 3 ，求 BC 边上的中线 AM 的长.
14
19．在 ABC 中，角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ， c ， sin 3 sin 02c A a C
， 6c .
（1）求 ABC 外接圆的面积；
（2）若 3c b ， 1
3AM AB ，求 ACM△ 的周长.
20．如图，在 ABC 中， 2AB ，
3B ，点 D 在线段 BC 上．
（1）若
4BAD ，求 AD 的长；
（2）若 3BD DC ，且 2 3ABCS ，求 sin
sin
BAD
CAD
的值．
15
21．锐角△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，内角 A，B，C 顺次成等差数列．
（1）若 a＝2，c＝3，求 b 的大小；
（2）若 b＝2 3 ，求△ABC 的周长的取值范围．
22．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的变分别为 a，b，c，已知 2cos2 1 2sin 2
BB
（1）求角 B 的大小；
（2）若 3b ，求 a c 的最大值.
16
23．如图，在四边形 ABCD 中， 3 3CD ， 7BC ， 7cos 14CBD .
（1）求 BDC∠ ；
（2）若
3A ，求 ABD△ 周长的最大值.
24．在 ABC 中， a ，b ， c 分别为角 A ， B ，C 的对边， 2 2 2sin sin sin sin sinA C B A C .
（1）求角 B 的大小；
（2）若 ABC 为锐角三角形， 3b ，求 2a c 的取值范围.
17
25．已知空间三点 A(1,2,3)，B(2，－1,5)，C(3,2，－5).
（1）求△ABC 的面积.
（2）求△ABC 中 AB 边上的高.
26．已知 a ，b ， c 分别为锐角 ABC 内角 A ， B ，C 的对边， 3 2 sin 0a b A .
（1）求角 B ；
（2）若 7b ， 5a c ，求 ABC 的面积.
18
27．在 ABC 中， , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c 且 2 cos cos cosb B a C c A .
（1）求 B 的值；
（2）求 22sin cos( )A A C 的范围.
28．已知 ABC 中，角 A 、 B 、C 的对边分别是 a 、b 、 c ，已知 2 cos 2a C c b .
（1）求角 A 的大小；
（2）若 ABC 的面积为 3 ，若 ABC 的周长为 6，求三角形的边长 a .
19
29． ABC 中， cos 3
cos
C a c
B b
.
（1）求sin B ；
（2）若 4 2b ，且 a c ，求 ABC 面积.
30．已知锐角 ABC 中， sin 3 sin sin sina A b C c C b B .
（1）求 A ；
（2）求sin cosB C 的取值范围.
20
31．已知 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且(a－c)2＝b2－ 3
4
ac.
（1）求 cos B 的值；
（2）若 b＝ 13 ，且 a＋c＝2b，求 ac 的值.
32．在① sin cos 6a C c A
，② 3sin sin2
B C A ，③ cos2 3cos 1A A 这三个条件中任选一个，
补充在下面问题中，若问题中的 ABC 存在，求出其面积；若不存在，说明理由.
问题：是否存在 ABC ，它的内角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ，且 2 3a ， 4 3b c ，___________？
21
33．在 ABC 中，已知 2 2( cos cos ) ( )cosa b B c C b c A ，试判断 ABC 的形状
34．已知函数 23sin cos 3cos 1f x x x x .
（1）求函数 f x 的单调递减区间；
（2）在锐角 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别 , ,a b c .若 1, 3f C c ，D 为 AB 的中点，求 CD 的最大
值.
22
35．在锐角 ABC 中，内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，且 2 sin 3a B b .
（1）求角 A 的大小；
（2）若 6, 12a b c ，求 ABC 的面积.
36．已知函数 2( ) 2cos 3 cos 12 2
xf x x .
（1）求函数 ( )f x 的最小正周期；
（2）在 ABC 中，角 A ､ B ､C 所对边分别为 a ､b ､ c ，若 2f A ， 2b ， ABC 的面积为3 3 ，求 ABC
外接圆的面积.
23
37．已知向量 (sin ,cos )a x x
， ( 3 cos ,cos )b x x
， ( )f x a b
.
（1）画出函数 ( )f x a b
70 6x
的图象；
（2）在△ABC 中，BC＝ 7 ，sin B＝3sin C，若 ( ) 1f A ，求△ABC 的周长.
38．已知 ABC 的内角， , ,A B C 所对的边分别是 , ,a b c ，且 3 sin cos 2a B b A b .
（1）求角 A 的大小；
（2）若 6b c ，且 ABC 的面积 2 3S ，求 a.
24
39．在 ABC 中， , ,a b c 分别是角 , ,A B C 的对边，且 2 cos cos cosa B b C c B .
（1）求角 B ；
（2）若 7, 8b a c ，求 ac 的值.
40．如图，在平面四边形 ABCD 中，∠A=45°，∠ADC=90°，AB=2，BD=5.
（1）求 sin∠ADB；
（2）若 2 2,DC 求 BC.
25
参考答案
1．解： cos cos 3f x x x
cos cos cos sin sin3 3x x x
3 3 3 1cos sin 3 cos sin 3 cos2 2 2 2 6x x x x x
所以 3 cos 6f x x
（1）所以函数的最小正周期 2T .
（2）由 2 2 ,6k x k k Z 解得 7 2 2 ,6 6k x k k Z ，即 f(x)的单调递增区间为
7 2 , 2 ,6 6k k k Z .
2．解：（1 22cos 2 3cos sin 1 cos2 3sin2 1 2sin 2 6f x x x x x x x ）（ ） （ ），
∴ f x（ ）的最小正周期为 2
2T ．
令 2 2 22 6 2k x k ，解得：
3 6k x k ，
∴ f x（ ）的单调递增区间是：
3 6k k k Z， ，
．
（2）当 0 2x
， 时， 72 6 6 6x
， ，
∴当 2 6 2x 时， f x（ ）取得最大值 1+2=3．
3．解：（1） sin 2 sin 23 3f x x x
22cos 1x
2sin 2 cos cos2 sin 2 cos2 2 sin 23 4x x x x x
．
所以，函数 f x 的最小正周期为 2
2T ．
令 2 2 22 4 2k x k ，解得 3
8 8k x k ， k Z ．
所以，函数 f x 的单调递增区间为 3 ,8 8k k
， k Z ．
26
（2）令 32 ,4 4 4x
， siny 在 ,4 2
上递增，在
42
3,
上递减，
所以，当
2
即
8x 时， max 28f f
，
当
4
即
4
πx 时， min 14f f
．
4．解：（1） f x 3sin2 cos2 2sin 2 6x x x
∴ f x 的最小正周期T
f x 的最大值为 2.
（2）由 2 2 2 ,2 6 2k x k k Z
,3 6k x k k Z
∴函数 f x 的单调递增区间为 , ,3 6k k k Z .
点睛：函数 sin ( 0, 0)y A x B A 的性质
(1) max min= +y A B y A B ， . (2)周期 2π .T
(3)由 π π2x k k Z 求对称轴 (4)由 π π2 π 2 π2 2k x k k Z 求增区间;
由 π 3π2 π 2 π2 2k x k k Z 求减区间.
5．解：（1） 2 2( ) cos sin 2 3 sin cos ( )f x x x x x x R
由正弦与余弦的二倍角公式,结合辅助角公式化简可得 ( ) cos 2 3 sin 2f x x x 2sin 2 6x
所以最大值为 2.
当 2 2 ,6 2x k k Z 时取得最大值,解得 ,6x k k Z
所以 ( )f x 的最大值为 2,对应 x 的值为 ,6x k k Z
（2）由 2sin 2 6f x x
可知最小正周期为 2
2T
27
由正弦函数的单调递增区间为 2 2 ,2 2k x k k Z 可知
2 2 2 ,2 6 2k x k k Z
解得 ,3 6k x k k Z ,即 , ,3 6x k k k Z
所以 ( )f x 的最小正周期为 ,单调递增区间为 , ,3 6k k k Z
6．（1）最大值为 2, 最小值为－2 最小正周期 2 4T （2） 54 ,4 ,3 3k k k Z
解：(1)∵ y=2( 1 1 3 1sin cos2 2 2 2x x )
=2( 1 1cos sin sin cos3 2 3 2 x )
=2sin( 1
2 3x )
∴ 函数 y 的最大值为 2,
最小值为－2
最小正周期 2 4T
（2）由 12 2 ,2 2 3 2k x k k Z ，得
函数 y 的单调递增区间为： 54 ,4 ,3 3k k k Z
7．解：（1） ( ) 2sin 2 13f x x
，
最小正周期 2
2T ，
∵ 1 sin 2 13x
，
∴ f x 的最小值为 3 ，最大值为 1.
（2）令 2 2 2 ,2 3 2k x k k Z ，
解得： 5 ,12 12k x k k Z ，
28
∴ f x 的单调递增区间为 5 , ,12 12k k k Z .
8．解：（1）∵ 2 2 2 2 23 3 6 6f x sin xcos cos xsin cos xcos sin xsin sin x
3 2 2cos x sin x
2 2 3sin x
．
∴T ．
（2）令sin 2 03x
得：
6 2
kx ， k Z
所以对称中心为： ,06 2
k
， k Z
令 2 2 22 3 2k x k
解得单调递增区间为： 5 ,12 12k k
， k Z .
9．解：（1）∵ cos 2 cos 0a C c b A ，
∴由正弦定理可得： sin cos sin 2sin cos 0A C C B A ，
整理得sin cos sin cos 2sin cos 0A C C A B A ，
即： sin 2sin cos 0A C B A ，
所以sin 2sin cos 0B B A ，
∵sin 0B ，∴ 1cos 2A ，
∵ 0,A ，∴ 2
3A .
（2）由 2 3a ， 4b c ，由余弦定理得 2 2 2 2 cosa b c bc A ，
∴ 2 212 ( ) 2 2 cos 3b c bc bc ，即有12 16 bc ，
∴ 4bc ，
∴ ABC 的面积为 1 1 2sin 4 sin 32 2 3S bc A .
29
10．解：（1）由函数 2( ) 3sin 2 2cos 1 3sin 2 cos2 2sin 2 6f x x x x x x
，
所以函数 ( )f x 的振幅为 2，
令 32 2 2 ,2 6 2k x k k Z ，解得 2 ,6 3k x k k Z ，
所以 f x 的递增区间为 2,6 3k k k Z
，
令 2 2 2 ,2 6 2k x k k Z ，解得 ,3 6k x k k Z
所以函数 f x 的递减区间为 ,3 6k k k Z .
（2）因为 21 sin 2 2sinC A ，可得 2sin 2 1 2sin cos2 sin 22C A A A
，
所以 2 22C A 或 2 2 2C A ，即
4C A 或
4C A ，
又因为C 为锐角，可得 72 ,6 6 6C
，
由 1
2f C ，可得 12sin 2 6 2C
，即 1sin 2 6 4C
，
所以 72 ,6 6C
，所以 5 ,12 2C
，所以
4C A ，
所以 15cos 2 6 4C
，
则 cos2 cos2 cos 2 sin 2 sin 24 2 6 6A C C C C
sin 2 cos cos 2 sin6 6 6 6C C
1 3 15 1 15 3
4 2 4 2 8
.
11．解：（1） ( )f x sin 2 cos cos2 sin sin 2 cos cos2 sin 3 cos23 3 3 3x x x x x m
sin 2 3 cos2x x m
2sin(2 )3x m ,
因为 max( ) 2 1f x m ，所以 1m ，
30
由
2
+2kπ≤2x+
3
≤
2
+2kπ， k Z ，得到： 5
12 12k x k ， k Z ，
所以 f(x)的单调增区间为 5[ , ]12 12k k (k∈Z)
（2）因为 ( ) 3 1f B ，则 2sin(2 ) 1 3 13B ，则 3sin(2 )3 2B ，
因为 0 B ，所以 723 3 3B ，所以 22 3 3B ，所以
6B ，
又 3a b c ，则 3sin sin sinA B C ， 1 53sin sin( )2 6A A ，
化简得 3 1 1sin cos2 2 2A A ，得 1sin( )6 2A ，
因为 50 6A ，所以 2
6 6 3A ，
所以
6 6A ，所以
3A
所以
2C ，故△ABC 为直角三角形.
12．解：（1） 5cos cos 2 5sin sin cos2B C B C A ，
25cos( ) 2 2cos 1B C A ，
22cos 5cos 3 0A A
解得 1cos 2A 或 cos 3A （舍去）.
0 A ，所以
3A .
（2） 3 13 sin2 2 3S bc ， 6bc ，
3, 2 3c b ，
由余弦定理得 2 2 2 12 3 6 9, 3a b c bc a ，
由正弦定理得 ABC 外接圆直径
32 2 3sin 3
2
aR A
，
2(2 ) sin sin 6R B C bc ，
31
所以 1sin sin 2B C .
13．解：（1）∵ sin 2 sin sinA B A C ，
∴ sin cos cos sin 2 sin sin cos cos sinA B A B A A B A B ，
∴ 2sin cos 2 sinA B A .
∵sin 0A ，∴ 2cos 2B .
∵ 0,πB ，∴ π
4B .
（2）∵ 1 sin2ADES AD DE ADE △ ，
1 sin2CDES CD DE CDE △ ， 2CD ，
∴ 2 7AD .
在 ACD△ 中，设 AC x ，
由余弦定理得 2 34 4 282x x ，
即 2 2 3 24 0x x ，解得 4 3x = (舍负).
在 ABC 中， π π 6 2sin sin 6 4 4BAC .
由正弦定理得
sin 6 2 3πsin 4
BACBC AC ，
∴ 4 2 3BD .
14．解：（1）由
2 2
sin cos 2
c aB C ab
得 2 22 sin 2 cosab B ab C c a ，
由余弦定理得 2 2 2 2 22 sinab B c a b c a ，所以 2 sina B b ，
由正弦定理得 2sin sin sinA B B ， B 是三角形内角，sin 0B ，
所以 1sin 2A ，又 A 为锐角，所以
6A ．
（2）由（1） 2 2 2 2 23 32 cos 2 cos16 4 6a b c bc A c c c c 27
16 c ， 7
4a c ，
32
所以 1 1sin 2 32 2ABCS bc A a △ ，即 21 3 1 1 7 2 32 4 2 2 4c c ， 4 7c ，
3 214b c ，
1 1 1sin 21 4 7 7 32 2 2ABCS bc A △ ．
15．解：（1）因为 cos cos 2 cosb C c B a A
由正弦定理得，sin cos sin cos 2sin cosB C C B A A
所以 sin sin 2sin cosB C A A A
因为 0 πA 所以，sin 0A
所以 1cos 2A ，所以 π
3A
（2）因为 ABC 的面积为 2 3 ，
所以 1 sin 2 32 bc A ，
因为 π
3A ，所以 1 πsin 2 32 3bc ，
所以 8bc ．
由余弦定理得， 2 2 2 2 cosa b c bc A ，因为 2 3a ， π
3A ，
所以 2 22 2 π12 2 cos 3 243b c bc b c bc b c ，
所以 6b c ．
16．解：（1）因为 cos2 cos( )B A C ，所以 22cos 1 cosB B ， (2cos 1)(cos 1) 0B B ，
因为 0 B ，所以 1cos 2B ，
3B ；
（2）因为 sin sin 6sina A c C B .所以 2 2 6 18a c b ，
又 2 2 2 2 cosb a c ac B ，即 23 18 ac ， 9ac ，所以 2 2 2( ) 2 18 18 36a c a c ac ， 6a c ，
所以 9a b c ．
17．解：（1） ABD△ 中，
sin sin
AB BD
ADB BAD
，即
2 4
sin 2
2
ADB
，解得 2sin 4ADB ，故
33
14cos 4ADB ；
（2） 2sin cos4ADB CDB
BCD△ 中，
2 2 2
cos 2
BD CD BCCDB BD CD
，即 22 24 222
4 2 4
CD
CD
，
化简得 3 2 2 0CD CD ，解得 3 2CD ．
18．解：（1）∵ 1sin cos 2a B A b ，
由正弦定理边角互化得 1sin sin cos sin sin cos sin2A B C C B A B ，
由于 (0, ),sin 0B B ，∴ 1sin cos sin cos 2A C C A ，即 1sin( ) 2A C ，得 1sin 2B .
又 c b ，∴ 0 2B ，∴
6B .
（2）由（1）知
6B ，若
6A ，故 a b ，则 21 1 2sin sin 4 32 2 3ABCS ab C a
，
∴ 4a ， 4a （舍）
又在 AMC 中， 2 2 2 22 cos 3AM AC MC AC MC ，
∴ 2 2 2 2 21 1 2 1( ) 2 cos 4 2 2 4 2 ( ) 282 2 3 2AM AC AC AC AC ，∴ 2 7AM .
19．解：（1）∵ sin 3 sin 02c A a C
，
∴ sin 3 cos 0c A a C ，由正弦定理得：sin sin 3sin cos 0C A A C ，
因为 sin 0A ，所以sin 3 cos 0C C ，得 tan 3C ，
又 0 C ，故 2
3C ，
∴ ABC 外接圆的半径
1 1 6 2 32 sin 2 3
2
cR C
，
∴ ABC 外接圆的面积为12 .
34
（2）由 6c 及 3c b 得： 2 3b ，
3
sin 12s n 23
i
3
CB ，
∵ 2
3C ，则 B 为锐角，
∴
6B ，故
6A B C .
如图所示，在 ACM△ 中，由余弦定理得，
22 2 2 2 32 cos 2 2 3 2 2 2 3 42CM AM AC AM AC A ，
解得 2CM ，
则 ACM△ 的周长为 4 2 3 .
20．解：（1）∵
sin sin
AD AB
B ADB
，且 75ADB ∴
2
3 6 2
2 4
AD
，∴ 3 2 6AD
（2）∵ 12 3 sin2 3ABC AS B BC ，
故算得 4, 3, 1BC BD DC ，
在 ABD△ 中，利用正弦定理有 3 2
sin sinBAD ADB
，
在 ADC 中，有 1
sin sin
AC
DAC ADC
∴ sin 3
sin 2
BAD AC
CAD
，
∵ 2 14 16 2 2 4 122AC ，∴ 2 3AC
∴ sin 3 3sin
BAD
CAD
35
21．解:（1）∵ , ,A B C 成等差数列，∴ 2A+C = B .
又∵ A B C ，∴
3B .
由余弦定理得，b2＝a2+c2﹣2accosB＝4+9﹣2× 12 3 2
＝7，
故 b＝ 7 ，
（2）由正弦定理得，
2 3
sin sin3
2
a c
A C
，
故 a＝4sinA，c＝4sinC，
所以△ABC 的周长 4sin 2 3 4sinl a b c A C
24sin 2 3 4sin 3A A
3 14sin 2 3 4( cos + sin )2 2A A A
6sin 2 3 cos 2 3 4 3sin 2 36A A A
∵△ABC 为锐角三角形，
∴
0 2
20 3 2
A
A
，解得，
6 2A ，
则 2
3 6 3A ，
∴ 3 sin( ) 12 6A ，
∴△ABC 的周长的取值范围 (6 2 3,6 3] ．
22．解：（1）由 2cos2 1 2sin 2
BB ，得 22cos 1 cosB B ，
得 (2cos 1)(cos 1) 0B B ，
得 1cos 2B 或 cos 1B （舍），
36
因为 0 B ，所以
3B .
（2）由正弦定理可得 2sin , 2sina A c C
所以 22(sin sin ) 2(sin sin( ))3a c A C A A
2 22sin 2sin cos 2cos sin3 3A A A
2sin 3 cos sinA A A
3sin 3 cosA A
3 12 3( sin cos )2 2A A
2 3sin 6A
，
又 20, 3A
，可得当
3A 时， a c 最大为 2 3 .
23．解：（1）在 BCD△ 中， 7cos 14CBD Q ，
2
7 3sin 1 14 14
21CBD
利用正弦定理得：
sin sin
CD BC
CBD BDC
，
37sin 114
2
sin 23 3
1
BC CBDBDC CD
又 CBD 为钝角， BDC 为锐角，
6BDC
（2）在 BCD△ 中，由余弦定理得
2 2 2 27 27 7cos 2 142 7 3 3
BC BD CD BDCBD BC BD
解得： 4BD 或 5BD （舍去）
在 ABD△ 中，
3A ，设 ,AB x AD y
由余弦定理得
2 2 2 2 2 16 1cos 2 2 2
AB AD D x yA AB
B
AD xy
，即 2 2 16x y xy
整理得： 2 16 3x y xy ，又 0, 0x y
37
利用基本不等式得： 2
2 31 3 46 x yx y xy
，即 2
4 16x y ，
即 2 64x y ，当且仅当 4x y 时，等号成立，即 max 8x y ，
所以 max 8 4 12AB AD BD
所以 ABD△ 周长的最大值为 12
24．解：（1）由已知 2 2 2sin sin sin sin sinA C B A C ，结合正弦定理，得 2 2 2a c b ac .
再由余弦定理，得
2 2 2 1cos 2 2 2
a c b acB ac ac
，又 0,B ，则
3B .
（2）由
3B ， 3b ，则由正弦定理，有
22 4sin 2sin 4sin 2sin3a c A C C C
2 24 sin cos cos sin 2sin 2 3 cos3 3C C C C
因为 ABC 为锐角三角形，则
6 2C ，则 30 cos 2C .
所以 2a c 的取值范围为 0,3 .
25．解：（1）由已知，得 AB
＝(1，－3,2)， AC
＝(2,0，－8)，
∴| | 1 9 4 14AB ，| | 4 0 64 2 17AC ，
AB AC 1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，
∴ cos ,
| | | |
AB ACAB AC
AB AC
14 14
14 2 17 2 17
，
∴ 14 27sin , 1 68 34AB AC ，
∴S△ABC＝ 1 | | | | sin ,2 AB AC AB AC
＝ 1 272 17 14 3 212 34
.
（2）设 AB 边上的高为 CD.
则 2| |
| |
ABCSCD
AB
△ 6 21 3 6
14
，
38
即△ABC 中 AB 边上的高为3 6 .
26．解：（1）∵ 3 2 sin 0a b A ，
∴ 3sin 2sin sin 0A B A ，
∵sin 0A ，
∴ 3sin 2B ，
∵ B 为锐角，
∴
3B .
（2）由余弦定理得 2 2 2 2 cos 3
b a c ac ，
整理得 2( ) 3 7a c ac ，
∵ 5a c ，
∴ 6ac ，
∴ ABC 的面积 1 3 3sin2 2S ac B .
27．解：因为 2 cos cos cosb B a C c A
由正弦定理得， 2sin cos sin cos sin cosB B A C C A
即： sin 2sin cosA C B B ，则sin 2sin cosB B B ，因为sin 0B 所以 1cos 2B ，又 0 B 得
3B
（2）∵
3B ，
∴ 2
3A C
∴ 2 2 22sin cos( ) 2sin cos(2 )3A A C A A
= 1 3 3 31 cos2 cos2 sin 2 1 sin 2 cos22 2 2 2A A A A A
=1 3sin(2 )3A ，
∵ 20 3A ， 23 3A
39
∴ 3 sin(2 ) 12 3A
则 2sin cosA A C 的范围为 1 ,1 32
28．解：（1）由正弦定理得： 2sin cos sin 2sinA C C B ，
∵ A B C ，∴ sin sinB A C ，
∴ 2sin cos sin 2sin 2sin cos 2cos sinA C C A C A C A C ，
整理可得：sin 2cos sinC A C ，
∵ 0,C ，∴sin 0C ，∴ 1cos 2A ，又 0,A ，∴
3A .
（2）由（1）知
3A ，若 ABC 的面积为 3 ，∴ 1 sin 32ABC bcS A ，
若 ABC 的周长为 6，∴ 6ABCC a b c △ ，
由余弦定理，得 2 2 2 2 cosa b c bc A ，
解得 2a .
29．解：（1）由正弦定理，得 3cosC sinA sinC
cosB sinB
即 sinBcosC+cosBsinC＝3sinAcosB
∴sin（B+C）＝3sinAcosB
∵A+B+C＝180°
∴sinA＝3sinAcosB
∵0°＜A＜180°
∴cosB 1
3
∴sinB 2 23
（2）由余弦定理，cosB
2 2 2
2
a c b
ac
，再由 b＝4 2 ，a＝c，cosB 1
3
得 c2＝24
∴S△ABC
1
2
acsinB 1
2
c2sinB＝8 2
30．解：（1）由正弦定理和已知条件得 2 2 2 3a b c bc ①
40
由余弦定理知 2 2 2 2 cosa b c b c A ②
联立①②得 3cos 2A .
又 0, 2A
，所以
6A .
（2）sin cos sin cos( )B C B B A
sin cos cos sin sin6 6B B B
3 3sin cos2 2B B
3sin 6B .
因为 ABC 为锐角三角形，所以 0 ,02 2B C ，且
6A
所以 ,3 2 6 6 3B B ，所以 1 3sin2 6 2B
故sin cosB C 的取值范围为 3 3,2 2
.
31．解：(1)由 2 2 3
4a c b ac ，可得 2 2 2 5
4a c b ac .所以
2 2 2 5
2 8
a c b
ac
，即 cos B＝ 5
8 .
(2)因为 13b ， 5cos 8B ，由余弦定理，得 22 2 2 5 1313 4 4b a c ac a c ac ，
又 2 2 13a c b ，所以 1313 52 4 ac ，解得 ac＝12.
32．答案见解析
【分析】
选①，利用正弦定理边角互化结合三角恒等变换思想化简得出 tan A 的值，结合角 A 的取值范围可求得角 A 的
值，再结合余弦定理可求得 12bc ，结合 4 3b c 解出b 、c 的值，利用三角形的面积公式可求得 ABC
的面积；
选②，利用诱导公式、二倍角的正弦公式化简得出 3sin 2 2
A ，结合角 A 的取值范围可求得角 A 的值，利用余
弦定理求出bc ，结合基本不等式推出矛盾，进而可得出结论；
41
选③，由二倍角的余弦公式可得出关于 cos A的二次方程，求出 cos A的值，结合角 A 的取值范围可求得角 A 的
值，结合已知条件求出b 、 c 的值，再利用三角形的面积公式可求得结果.
【详解】
解：选择条件①：
由正弦定理可得sin sin sin cos 6A C C A
，
由于sin 0C ，可得 3 1sin cos cos sin6 2 2A A A A
，
化简可得 1 3sin cos2 2A A ，即 tan 3A ，
因为 0,A ，所以
3A ，
由余弦定理可得 22 2 2 3a b c bc b c bc ，解得 12bc ，
4 3
12
b c
bc
，解得 2 3b c ，因此 1 sin 3 32ABCS bc A ；
选择条件②：因为 3sin 3sin 3 cos2 2 2 2
B C A A
，即 3cos sin2
A A ，
由正弦二倍角公式可得： 3cos 2sin cos2 2 2
A A A ，
0,A ，则 0,2 2
A
，所以， cos 02
A ，所以 3sin 2 2
A ，
所以
2 3
A 即 2
3A ，
由余弦定理可得 22 2 2 2 22 cosa b c bc A b c bc b c bc ，
由已知可得 2 2 36bc b c a ，
由基本不等式可得
2
122
b cbc
，所以不存在满足条件的 ABC ；
选择条件③：
由余弦二倍角公式可得： 22cos 3cos 2 0A A ，解得 1cos 2A 或 2 （舍去），
因为 0,A ，所以
3A ，
42
由余弦定理得： 22 2 2 3a b c bc b c bc ，解得 12bc ，
4 3
12
b c
bc
，解得 2 3b c ，因此 1 sin 3 32ABCS bc A ；
33．解：在 ABC 中，因为 2 2( cos cos ) ( )cosa b B c C b c A ，
所以 2 2sin (sin cos sin cos ) (sin sin )cosA B B C C B C A ，
所以 sin sin 2 sin sin 2 1 cos2 1 cos2 cosA B A C B C A ，
所以 cos2 cos sin sin 2 cos2 cos sin sin 2B A A B C A A C ，
即 cos 2 cos 2B A C A ，
因为 2 , 2B A C A ，
所以 2 2B A C A 或 2 2B A A C ,
即 B C 或 B C A
所以 ABC 是等腰三角形或直角三角形，
故答案为：等腰三角形或直角三角形
34．解：（1） 3 3( ) sin 2 (1 cos2 ) 12 2f x x x ，
13sin 2 3 2x
，
由 32 2 2 ,2 3 2k x k k Z ，
解得： 5 11 ,12 12k x k k Z ，
所以 ( )f x 递减区间 5 11[ , ],12 12k k k Z .
（2） 1( ) 3sin(2 ) 13 2f C C 由 ，
得 3sin(2 )3 2C ，
ABC 为锐角三角形，
(0, )2C ，
22 ( , )3 3 3C ，
43
2 3 3C ，
3C ，
由余弦定理得：
2 2 23 3( ) 2 cos2 2a CD CD BDC ， 2 2 23 3( ) 2 cos2 2b CD CD ADC ，
且 cos cosBDC ADC ，
两式相加得： 2 2 21 3)2 4CD a b （ ，
由 2 2 2 23 2 cosa b ab C a b ab ，
2 2
2 2 2 21 ( )2 2
a ba b a b ，
当 a b 时，等号成立，
即 2 2a b 的最大值为 6，
所以 CD 的最大值为 3
2 .
35．解：（1） ABC 中， 2 sin 3a B b ，
根据正弦定理，得 2sin sin 3sinA B B ，
锐角 ABC 中，sin 0B ，
3sin 2A
A 是锐角 ABC 的内角，
3A ；
（2） 6a ，
3A ，
由余弦定理 2 2 2 2 cosa b c bc A ，得 2 236 2 cos 3b c bc ，
化简得 2 2 36b c bc ，
12b c ，平方得 2 2 2 144b c bc ，
两式相减，得 3 108bc ，可得 36bc ．
因此， ABC 的面积 1 1sin 36 sin 9 32 2 3S bc A ．
44
36．解：（1） 2( ) 2cos 3 cos 1 cos 3sin2 2
xf x x x x
2sin 6x
，
所以函数 ( )f x 的最小正周期为 2 .
（2）因为 ( ) 2 2sin 26f A A
，所以
3A ，
由 1 sin 3 32ABCS bc A 得 12bc ，因为 2b ，所以 6c ，
由余弦定理得 2 2 2 2 22 cos 28a c b bc A c b bc ，
得 2 7a .
设 ABC 外接圆半径为 R ，则 4 72 sin 3
aR A
，∴ 2 21
3R ，
所以 ABC 外接圆的面积为 2 28
3S R .
37．解：（1） 2 3 1 1( ) 3sin cos cos sin 2 cos22 2 2f x a b x x x x x
1sin 2 6 2x
，而
70 6x ，故根据五点法作图如下，
（2）由题意可得 1( ) sin(2 ) 16 2f A A 解得 1sin(2 )6 2A ，又 0
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