热点专题 17 数列、基本不等式、圆锥曲线等实际应用题（19 题热点 3）
一、解答题
1．某公司自 2020 年起，每年投入的设备升级资金为 500 万元，预计自 2020 年起(2020 年为第 1 年)，因为设备
升级，第 n 年可新增的盈利
5
80 1 , 5
1000 1 0.6 , 6n n
n n
a n
(单位：万元)，求：
（1）第几年起，当年新增盈利超过当年设备升级资金；
（2）第几年起，累计新增盈利总额超过累计设备升级资金总额.
【答案】（1）第 7 年；（2）第 12 年.
【解析】
（1）分段解不等式 500na ，（2）对 n 进行讨论，求 na 的前 n 项和 nS ，令 500nS n ，解不等式.（1）当 5n
时， 80( 1) 500na n ，解得 7.25n ，即 8n ，不成立，
当 6n 时， 51000(1 0.6 ) 500n
na ，即 50.6 0.5n ， 50.6n 随着 n 的增大而减小，
当 6n 时， 6 50.6 0.6 0.5 不成立，当 7n 时， 7 50.6 0.36 0.5 成立，
故第 7 年起，当年新增盈利超过当年设备升级资金；
（2）当 5n 时，累计新增盈利总额
5 1 2 3 4 5 0 80 160 240 320 800 500 5S a a a a a ，
可得所求 n 超过 5，
当 6n 时，
5
5
600(1 0.6 )1000( 5) 5001 0.6
n
nS S n n
，
整理得 53 0.6 11.4nn ，由于 53 0.6n 随着 n 的增大而减小
又当 11n 时， 11 511 3 0.6 11.4 ，故不成立，
当 12n 时， 12 512 3 0.6 11.4 ，故成立，
故从第 12 年起，累计新增盈利总额超过累计设备升级资金总额.
2．我们要计算由抛物线 2y x= 、x 轴以及直线 1x 所围成的曲边区域的面积 S ，可用 x 轴上的分点 0、1
n
、2
n
、…、
1n
n
、1 将区间 0,1 分成 n 个小区间，在每一个小区间上作一个小矩形，使得每个矩形的左上端点都在抛物线
2y x= 上，这么矩形的高分别为 0、
21
n
、
22
n
、…、
21n
n
、1，矩形的底边长都是 1
n
，设所有这些矩
形面积的总和为 nS ，就无限趋近于 S ，即 lim nn
S S
.
（1）求数列 nS 的通项公式，并求出已知 S ；（可以利用公式 2 2 2 2 ( 1)(2 1)1 2 3 6
n n nn ）
（2）利用上述方法，探求由函数 xy e 、x 轴、 y 轴以及直线 1x 和所围成的区域的面积T .（可以利用公式：
1
lim 1 1n
n
n e
）
【答案】（1） 2
( 1)(2 1)
6n
n nS n
， 1
3S ；（2） 1e .
【解析】
（1）根据题中条件，得到
2 2 2
3
1 2 ...
nS n
n
，利用题中所给公式，由极限的运算法则，即可得出结果；
（2）同题中所给方法，将区间 0,1 分成 n 个小区间，得到
1 2
0
1
11 1 1 1 1...
n
n n
n
nen n n ne e eneS
，
利用等比数列的求和公式，由题中所给公式，即可求出结果.（1）由题意可知，
2 2 21 1 1 1 2 1 1 10 ... 1n
n
n n n n n nS n n
2 2 2 2 2 2
3
1 1 2 1 1 2 ...... 1n n
n n n n n
，
因为 2 2 2 2 ( 1)(2 1)1 2 3 6
n n nn ，
所以 2
2
2 2
3 3
( 1)(2 1)
( 1)(2 1)61 2 .
6
. .
n
n n n
n nS n
n
n n
，
因此 2 2
2 2
3 12( 1)(2lim lim lim li1) 2 3 1 2 1
6 6 6 6 3mnn n n n
S n n n n n n
n nS
；
（2）根据题中方法，探求由函数 xy e 、 x 轴、 y 轴以及直线 1x 和所围成的区域的面积T ，可将区间 0,1
分成 n 个小区间，每一个小区间对应一个小矩形，使得每个矩形的左上端点都在抛物线 xy e 上，这么矩形的高
分别为 0e 、 1
ne 、 2
ne 、…、 1n
ne
、 1e ，矩形的底边长都是 1
n
，
则
1 2
0
1
11 1 1 1 1...
n
n n
n
nen n n ne e eneS
1
1 2 1
1 1 1
1 1
1 1 1 11 ...
1 1
1
1
n
n
n n n
n n n
n
e
e e e e e e
n n n ne e e
，
因此 1
1lim l
1
im
n
nn n
e
eS S
n
，
因为
1
lim 1 1n
n
n e
，所以 1
1
1 1lim 11n
n
e eS e
n e
【点睛】
关键点点睛：
求解本题的关键在于对题中曲边梯形面积的理解（即定积分概念的理解），在理解题意的基础上，表示出对应曲
边梯形的面积，利用所给公式，以及极限的运算法则，求解即可.
3．诺贝尔奖每年发放一次，把奖金总金额平均分成 6 份，奖励在 6 项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医
学、和平)为人类做出最有贡献人．每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增
加基金总额，以便保证奖金数逐年递增．资料显示：1998 年诺贝尔奖发奖后的基金总额(即 1999 年的初始基金总
额)已达 19516 万美元，基金平均年利率为 6.24%r ．
（1）求 1999 年每项诺贝尔奖发放奖金为多少万美元(精确到 0.01)；
（2）设 na 表示 1998 n 年诺贝尔奖发奖后的基金总额，其中 *n N ，求数列 na 的通项公式，并因此判断
“2020 年每项诺贝尔奖发放奖金将高达 193.46 万美元”的推测是否具有可信度．
【答案】（1）101万美元；（2） 120125 1 3.12% n
na ；该推测具有可信度．
【解析】
（1）由题意可得 1999 年诺贝尔奖发奖后基金总额为
119516 1 6.24% 19516 6.24%2
，即可求解；
（2）由题意知 na 是以 1999 年诺贝尔奖发奖后基金总额 1 20125a 为首项，公比为 1 3.12%q 的等比数
列，即可得 na 的通项公式，计算 2019 年诺贝尔奖发奖后基本总额为 21a ，比较后即可判断.（1）由题意得 1999
年诺贝尔奖发奖后基金总额为
119516 1 6.24% 19516 6.24% 20124.8992 201252
万美元，
每项诺贝尔奖发放奖金为 1 1 19516 6.24% 101.4832 1016 2
万美元；
（2）由题意得 1 20125a ，
2 1 1 1
11 6.24% 6.24% 1 3.12%2a a a a ，
2
3 2 2 2 1
11 6.24% 6.24% 1 3.12% 1 3.12%2a a a a a
…
所以 120125 1 3.12% n
na ，
2019 年诺贝尔奖发奖后基本总额为 20
21 20125 1 3.12%a ，
2020 年每项诺贝尔奖发放奖金为 21
1 1 6.24% 193.466 2 a 万美元，
故该推测具有可信度．
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是理解题意，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用
于增加基金总额，结合 1999 年的初始基金总额 19516 即可求 1999 年每项诺贝尔奖发放奖金，结合题意
120125 1 3.12% n
na ，求出 20
21 20125 1 3.12%a 即可估算 2020 年每项诺贝尔奖发放奖金，进而
可推断是否具有可信度．
4．根据预测，疫情期间，某医院第 Nn n 天口罩供应量和消耗量分别为 na 和 nb （单位：个），其中
45 15,1 3
10 470, 4n
n na
n n
， 5nb n ，第 n 天末的口罩保有量是前 n 天的累计供应量与消耗量的差．
（1）求该医院第 4 天末的口罩保有量；
（2）已知该医院口罩仓库在第 n 天末的口罩容纳量 24 46 8800nS n （单位：个）．设在某天末，口罩
保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时仓库的口罩容纳量？
【答案】（1） 935 ；（2）第 42 天末，口罩保有量达到最大超过了.
【解析】
（1）分别将 1,2,3,4n 代入 na 和 nb 算出前 4 个天的口罩供应量和消耗量，差值即为保有量；
（2）当供应量大于消耗量时，口罩保有量增加，根据 na 和 nb 列出不等式，求出 n 的最大值，计算出最大保有量
和最大容纳量比较即可得出结论.（1）第 4 天末的口罩保有量是前 4 天口罩供应量和消耗量之差，
将 1,2,3,4n 代入 na 和 nb 得第 4 天末的口罩保有量为：
1 2 3 4 1 2 3 4 20 95 420 430 6 7 8 9 935a a a a b b b b ，
所以该医院第 4 天末的口罩保有量为935 ；
（2）当 n na b 时，保有量始终增加.
即 10 470 5n n ， n 为正整数，解得 42n ，
即第 42 天末的时候，保有量达到最大，
此时 1 2 3 42 1 2 3 42a a a a b b b b
420 50 38 6 47 42965 87822 2
，
而容纳量为 2
42 4 42 46 8800 8736S ，
而8782 8736 ，所以保有量超过了容纳量.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是读懂题意当供应量大于消耗量时，口罩保有量增加，前 4 个天的口罩供应量和消耗
量差值即为保有量；第二问当 n na b 时，保有量始终增加，由 10 470 5n n ，n 为正整数，解得 42n ，
即第 42 天末的时候，保有量达到最大，计算出前 42 天保有量和第 42 天末的口罩容纳量比较即可.
5．如图， 1P 是一块直径为 2 的半圆形纸板，在 1P 的左下端剪去一个半径为 1
2
的半圆后得到图形 2P ，然后依次
剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得到图形 3P ， 4P ，…， nP ，…，记纸板 nP 的面积和
周长分别为 nS 、 nL ，求：
（1） lim nn
S ；
（2） lim nn
L .
【答案】（1）
3
；（2） 2 .
【解析】
由题意知纸板每剪掉半圆，面积依次减少 1 2 3 2 1, , ,...,8 32 128 2n ns s s s
，周长依次增加
1 2 1
1 11, ,...,2 4 2 2 2n n nl l l
，而 1 2S 、 1 2L ，应用等比数列求和公式可得到 nS 、 nL ，
再利用极限思想即可求 lim nn
S 、 lim nn
L .由题意： 1 2S ，令各次剪掉的半圆面积为
1 2 3 2 1, , ,...,8 32 128 2n ns s s s
，
∴ 1 1 2 2 1
1( ... ) ( ... )2 8 32 2 3 6 4n n n nS S s s s
，
1 2L ，令各次剪掉半圆周长变化为 1 2 1
1 11, ,...,2 4 2 2 2n n nl l l
，
∴ 1 1 2
2( ... ) 2 2n n nL L l l l ，
（1） 1lim lim( )3 6 4 3n nn n
S
，
（2） lim lim 2(2 ) 22nn nn
L
.
【点睛】
结论点睛：
1、 lim( ) lim limn n n nn n n
a b a b
.
2、 lim( ) limn nn n
ma m a
，m 为常数.
3、当 0 1q 时， lim 0n
n
q
；当 1q 时， lim n
n
q
；
6．如图，在边长为l的等边三角形 ABC 中， 1O 为 ABC 的内切圆， 2O 与 1O 外切，且与 ,AB BC 相切，……，
1nO 与 nO ，外切，且与 ,AB BC 相切，如此无限下去，记 nO 的面积为 *
na n N .
（1）证明 na 是等比数列；
（2）求 1 2lim nn
a a a
的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
23
32
l .
【解析】
（1）设 nr 是圆 nO 的半径，求出 1r ，将点 B 和各圆的圆心连起来，将圆心和对应的切点连起来，构造直角三角
形，利用平面几何的知识，找到连续两个圆的半径之间的关系，就可求出 nr ，进而可求出 na ，得出结论.
（2）先求比数列的前 n 项和，然后再求极限得出答案.（1）证明：记 nr 为 nO 的半径，将点 B 和各圆的圆心连
起来
根据题意各圆心的连线为角 B 的角平分线.
1
3tan602 6
lr l ，
如图，作 1 1 1n n n nO D O D 于点 1nD
1 1 1
1 1
1sin30 2
n n n n
n n n n
D O r r
O O r r
.
1
1 ( 2),3n nr r n
又 2
1 1a r
所以
2
1 1
1
9
n n
n n
a r
a r
故 na 是等比数列.
（2）
1
*
1
1
9
n
na a n N
，又 2
1 1a r
2
1 2 2
1
1 2
11 9
8
3lim lim 1 321 9 9
nn n
n
r
r la a a
.
【点睛】
本题考查用等比数列的定义证明一数列为等比数列，求数列极限，以及三角形的性质和数列应用的综合题，考查
学生的计算能力，是中档题．
7．为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距 8km 的 A、B 两点各建一个考察基地，视冰川面为
平面形，以过 A、B 两点的直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系（图 4）．考察范围到
A、B 两点的距离之和不超过 10km 的区域．
（I）求考察区域边界曲线的方程：
（II）如图 4 所示，设线段 1 2PP 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的
方向朝考察区域平行移动，第一年移动 0.2km，以后每年移动的距离为前一年的 2 倍．问：经过多长时间，点 A
恰好在冰川边界线上？
【答案】（I）
2 2
125 9
x y ；（II）5 年解：（I）设边界曲线上点 P 的坐标为 ( , )x y ，则由| | | | 10 PA PB 知，
点 P 在以 ,A B 为焦点，长轴长为 2 10a 的椭圆上，此时短半轴长为 2 25 4 3b ，
所以考察区域边界曲线(如图)的方程为为
2 2
125 9
x y .
（II）易知过点 1 2,P P 的直线方程为 4 3 47 0 x y ，因此点 A 到直线 1 2PP 的距离为
2 2
| 16 47 | 31
54 ( 3)
d
设经过 n 年，点 A 恰好在冰川边界线上，则利用等比数列求和公式可得
0.2 (2 1) 31
2 1 5
n
，
解得 5n ，即经过 5 年，点 A 恰好在冰川边界线上.8．如图所示，有一列曲线 0 1 2, , ,P P P ．已知 0P 所围成的
图形是面积为 1 的等边三角形， 1kP 是对 kP 进行如下操作：将 kP 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，
向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（ 0,1,2,3,k ）．记 nS 为曲线 nP 所围成图形的面积．
（1）求数列 nS 的通项公式；
（2）求 lim nn
S ．
【答案】（1） 8 3 4( )5 5 9
n
nS ；（2） 8
5
．
【解析】
观察前两个图形， 1P 在 0P 的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为 2
1
3 ,探寻
每个图形的面积，寻找规律，猜想
2 1
3 5 2 1
1 4 4 41 3 3 3 3
n
n nS
，然后用完全归纳法进行证明.
（2）对数列求极限可得.解（1） 1 0 2
1 13 13 3
S S ，
2 1 4 3
1 1 43 4 13 3 3
S S ，
2
2
3 2 6 3 5
1 1 4 43 4 13 3 3 3
S S ．
猜测
2 1
3 5 2 1
4 4[1 ( ) ]1 4 4 4 3 9 91 1 43 3 3 3 4 1 9
n
n
n nS
3 4 8 3 41 [1 ( ) ] ( )5 9 5 5 9
n n ．
证明 1n 时，等式显然成立．
假设 n k 时，有 8 3 4( )5 5 9
k
kS ．则当 1n k 时，由于第 1k 次操作后， 1kP 在 kP 的每条边上增加了一个
小等边三角形，其面积为 2( 1)
1
3 k ，而 kP 有3 4 k 条边，故 1
1 2( 1) 2 1
1 4 8 3 43 4 ( )3 3 5 5 9
k
k k
k k kk kS S S
综上，由数学归纳法知 8 3 4( )5 5 9
n
nS 成立．
（2） [8 3 4 8lim lim ( )5 5 9 5]n
nn n
S
．
【点睛】
归纳—猜想—证明类问题的解题步骤:
利用数学归纳法可以探索与正整数 n 有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由
合情推理发现结论，然后经逻辑推理(即演绎推理)论证结论的正确性．
9．如图所示，设正三角形 1T 边长为 1, na T 是 nT 的中点三角形， nA 为 nT 除去 1nT 后剩下三个三角形内切圆面积
之和，求 1 2lim
nn
A A A ．
【答案】
2
12
a
【解析】
由题意和图形，表示
2 2
1
33 6 2 4
n n n
a aA ，并求得 1 1
4
n
n
A
A
，说明数列 nA 是公比为 1
4
的等比数列，
并求首项 1A ，最后代入公式求极限.解 由于边长为 a 的正三角形的内切圆半径为 3
6
r a ．
于是
2 2
1
33 6 2 4
n n n
a aA ，
2 2
1
1 1 2
3 13 6 2 4 4
n
n n n
n
Aa aA A
，
又因为
2 2
1
33 6 2 16
a aA ，所以数列 nA 是一个公比为 1
4
的无穷等比数列，
故
2 2
2
1 2
1116 4 16lim lim 1 1 121 14 4
n
nn n
a a
aA A A
．
【点睛】
本题考查无穷等比数列的前 n 项和，重点考查数形结合分析问题，抽象概括能力，属于中档题型，本题的关键是
读懂题意，并结合图形分析出每个内切圆和对应三角形边长的关系.
10．某航运公司用 300 万元买回客船一艘，此船投入营运后，每月需开支燃油费、维修费、员工工资，已知每月
燃油费 7000 元，第 n 个月的维修费和工资支出为 600( 1) 3000 n 元.
（1）设月平均消耗为 y 元，求 y 与 n （月）的函数关系；
（2）投入营运第几个月，成本最低？（月平均消耗最小）
（3）若第一年纯收入 50 万元（已扣除消耗），以后每年纯收入以 5%递减，则多少年后可收回成本？
【答案】（1） 3000000300 9700 ,y n n Nn
；（2）投入第100个月，成本最低；
（3）7 年后收回成本.
【解析】
（1）先求出购船费和所有支出的和，然后把购船费和所有支出费用平摊到每一个月，即可求得平均消耗 y 与 n（月）
的函数关系；
（2）利用基本不等式可得最值，从而求出此时 n 的值，即可求解；
（3）假设 x 年后可收回成本，则收入是首项为 50，公比为 0.95 的等比数列，然后建立收入大于成本的不等式，
即可求解.（1）购船费和所有支出费为
3000000 7000 [3000 3000 600 3000 2 600 3000 6000( 1)]n n
23000000 9700 300n n 元，
所以月平均消耗 3000000300 9700 y n n
，
即月平均消耗为 y 与 n 的函数关系 3000000300 9700 ,y n n Nn
.
（2）由（1） 3000000 3000000300 9700 2 300 9700 69700y n nn n
，
当且仅当 3000000300n n
，即 100n 时等号成立，
所以当投入营运 100 个月时，营运成本最低.
（3）假设 x 年后可收回成本，则收入为：
2 150 50(1 5%) 50(1 5%) 50(1 5%) 1000(1 0.95 ) 300x x ，
解得 7x 时满足条件， 6x 时不满足条件，
故 7 年后可收回成本.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的应用，以及基本不等式求最值的应用，着重分析问题和解答问题的能力，属于中档试
题.
11．上海地铁四通八达，给市民出行带来便利，已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔 t （单位：分字）满
足：2 20t ，t N ，经测算，地铁载客量 p t 与发车时间间隔t 满足 21200 10 10 ,2 10
1200,10 20
t tp t
t
，
其中t N ．若该线路每分钟的净收益为 6 ( ) 3360 360p tQ t
（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路
每分钟的净收益最大？并求最大净收益．
【答案】发车时间间隔为 6 分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大净收益为 120 元/分钟．
【解析】
（1）根据题中条件，利用基本不等式，以及函数单调性，分别求出 2 10t 和10 20t 对应的最值，即可
得出结果.因为 2 210 200 200,2 101200 10 10 ,2 10
1200,10 201200,10 20
t t tt tp t
tt
，t N ，
当 2 10t 时，每分钟的净收益为
26 ( ) 3360 60 1200 2160 36360 360 60 840p t t tQ tt t t
60 2 36 840 120 ，
当且仅当 36t t
，即 6t 时“ ”成立；
当10 20t 时，每分钟的净收益为
6 ( ) 3360 3840360 360p tQ t t
，在10 20t 单调递减，
故 10t 时， Q 最大，最大值为 24；
综上， 6t 时，Q 最大，最大为 120 元．
即发车时间间隔为 6 分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大净收益为 120 元/分钟．
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的
因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的
最值，这也是最容易发生错误的地方.
12．在平面直角坐标系中，函数 21f x x 在第一象限内的图像如图所示，试做如下操作，把 x 轴上的区间
0,1 等分成 n 个小区间，在每一个小区间上作一个小矩形，使矩形的右端点落在函数 21f x x 的图像上.
若用 *1 ,ka k n k N ，表示第 k 个矩形的面积， nS 表示这 n 个矩形的面积总和.
（Ⅰ）求 ka 的表达式；
（Ⅱ）请用数学归纳法证明等式： 2 2 2 *11 2 ... 1 2 16n n n n n N ；
（Ⅲ）求 lim nn
S 的值，并说明 lim nn
S 的几何意义.
【答案】（Ⅰ）
2
2
1 1k
ka n n
（Ⅱ）证明见解析（Ⅲ） 2
3
，lim nn
S 的几何意义表示函数 21y x 的图象与 x
轴，及直线 0x 和 1x 所围曲线梯形的面积.
【解析】
（1）第 k 个矩形的高为
2
1 k
n
，然后直接求出第 k 个矩形的面积；
（2）当 1n 时，命题成立，假设 n k 时命题成立，证得 1n k 时命题成立，即可得到结论；
（3）求得
2
2 2
1
1 2 1 11 3 2 6
n
n
k
kS n n n n
，求出极限，然后说明极限的几何意义.（Ⅰ）由题意第 k 个矩
形的高是
2
1 k
n
，所以
2 2
2
1 11 1k
k ka n n n n
（Ⅱ）（i）当 1n 时， 2 11 1 2 36
，命题成立，
（ii）假设 n k 时命题成立，即 2 2 2 11 2 ... 1 2 16k k k k ，
则 1n k 时， 2 22 2 2 11 2 ... 1 1 2 1 16k k k k k k
21 1 11 2 7 6 1 2 2 3 1 1 1 2 1 16 6 6k k k k k k k k k ，
∴ 1n k 时命题成立，
综上， *n N 时，命题成真，即 2 2 2 11 2 ... 1 2 16n n n n ，
（Ⅲ）由（1）可求得 2 2 2 2
2 3 3
1
1 1 2 11 1 2 ... 61 1 1
n
n
k
n n nk nS n n n n
2
2 1 1
3 2 6n n
，
则 2
2 1 1 2lim lim 3 2 6 3nn n
S n n
，
所以 lim nn
S 的几何意义表示函数 21y x 的图象与 x 轴，及直线 0x 和 1x 所围曲线梯形的面积为 2
3 .
【点睛】
本题主要考查了数学归纳法，数列的求和，以及数列的极限的应用，其中解答中熟记数学归纳法的证明方法，以
及合理利用极限进行计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
13．某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列 nI ， nI 表示第 n 周的虫害的严重程度，虫害指数
越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两
个策略之一：
策略 A ：环境整治，“虫害指数”数列满足 1 1.02 0.20n nI I ；
策略 B ：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足 1 1.08 0.46n nI I ；
当某周“虫害指数”小于 1 时，危机就在这周解除.
（1）设第一周的虫害指数 1 [1,8]I ，用哪一个策略将使第二周的虫害严重程度更小？
（2）设第一周的虫害指数 1 3I ，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）虫害最快在第 9 周解除
【解析】
（1）根据两种策略，分别计算第二周虫害指数 2I ，比较它们的大小可得结论；
（2）由（1）可知，最优策略为策略 B ，得 1 1.08 0.46n nI I ，凑配出数列 23{ }4nI 是等比数列，求得通项
nI ，由 1nI 可解得 n 的最小值．（1）由题意可知，使用策略 A 时， 2 11.02 0.2I I ；使用策略 B 时，
2 11.08 0.46I I
令 1 1 1
131.02 0.20 1.08 0.46 0 3I I I ，即当 1
131, 3I
时，使用策略 B 第二周严重程度更小；当
1
13
3I 时，使用两种策哈第二周严重程度一样；当 1
13 ,83I
时，使用策略 A 第二周严重程度更小.
（2）由（1）可知，最优策略为策略 B ，即 1 1
23 231.08 0.46, 1.084 4n n n nI I I I
，所以数列 23
4nI
是以 11
4
为首项，1.08 为公比的等比数列，所以 123 11 1.084 4
n
nI
，即 111 231.084 4
n
nI
，令
1nI ，可得 9n ，所以虫害最快在第 9 周解除.
【点睛】
本题考查数列的应用，考查由递推公式求数列的通项公式．掌握由递推公式 1 ( 1,0)n na pa q p 求通项公式
的方法是解题基础．
14．据相关数据统计，2019 年底全国已开通 5G 基站 13 万个，部分省市的政府工作报告将“推进5G 通信网络建
设”列入 2020 年的重点工作，今年一月份全国共建基站 3 万个.
（1）如果从 2 月份起，以后的每个月比上一个月多建设 2000 个，那么，今年底全国共有基站多少万个.（精确到
0.1 万个）
（2）如果计划今年新建基站 60 万个，到 2022 年底全国至少需要 800 万个，并且，今后新建的数量每年比上一
年以等比递增，问 2021 年和 2022 年至少各建多少万个才能完成计划？（精确到 1 万个）
【答案】（1）62.2 万个，（2）2021 年 181 万个，2022 年 547 万个
【解析】
（1）今年每月建设基站的数量构成一个等差数列，首项为 3 万个，公差为 0.2 万，根据等差数列的求和公式可得
今年建设基站的个数，再加上去年基站的个数即可得到答案；
（2）依题意，每年新建基站的数量构成等比数列，设公比为 q ( 1)q ，根据题意列式 260 60 60 800 13q q ，
可得 371 1
30 2q ，再求出 60q 和 260q 即可得到答案.（1）依题意，今年每月建设基站的数量构成一个等差
数列，首项为 3 万个，公差为 0.2 万，
所以今年一共建设基站 12 113 12 0.2 49.22
万个，
所以今年底全国共有基站13 49.2 62.2 万个.
（2）依题意，每年新建基站的数量构成等比数列，设公比为 q ( 1)q ，
则 260 60 60 800 13q q ，即 2 727 060q q ，解得 371 1
30 2q ，
所以 37160 60 30 18130q 万个， 2 2371 160 60 ( )30 2q 547 万个.
所以 2021 年至少新建181万个基站，2022 年至少新建547 万个基站才能完成计划.
【点睛】
本题考查了数列建模，考查了等差数列的求和公式和等比数列的通项公式，考查了运算求解能力，属于中档题.
15．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点 P 变轨进入以月球球心 F 为左焦点､长轴
长为 40 万公里､短轴长为 4 万公里的椭圆轨道 T1 绕月飞行，之后卫星在点 P 第二次变轨进入仍以 F 为左焦点､长
轴长为 20 万公里的椭圆轨道 T2 绕月飞行.
（1）求椭圆轨道 T2 的短轴长；(近似到 0.1)
（2）若椭圆轨道 T2 上有四个卫星观测点 A､B､C､D，且四边形 ABCD 是以椭圆 T2 中心为对称中心的矩形，将矩
形 ABCD 的面积称为观测覆盖面，求观测覆盖面的最大值(近似到 0.1).
【答案】（1）2.8 万公里；（2）28.2 万平方公里.
【解析】
（1）根据题意，可得椭圆 T1 的半长轴 a1，半短轴 b1，根据 a1，b1，c1 的关系，可求得 c1 的值，即可求得
1 1 2 2PF a c a c ，又椭圆 T2 的中， 22 20a ，可求得 2c 的值，进而可求得 2b 的值，即可得答案.
（2）椭圆 T2 放入平面直角坐标系中，可得椭圆 T2 的标准方程，设 A(x，y)为椭圆上的任意点，根据题意，可得
矩形 ABCD 的面积为 4S xy ，根据椭圆的方程，结合基本不等式，即可求得 xy 的最大值，即可得答案.（1）
设椭圆 T1 的长轴长，短轴长，焦距为 2a1，2b1，2c1；
设椭圆 T2 的长轴长，短轴长，焦距为 2a2，2b2，2c2；.
因此 2a1=40，2b1=4，则 c1= 2 2
1 1 6 11a b ，
所以 1 1 2 2 20 6 11PF a c a c ，
又 22 20a ，所以 2 6 11 10c ，
所以 2 2
2 2 2 120 11 396 1.412b a c
故椭圆轨道 T2 的短轴长为 2.8 万公里
（2）将椭圆 T2 放入平面直角坐标系中，使得长轴，短轴分别在 x 轴，y 轴上，对称中心在原点，
则椭圆 T2 的标准方程为
2 2
1100 120 11 396
x y
，
设 A(x，y)为椭圆上的任意点，则矩形 ABCD 的面积为 S= 4 xy ，
2 2 2 2
1 2100 120 11 396 100(120 11 396)
x y x y
，
当且仅当
2 2
100 120 11 396
x y
时等号成立，
所以 5 120 11 396 7.06xy ，
所以 4 28.2S xy
因此观测覆盖面的最大值为 28.2 万平方公里.
【点睛】
解题的关键是根据题意，求得面积表达式，再根据椭圆的方程，结合基本不等式求解，计算难度大，考查计算求
值的能力,属中档题.
16．用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如图所示，它的外框是一个等腰梯形 PQRS ，内部是一段抛物线和一根横
梁．抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点 O ，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以
及横梁的焊接点 A ， B ，抛物线与梯形下底的两个焊接点为 C ， D ．已知梯形的高是 40 厘米，C 、 D 两点间
的距离为 40 厘米．
（1）以O 为原点，梯形的上底所在直线为 x 轴，建立直角坐标系，求横梁 AB 的长度；
（2）求梯形外框的用料长度．（注：细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到 1 厘米．）
【答案】（1） 28cm ；（2）141cm．
【解析】
（1）以O 为原点，梯形的上底所在的直线为 x 轴建立直角坐标系，设 2 2 ( 0)x py p ，代入点 (20, 40)D ，
求得 p 的值，求得抛物线的方程，即可求得横梁的长度；
（2）设 : 20 ( 10 2)( 0)RQl y k x k ，联立方程组，根据 0 ，求得直线的斜率 k ，进而求得梯形外
框的用料长度．（1）如图所示，以 O 为原点，梯形的上底所在的直线为 x 轴，建立直角坐标系，
设梯形下底与 y 轴交于点 M ，抛物线的方程为 2 2 ( 0)x py p ，
由题意 (20, 40)D ，代入可得 220 2 ( 40)p ，解得 5p ，
所以抛物线的方程为 2 10x y ．
令 20y ，解得 10 2x ，即 ( 10 2, 20)A ， (10 2, 20)B ，
所以 | | 20 2 28 cmAB ，即横梁 AB 的长度约为 28cm ．
（2）由题意，得梯形腰的中点是梯形的腰与抛物线唯一的公共点，
设 : 20 ( 10 2)( 0)RQl y k x k ．
联立方程组 2
20 ( 10 2)
10
y k x
x y
，整理得 2 10 100(2 2 ) 0x kx k ，
则 2100 400(2 2 ) 0k k ，解得 2 2k ，即 : 2 2 20RQl y x ，
得 (5 2,0)Q ， (15 2, 40)R ，可得| | 5 2OQ ，| | 15 2MR ，| | 30 2RQ ，
梯形周长为 2(5 2 15 2 30 2) 100 2 141 cm ．
17．折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长. 某些折纸活动蕴
含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，按如下步骤折纸（如下图），
步骤 1：设圆心是 O ，在圆内不是圆心处取一点，标记为 F；
步骤 2：把纸片对折，使圆周正好通过 F；
步骤 3：把纸片展开，于是就留下一条折痕；
步骤 4：不停重复步骤 2 和 3，能得到越来越多条的折痕．
所有这些折痕围成的图形是一个椭圆.若取半径为 4 的圆形纸片，设定点 F 到圆心O 的距离为 2，按上述方法折
纸.
（1）建立适当的坐标系，求折痕围成椭圆的标准方程；
（2）求经过 F ，且与直线 FO 夹角为
4
的直线被椭圆截得的弦长.
【答案】（1）
2 2
14 3
x y ；（2） 24
7 .
【解析】
（1）建立直角坐标系后，由椭圆的定义即可得解；
（2）联立方程组，由韦达定理结合弦长公式即可得解.（1）如图，以 FO 所在的直线为 x 轴，FO 的中点 M 为原
点建立平面直角坐标系，
设 ,P x y 为椭圆上一点，由题意可知 + = =4PF PO AO 且 =2FO ，
所以 P 点轨迹以 F，O 为左右焦点，长轴长 2 4a 的椭圆，
因为 2 2,2 4c a ，所以 1, 2c a ， 2 2 2 3b a c ，
所以椭圆的标准方程为
2 2
14 3
x y ；
（2）如图，不妨令过 1,0F 的直线交椭圆于 C，D 且倾斜角 45，
所以直线 : 1CD y x ，设 1 1 2 2, , ,C x y D x y ，
联立
2 23 4 12
1
x y
y x
，消元得 27 8 8 0x x ， 0 ，
所以 1 2 1 2
8 8,7 7x x x x ，
所以
2
2
1 2 1 2
8 8 241 1 4 2 47 7 7CD x x x x
.
18．我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径 3400kmR ）的中心 F 为一个焦点的
椭圆．如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点） A 到火星表面的距离为800km ，远火星点
（轨道上离火星表面最远的点） B 到火星表面的距离为80000km ．假定探测器由近火星点 A 第一次逆时针运
行到与轨道中心O 的距离为 kmab 时进行变轨，其中 ,a b 分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与
火星表面的距离（精确到100km ）．
【答案】18700km
【解析】
根据题意求出轨道方程为
2 2
1191844 35028
x y ，设变轨时，探测器位于 0 0,P x y ，则
2 2
0 0 81975. 1x y ab ，结合轨道方程求出 P ，再利用两点间的距离公式即可求解.设所求轨道方程为
2 2
2 2
2 2 1( 0) ,x y a b c a ba b
． 800 34, 8 34, 438, 396a c a c a c ．
于是 2 2 2 35028b a c ．所以所求轨道方程为
2 2
1191844 35028
x y ．
设变轨时，探测器位于 0 0,P x y ，则 2 2
0 0 81975. 1x y ab
2 2
0 0 1191844 35028
x y ．
解方程组，得 0 0239.7, 156.7x y （由题意）．
所以探测器在变轨时与火星表面的距离为 2 2
0 0 187.3x c y R ．
所以探测器在变轨时与火星表面的距离约为18700km .
【点睛】
本题考查了椭圆方程的应用，考查了考生的计算求解能力，属于基础题.
19．学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方
程为
2 2
188 44
x y ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以 y 轴为对称轴、 0,8M 为
顶点的抛物线的实线部分，降落点为 8,0D ．观测点 4,0A 实时跟踪航天器．
（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程（只需求出曲线方程即可，不必求范围）；
（2）试问：当航天器在 x 轴上方时，观测点 A 测得离航天器的距离为多少时，应向航天器发出变轨指令？
【答案】（1） 21 88y x ；（2）10
【解析】
（1）先设出抛物线的方程，结合所经过的点列出方程，然后解方程得到参数的值；
（2）先求解变轨时点的坐标，然后利用两点间的距离公式求出 AC 即可.（1）设曲线方程为 2 8y ax ，由题
意可知， 0 64 8a ，
∴ 1
8a ，
∴曲线方程为 21 88y x ；
（2）设变轨点为 ,C x y ，根据题意可知
2 2
2
188 44
1 88
x y
y x
，得 2 4 12 0y y ，解得 6y 或 2y （不合题
意，舍去），
∴ 6y ，得 4x 或 4x （不合题意，舍去），
∴C 点的坐标为 4,6 ， 10AC ，
答：当观测点 A 测得离航天器的距离为 10 时，应向航天器发出变轨指令．
【点睛】
本题主要考查圆锥曲线在实际生活中的应用，理解模型，求解模型是求解的关键，侧重考查数学建模的核心素养，
属中档题.
20．培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质 N ，已知向水中每投放 1 个单位的物质 N ， x （单
位：天）时刻后水中含有物质 N 的量增加 mol/Ly ， y 与 x 的函数关系可近似地表示为关系可近似地表示为
168 ,0 62
12 ,6 12
xy x
x x
.根据经验，当水中含有物质 N 的量不低 4mol/L 时，物质 N 才能有效发挥作用.
（1）若在水中首次投放 1 个单位的物质 N ，计算物质 N 能持续有效发挥作用几天？
（2）若在水中首次投放 1 个单位的物质 N ，第 8 天再投放 1 个单位的物质 N ，试判断第 8 天至第 12 天，水中
所含物质 N 的量是否始终不超过 6mol/L ，并说明理由.
【答案】（1）6 天.（2）第 8 天至第 12 天，水中所含物质 N 的量始终不超过 6mol/L .见解析
【解析】
（1）由题可知
168 ,0 62
12 ,6 12
xy x
x x
，分类讨论求解满足 4y 时的 x 的范围，即可得出在水中首次投放 1
个单位的物质 N ，物质 N 能持续有效发挥作用的天数；（2）根据已知求出函数解析式
16 1620 14 66 6y x xx x
，利用基本不等式即可求得当 10x 时， max 6y ，从而得出结论.
解：（1）由题意， x (单位：天)时刻后水中含有物质 N 的量为：
168 ,0 62
12 ,6 12
xy x
x x
，
由于当水中含有物质 N 的量不低 4mol/L 时，物质 N 才能有效发挥作用，
即需 4y ，
则当 0 6x 时， 168 42x
且当 6 12x 时，12 4x ，
解得： 2 8x ，
所以若在水中首次投放 1 个单位的物质 N ，物质 N 能持续有效发挥作用的时间为：8-2=6 天.
（2）设第 8 12x x 天水中所含物质 N 的量为 mol/Ly ，
则 12 20( 8) 2 6 16 168y x xx x
，
16 1614 6 14 2 6 66 6y x xx x
，
当且仅当 166 6x x
，即 10 8,12x 时，等号成立，
即当 10x 时， max 6y ，
所以第 8 天至第 12 天，水中所含物质 N 的量始终不超过 6mol/L .
【点睛】
本题考查利用函数解决实际问题，考查分段函数和基本不等式的应用，确定函数的解析式是关键.
21．某地区去年的水价为 4.2 元/立方米，年用水量为 m 立方米，今年计划将水价降到 2.8 元/立方米至 4 元/立方
米之间，而用户期望水价为 2.5 元/立方米，经测算，下调水价后新增的用水量与实际水价和用户期望水价的差成
反比（比例系数为 0.5m），该地区的成本为 2 元/立方米.
（1）今年水价下调后，为保证供水部门的收益不得低于去年的收益，则实际水价 x 最低价格为多少？（保留 2
位小数）
（2）试问调价后，今年供水部门收益的最小值为多少？
【答案】（1）3.43 元/立方米（2）2m
【解析】
（1）解不等式 0.52 4.2 22.5
mx m mx
即得解；
（2）由题得 0.52 , 2.8,42.5
my x m xx
，换元得 0.5 10.5 1 14y m t m tt t
，再利用
基本不等式求解.（1）由题得供水部门的收益为 0.52 , 2.8,42.5
mx m xx
；
由题得 0.52 4.2 22.5
mx m mx
，
2 6.2 9.5 0, 2.77x x x 或 3.43x ，
又 2.8,4x ，
所以 x 最小值为 3.43.
所以为保证收益不低于去年的收益，则实际水价的最低价格为 3.43 元/立方米.
（2）由题得 0.52 , 2.8,42.5
my x m xx
，
设 2.5 0.3,1.5x t ，
所以 0.5 10.5 1 1 24y m t m t mt t
，
当且仅当 1 ,4t t
即 1
2t ，
即 3x 时，等号成立，所以今年供水部门收益的最小值为 2 m 元.
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是对 0.52 2.5
my x m x
换元，设 2.5 0.3,1.5x t ，换元得到
1 14y m t t
，才能用基本不等式求解.
22．某厂家拟定在 2020 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用
m(m≥0)万元满足 x＝3－
1
k
m (k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是 1 万件．已知 2020
年生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为
每件产品平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
（1）将 2020 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数；
（2）该厂家 2020 年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？
【答案】（1）y＝－ 16 ( 1)1 mm
＋29(m≥0)；（2）该厂家 2020 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大
为 21 万元．.
【解析】
（1）根据 0, 1m x (万件)求出 2k ，求出每件产品的销售价格，则可得利润关于 m 的函数；
（2）利用基本不等式可求得最大值.(1)由题意知，当 m＝0 时，x＝1(万件)，
所以 1＝3－k⇒k＝2，所以 x＝3－ 2
1m (m≥0)，
每件产品的销售价格为 1.5× 8 16x
x
(元)，
所以 2020 年的利润 y＝1.5x× 8 16x
x
－8－16x－m
＝－ 16 ( 1)1 mm
＋29(m≥0)．
(2)因为 m≥0 时， 16
1m
＋(m＋1)≥2 16 ＝8，
所以 y≤－8＋29＝21，当且仅当 16
1m
＝m＋1⇒m＝3(万元)时，ymax＝21(万元)．
故该厂家 2020 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大为 21 万元．
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的
因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的
最值，这也是最容易发生错误的地方
23．随着“新冠”疫情得到有效控制，企业进入了复工复产阶段为了支持一家小微企业发展，某科创公司研发了一
种玩具供其生产销售．根据测算，该企业每月生产每套玩具的成本 p 由两部分费用（单位：元）构成：①固定成
本（与生产玩具套数 x 无关），总计 2 万元；②生产所需成本 215 200x x
（1）问：该企业每月生产多少套玩具时，可使得平均每套所需的成本费用最少？此时每套玩具的成本费用是多
少？
（2）因“疫情”防控的需要，要求企业的复工复产逐步进行，假设复工后，企业每月生产 x 套，售价定为30 100
x
（单位：元），且每月生产出的玩具能全部售出如果企业的月产量与复工率成正比，且该企业复工率达 100%时的
月产量为 4000 套，问：该企业的复工率至少达到多少时，才能确保月利润不少于 10 万元？
【答案】（1）每月生产 2000 套玩具时，平均每套所需的成本费用最少，为 25 元；（2）该企业的复工率至少达到
75%时，才能确保月利润不少于 10 万元．
【解析】
（1）由题分析得平均每套所需的成本费用 20000 1 5200
P xx x
，再利用基本不等式求解；（2）解不等式
2
25 20000 100000200
x x 即得解.（1）
21 20000 1 20000 120000 5 , 5 2 5 25200 200 200
Pp x x x xx x x
，
当且仅当 20000 1
200 xx
，即 2000x 时取等号，
所以每月生产 2000 套玩具时，平均每套所需的成本费用最少，为 25 元；
（2）设利润为
2
2130 20000 5 25 20000 100000100 200 200
x xs x x x x
，
所以 2 5000 24000000 0x x ，即 ( 8000)( 3000) 0x x ，
所以 30003000, 75%4000x ，
所以该企业的复工率至少达到 75%时，才能确保月利润不少于 10 万元．
【点睛】
方法点睛：利用基本不等式求最值，要注意：（1）一正：每一个数必须是正数；（2）二定：这些正数的积或者和
是定值；（3）三相等：取等的条件要成立.
24．某市为了刺激当地消费，决定发放一批消费券，已知每投放 (0 4, )a a a R 亿元的消费券，这批消费券
对全市消费总额提高的百分比 y 随着时间 x (天）的变化的函数关系式近似为 ( )
10
af xy ，其中
3 0 2,( ) 3
7 2 7,
x x xf x x
x x x
R
R
，若多次投放消费券，则某一时刻全市消费总额提高的百分比为每次投放的
消费券在相应时刻对消费总额提高的百分比之和.
（1）若第一次投放 2 亿元消费券，则接下来多长时间内都能使消费总额至少提高 40% ；
（2）政府第一次投放 2 亿元消费券， 4 天后准备再次投放 m 亿元的消费券，若希望第二次投放后的接下来两天
内全市消费总额仍然至少提高 40% ，试求 m 的最小值.
【答案】（1） 5天内；（2） min 20 8 6m .
【解析】
（1）根据题意分段列出不等式组，求解，然后取并集即得 x 的取值范围，从而得解；
（2）依题意，列出不等式，并分离参数，然后利用换元方法和基本不等式求相应最值，从而得到所求.依题意得
a=2,
32 10 40% 43
0 2
x
x
x
，解得1 2x ，
2 (7 ) 10 40% 4
2 7
x
x
，解得 2 5x ，
1 5x ，
即第一次投放 2 亿元消费券，则接下来5天内都能使消费总额至少提高 40% ；
（2）依题意得 3( ) 4 2[7 ( 4)] 43
xmf x x m x
；
在 0,2x 上恒成立， 3 (2 2)(3 )6 2 43 3
x x xx m mx x
，
设 (2 8)(6 ) 243 [3,5], 3 20 2( )t tt x x t m tt t
20 8 6m ， min 20 8 6m .
【点睛】
本题考查分段函数模型的应用，涉及不等式的求解，不等式恒成立问题.
注意：（1）不等式恒成立问题，分离参数后所得式子如果不是特别复杂以至于很难处理，一般常用分离参数法解
决；
（2）对于二次分式函数的最值，若分子或分母中的式子是一次的，一般作换元，用一个字母 t 表示这个一次式，
二次分式可以表示为 t 函数，一般可用基本不等式或者对勾函数的性质求得相应最值；若分子分母都是二次式，
则可以通过分离常数，先将分子转化为一次式在进行处理.
25．某村共有 100 户农民，且都从事蔬菜种植，平均每户的年收入为 2 万元．为了调整产业结构，该镇政府决定
动员部分农民从事蔬菜加工．据估计，若能动员 *x xN 户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续从事蔬菜种植的
农民平均每户的年收入比上一年提高 2 %x ，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入为 92 ( 0)50a x a
万元．
（1）在动员 x 户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的总年收入不低于动员前 100 户农民的总年收
入，求 x 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，要使这 100 户农民中从事蔬菜加工的农民的总年收入始终不高于从事蔬菜种植的农民的
总年收入，求 a 的最大值．
【答案】（1） 0 50x ；（2）9.
【解析】
（1）根据题意，表示出动员 x 户农民从事蔬菜加工后农民的总年收入，动员前农民的总年收入，再解不等式.
（2）转化成恒成立问题，再分离变量，转化成函数的最值问题.解：（1）动员 x 户农民从事蔬菜加工后，农民的
总年收入为 (100 ) 2(1 2 %)x x ，
由题得 (100 ) 2(1 2 %)x x 200 0 50x ．
（2）由题 92 (100 ) 2(1 2 %)50x a x x x
恒成立，其中 0 50x ，
即 100 4 125
xa x
恒成立，又因为100 4 4001 2 1 925 25
x x
x x
，
当且仅当 25x 时等号成立，所以 max 9a ．
【点睛】
本题是应用问题，应理解题意，列出关系式，还考查了解一元二次不等式，和恒成立问题的处理方法，以及利用
均值不等式求最值.
26．（文）市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快，已知每投放 a 1 4,a a R 个单位的洗衣
液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度 y （克/升）随着时间 x （分钟）变化的函数关系式近似为
y a f x ，其中
16 1 0 48
15 4 102
xxf x
x x
，若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的
洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于 4（克/升）时，它才能起到有效去
污的作用.
（1）若只投放一次 4 个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？
（2）若第一次投放 2 个单位的洗衣液，6 分钟后再投放 2 个单位的洗衣液，问能否使接下来的 4 分钟内持续有效
去污？说明理由.
【答案】（1）8；（2）能，理由见解析；
【解析】
（1） 4a ，所以
64 4,0 48
20 2 ,4 10
xy x
x x
，利用水中洗衣液的浓度不低于 4（克 / 升），利用分段函数的意义
分类讨论即可解出；（2）当 6 10x 时， 1 16 162 (5 ) [ 1] (14 ) 4 8 42 8 ( 6) 14
ay x a x a a ax x
，
利用基本不等式，便得出结论．（1）因为 4a ，所以
64 4,0 48
20 2 ,4 10
xy x
x x
．
则当 0 4x 时，由 64 4 48 x
，解得 0x
，所以此时 0 4x ．
当 4 10x 时，由 20 2 4x
，解得 8x ，所以此时 4 8x ．
综上，得 0 8x ，若一次投放 4 个单位的洗衣液，则有效去污时间可达 8 分钟．
（2）假设要使接下来的 4 分钟内持续有效去污，则：
当 6 10x 时， 1 16 162 (5 ) [ 1] (14 ) 4 8 42 8 ( 6) 14
ay x a x a a ax x
当且仅当14 4x a 时等号取到．（因为1 4a ，所以 [6x ，10]能取到）
所以 y 有最小值8 4a a ．
令8 4 4a a
，解得 24 16 2 4a ，
所以 a 的最小值为 24 16 2 1.4 2 ．
即要使得接下来的 4 分钟内持续有效去污，6 分钟后至少需要再投放 1.4 个单位的洗衣液，
所以，若第一次投放 2 个单位的洗衣液，6 分钟后再投放 2 个单位的洗衣液，能使接下来的 4 分钟内持续有效去
污.
【点睛】
本题考查了分段函数的意义及基本不等式的运用、分类讨论等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算
能力．
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