2021新高考 高三数学题组归纳培优练习（江苏汇编）专题02 导数填选题（解析版）【2021新高考地区专用】

第 1 页 2021 新高考 高三数学题组归纳培优练习（江苏汇编） 专题 02 导数填选题（解析版） 【2021 新高考地区专用】 【考点一：与切线相关题型】 1.【江苏省南通市海门区 2021 届高三上学期期末 7】已知函数 axexxf ax  12)( ，若曲线 )(xfy  在点 ))1(,1( f 处的切线与直线 xy 2 平行，则 a （ ） A. -2 B. -2 或-1 C. -1 或 2 D. -1 【答案】A 【解答】 aaexxexf exax   1212)(' ， 2)1(' f 令 2)2()( 1   aeaag a ， 0)1( g ， 1a 可取但此时在点 ))1(,1( f 处的切线为 xy 2 ，故舍去. 0)2( g ， 2a 可取，选 A. 2.【江苏省考前热身模拟（二）4】已知直线 l 与曲线   xf x e 和   lng x x 分别相切于点  1 1,A x y ，  2 2,B x y .有以下命题：（1） 90AOB   (O 为原点)；（2）  1 1,1x   ；（3）当 1 0x  时，  2 1 2 2 1x x   .则真命题的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 3.【江苏省高三上学期热身模拟 7】已知点 P 为函数   lnf x x 的图象上任意一点，点Q 为圆 2 21 1x e ye           上任意一点，则线段 PQ 的长度的最小值为（ ） A． 2 1e e e   B． 22 1e e e   C． 2 1e e e   D． 1 1e e   【答案】A 【解答】设 )ln,( xxP ，设圆 1)]1([ 22  yeex 的圆心为 )0,1( eeM  令 ,)(ln)1()( 222 xeexPMxg  ,ln2)1(22)(' x x eexxg  第 2 页 0)ln1(2)('' 2 2  xxxxg ，所以 )(' xg 在 ),0(  单调递增，且 0)(' eg ，所以 x ),0( e e ),( e )(' xg + 0 — )(xg 单调递减 极小值 单调递增 11)()( 2min  eegxg e ee eegPQ  11111)( 2 2min ，选A 4.【江苏省泰州市 2021 届高三上学期期末 13】函数   xexf x  （其中 e 为自然对数的底数）的图象在点 （0，  0f ）处的切线方程为 ． 【答案】 12  xy 5.【江苏省无锡市 2021 届高三下学期期初 8】已知函数     4 0 2 log 1 0 x a e a xf x x x        ， ， 在定义域上单调递增， 且关于 x 的方程   2f x x  恰有一个实数根，则实数 a 的取值范围为（ ） A． 1 14     ， B． 1 1 4 e      ， C． 1 1e     ， D． (0，1) 【答案】C 【解析】 )(xf 在定义域上单调递增，∴      214 10 a a ∴ 14 1  a ∵ aey x 4 在 0x 处切线为 14  axy ∴ 2 xy 与 aey x 4 最多有一个公共点 )2,0( ∵ 2 xy 与 )1(log2  xy a 有且仅有一个公共点， ∴ )1(log2  xy a 在 0x 处的切线的斜率大于等于1 1ln 1,ln)1( 1'  akaxy ,∴ ea 1 综上所述， 11  ae 选C 第 3 页 【考点二：导数在研究函数中的应用】 【题型1：单调性】 1.【江苏省常州市 2021 届高三下学期期初 4】设函数 2( ) lnf x a x bx  ，若函数 ( )f x 的图象在点(1， (1)f ) 处的切线方程为 y＝x，则函数 ( )y f x 的增区间为（ ） A．(0，1) B．(0， 2 2 ) C．( 2 2 ，  ) D．( 2 2 ，1) 【答案】C 2.【江苏省南京市秦淮中学 2021 届高三下学期期初考试 12（多选）】已知函数 1( ) 2lnf x x x   ，数列 na 的前 n 项和为 nS ，且满足 1 2a  ，   * 1 Nn na f a n   ，则下列有关数列 na 的叙述正确的是 A． 2 1a a B． 1na  C． 100 100S  D． 1 1 2n n na a a   【答案】AB 【解析】A 选项， 3 2 2 1 1 12ln2 ln4 ln 22 2 2a e       ，A 正确； B 选项，因为 2 2 2 1 2 1( ) xf x x x x    ，所以当 2 1x 时，   0f x  ，所以 ( )f x 单增，所以 ( ) (1) 1f x f  ， 因为 1 2 1a   ，所以  1 1n na f a   ，所以 1na  ，B 正确； C 选项，因为 1na  ，所以 100 100S  ，C 错误； D 选项，令 1( ) ln 1( 1)h x x xx     ， 2 2 1 1 1( ) 0xh x x x x     ， 所以 ( )h x 在 (1, ) 单调递增，所以 ( ) (1) 0h x h  ，所以 1ln 1 0n n a a    ， 第 4 页 则 22ln 2 0n n a a    ，所以 1 12ln 2n n n a a a        ，即 1 1 2n n a a   ， 所以 1 1 2n n na a a   ，所以 D 错误．故选 AB． 【题型2：解不等式】 1.【江苏百师联盟 2021 届高三下学期 3 月摸底联考 15】函数  f x 是定义在 R 上的函数，且  1 0f  ，  f x 为  f x 的导函数，且   0f x  ，则不等式   2 0x f x  的解集是__________． 【答案】   ,1 2,   【题型3：比较大小】 1.【江苏省南通市海门区 2021 届高三上学期期末 8】已知实数 , ,a b c R ，满足 ln 1a b c a b c be e e    ， ， 则 , ,a b c 的大小关系为（ ） A. a b c  B. a c b  C. b c a  D. b a c  【答案】D 【解答】 1b  ， 0eb b  ， 0ec c  ， 0c  ， 而 0, 1a b  ， c 最小 令 ( ) ex xf x  ， 1( ) 0ex xf x    ， 1x  ( )f x 在 ( ,1)  ， (1, )  ln 0e ea b a b  ， ln 0a  ，即 1a  ln e e ea a b a a b  ， b a c   综上：b a c  .选 D. 【考点三：新定义题型】 第 5 页 1.【江苏省连云港市 2021届高三下学期期初 8】定义方程 ( ) ( )f x f x 的实数根 0x 叫做函数 ( )f x 的“保值点”．如 果函数 ( )g x x 与函数 ( ) ln( 1)h x x  的“保值点”分别为 ，  ，那么 和  的大小关系是（ ） A． ＜  B． ＞  C． ＝  D．无法确定 【答案】B 2.【江苏省常州市四校 2021 届高三上学期期末 12】若函数 ( )f x 是连续的平滑曲线，且在[a，b]上恒非负， 则其图象与直线 x＝a，x＝b，x 轴围成的封闭图形面积称为 ( )f x 在[a，b]上的“围面积”．根据牛顿—莱 布尼兹公式，计算围面积时，若存在函数 ( )F x 满足 ( ) ( )F x f x  ，则 ( ) ( )F b F a 的值为 ( )f x 在[a，b]上 的围面积．下列围面积计算正确的有（ ） A．函数 3( )f x x 在[0，1]上的围面积为 1 4 B．函数 ( ) 2xf x  在[0，2]上的围面积为 2 ln2 C．函数 2( ) cosf x x 在[0， 4  ]上的围面积为 1 4 8  D．函数 ( ) lnf x x 在[e，e2]上的围面积为 e2 【答案】ACD 【解析】选项 A 的 41( ) 4F x x C  ，围面积＝ 1(1) (0) 4F F  ，故 A 正确； 选项 B 的 2( ) ln 2 x F x C  ，围面积＝ 3(2) (0) ln2F F  ，故 B 错误； 选项 C 的 sin 2( ) 2 4 x xF x C   ，围面积＝ ( ) (0) 1 4 4 8F F     ，故 C 正确； 选项 D 的 ( ) lnF x x x x C   ，围面积＝ 2 2(e ) (e) eF F  ，故 D 正确．故选 ACD． 【考点四：综合性多选题】 1.【江苏省 2021 届高三下学期六市第一次调研联考（南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江）11（多选）】 若函数 3 2 , 1( ) 1 ln , 1 x x m xf x x x x          的值域为[2， )，则 A． (3) (2)f f B．m≥2 C． ln2 1( ) ( )2 ef f D． ( 1)log ( 1) log ( 2)m mm m   【答案】ABD 2.【江苏省连云港市 2021 届高三下学期期初 12（多选）】已知函数 sin( ) ex xf x x   ，则（ ） A． ( )f x 是奇函数 B． ( )f x ＜1 C． ( )f x 在(﹣1，0)单调递增 D． ( )f x 在(0， 2  )上存在一个极值点 【答案】BCD 第 6 页 3.【江苏省考前热身模拟试题数学试题（二）12（多选）】关于函数   e cosxf x a x  ，  π,πx  下列说法正确的是（ ） A．当 1a  时，  f x 在 0x  处的切线方程为 y x B．若函数  f x 在 π,π 上恰有一个极值，则 0a  C．对任意 0a  ，   0f x  恒成立 D．当 1a  时，  f x 在 π,π 上恰有 2 个零点 【答案】ABD 【方法归纳 1：导数中的构造法】 根据求导公式构造 1.【江苏省苏州市八校 2021 届高三上学期期末 14】定义在实数集 R 上的可导函数 ( )f x 满足： (1) 1f  ， ( ) 2 0f x x   ，其中 ( )f x 是 ( )f x 的导数，写出满足上述条件的一个函数 ． 【答案】 2( ) 2f x x x   【解答】答案不唯一，比如 2( ) 2f x x x   ． 用 ( )f x 与 x （ nx ）构造 ①出现 ( ) '( )nf x xf x ，构造函数 ( ) ( )nF x x f x ； ②出现 '( ) ( )xf x nf x 形式，构造函数 ( )( ) n f xF x x  1.设 )(xfy  是定义在 R 上的可导偶函数，若当 x>0 时， 0)(2)('  x xfxf ，则函数 2 1)()( xxfxg  的 零点个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．0 或 2 第 7 页 【答案】A 【解析】设 )()( 2 xfxxh  ，因为函数 )(xf 为偶函数，所以 )(xh 也是 R 上的偶函数，所以 )](2)('[)(2)(')(' 22 xfxxfxxxfxfxxh  由已知，x>0 时， 0)(2)('  x xfxf ，可得当 x>0 时， 0)(' xh ，故函数 )(xh 在 ),0(  上单调递减，由 偶函数的性质可得函数 )(xh 在 )0,( 上单调递增．所以 0)0()(  hxh ，所以方程 1)( xh ，即无解，所 以函数 2 1)()( xxfxg  没有零点．故选 A． 2.设 f (x)是定义在 R 上的偶函数，且 f (1)＝0，当 x0 恒成立，则不等式 f (x)>0 的解集 为________． 【答案】(－∞，－1)∪(1，＋∞) 【解答】构造 F (x)＝f x x ，则 F′(x)＝f′x·x－f x x2 ，当 x0，可以推出当 x0， F (x)在(－∞，0)上单调递增．∵f (x)为偶函数，x 为奇函数，∴F (x)为奇函数，∴F (x)在(0，＋∞)上也单调 递增．根据 f (1)＝0 可得 F (1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知 f (x)>0 的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 利用 ( )f x 与 xe 构造 ①出现 '( ) ( )f x nf x 形式，构造函数 ( ) ( )nxF x e f x ； ②出现 '( ) ( )f x nf x 形式，构造函数 ( )( ) nx f xF x e  . 1.已知函数 )(xf 是定义在R上的可导函数，对于任意的实数x，都有 xexf xf 2 )( )-(  ，当x0,f(x)单调递增； 当 x（1，+∞）时，f’(x)0，所以 4321 1 yyxx  ，所以 24321  yyxx