专题八 函数导数与不等式的综合问题-2021届高三数学二轮复习 高考重难点大题专题练（含解析）

专题八 函数导数与不等式的综合问题 总分：70 分 建议用时：60 分钟 三、解答题 17、设函数 f(x)=ax2-a-lnx，其中 a ∈R. （1）讨论 f(x)的单调性； （2）确定 a 的所有可能取值，使得 11( ) xf x ex   在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…)． 18、已知函数    ln 0af x ax x a  . （1）当 1a  时，求曲线  y f x 在 x e 处的切线方程； （2）若   xf x xe 对于任意的 1x  都成立，求 a 的最大值. 19、已知函数 ( ) ln , ( ) (2 1) 1 ( )f x x ax g x a x a a R       ， （1）讨论 ( )f x 的单调性； （2）令 ( ) ( ) ( )h x xf x g x  ，若 x>1 时，h(x)0， 从而当 1x  时， ( )f x >0. 当 0a  ， 1x  时， ( )f x = 2( 1) ln 0a x x   . 故当 ( )f x > ( )g x 在区间 1 + )（， 内恒成立时，必有 0a  . 当 10 2a  时， 1 2a >1. 由（Ⅰ）有 1( ) (1) 0 2 f f a   ,从而 1( ) 0 2 g a  ， 所以此时 ( )f x > ( )g x 在区间 1 + )（， 内不恒成立 . 当 1 2a  时，令 ( ) ( ) ( )( 1)h x f x g x x   ， 当 1x  时， 3 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1( ) 2 0x x x x xh x ax e xx x x x x x x                ， 因此， ( )h x 在区间 (1, ) 单调递增. 又因为 (1)=0h ，所以当 1x  时， ( ) ( ) ( ) 0h x f x g x   ，即 ( ) ( )f x g x 恒成立. 综上， 1[ , )2a ∞ . 18、【答案】（1） 2y x e  ；（2）最大值为 e . 【解析】 （1）当 1a  时，   lnf x x x ，得   ln 1f x x   ， 则  f e e ，   2f e  ， 所以  y f x 在 x e 处的切线方程为： 2y x e  . （2）当 0a  且 1x  时， 由于 ( ) ln ln ln lnx a x a a x a a x xf x xe ax x xe x x xe x x e e        ， 构造函数   lng x x x ， 得   ln 1 0g x x    在 1x  上恒成立，所以   lng x x x 在  1, 上单调递增，    ( ) ln lnx a a x x a xf x xe x x e e g x g e      ， 由于   xf x xe 对任意的 1x  都成立， 又 1ax  ， e 1x  ，再结合  g x 的单调性知道： a xx e 对于任意的 1x  都成立，即 ln xa x  对于任意的 1x  都成立. 令   ln xx x   ，得    2 ln 1 ln xx x    ， 由   0x x e    ，由   0 1x x e     ， 则  x 在 1,e 上单调递减，在  ,e  上单调递增， 故    min x e e   ，故 a e ， 所以 a 的最大值为 e . 19、【答案】（1）答案见解析；（2） 1 2a  . 【解析】 （1）由题意可知，该函数定义域为 (0, ) ， 1 1( ) axf x ax x     ， ①当 0a  时， ( ) 0f x  恒成立，∴ ( )f x 在 (0, ) 上单调递增； ②当 0a  时，当 10,x a     时， ( ) 0f x  ，当 1 ,x a      时， ( ) 0f x  ， 故 ( )f x 在 10, a      上单调递增， ( )f x 在 1 ,a     上单调递减； （2）依题意， 2ln ( 1)) ( ) ) 1( ( x x a xh x xf x xg x      ， ①当 0a  时， ( ) ln 1h x x x x   ， ∴ ( ) ln 0h x x   在 (1, )x  恒成立， ∴ ( )h x 在 (1, )x  为增函数，∴ ( ) (1) 0h x h  ，∴不满足 ( ) 0h x  恒成立， ∴ 0a  不符合题意； ②当 0a  时，∵ 1x  ，h(x)