专题 09 线性规划（客观题）
一、单选题
1．若
0
2 0
3 0
x
x y
x y
，则 3z x y 的最小值是
A．0 B．1
C．5 D．9
【试题来源】浙江省三校（新昌中学、浦江中学、富阳中学）2020-2021 学年高三上学期第
一次联考
【答案】C
【解析】根据约束条件作出可行域如图所示，
当直线 3z x y 过点（2，1）时在 y 轴上的截距最小， z 最小，
由 A(2，1)知 z 的最小值为 5．故选 C．
2．若实数 x ， y 满足条件
0
1
1
x
y
x y
，则 2x y 的取值范围为
A． 1,3 B． 1,
C． 1, D． R
【试题来源】浙江省十校联盟 2020-2021 学年高三上学期 10 月联考
【答案】B
【解析】如图，阴影部分为可行域，所以目标函数 2z x y 过 (0, 1) 取得最小值 1，
所以 2x y 的取值范围为 1, ，故选 B．
3．若实数 x ， y 满足约束条件 2 1 0
4 0
x y
x y
，则 2z x y 的取值范围是
A． ,5 B． ,7
C． 7, D． ,
【试题来源】浙江省杭州地区（含周边）重点中学 2020-2021 学年高三上学期期中
【答案】C
【解析】画出实数 x，y 满足约束条件 2 1 0
4 0
x y
x y
所示的平面区域，如图：
将目标函数变形为
2 2
x zy ，
则 z 表示直线在 y 轴上截距，截距越大，z 越大，由 2 1 0
4 0
x y
x y
得 1
3
x
y
，
当目标函数过点 A（1，3）时，截距最小为 z＝1＋6＝7，随着目标函数向上移动截距越来越
大，故目标函数 2z x y 的取值范围是 7, ．故选 C．
4．若实数 x，y 满足约束条件
0
3
2 0
x y
x
x y
，则 2x y 的最小值为
A．1 B． 1
C．3 D． 3
【试题来源】浙江省温州市 2020-2021 学年高三上学期 11 月高考适应性测试（一模）
【答案】D
【解析】实数 x，y 满足约束条件
0
3
2 0
x y
x
x y
的可行域如图所示：
记目标函数 2z x y ，平移直线 1
2 2
zy x ，当直线经过点 (3,3)A 时在 y 轴上的截距最
大，此时对应的 z 具有最小值，最小值为 3 2 3 3z ，故选 D．
5．若实数 x ， y 满足约束条件
2,
2 1,
1,
x y
x y
y
则 2z x y 的最大值为
A． 2 B． 1
C．1 D．3
【试题来源】浙江省金华市东阳中学 2021 届高三（上）第二次暑期检测
【答案】D
【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由 2z x y 得 1 1
2 2y x z ，
平移直线 1 1
2 2y x z 由图象可知当直线 1 1
2 2y x z 经过点 A时，
直线 1 1
2 2y x z 的截距最大，此时 z 最大，
由 2
2 1
x y
x y
，解得 (1,1)A ，此时 1 2 1 3z ，故选 D．
6．设 ,x y 满足约束条件
1
{
2
x y
y x
y
，则 3z x y 的最大值为
A．-8 B．3
C．5 D．7
【试题来源】哈尔滨师范大学青冈实验中学 2019-2020 学期高三上学期开学考试（8 月）（文）
【答案】D
【解析】不等式表示的可行域为直线 1, , 2x y y x y 围成的三角形及其内部，三个
顶点为 1 1, , 2, 2 , 3, 22 2
，当 3z x y 过点 3, 2 时取得最大值 7．故选 D．
7．若实数 x ， y 满足约束条件 1 0
0
x y
x y
，则 z x y 的取值范围是
A． ( 1, ) B． ( , 1)
C． (1, ) D． ( ,1)
【试题来源】浙江省金色联盟（百校联考）2020-2021 学年高三上学期 9 月联考
【答案】A
【分析】画出二元一次不等式组表示的平面区域，z x y 等价于 y x z ，表示斜率为
1 的平行直线系，利用图象可求出纵截距的范围．
【解析】画出二元一次不等式组表示的平面区域，如图所示：
z x y 等价于 y x z ，表示斜率为 1 的平行直线系，由图可知，当目标直线与
1 0x y 重合时， 1z ，则 z x y 的取值范围是 1z ．故选 A．
8．若实数 x，y 满足条件
2 0
0
0
x y
x y
x
，则 2z x y
A．有最小值，无最大值 B．有最小值，有最大值
C．无最小值，有最大值 D．无最小值，无最大值
【试题来源】浙江省金华市东阳中学 2020-2021 学年高三上学期 10 月阶段考试
【答案】C
【解析】画出不等式表示的可行域，如图所示，
目标函数 2z x y 表示斜率为 1
2
的直线，当直线 2z x y 经过点 B 时，直线 2z x y
在 y 轴的截距最小，此时 z 最大，如图可行域向上无边界，所以直线 2z x y 在 y 轴的截
距没有最大值，所以 z 没有最小值．故选 C．
9．已知实数 x，y 满足不等式组
1 0,
3 2 6 0,
5 3 0,
x y
x y
x y
则目标函数 2z x y 的最小值为
A．4 B． 14
5
C．6 D．7
【试题来源】备战 2021 年高考数学（理）一轮复习考点一遍过
【答案】C
【解析】不等式组
1 0
3 2 6 0
5 3 0
x y
x y
x y
表示的平面区域为图中的 ABC (包括边界)，
由图知，平移直线 2z x y ，当经过点 C 时， 2z x y 取得最小值，
易得 (0 3)C ， ，即 0 6 6z ．故选 C．
10．若实数 ,x y 满足 2 0
0
x y
x y
，则 2z x y
A．有最小值1，无最大值 B．有最小值 1 ，无最大值
C．有最大值 2 ，无最小值 D．有最大值 1 ，无最小值
【试题来源】【新东方】【2020】【高三上】【期中】【HD-LP359】【数学】
【答案】A
【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，
将 2z x y 化为 2y x z ，则 z 的最值问题可看作是斜率为 2 的直线的截距问题，
观察图形可得，当直线过 1,1A 时， z 取得最小值 1，无最大值．故选 A．
11．设实数 x ， y 满足不等式组
1 0
2 1 0
1 0
x y
x y
x y
，则 2x y 的取值范围
A． 4,2 B． 1,2
C． 1, D． 2,
【试题来源】浙江省浙南名校联盟 2020-2021 学年高三上学期第一次联考
【答案】C
【解析】如图，画出可行域，令 2z x y ， 2y x z ，
当 0z 时，画出初始目标函数表示的直线 2y x ，当直线平移至点 0,1A 时，
2z x y 取得最小值 min 2 0 1 1z ，根据可行域可知，无最大值，
所以 2x y 的范围是 1, ．故选 C．
12．已知实数 x ， y 满足不等式组
3,
2 0,
4,
x y
x y
x
则 2
1
y
x
的最小值是
A． 1
8 B． 1
5
C． 4
5 D．1
【试题来源】河南省部分重点高中 2020-2021 学年高三阶段性考试（四）（理）
【答案】B
【解析】画出
3,
2 0,
4,
x y
x y
x
表示的平面区域，如下：
2
1
y
x
可看作是过可行域内的点 ,x y 与点 1, 2 的直线的斜率，
则 2
1
y
x
的最小值是 1
5
．故选 B．
13．设 x ， y 满足
2 4
1
2 2
x y
x y
x y
，则 z x y 的取值范围是
A． 7,3 B． 2,3
C． 2, D． ,3
【试题来源】四川省成都七中 2020-2021 学年高三上学期半期考试（理）
【答案】C
【解析】由题意得可行域为阴影部分，如图所示：
则 y x z 在 2,0A 取得最小值为 2 ，无最大值，
即 z x y 的取值范围为 2, ，故选 C．
14．设实数 ,x y 满足约束条件
1 0,
3 3 0,
1 0,
x y
x y
x y
则 | 2 3|z x y 的取值范围为
A．[2,5] B．[2 ) ，
C．[2,4] D．[4 + )，
【试题来源】浙江省台州市第一中学 2020-2021 学年高三上学期期中
【答案】A
【解析】画出可行域如下图所示，对 2 3 0x y 的直线进行平移，分别平移至经过 B 点
和经过 A点，由图可知， 2 3z x y 在点 0,1A 处取得最小值为 min 0 3 5z ，在
点 10B , 处取得最大值为 max 1 3 2z ，所以， | 2 3|z x y 的取值范围为[2,5]，故
选 A.
15．若变量 ,x y 满足
2 0
2 0
2 4 0
x y
y
x y
，则 2
6
y
x
的最小值是
A． 2 B． 4
5
C． 4 D． 1
2
【试题来源】浙江省绍兴市稽阳联谊学校 2020-2021 学年高三上学期 11 月联考
【答案】A
【解析】作出不等式组
2 0
2 0
2 4 0
x y
y
x y
表示的平面区域为如图所示的阴影部分，
因为 2
6
y
x
表示平面区域内的点 ,x y 与定点 6, 2M 连线的斜率，
由图可得，当 2
6
y
x
的最小值为 BMk ，由 2 0
2
x y
y
解得 4
2
x
y
，即 4,2B ，
所以 2 2 24 6BMk
．故选 A．
16．若平面区域
3 0
2 3 0
2 3 0
x y
x y
x y
夹在两条斜率均为 1 的平行直线之间，则这两条平行直线间
的距离的最小值为
A． 3 5
5
B． 2
C． 3 5
2
D． 5
【试题来源】湖南省常德市一中 2020-2021 学年高三上学期第三次月考
【答案】B
【解析】画出不等式组的平面区域如题所示，由 2 3 0{ 3 0
x y
x y
得 (1,2)A ，由 2 3 0{ 3 0
x y
x y
得 (2,1)B ，由题意可知，当斜率为 1 的两条直线分别过点 A 和点 B 时，两直线的距离最小，
即 2 2(1 2) (2 1) 2AB ．故选 B．
17．若 x ， y 满足约束条件
1
2 0
3 2 2 0
x y
x y
x y
，则 3z x y 的最小值为
A．-3 B．-1
C．0 D．2
【试题来源】河南省 2020-2021 学年上学期高中毕业班阶段性测试（一）（文）
【答案】B
【解析】由约束条件
1
2 0
3 2 2 0
x y
x y
x y
作出可行域如图，
联立 3 2 2 0
1 0
x y
x y
，解得 (0,1), ，
由目标函数 3z x y 得 3y x z ，可知当直线 3y x z 经过点 0,1 时，
其纵截距 z 最大， z 最小，最小值为3 0 1 1 ．故选 B．
18．已知函数
3
21( ) 23 2
xf x ax bx c 的两个极值分别为 1( )f x 和 2( )f x ，若 1x 和 2x 分
别在区间 (0,1) 与 (1,2) 内，则 2
1
b
a
的取值范围是
A． (1 ,14 ) B． 1[ ,1]4
C． 1( , ) (1, )4
D． 1( , ] [1, )4
【试题来源】福建省福清西山学校高中部 2020 届高三上学期期中考试（文）
【答案】A
【解析】由题意知 2( ) 2f x x ax b ，而 ( )f x 两个极值点 1x 和 2x 分别在区间 (0,1) 与
(1,2) 内，所以方程 2 2 0x ax b 两个根在 (0,1) 与 (1,2) 内， ( )f x 开口向上，
所以
0
1 2 0
2 0
b
a b
a b
，可得 1 3
1 0
a
b
，即 2 1 4
1 2 2
a
b
，
所以令 1, 2x a y b ，问题转化为在 2 4, 1 2x y 的可行域内的点与原点
所成直线斜率 y
x
的取值范围，如下图示：有 1( ,1)4
y
x
，故选 A．
19．已知 a>0，x，y 满足约束条件
1
{ 3
( 3)
x
x y
y a x
，
＋ ，
－
若 z＝2x＋y 的最小值为 1，则 a 等于
A． 1
2
B．
C．1 D．2
【试题来源】 2020-2021 学年高三上学期开学考试（零诊模拟）（文）
【答案】B
【解析】由已知约束条件，作出可行域如图中
△
ABC 内部及边界部分，由目标函数 z＝2x＋y
的几何意义为直线 l：y＝－2x＋z 在 y 轴上的截距，知当直线 l 过可行域内的点 B(1，－2a)
时，目标函数 z＝2x＋y 的最小值为 1 ，则 2－2a＝1，解得 a＝ 1
2
，故选 B
20．若实数 x ， y 满足约束条件
2 4 0
2 0
2 4 0
x y
x y
x y
，则 3z x y 的最小值为
A． 10 B． 8
C． 6 D．2
【试题来源】湖北省十堰市 2020 届高三下学期 6 月调研考试（理）
【答案】B
【解析】画出不等式组
2 4 0
2 0
2 4 0
x y
x y
x y
所表示的平面区域，如图所示，
由 3z x y ，可得 1 1
3 3y x z ，当直线过点 A时，此时直线 1 1
3 3y x z 在 y 轴上的截
距最大，此时目标函数取得最小值，
又由 2 4 0
2 4 0
x y
x y
，解得 4, 4x y ，即 (4,4)A ，
所以目标函数 3z x y 的最小值为 min 4 3 4 8z ．故选 B．
21．若实数 x ， y 满足不等式组
1
2 2
2 2
x y
x y
x y
，则目标函数 3z x y 的最大值为
A．3 B．6
C．9 D．12
【试题来源】山西省 2021 届高三上学期大联考（理）
【答案】C
【解析】由题意作出其平面区域，将 3z x y 化为 3y x z ，z 相当于直线 3y x z
的纵截距，则由 2 2 0
1 0
x y
x y
解得 (4, 3)A ，直线经过 A时取得最大值．
故 3z x y 的最大值是3 4 3 9 ，故选 C．
22．已知 x ， y 满足约束条件
2 4
2 3 0
1
x y
x y
x
，且不等式 0x y a 恒成立，则实数 a 的取
值范围为．
A． ,3 B． 5, 3
C． ,3 D． ,1
【试题来源】山西省运城市 2021 届高三上学期 9 月调研（理）
【答案】B
【分析】作出约束条件所表示的平面区域，设目标函数 z x y ，结合平面区域确定目标函
数的最优解，求得目标函数的最小值，进而求得实数 a 的取值范围．
【解析】作出约束条件
2 4
2 3 0
1
x y
x y
x
所表示的平面区域，如图所示，
设目标函数 z x y ，化为直线 y x z ，
当直线 y x z 过点 A时，此时在 y 轴上的截距最小，此时目标函数 z 取得最小值，
又由 2 3 0
1
x y
x
，解得 2(1, )3A ，可得 z x y 的最小值为 min
2 51 3 3z ，
又由不等式 0x y a 恒成立，即不等式 a x y 恒成立，
所以 5
3a ≤ ，即实数 a 的取值范围是 5, 3
．
23．已知实数 x，y 满足约束条件
1
+ 2
ln
x y
x my
y x
，若目标函数 yz x
存在最大值 1
e
，那么实数 m
的取值范围是（其中 =2.718 28e L为自然对数的底数）
A． 1 ,2e
B． , e
C．[2 ,0)e D． ,2 e
【试题来源】重庆市 2021 届高三上学期第三次月考
【答案】D
【分析】画出不等式组表示的平面区域，根据图形可得直线 y zx 与曲线 lny x 相切时，
z 最大，根据导数求出切点坐标，可知切点满足不等式 + 2x my ，即可求出 m 范围．
【解析】画出不等式组表示的平面区域如图，
将 yz x
化为 y zx ， z 即为平面区域内的点与 0,0 构成的直线的斜率，
可知当直线 y zx 与曲线 lny x 相切时，斜率最大，
设切点为 0 0,lnx x ， lny x 的导数 1y x
，则切线的斜率为
0
1
x ，
即 0
0 0
ln 1x
x x
，解得 0x e ，即切点为 ,1e ，此时 z 恰为 1
e
，
则要使目标函数 yz x
存在最大值 1
e
，切点 ,1e 满足不等式 + 2x my ，
即 + 2e m ， 2m e ．故选 D．
24．设 ,x y 满足
2 4
1
2 2
x y
x y
x y
，则 z x y 的最小值是
A． 7 B． 2
C．3 D． 5
【试题来源】四川省遂宁市 2021 届高三零诊考试（文）
【答案】B
【解析】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：
由 z x y 得 y x z ，当 z 取最小值时， y x z 在 y 轴截距最小，
由图象可知当 y x z 过 A时，在 y 轴截距最小，
又 2,0A ， min 2 0 2z ．故选 B．
25．若实数 x ， y 满足约束条件
5 0
2 0
1 0
x y
y
x
，则 2z x y 的最大值是
A．5 B．7
C．9 D．11
【试题来源】浙江省宁波十校 2020-2021 学年高三上学期期中联考
【答案】C
【解析】画出约束条件
5 0
2 0
1 0
x y
y
x
所表示的平面区域，如图所示，
目标函数 2z x y ，可化为直线 1
2 2
zy x ，
当直线 1
2 2
zy x 过点 A 时在 y 上的截距最大，此时目标函数取得最大值，
又由 5 0
1 0
x y
x
，解得 (1,4)A ，
所以目标函数 2z x y 的最大值为 max 1 2 4 9z ．故选 C．
【名师点睛】根据线性规划求解目标函数的最值问题的常见形式：
（1）截距型：形如 z ax by ．求这类目标函数的最值常将函数 z ax by 转化为直线
的斜截式： a zy xb b
，通过求直线的截距 z
b
的最值间接求出 z 的最值；
（2）距离型：形如 2 2z x a y b ，转化为可行域内的点到定点的距离的平方，结
合点到直线的距离公式求解；
（3）斜率型：形如 y bz x a
，转化为可行域内点与定点的连线的斜率，结合直线的斜率公
式，进行求解．
26．已知实数 x 、 y 满足约束条件
1 0
2 2 0
2 2 0
x y
x y
x y
，则 3
1z y
x
的取值范围为
A． , 1 2, B． 1,2
C． 0,3 D． ,0 3,
【试题来源】百师联盟 2021 届高三一轮复习联考（二）全国卷 （理）
【答案】A
【分析】作出不等式组所表示的可行域，由目标函数 3
1z y
x
表示可行域内的点
, 1P x y x 与点 1,3M 连线的斜率，数形结合可求得 z 的取值范围．
【解析】画出如图所示的可行域，
目标函数 3
1z y
x
表示可行域内的点 (, 1)P x y x 与点 1,3M 连线的斜率．
联立 1 0
2 2 0
x y
x y
，解得 0
1
x
y
，可得点 0,1A ，同理可得点 2,2C ．
如图易知 3 1 21 0MAk
， 3 2 11 2MCk
，所以 1z 或 2z ．故选 A．
27．若实数 ,x y 满足约束条件
3 0
2 3 0
2 1 0
x y
x y
x y
，则 2z x y 的最小值为
A．15 B． 9
5
C． 1 D． 6
【试题来源】浙江省 9 1 高中联盟 2020-2021 学年高三上学期期中
【答案】D
【解析】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：
当 2z x y 取得最小值时， 1
2 2
zy x 在 y 轴截距最大，
由图象可知当 1
2 2
zy x 过图中 A点时，在 y 轴截距最大．
由 2 3 0
3 0
x y
x y
得 0
3
x
y
，即 0,3A ， min 0 6 6z ．故选 D
28．若 x ， y 满足约束条件
0
2 5 0
1 0
x
x y
x y
，则 2z x y 的最大值、最小值分别是
A．6，0 B．4，0
C．无最大值，6 D．无最大值，4
【试题来源】河北省张家口市 2021 届高三上学期第一阶段检测
【答案】D
【解析】不等式组对应的可行域是如图所示的阴影部分区域，
由题得 1
2 2
zy x ，它表示斜率为 1
2
，纵截距为
2
z 的直线，
当直线 1
2 2
zy x 经过点 A时，直线的纵截距最小， z 最小，直线的纵截距没有最大值，
所以 z 没有最大值．联立直线得 2 5 0
1 0
x y
x y
得 (2,1)A ．
所以 min 2 2 4z ，没有最大值．故选 D.
29．若 x 、 y 满足不等式组
1
2 2
x y
y x
y mx
，且 1
2y x 的最大值为 2 ，则实数 m 的值为
A． 3
2 B． 3
2
C． 1
2 D． 1
2
【试题来源】云南省昆明市官渡区 2021 届高三上学期两校联考
【答案】A
【解析】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：
令 1
2z x y ，当目标函数 1
2z x y 取得最大值时，直线 1
2z x y 在 y 轴上的截距最
大，由图象可知，当 1
2z x y 经过点 A时，此时目标函数 1
2z x y 取得最大值 2 ，
联立
1 22
2 2
x y
y x
，解得
1
3
2
x
y
，即点 31, 2A
，
此时，点 A在直线 y mx 上，则 3
2m ．故选 A．
30 ． 定 义 运 算 1 2 3, ,m x x x ， 1 2 3, ,n y y y ， 1 1 2 2 3 3m n x y x y x y ， 若
sin , sin ,sina α α β ， sin ,sin ,sinb α β β ， 则 平 面 区 域
3, , 0, ,2 4
πS α β α β a b
的面积为
A．
6
B．
2
6
C．
3
D．
2
3
【试题来源】浙江省浙南名校联盟 2020-2021 学年高三上学期第一次联考
【答案】B
【解析】因为
2 2 2 21 1cos cos 1 2cos 1 2cos 1 cos2 cos22 2
，
其中 2 ， 2 ，
故 cos2 cos2 2cos cos ，
所以 2 2cos cos 1 cos cos ．
又易证 cos cos 2sin sin ，
即 2sin sin cos cos ．
依题意， 2 2 2 2sin sin sin sin 1 cos sin sin 1 cosa b α α β β α α β β
2 2 1cos cos 1 2sin sin 12
1cos cos cos cos 12
3 1 1cos cos cos cos4 2 4
3 1 1 3cos cos4 2 2 4
，
则 1 1cos cos 02 2
，故
1cos 2
1cos 2
或
1cos 2
1cos 2
，
因为 , 0, 2
，所以 , , 0,2 2
，再根据余弦函数特征得
3
20 3
0 2
0 2
①或
3 2
2
3
0 2
0 2
②
利用线性规划作图如下，知②式无解，
，
由图①计算面积得
2 2 2 21 1= 22 2 6 2 3 6S
．故选 B．
二、填空题
1．若实数 ,x y 满足
0
2
2 0
x
y
x y
则 2z x y 的最大值为___________．
【试题来源】广东省 2021 届高三上学期 10 月月考
【答案】8
【解析】由
0
2
2 0
x
y
x y
作出可行域，如下图：
将目标函数 2z x y 化为 1 1
2 2y x z ，
由图可知，当直线 1 1
2 2y x z 过点 4,2A 时，直线在 y 轴上的截距 1
2 z 最大，
z 有最大值，即 max 4 2 2 8z ．故答案为8．
2．某社团计划招入女生 x 人，男生 y 人，若满足约束条件
2 4
6 12
2 3 12
x y
x y
x y
，则该社团今年
计划招入的学生人数最多为___________．
【试题来源】吉林省长春市实验中学 2020-2021 学年高三第一学期期中（文）
【答案】9
【解析】设 z x y ，则 y x z ，
作出约束条件
2 4
6 12
2 3 12
x y
x y
x y
表示的平面区域，如图：
z 的最大值，即直线 y x z 的纵截距的最大值，
由图可知，当直线经过点C 时，纵截距最大． 6 12 0
2 3 12 0
x y
x y
，解得 3
6
x
y
，
所以 z 的最大值为3 6 9 ，此时 ,x y 均为正整数，符合要求．
所以该社团今年计划招入的学生人数最多为 9．故答案为 9．
3．已知实数 x，y 满足
1 0,
1 0,
1,
x y
x y
x
则 x y 的最大值为___________．
【试题来源】河南省九师联盟 2020-2021 学年高三第一学期 11 月质量检测（理）
【答案】3
【解析】画出可行域．设 z x y ，则 y x z ，当直线 y x z 过点 A 时， z 取最大
值．由 1
1 0
x
x y
，得 1
2
x
y
，所以 (1,2)A ，所以 max 1 2 3z ．故答案为 3．
4．若实数 x ， y 满足约束条件
1 0
1 0
2 4 0
x y
x y
x y
，则 2 3z x y 的最小值是___________．
【试题来源】河南省洛阳市汝阳县 2020-2021 学年高三上学期联考（文）
【答案】5
【解析】由约束条件得可行域如图中阴影部分所示，
由 1 0
2 4 0
x y
x y
，解得 2,3A ，
由图知，当直线 2 3z x y 经过点 A时， z 取得最小值为 4 9 5 ．故答案为 5．
5．已知实数 ,x y 满足约束条件，
0
1 0
1 0
y x
x y
y
则 3z x y 的最大值为___________．
【试题来源】黑龙江省 2020-2021 学年高三 10 月月考（理）
【答案】7
【解析】画出约束条件
0,
1 0,
1 0,
y x
x y
y
表示的可行域，如图，
由
1 0
1 0
x y
y
可得
2
1
x
y
，得 2, 1C ，
将 3z x y 变形为 3y x z ，平移直线 3y x z ，
由图可知当直 3 ( )y x z 经过点 2, 1C 时，直线在 y 轴上的截距最大，
所以 z 的最大值为3 2 1 7 ．故答案为 7．
6．若 ,x y 满足约束条件
0
3 0
2 0
x
x y
x y
，则 2z x y 的最小值是___________．
【试题来源】陕西省宝鸡市金台区 2020-2021 学年高三上学期 11 月教学质量检测（文）
【答案】4
【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，
将 2z x y 化为 1
2 2
zy x ，根据图象可知直线过点 2,1A 时 z 取最小值 4．
故答案为 4 ．
7．已知实数 x ， y 满足
2 0
3 5 0
0
0
x y
x y
x
y
，则 4 2x yz 的最大值为___________．
【试题来源】贵州省凯里市第三中学 2021 届高三上学期第二次月考（理）
【答案】16
【解析】不等式组表示的可行域如图所示：
由题知 22 x yz ，设 2m x y ，
则 2y x m ， m 表示直线 2y x m 的 y 轴截距，
联立 2 0
3 5 0
x y
x y
，解得 1
2
x
y
，即 1,2A ．
当直线 2y x m 过 1,2A 时， m 取得最大值，即 max 2 1 2 4m ．
所以 4
max 2 16z ．故答案为16 ．
8．若实数 ,x y 满足不等式组
1
2 1
2 1 0
x y
x y
x y
，则 2 3x y 的最大值为___________．
【试题来源】河北省保定市 2021 届高三上学期 10 月摸底考试
【答案】3
【分析】由题意作出可行域，转化目标函数为 2
3 3
zy x ，数形结合即可得解．
【解析】由题意作出可行域，如图，设 2 3z x y ，则 2
3 3
zy x ，
上下平移直线 2
3 3
zy x ，数形结合可得当直线 2
3 3
zy x 过点 A时， z 取最大值，
由 1
2 1 0
x y
x y
可得点 0, 1A ，所以 max 2 0 3 1 3z ．故答案为 3．
9．若 x，y 满足约束条件
0
2 6 0
2 0
x y
x y
x y
，则 3 2z x y 的最大值是___________．
【试题来源】福建省 2021 届高三（10 月月考）数学第一次质量检测试题
【答案】10
【解析】根据约束条件画出可行域如下：
作目标函数 3 2z x y 的一系列平行线，可知直线过 A 点时 z 最大．
由 0
2 6 0
x y
x y
得 2,2A ，故 3 2z x y 的最大值为 3 2 2 2 10z ．
故答案为 10．
10．设 x ， y 满足约束条件
2 4,
1,
0
x y
x y
y
则 4z x y 的取值范围是___________．
【试题来源】云南省 2021 届高三第二次双基检测（文）
【答案】[1,6]
【解析】画出约束条件
2 4,
1,
0
x y
x y
y
表示的平面区域如下，
因为目标函数 4z x y 可化为 1
4 4
zy x ，
因此 z 表示直线 1
4 4
zy x 在 y 轴截距的 4 倍，
由图象可得，当直线 1
4 4
zy x 过点 A时，在 y 轴的截距最大；
当直线 1
4 4
zy x 过点 B 时，在 y 轴的截距最小；
由 1
2 4
x y
x y
解得 2,1A ，此时 2 4 1 6z ；
由 1
0
x y
y
得 10B , ，此时 1 4 0 1z ，所以 [1,6]z ．故答案为[1,6] ．
11．设实数 x ， y 满足
0
2 1 0
2 1 0
y x
y x
x y
，则 z x y 的最大值为___________．
【试题来源】四川省阆中中学 2020-2021 学年高三 11 月月考（文）
【答案】 4
5
【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，
将 z x y 化为 y x z ，观察图形可知，当直线 y x z 过 B 点时， z 取得最大值，
联立方程 2 1 0
2 1 0
y x
x y
，解得 1 3,5 5x y ，即 1 3,5 5B
，
则 z 的最大值为 1 3 4
5 5 5
．故答案为 4
5
．
12．已知 x ， y 满足约束条件
0
2
0
x y
x y
y
，若 2z x y 的最大值为___________．
【试题来源】云南民族大学附属中学 2021 届高三上学期期中考试（文）
【答案】4
【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分 )OBC ．
由 2z x y 得 2y x z ，平移直线 2y x z ，
由图象可知当直线 2y x z 经过点C 时，直线 2y x z 的截距最大，此时 z 最大．
由 0
2
y
x y
，解得 2
0
x
y
，即 (2,0)C ，将 (2,0)C 的坐标代入目标函数 2z x y ，
得 2 2 0 4z ．即 2z x y 的最大值为 4 ．故答案为 4．
【名师点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数
学思想是解决此类问题的基本方法．
13．已知 x 、 y 实数满足
2 2 0
3 3 0
2 4 0
x y
x y
x y
，则 3z x y 的最大值为___________．
【试题来源】福建省 2021 届高三 10 月月考
【答案】 6
【分析】作出不等式组所表示的可行域，数形结合找到使得直线 3z x y 在 x 轴的截距最
大时对应的最优解，代入目标函数即可得解．
【解析】作出不等式组
2 2 0
3 3 0
2 4 0
x y
x y
x y
所表示的可行域如下图所示：
联立 2 2 0
2 4 0
x y
x y
，解得 0
2
x
y
，即点 0,2B ，
平移直线 3z x y ，当该直线经过可行域的顶点 B 时，直线 3z x y 在 x 轴上的截距最
大，此时 z 取最大值，即 max 0 3 2 6z ．故答案为 6 ．
14．设 2z y x ，式中变量 x､y 满足下列条件
2 1
3 2 23
1
x y
x y
y
则 z 的取值范围为___________．
【试题来源】西藏拉萨市第二高级中学 2020 届高三第六次月考
【答案】 5,11
【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，
将 2z y x 化为 1
2 2
zy x ，通过图形可知，当直线 1
2 2
zy x 过点 A 时， z 取得最大
值，当直线 1
2 2
zy x 过点 C 时， z 取得最小值，
联立方程 2 1
3 2 23
x y
x y
可解得 3,7A ，故 z 的最大值为 2 7 3 11 ，
联立方程 3 2 23
1
x y
y
可解得 7,1C ，故 z 的最小值为 2 1 7 5 ，
所以 z 的取值范围为 5,11 ．故答案为 5,11 ．
【名师点睛】线性规划常见类型，
（1） y bz x a
可看作是可行域内的点到点 ,a b 的斜率；
（2） z ax by ，可看作直线 a zy xb b
的截距问题；
（3） 2 2z x a y b 可看作可行域内的点到点 ,a b 的距离的平方．
15．若 x ， y 满足约束条件
3 0
3 2 3 0
1 0
x y
x y
x y
，则 3z x y 的最小值为___________．
【试题来源】安徽省皖豫名校联盟体 2021 届高三（上）第一次联考（文）
【答案】 33
5
【分析】画出约束条件
3 0
3 2 3 0
1 0
x y
x y
x y
表示的平面区域，当直线 3z x y 过点 A时，z 有
最小值，解出 A的坐标，代入即可．
【解析】画出约束条件
3 0
3 2 3 0
1 0
x y
x y
x y
表示的平面区域，如阴影部分所示
由图形知，当直线 3z x y 过点 A时， z 有最小值，
联立 3 0
3 2 3 0
x y
x y
，解得
3
5
12
5
x
y
，
所以 z 的最小值为 3 12 3335 5 5minz ．故答案为 33
5
．
16．已知实数 x ， y 满足不等式组
3,
2 0,
4,
x y
x y
x
则 2z x y 的最小值是___________．
【试题来源】河南省部分重点高中 2020-2021 学年高三阶段性考试（四）（文）
【答案】5
【解析】画出可行域如下：
当直线 2z x y 经过点 2,1 时， z 取得最小值，且最小值是 5．故答案为 5．
17．已知实数 x ， y 满足约束条件
2 2
2
4 4 0
x y
x y
x y
，则 2z x y 的最大值为___________．
【试题来源】江西师大附中 2020 年-2021 学年高三上学期 11 月期中数学（理）
【答案】2
【解析】画出可行域如下图所示，
由图可知平移基准直线 2 0x y 到可行域边界点 (2,0) 处，
目标函数 2z x y 取得最大值为 2 0 2z ．故答案为 2 ．
18．已知实数 x ， y 满足不等式组
2 0
3 0
1
x y
x y
y
，则目标函数 2z x y 的最大值为
___________．
【试题来源】广东省汕头市澄海中学 2021 届高三上学期第一次段考
【答案】5
【解析】由实数 x ， y 满足不等式组
2 0
3 0
1
x y
x y
y
，画出可行域如图所示：
将目标函数 2z x y 转化为 2y x z ，平移直线 2y x ，
当经过点 2,1A 时，直线在 y 轴上的截距最大，
此时目标函数取得最大值，最大值为 5，故答案为 5．
19．已知实数 x ， y 满足 2 4
1 3 5
x y
x y
，则 2z x y 的最大值为___________．
【试题来源】百校联盟 2021 届高三普通高中教育教学质量监测考试（全国卷 11 月）（理）
【答案】 5
2
【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示；观察可知，当直线 2z x y
过点 D 时， z 有最大值；联立 2
3 5
x y
x y
，解得
3
2
1
2
x
y
，故 2z x y 的最大值为
3 12 2 2
5
2
．故答案为 5
2
．
20．已知点 x ， y 满足
1
1
3
x
y
x y
，则代数式 2 2
xy
x y 的取值范围为___________．
【试题来源】 2020-2021 学年高三上学期期中（理）
【答案】 2 1,5 2
【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：
则 1x ， 1y ， 2 2
xy
x y ＝
21 ( )
y
x
y
x
，设 k＝ y
x
，
则 k＞0， 2 2
xy
x y ＝
21 ( )
y
x
y
x
＝ 21
k
k
＝
1
1k k
，
则 k 的几何意义是区域内的点到原点的斜率，由图象知 OC 的斜率最小，OA 的斜率最大，
由 1
3
x
x y
得 1
2
x
y
，即 A（1，2），由 1
3
y
x y
得 2
1
x
y
，即 C（2，1），
则 OC 的斜率 k＝ 1
2
，OA 的斜率 k＝2，即 1
2 ≤k≤2，
设 f（k）＝k+ 1
k
，则函数在 1
2 ≤k≤1 上递减，在 1≤k≤2 上递增，则最小值为 f（1）＝1+1＝2，
f（2）＝2+ 1
2
＝ 5
2
，f（ 1
2
）＝2+ 1
2
＝ 5
2
＝f（2），则 2≤f（k）≤ 5
2
，则 2≤k+ 1
k ≤ 5
2
，
则 2
5 ≤
1
1k k
≤ 1
2
，即 2 2
xy
x y 的取值范围为[ 2
5
， 1
2 ]，
故答案为[ 2
5
， 1
2 ]．
三、双空题
1．若实数 x ，y 满足
2,
2 4,
0,
x y
x y
x y
则 2 3x y 的最小值是___________，最大值是___________．
【试题来源】浙江省台州市仙居县文元横溪中学 2020-2021 学年高三上学期期中
【答案】4 20
【解析】画出不等式所表示的平面区域，如图阴影部分，
可得 1,1 , 4,4 , 2,0A B C ，将 2 3z x y 化为 2 +3 3
zy x ，
则观察图形可知，当直线 2 +3 3
zy x 过 2,0C 时， z 取得最小值为 min 2 2+0 4z ，
当直线 2 +3 3
zy x 过 4,4B 时， z 取得最大值为 max 2 4+3 4 20z ．
故答案为 4；20．
2．若实数 x ， y 满足约束条件 3 1 0
3 0
x y
x y
，则 3z y x 的最大值是___________，
2 2x y 的最小值是___________．
【试题来源】浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟 2020-2021 学年高三上学期返校联考
【答案】 4 9
2
【解析】根据线性约束条件作出可行域如图：
由 3z y x 得 1 1
3 3y x z ，作 0l ： 1
3y x ，将 0l 沿着可行域的方向平移，过 A 时，截
距最大，即 z 最大，由 3 1 0
3 0
x y
x y
得 5 1,2 2A
，所以 max
1 53 42 2z
，
2 2x y 最小为原点到 3 0x y 的距离的平方，最小距离为 3 3
2 2
，
所以 2 2x y 的最小值是 9
2
，故答案为 4 ； 9
2
．
3．设实数 x ，y 满足
7 0
2 5 0
0
x y
x y
y
，则点 ,P x y 形成的区域面积为___________； 2x y
的最大值为___________．
【试题来源】2020 年浙江省新高考名校交流模拟卷（四）
【答案】24 11
【分析】画出不等式组表示的平面区域，可知形成的区域为三角形，求出其面积即可，进而
可求出 2x y 的最大值．
【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，
可知形成的区域为 ABC ，其中 ( ) ( ) ( )5,0 , 3,4 , 7,0A B C- ，
1 12 4 242ABCS\ = 创 = ，
令 2z x y ，则 1
2 2
zy x ，可知看出当直线过 3,4B 时， z 取得最大值为 11．
故答案为 24；11．
4．已知实数 x 、 y 满足条件
0
2 2 0
y
y x
x y
，则 2x y 的最小值为___________，最大值为
___________．
【试题来源】2020 届浙江省台州市温岭中学高三下学期 3 月第二次高考模拟
【答案】 2
3
2．
【解析】由实数 x 、 y 满足条件
0
2 2 0
y
y x
x y
作出可行域如图，化目标函数 2z x y 为
2 2
x zy ，由图可知，当直线
2 2
x zy 过 B 时直线在 y 轴上的截距最小， z 有最大值，等
于 2 2 0 2 ．由
2 2 0
y x
x y
，解得 2 2,3 3A
当直线
2 2
x zy 过 A时直线在 y 轴上的截距最大， z 有最小值，等于 2 2 223 3 3
．
故答案为 2
3
；2．
5．设集合 1|,A x y y x ， , |B x y y x a ．
（1）若 A B ，则实数 a 的取值范围是___________；
（2）当 3a 时，若 ,x y A B ，则 2x y 的最大值是___________．
【试题来源】湖南省邵阳市第二中学 2020 届高三下学期模拟考试（理）
【答案】 1, 5
【解析】（1）考虑不等式 1y x ， y x a 表示的平面区域，它们如图所示，
其中Ⅰ对应不等式 1y x 表示的平面区域，Ⅱ对应不等式 y x a 表示的平面区域．
若 A B ，则 1a ．
（2）当 3a 时， A B 对应的平面区域如下图所示：
把初始直线 2 0x y 平移至 M 时， 2z x y 可取最大值，
令 1
3
y x
x x
，故 2
1
x
y
即 2,1M ，故 max 2 2 1 5z ，故答案为 1, ，5．
【名师点睛】本题以集合为载体，考查不等式表示的平面区域以及利用线性规划求最值，确
定不等式表示的平面区域的核心为 y kx b （ y kx b ）就是表示直线 y kx b 上方（下
方）的区域，而利用线性规划求最值时，要准确刻画初始直线，本题属于中档题．
6．已知在平面直角坐标系中，不等式组
2
2
3
x
y
x y
表示的平面区域面积是___________，周
长为___________．
【试题来源】浙江省金华市永康市 2020 届高三下学期 6 月高考适应性考试
【答案】 1
2 2+ 2
【解析】由不等式组，作出可行域如下图所示的阴影部分 ABC ，
由 2
2
x
y
得 2 2B ， ， 2
3
x
x y
得 21A ， ，
由 2
3
y
x y
得 1 2C ， ，所以 1, 1, 2AB BC AC ，
所以 ABC 的面积为 1 11 12 2
， ABC 的周长为1+1+ 2 2+ 2 ，
故答案为 1
2
； 2+ 2 ．
7．若实数 x ， y 满足不等式组
3 3 0
2 3 0
3 0
x y
x y
x my
，且 z x y 且最小值为 2 ，则最优解
,x y ___________，实数 m ___________．
【试题来源】浙江省绍兴市柯桥区 2020 届高三下学期 6 月方向性考试
【答案】 3 5,4 4
9
5
【解析】 3 0x my ，表示过定点 3,0 的直线，若要能形成可行域，直线的斜率大于
0，所以 0m ，如图，画出可行域， z x y 表示斜率为 1 的直线，当 0y 时， x z ，
所以 z 表示直线的横截距，所以 z x y 平移至点 B 时， z 取得最小值，
3 0
3 3 0
x my
x y
，解得 3 9
3
mx m
， 6
3y m
，即 3 9 6,3 3
mB m m
，
由条件可知 3 9 6 23 3
m
m m
，解得 9
5m ，此时最优解 3 5,4 4B
．
故答案为 3 5,4 4
； 9
5 .
【名师点睛】本题考查线性规划，重点考查转化思想，数形结合思想，属于中档题型，本题
的关键是根据 3 0x my 表示过定点 3,0 的直线，画出可行域．
8．已知实数 ,x y 满足
0
1
3 3 0
y
x y
x y
，则由不等式组确定的可行域的面积为___________；
2z x y 的最大值为___________．
【试题来源】浙江省金华市兰溪市第三中学 2020 届高三下学期寒假返校考试
【答案】1 6
【解析】不等式组表示的平面区域如下所示：
故不等式组确定的可行域的面积 1 1 2 12S ；
数形结合可知，当且仅当目标函数过点 3,0C 时取得最大值．
故 2 3 0 6maxz ．故答案为1； 6．
9．设变量 x 、y 满足约束条件
2 0
2 0
1
0
x y
x y
x
y
，则目标函数 2
4
y
xz 的最大值为___________，
最小值为___________．
【试题来源】浙江省超级全能生 2020 届高三下学期 3 月联考（B 卷）
【答案】8 1
16
【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线 2t y x ，观察该直线在 y 轴截距最大
和最小时对应的最优解，代入目标函数计算即可得解．
【解析】作出不等式组
2 0
2 0
1
0
x y
x y
x
y
所表示的可行域如下图所示：
联立 1
2 0
x
x y
，解得 1
1
x
y
，即点 1,1C ；
联立 2 0
0
x y
y
，解得 2
0
x
y
，即点 2,0A ．
令 2t y x ，则 22 2 24
y
y x t
xz ，平移直线 2t y x ，
当直线 2t y x 经过可行域的顶点 A时，直线 2t y x 在 y 轴上的截距最小，
此时 z 取最小值，即 0 2 2
min
12 16z ；
当直线 2t y x 经过可行域的顶点C 时，直线 2t y x 在 y 轴上的截距最大，此时 z 取
最大值，即 1 2 1
max 2 8z ．故答案为8 ； 1
16
．
10．设实数 x 、 y 满足条件3 0x y 、 2x y ，则可行域面积为___________， xy 最
大值为___________．
【试题来源】浙江省 2020 届高三下学期 4 月适应性测试
【答案】3 1
【解析】因为实数 x 、 y 满足条件 3 0x y 、 2x y ，
所以实数 x 、 y 满足
0
3 0
2
y
x y
x y
或
0
3 0
2
y
x y
x y
，绘出可行域，如图：
易知 1 3,2 2A
， 1 3,2 2B
， 2,0C ，故可行域面积 1 32 2 2 32 2AOCS S= = 创 �△ ，
结合图象可知，当 xy 最大时点在线段 AC 上，直线 AC 的方程为 2y x ，
则 222 2 1 1 1xy x x x x x ，
故当 1x 时， xy 取最大值， xy 的最大值为1，故答案为3、1．
11．已知 x ， y 满足条件
0,
4 0,
1 0,
x y
x y
x
则 2x y 的最大值是___________，原点到点
,P x y 的距离的最小值是___________．
【试题来源】2020 届浙江省宁波市镇海中学高三下学期 3 月高考模拟测试
【答案】 6 2
【分析】画出不等式组对应的可行域，通过平移动直线 2 0x y t 求目标函数的最大值，
而原点到点 P 的距离的最小值就是原点到点 A的距离．
【解析】不等式组对应的可行域如下：
当动直线 2 0x y t 过 B 时， 2x y 有最大值，又 2,2B ，故 2x y 的最大值为 6．
原点到 P 的距离的最小值即为 2 20 1 0 1 2OA ，故分别填 6、 2 ．
【名师点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，
求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如 3 4x y 表示动直线3 4 0x y z 的横截距
的三倍 ，而 2
1
y
x
则表示动点 ,P x y 与 1, 2 的连线的斜率．
12．若实数 x，y 满足约束条件
2 0
2 3 0
0
x y
x y
x y
，则 2z x y 的最小值是___________；
1
yu x
的最大值是___________．
【试题来源】浙江省北斗星盟 2020 届高三下学期高考适应性考试
【答案】 1 1
3
【分析】先作可行域，再根据 2z x y 表示直线、
1
yu x
表示斜率，结合图象确定最值
取法，计算即得结果．
【解析】作可行域，如图阴影部分， (2,1)A ，
则直线 2z x y 过点 (1, 1)B 时， z 取最小值，为1 2 1 ；
1
yu x
表示可行域内点与定点 ( 1,0)P 连线的斜率，
由图可得
1
yu x
的最大值是 1 1
2 1 3PAk
，
故答案为 1 ， 1
3
．
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