2021届高考数学（统考版）二轮备考小题提升专练19 平面向量（理）含答案

- 1 - 小题必练 19：平面向量 1．平面向量的实际背景及基本概念：①了解向量的实际背景；②理解平面向量的概念，理解 两个向量相等的含义；③理解向量的几何表示． 2．向量的线性运算：①掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；②掌握向量数乘的 运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；③了解向量线性运算的性质及其几何意义． 3．平面向量的基本定理及坐标表示：①了解平面向量的基本定理及其意义；②掌握平面向量 的正交分解及其坐标表示；③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；④理解用坐 标表示的平面向量共线的条件． 4．平面向量的数量积：①理解平面向量数量积的含义及物理意义；②了解平面向量的数量积 与两项投影的关系；③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；④能运用 数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 5．向量的应用：①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；②会用向量方法解决简单的 力学问题与其他一些实际问题． 1．【2020 全国Ⅰ卷理科】设 ,a b 为单位向量，且| | 1 a b ，则| | a b _______． 2．【2020 全国Ⅲ卷理科】已知向量 ab ， a ， b 满足| | 5a ，| | 6b ， 6  a b ，则 cos ,  a a b （） A． 31 35  B． 19 35  C． 17 35 D． 19 35 一、选择题． 1．已知 ,a b 为非零向量，“ 2 2a b b a ”为“ a a b b ”的（） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 - 2 - C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知向量 a ， b 满足 3a ， 2b ，且 3 4,5 5      a a b b ，则  a b （） A． 7 B．2 C． 2 2 D．3 3．已知向量 (1,0)a ， (1, 3)b ，则与 2 a b 共线的单位向量为（） A． 1 3,2 2      B． 1 3,2 2      C． 3 ,2 2 1     或 3 ,2 2 1     D． 1 3,2 2      或 1 3,2 2      4．已知 0AC BC   ， 3BC AC  ，点 M 满足  1CM tCA t CB     ，若 60ACM  ° ， 则t  （） A． 1 2 B． 3 2 C．1 D．2 5．已知向量 a ， b ，有下列命题： ①若 //a b ，则 a b ；②若 a b ，则 a b ；③若 a b ，则 //a b ； ④若 a b ，则 a b ；⑤若 1 a b ，且     a b a b ，则 1   ． 其中错误命题的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 6．一直线 l 与平行四边形 ABCD 中的两边 AB，AD 分别交于点 E，F，且交其对角线 AC 于 点 M，若 2AB AE  ， 3AD AF  ， ( , )AM AB AC     R    ，则 5 2    （） A． 1 2  B．1 C． 3 2 D． 3 7．在 ABC△ 中，点 P 满足 2BP PC  ，过点 P 的直线与 AB ，AC 所在直线分别交于点 M ， N ，若 AM mAB  ， ( 0, 0)AN nAC m n    ，则 2m n 的最小值为（） A．3 B．4 C． 8 3 D．10 3 8．已知向量 a ， b 是两个夹角为 π 3 的单位向量，且 3 5OA   a b ， 4 7OB   a b ， - 3 - OC m  a b ，若 A ， B ，C 三点共线，则OA OC   （） A．12 B．14 C．16 D．18 9．已知平面非零向量 a ，b 满足：( 4 ) ( 2 )  a b a b ，a 在 b 方向上的投影为 1 | |2  b ，则 a 与b 夹角的余弦值为（） A． 2 2 3  B． 2 3  C． 1 3  D． 1 6  10．已知 AB 是圆 2 2: 1O x y  的任意一条直径，点 P 在直线 2 0( 0)x y a a    上运动， 若 PA PB  的最小值为 4，则实数 a 的值为（） A．2 B．4 C．5 D．6 11．梯形 ABCD 中， //AB CD ， 2CD  ， π 3BAD  ，若 2AB AC AB AD      ，则 AC AD   （） A．12 B．16 C．20 D．24 12．如图，在平行四边形 ABCD 中， π 3BAD  ， 2AB  ， 1AD  ，若 M 、 N 分别是边 BC 、 CD 上的点，且满足 BM NC BC DC   ，其中  0,1  ，则 AM AN  的取值范围是（） A． 0,3 B． 1,4 C． 2,5 D． 1,7 二、填空题． 13．已知 (1, )ta ， ( 2,2) b 且 a b ，则| | a b ________． 14．已知正方形 ABCD 的边长为 2 ，若 3BP PD  ，则 PA PB  的值为_______． 15．若向量 a ，b 的夹角为 π 3 ，且 2a ， 1b ，则向量 2a b 与向量 a 的夹角为________． 16．如图，在平行四边形 ABCD 中， 2 , ,AB AD E F 分别为 ,AD DC 的中点，AF 与 BE 交 于点O ．若12 5AD AB OF OB      ，则 DAB 的余弦值为_________． - 4 - 小题必练 19：平面向量 1．【 【答案】 3 【解析】因为 ,a b为单位向量，所以 1 a b ， 所以   2 22 2 2 2 1          a b a b a a b b a b ， 解得 2 1  a b ， 所以   2 22 2 3       a b a b a a b b ， 故答案为 3 ． 【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题． 2． 【答案】D 【解析】 5 a ， 6b ， 6  a b ，   2 25 6 19        a a b a a b ，  2 2 22 25 2 6 36 7           a b a b a a b b ， 因此，   19 19cos , 5 7 35         a a ba a b a a b ，故选 D． 【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向 量模的计算， 考查计算能力，属于中档题． - 5 - 一、选择题． 1． 【答案】B 【解析】若 2 2a b b a 成立，则 2 2a b b a ， 则向量a 与 b 的方向相同，且 2 2a b b a ，从而 a b ，所以 a b ； 若 a a b b ，则向量 a 与 b 的方向相同，且 2 2a b ，从而 a b ，所以 a b ， 所以“ 2 2a b b a ”为“ a a b b ”的充分必要条件，故选 B． 2． 【答案】A 【解析】因为 3a ， 2b ， 3 4,5 5      a a b b ， 两边平方得 22 16  a b ，所以 3 a b ， 所以 2 22 9 6 4 7        a b a a b b ，故选 A． 3． 【答案】D 【解析】因为 (1,0)a ， (1, 3)b ，则  2 2,0a ， 所以  2 1, 3  a b ， 设与 2 a b 共线的单位向量为  ,x y ，则 2 2 3 0 1 x y x y      ， 解得 1 2 3 2 x y      或 1 2 3 2 x y      ， - 6 - 所以与 2 a b 共线的单位向量为 1 3,2 2      或 1 3,2 2      ，故选 D． 4． 【答案】A 【解析】由 0AC BC   ， 3BC AC  ，可知 ABC△ 为直角三角形， 设 AC a ，则 3BC a ，而 60ACM  ° ，几何关系如下图所示： 因为 ,AC a ，则 3BC a ， 90ACB   ，所以 2AB a ， 则 60CAB   ，所以 AC AM CM BM a    ， 即 M 为 AB 中点， 又因为点 M 满足  1CM tCA t CB     ， 则CM tCA CB tCB      ，所以  CM CB t CA CB      ， 由向量减法运算可知 BM tBA  ， 因为 M 为 AB 中点，所以 1 2t  ，故选 A． 5． 【答案】D 【解析】对于①，若 //a b ，向量 a 、b 的方向或模不一定相同，则 a b 不成立，故①错误； 对于②，若 a b ，向量 a 、 b 的方向不一定相同，则 a b 不成立，故②错误； 对于③，若 a b ，向量 a 、 b 的方向既不一定相同也不相反，则 //a b 不成立，故③错误； 对于④，若 a b ，则向量 a 、 b 的模相同，所以 a b ，故④正确； 对于⑤，若 1 a b ， - 7 - 则       2 2 2 21 1             a b a b a a b b a b ， 若 a b ，则 0 a b ，     2 1 0       a b a b a b ， 此时     a b a b ，  可取任意值，故⑤错误， 故选 D． 6． 【答案】A 【解析】 ( ) ( )AM AB AC AB AB AD AB AD                     2( ) 3AE AF      ， 因为 E M F， ， 三点共线，所以 2( ) ( 3 ) 1      ， 即 2 5 1   ， 5 1 2 2      ，故选 A． 7． 【答案】A 【解析】  2 1 2 1 2 3 3 3 3 3AP AB BP AB AC AB AB AC AM ANm n                    ， , ,M P N 三点共线， 1 2 13 3m n    ， 3 2 nm n    ， 则    2 2 5 23 2 3 26 3 3 3 32 23 2 3 2 3 2 n nn n nm n nn n n               2 1 5 2 53 2 2 33 3 2 3 3 3n n             ， 当且仅当     13 2 3 2n n    ，即 1m n  时等号成立．故选 A． - 8 - 8． 【答案】A 【解析】由 A ， B ，C 三点共线，得 (1 ) (4 ) (7 2 )OC xOA x OB x x         a b ， 故 4 1 7 2 x x m      ，解得 1m  ， 则 2 2(3 5 ) ( ) 3 8 5 12OA OC           a b a b a a b b ，故选 A． 9． 【答案】D 【解析】设两向量夹角为 ，则有 21 1| | cos | | | |2 2       a b a b b ， 2 22 2( 4 ) ( 2 ) | | 2 8 | | 9 | | 30         a b a b a a b b a b a b ， 所以 21 | | 12cos | | | | || | | 6       b a b a b a b ，故选 D． 10． 【答案】C 【解析】 ( ) ( )PA PB PO OA PO OB          2| |PO OA OB     2| | 1PO  ， 由题得| |OP  的最小值为 5 ，即点 O 到直线的距离为 5 ， | | 5 5 5 a a    ，故选 C． 11． 【答案】C 【解析】因为 2AB AC AB AD      ，所以 AB AC AB AD AB DC AB AD              ， 所以 2 c 3 πosAB AB AD    ，可得 4AD  ，   2 π16 4 2 cos 203AC AD AD DC AD AD AD DC                   ， 故选 C． - 9 - 12． 【答案】C 【解析】因为 BM NC BC DC   ，所以 BM BC  ， NC DC  ， 所以        AM AN AB BC AD DN AB BC AD AB DC                            1 4 1 1AB AD AD AB AB AD AB AD                                21 4 1 1 2 5               ． 当 0  时， AM AN  取得最大值 5；当 1  时， AM AN  取得最小值 2， AM AN  的取值范围是 2,5 ，本题选 C． 二、填空题． 13． 【答案】 10 【解析】∵ a b ，∴ 2 2 0t    a b ，即 1t  ， ∴    2 2| | 1,3 1 3 10      a b ，故答案为 10 ． 14． 【答案】 3 4 【解析】如图所示建立平面直角坐标系： 则  0, 2A ，  0, 0B ，  2, 0C ，  2, 2D ， 设  ,P x y ，  ,BP x y ，  2 , 2PD x y   ， - 10 - 因为 3BP PD  ，     3 2 3 2 x x y y      ，解得 3 2 4 3 2 4 x y     ， 所以 3 2 3 2,4 4P       ， 所以 3 2 2,4 4PA        ， 3 2 3 2,4 4PB         ， 所以 3 2 3 2 2 3 2 3 4 4 4 4 4                                PA PB ，故答案为 3 4 ． 15． 【答案】 π 6 【解析】设向量 2a b 与向量 a 的夹角为 ， 向量 a ，b 的夹角为 π 3 ，且 2a ， 1b ， 则 π2 1 cos 13     a b ， 2 2 2| 2 | 4 4 12      a b a a b b ， | 2 | 2 3  a b ， 又 2( 2 ) 2 6a b a a a b          ， ( 2 ) 6 3cos | || 2 | 22 3 2       a b a a a b ， 0 π  ， π 6   ， 故答案为 π 6 ． 16． 【答案】 3 17 【解析】设 AD  a ， AB  b ， DAB   ， AO AF  ， BO BE  ， - 11 - 则 1 2AF   a b ， 1 2BE   a b ，得 2AO   a b ， 2BO    a b ， 又 AB AO OB    ，得 ( ) ( )2 2      b a b，则 02 12          ， 得 2 5   ， 4 5   ，得 3 3 3 5 5 10OF AF    a b ， 2 4 5 5BO   a b ， 设| | ma ，则| | 2mb ，由12 5AD AB OF OB      ， 有 3 3 2 412 5( ) ( )5 10 5 5      a b a b a b ， 得 2 2 2 26 18 2424 5( cos )25 25 25m m m m    ，得 3cos 17   ， 故答案为 3 17 ．