专题09 线性规划(客观题)(理)(解析版)-2021年高考数学(理)二轮复习热点题型精选精练
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资料简介
专题 09 线性规划(客观题) 一、单选题 1.若 0 2 0 3 0 x x y x y         ,则 3z x y  的最小值是 A.0 B.1 C.5 D.9 【试题来源】浙江省三校(新昌中学、浦江中学、富阳中学)2020-2021 学年高三上学期第 一次联考 【答案】C 【解析】根据约束条件作出可行域如图所示, 当直线 3z x y  过点(2,1)时在 y 轴上的截距最小, z 最小, 由 A(2,1)知 z 的最小值为 5.故选 C. 2.若实数 x , y 满足条件 0 1 1 x y x y       ,则 2x y 的取值范围为 A. 1,3 B. 1, C. 1,  D. R 【试题来源】浙江省十校联盟 2020-2021 学年高三上学期 10 月联考 【答案】B 【解析】如图,阴影部分为可行域,所以目标函数 2z x y  过 (0, 1) 取得最小值 1, 所以 2x y 的取值范围为  1, ,故选 B. 3.若实数 x , y 满足约束条件 2 1 0 4 0 x y x y        ,则 2z x y  的取值范围是 A. ,5 B. ,7 C. 7, D.  ,  【试题来源】浙江省杭州地区(含周边)重点中学 2020-2021 学年高三上学期期中 【答案】C 【解析】画出实数 x,y 满足约束条件 2 1 0 4 0 x y x y        所示的平面区域,如图: 将目标函数变形为 2 2 x zy    , 则 z 表示直线在 y 轴上截距,截距越大,z 越大,由 2 1 0 4 0 x y x y        得 1 3 x y    , 当目标函数过点 A(1,3)时,截距最小为 z=1+6=7,随着目标函数向上移动截距越来越 大,故目标函数 2z x y  的取值范围是 7, .故选 C. 4.若实数 x,y 满足约束条件 0 3 2 0 x y x x y         ,则 2x y 的最小值为 A.1 B. 1 C.3 D. 3 【试题来源】浙江省温州市 2020-2021 学年高三上学期 11 月高考适应性测试(一模) 【答案】D 【解析】实数 x,y 满足约束条件 0 3 2 0 x y x x y         的可行域如图所示: 记目标函数 2z x y  ,平移直线 1 2 2 zy x  ,当直线经过点 (3,3)A 时在 y 轴上的截距最 大,此时对应的 z 具有最小值,最小值为 3 2 3 3z      ,故选 D. 5.若实数 x , y 满足约束条件 2, 2 1, 1, x y x y y      „ … … 则 2z x y  的最大值为 A. 2 B. 1 C.1 D.3 【试题来源】浙江省金华市东阳中学 2021 届高三(上)第二次暑期检测 【答案】D 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图:由 2z x y  得 1 1 2 2y x z   , 平移直线 1 1 2 2y x z   由图象可知当直线 1 1 2 2y x z   经过点 A时, 直线 1 1 2 2y x z   的截距最大,此时 z 最大, 由 2 2 1 x y x y      ,解得 (1,1)A ,此时 1 2 1 3z     ,故选 D. 6.设 ,x y 满足约束条件 1 { 2 x y y x y      ,则 3z x y  的最大值为 A.-8 B.3 C.5 D.7 【试题来源】哈尔滨师范大学青冈实验中学 2019-2020 学期高三上学期开学考试(8 月)(文) 【答案】D 【解析】不等式表示的可行域为直线 1, , 2x y y x y     围成的三角形及其内部,三个 顶点为    1 1, , 2, 2 , 3, 22 2        ,当 3z x y  过点  3, 2 时取得最大值 7.故选 D. 7.若实数 x , y 满足约束条件 1 0 0 x y x y       ,则 z x y  的取值范围是 A. ( 1, )  B. ( , 1)  C. (1, ) D. ( ,1) 【试题来源】浙江省金色联盟(百校联考)2020-2021 学年高三上学期 9 月联考 【答案】A 【分析】画出二元一次不等式组表示的平面区域,z x y  等价于 y x z   ,表示斜率为 1 的平行直线系,利用图象可求出纵截距的范围. 【解析】画出二元一次不等式组表示的平面区域,如图所示: z x y  等价于 y x z   ,表示斜率为 1 的平行直线系,由图可知,当目标直线与 1 0x y   重合时, 1z   ,则 z x y  的取值范围是 1z   .故选 A. 8.若实数 x,y 满足条件 2 0 0 0 x y x y x         ,则 2z x y  A.有最小值,无最大值 B.有最小值,有最大值 C.无最小值,有最大值 D.无最小值,无最大值 【试题来源】浙江省金华市东阳中学 2020-2021 学年高三上学期 10 月阶段考试 【答案】C 【解析】画出不等式表示的可行域,如图所示, 目标函数 2z x y  表示斜率为 1 2 的直线,当直线 2z x y  经过点 B 时,直线 2z x y  在 y 轴的截距最小,此时 z 最大,如图可行域向上无边界,所以直线 2z x y  在 y 轴的截 距没有最大值,所以 z 没有最小值.故选 C. 9.已知实数 x,y 满足不等式组 1 0, 3 2 6 0, 5 3 0, x y x y x y            则目标函数 2z x y  的最小值为 A.4 B. 14 5  C.6 D.7 【试题来源】备战 2021 年高考数学(理)一轮复习考点一遍过 【答案】C 【解析】不等式组 1 0 3 2 6 0 5 3 0 x y x y x y            表示的平面区域为图中的 ABC (包括边界), 由图知,平移直线 2z x y  ,当经过点 C 时, 2z x y  取得最小值, 易得 (0 3)C , ,即 0 6 6z     .故选 C. 10.若实数 ,x y 满足 2 0 0 x y x y       ,则 2z x y  A.有最小值1,无最大值 B.有最小值 1 ,无最大值 C.有最大值 2 ,无最小值 D.有最大值 1 ,无最小值 【试题来源】【新东方】【2020】【高三上】【期中】【HD-LP359】【数学】 【答案】A 【解析】画出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分, 将 2z x y  化为 2y x z  ,则 z 的最值问题可看作是斜率为 2 的直线的截距问题, 观察图形可得,当直线过  1,1A 时, z 取得最小值 1,无最大值.故选 A. 11.设实数 x , y 满足不等式组 1 0 2 1 0 1 0 x y x y x y            ,则 2x y 的取值范围 A. 4,2 B. 1,2 C. 1,  D. 2, 【试题来源】浙江省浙南名校联盟 2020-2021 学年高三上学期第一次联考 【答案】C 【解析】如图,画出可行域,令 2z x y  , 2y x z  , 当 0z  时,画出初始目标函数表示的直线 2y x ,当直线平移至点  0,1A 时, 2z x y  取得最小值 min 2 0 1 1z      ,根据可行域可知,无最大值, 所以 2x y 的范围是 1,  .故选 C. 12.已知实数 x , y 满足不等式组 3, 2 0, 4, x y x y x        则 2 1 y x   的最小值是 A. 1 8 B. 1 5 C. 4 5 D.1 【试题来源】河南省部分重点高中 2020-2021 学年高三阶段性考试(四)(理) 【答案】B 【解析】画出 3, 2 0, 4, x y x y x        表示的平面区域,如下: 2 1 y x   可看作是过可行域内的点 ,x y 与点  1, 2  的直线的斜率, 则 2 1 y x   的最小值是 1 5 .故选 B. 13.设 x , y 满足 2 4 1 2 2 x y x y x y          ,则 z x y  的取值范围是 A. 7,3 B. 2,3 C. 2, D. ,3 【试题来源】四川省成都七中 2020-2021 学年高三上学期半期考试(理) 【答案】C 【解析】由题意得可行域为阴影部分,如图所示: 则 y x z   在  2,0A 取得最小值为 2 ,无最大值, 即 z x y  的取值范围为 2, ,故选 C. 14.设实数 ,x y 满足约束条件 1 0, 3 3 0, 1 0, x y x y x y            则 | 2 3|z x y   的取值范围为 A.[2,5] B.[2 ) , C.[2,4] D.[4 + ), 【试题来源】浙江省台州市第一中学 2020-2021 学年高三上学期期中 【答案】A 【解析】画出可行域如下图所示,对 2 3 0x y   的直线进行平移,分别平移至经过 B 点 和经过 A点,由图可知, 2 3z x y   在点  0,1A 处取得最小值为 min 0 3 5z     ,在 点  10B , 处取得最大值为 max 1 3 2z     ,所以, | 2 3|z x y   的取值范围为[2,5],故 选 A. 15.若变量 ,x y 满足 2 0 2 0 2 4 0 x y y x y           ,则 2 6 y x   的最小值是 A. 2 B. 4 5  C. 4 D. 1 2  【试题来源】浙江省绍兴市稽阳联谊学校 2020-2021 学年高三上学期 11 月联考 【答案】A 【解析】作出不等式组 2 0 2 0 2 4 0 x y y x y           表示的平面区域为如图所示的阴影部分, 因为 2 6 y x   表示平面区域内的点 ,x y 与定点  6, 2M  连线的斜率, 由图可得,当 2 6 y x   的最小值为 BMk ,由 2 0 2 x y y      解得 4 2 x y    ,即  4,2B , 所以 2 2 24 6BMk    .故选 A. 16.若平面区域 3 0 2 3 0 2 3 0 x y x y x y            夹在两条斜率均为 1 的平行直线之间,则这两条平行直线间 的距离的最小值为 A. 3 5 5 B. 2 C. 3 5 2 D. 5 【试题来源】湖南省常德市一中 2020-2021 学年高三上学期第三次月考 【答案】B 【解析】画出不等式组的平面区域如题所示,由 2 3 0{ 3 0 x y x y       得 (1,2)A ,由 2 3 0{ 3 0 x y x y       得 (2,1)B ,由题意可知,当斜率为 1 的两条直线分别过点 A 和点 B 时,两直线的距离最小, 即 2 2(1 2) (2 1) 2AB      .故选 B. 17.若 x , y 满足约束条件 1 2 0 3 2 2 0 x y x y x y          ,则 3z x y  的最小值为 A.-3 B.-1 C.0 D.2 【试题来源】河南省 2020-2021 学年上学期高中毕业班阶段性测试(一)(文) 【答案】B 【解析】由约束条件 1 2 0 3 2 2 0 x y x y x y          作出可行域如图, 联立 3 2 2 0 1 0 x y x y        ,解得 (0,1), , 由目标函数 3z x y  得 3y x z  ,可知当直线 3y x z  经过点 0,1 时, 其纵截距 z 最大, z 最小,最小值为3 0 1 1    .故选 B. 18.已知函数 3 21( ) 23 2 xf x ax bx c    的两个极值分别为 1( )f x 和 2( )f x ,若 1x 和 2x 分 别在区间 (0,1) 与 (1,2) 内,则 2 1 b a   的取值范围是 A. (1 ,14 ) B. 1[ ,1]4 C. 1( , ) (1, )4   D. 1( , ] [1, )4   【试题来源】福建省福清西山学校高中部 2020 届高三上学期期中考试(文) 【答案】A 【解析】由题意知 2( ) 2f x x ax b    ,而 ( )f x 两个极值点 1x 和 2x 分别在区间 (0,1) 与 (1,2) 内,所以方程 2 2 0x ax b   两个根在 (0,1) 与 (1,2) 内, ( )f x 开口向上, 所以 0 1 2 0 2 0 b a b a b          ,可得 1 3 1 0 a b        ,即 2 1 4 1 2 2 a b           , 所以令 1, 2x a y b    ,问题转化为在 2 4, 1 2x y        的可行域内的点与原点 所成直线斜率 y x 的取值范围,如下图示:有 1( ,1)4 y x  ,故选 A. 19.已知 a>0,x,y 满足约束条件 1 { 3 ( 3) x x y y a x    , + , - 若 z=2x+y 的最小值为 1,则 a 等于 A. 1 2  B. C.1 D.2 【试题来源】 2020-2021 学年高三上学期开学考试(零诊模拟)(文) 【答案】B 【解析】由已知约束条件,作出可行域如图中 △ ABC 内部及边界部分,由目标函数 z=2x+y 的几何意义为直线 l:y=-2x+z 在 y 轴上的截距,知当直线 l 过可行域内的点 B(1,-2a) 时,目标函数 z=2x+y 的最小值为 1 ,则 2-2a=1,解得 a= 1 2 ,故选 B 20.若实数 x , y 满足约束条件 2 4 0 2 0 2 4 0 x y x y x y            ,则 3z x y  的最小值为 A. 10 B. 8 C. 6 D.2 【试题来源】湖北省十堰市 2020 届高三下学期 6 月调研考试(理) 【答案】B 【解析】画出不等式组 2 4 0 2 0 2 4 0 x y x y x y            所表示的平面区域,如图所示, 由 3z x y  ,可得 1 1 3 3y x z  ,当直线过点 A时,此时直线 1 1 3 3y x z  在 y 轴上的截 距最大,此时目标函数取得最小值, 又由 2 4 0 2 4 0 x y x y        ,解得 4, 4x y  ,即 (4,4)A , 所以目标函数 3z x y  的最小值为 min 4 3 4 8z      .故选 B. 21.若实数 x , y 满足不等式组 1 2 2 2 2 x y x y x y           ,则目标函数 3z x y  的最大值为 A.3 B.6 C.9 D.12 【试题来源】山西省 2021 届高三上学期大联考(理) 【答案】C 【解析】由题意作出其平面区域,将 3z x y  化为 3y x z   ,z 相当于直线 3y x z   的纵截距,则由 2 2 0 1 0 x y x y        解得 (4, 3)A  ,直线经过 A时取得最大值. 故 3z x y  的最大值是3 4 3 9   ,故选 C. 22.已知 x , y 满足约束条件 2 4 2 3 0 1 x y x y x        ,且不等式 0x y a   恒成立,则实数 a 的取 值范围为. A. ,3 B. 5, 3     C. ,3 D. ,1 【试题来源】山西省运城市 2021 届高三上学期 9 月调研(理) 【答案】B 【分析】作出约束条件所表示的平面区域,设目标函数 z x y  ,结合平面区域确定目标函 数的最优解,求得目标函数的最小值,进而求得实数 a 的取值范围. 【解析】作出约束条件 2 4 2 3 0 1 x y x y x        所表示的平面区域,如图所示, 设目标函数 z x y  ,化为直线 y x z   , 当直线 y x z   过点 A时,此时在 y 轴上的截距最小,此时目标函数 z 取得最小值, 又由 2 3 0 1 x y x     ,解得 2(1, )3A ,可得 z x y  的最小值为 min 2 51 3 3z    , 又由不等式 0x y a   恒成立,即不等式 a x y  恒成立, 所以 5 3a ≤ ,即实数 a 的取值范围是 5, 3     . 23.已知实数 x,y 满足约束条件 1 + 2 ln x y x my y x       ,若目标函数 yz x  存在最大值 1 e ,那么实数 m 的取值范围是(其中 =2.718 28e L为自然对数的底数) A. 1 ,2e     B. , e  C.[2 ,0)e D.  ,2 e  【试题来源】重庆市 2021 届高三上学期第三次月考 【答案】D 【分析】画出不等式组表示的平面区域,根据图形可得直线 y zx 与曲线 lny x 相切时, z 最大,根据导数求出切点坐标,可知切点满足不等式 + 2x my  ,即可求出 m 范围. 【解析】画出不等式组表示的平面区域如图, 将 yz x  化为 y zx , z 即为平面区域内的点与  0,0 构成的直线的斜率, 可知当直线 y zx 与曲线 lny x 相切时,斜率最大, 设切点为 0 0,lnx x , lny x 的导数 1y x   ,则切线的斜率为 0 1 x , 即 0 0 0 ln 1x x x  ,解得 0x e ,即切点为 ,1e ,此时 z 恰为 1 e , 则要使目标函数 yz x  存在最大值 1 e ,切点 ,1e 满足不等式 + 2x my  , 即 + 2e m  , 2m e  .故选 D. 24.设 ,x y 满足 2 4 1 2 2 x y x y x y          ,则 z x y  的最小值是 A. 7 B. 2 C.3 D. 5 【试题来源】四川省遂宁市 2021 届高三零诊考试(文) 【答案】B 【解析】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示: 由 z x y  得 y x z   ,当 z 取最小值时, y x z   在 y 轴截距最小, 由图象可知当 y x z   过 A时,在 y 轴截距最小, 又  2,0A , min 2 0 2z    .故选 B. 25.若实数 x , y 满足约束条件 5 0 2 0 1 0 x y y x          ,则 2z x y  的最大值是 A.5 B.7 C.9 D.11 【试题来源】浙江省宁波十校 2020-2021 学年高三上学期期中联考 【答案】C 【解析】画出约束条件 5 0 2 0 1 0 x y y x          所表示的平面区域,如图所示, 目标函数 2z x y  ,可化为直线 1 2 2 zy x   , 当直线 1 2 2 zy x   过点 A 时在 y 上的截距最大,此时目标函数取得最大值, 又由 5 0 1 0 x y x       ,解得 (1,4)A , 所以目标函数 2z x y  的最大值为 max 1 2 4 9z     .故选 C. 【名师点睛】根据线性规划求解目标函数的最值问题的常见形式: (1)截距型:形如 z ax by  .求这类目标函数的最值常将函数 z ax by  转化为直线 的斜截式: a zy xb b    ,通过求直线的截距 z b 的最值间接求出 z 的最值; (2)距离型:形如    2 2z x a y b    ,转化为可行域内的点到定点的距离的平方,结 合点到直线的距离公式求解; (3)斜率型:形如 y bz x a   ,转化为可行域内点与定点的连线的斜率,结合直线的斜率公 式,进行求解. 26.已知实数 x 、 y 满足约束条件 1 0 2 2 0 2 2 0 x y x y x y            ,则 3 1z y x    的取值范围为 A.   , 1 2,    B. 1,2 C. 0,3 D.   ,0 3,   【试题来源】百师联盟 2021 届高三一轮复习联考(二)全国卷 (理) 【答案】A 【分析】作出不等式组所表示的可行域,由目标函数 3 1z y x    表示可行域内的点   , 1P x y x  与点  1,3M 连线的斜率,数形结合可求得 z 的取值范围. 【解析】画出如图所示的可行域, 目标函数 3 1z y x    表示可行域内的点  (, 1)P x y x  与点  1,3M 连线的斜率. 联立 1 0 2 2 0 x y x y        ,解得 0 1 x y    ,可得点  0,1A ,同理可得点  2,2C . 如图易知 3 1 21 0MAk   , 3 2 11 2MCk    ,所以 1z   或 2z  .故选 A. 27.若实数 ,x y 满足约束条件 3 0 2 3 0 2 1 0 x y x y x y            ,则 2z x y  的最小值为 A.15 B. 9 5  C. 1 D. 6 【试题来源】浙江省 9 1 高中联盟 2020-2021 学年高三上学期期中 【答案】D 【解析】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示: 当 2z x y  取得最小值时, 1 2 2 zy x  在 y 轴截距最大, 由图象可知当 1 2 2 zy x  过图中 A点时,在 y 轴截距最大. 由 2 3 0 3 0 x y x y        得 0 3 x y    ,即  0,3A , min 0 6 6z     .故选 D 28.若 x , y 满足约束条件 0 2 5 0 1 0 x x y x y          ,则 2z x y  的最大值、最小值分别是 A.6,0 B.4,0 C.无最大值,6 D.无最大值,4 【试题来源】河北省张家口市 2021 届高三上学期第一阶段检测 【答案】D 【解析】不等式组对应的可行域是如图所示的阴影部分区域, 由题得 1 2 2 zy x   ,它表示斜率为 1 2  ,纵截距为 2 z 的直线, 当直线 1 2 2 zy x   经过点 A时,直线的纵截距最小, z 最小,直线的纵截距没有最大值, 所以 z 没有最大值.联立直线得 2 5 0 1 0 x y x y        得 (2,1)A . 所以 min 2 2 4z    ,没有最大值.故选 D. 29.若 x 、 y 满足不等式组 1 2 2 x y y x y mx        ,且 1 2y x 的最大值为 2 ,则实数 m 的值为 A. 3 2 B. 3 2  C. 1 2 D. 1 2  【试题来源】云南省昆明市官渡区 2021 届高三上学期两校联考 【答案】A 【解析】作出不等式组所表示的可行域如下图所示: 令 1 2z x y  ,当目标函数 1 2z x y  取得最大值时,直线 1 2z x y  在 y 轴上的截距最 大,由图象可知,当 1 2z x y  经过点 A时,此时目标函数 1 2z x y  取得最大值 2 , 联立 1 22 2 2 x y y x       ,解得 1 3 2 x y   ,即点 31, 2A     , 此时,点 A在直线 y mx 上,则 3 2m  .故选 A. 30 . 定 义 运 算  1 2 3, ,m x x x ,  1 2 3, ,n y y y , 1 1 2 2 3 3m n x y x y x y     , 若  sin , sin ,sina α α β  ,  sin ,sin ,sinb α β β , 则 平 面 区 域   3, , 0, ,2 4 πS α β α β a b            的面积为 A. 6  B. 2 6  C. 3  D. 2 3  【试题来源】浙江省浙南名校联盟 2020-2021 学年高三上学期第一次联考 【答案】B 【解析】因为      2 2 2 21 1cos cos 1 2cos 1 2cos 1 cos2 cos22 2                , 其中    2        ,    2        , 故    cos2 cos2 2cos cos         , 所以    2 2cos cos 1 cos cos          . 又易证    cos cos 2sin sin         , 即    2sin sin cos cos         . 依题意, 2 2 2 2sin sin sin sin 1 cos sin sin 1 cosa b α α β β α α β β           2 2 1cos cos 1 2sin sin 12                  1cos cos cos cos 12                          3 1 1cos cos cos cos4 2 4                         3 1 1 3cos cos4 2 2 4                    , 则    1 1cos cos 02 2                  ,故     1cos 2 1cos 2            或     1cos 2 1cos 2            , 因为 , 0, 2        ,所以  , , 0,2 2              ,再根据余弦函数特征得 3 20 3 0 2 0 2                       ①或 3 2 2 3 0 2 0 2                           ② 利用线性规划作图如下,知②式无解, , 由图①计算面积得 2 2 2 21 1= 22 2 6 2 3 6S                         .故选 B. 二、填空题 1.若实数 ,x y 满足 0 2 2 0 x y x y       则 2z x y  的最大值为___________. 【试题来源】广东省 2021 届高三上学期 10 月月考 【答案】8 【解析】由 0 2 2 0 x y x y       作出可行域,如下图: 将目标函数 2z x y  化为 1 1 2 2y x z   , 由图可知,当直线 1 1 2 2y x z   过点  4,2A 时,直线在 y 轴上的截距 1 2 z 最大, z 有最大值,即 max 4 2 2 8z     .故答案为8. 2.某社团计划招入女生 x 人,男生 y 人,若满足约束条件 2 4 6 12 2 3 12 x y x y x y          ,则该社团今年 计划招入的学生人数最多为___________. 【试题来源】吉林省长春市实验中学 2020-2021 学年高三第一学期期中(文) 【答案】9 【解析】设 z x y  ,则 y x z   , 作出约束条件 2 4 6 12 2 3 12 x y x y x y          表示的平面区域,如图: z 的最大值,即直线 y x z   的纵截距的最大值, 由图可知,当直线经过点C 时,纵截距最大. 6 12 0 2 3 12 0 x y x y        ,解得 3 6 x y    , 所以 z 的最大值为3 6 9  ,此时 ,x y 均为正整数,符合要求. 所以该社团今年计划招入的学生人数最多为 9.故答案为 9. 3.已知实数 x,y 满足 1 0, 1 0, 1, x y x y x          则 x y 的最大值为___________. 【试题来源】河南省九师联盟 2020-2021 学年高三第一学期 11 月质量检测(理) 【答案】3 【解析】画出可行域.设 z x y  ,则 y x z   ,当直线 y x z   过点 A 时, z 取最大 值.由 1 1 0 x x y      ,得 1 2 x y    ,所以 (1,2)A ,所以 max 1 2 3z    .故答案为 3. 4.若实数 x , y 满足约束条件 1 0 1 0 2 4 0 x y x y x y            ,则 2 3z x y  的最小值是___________. 【试题来源】河南省洛阳市汝阳县 2020-2021 学年高三上学期联考(文) 【答案】5 【解析】由约束条件得可行域如图中阴影部分所示, 由 1 0 2 4 0 x y x y        ,解得  2,3A  , 由图知,当直线 2 3z x y  经过点 A时, z 取得最小值为 4 9 5   .故答案为 5. 5.已知实数 ,x y 满足约束条件, 0 1 0 1 0 y x x y y          则 3z x y  的最大值为___________. 【试题来源】黑龙江省 2020-2021 学年高三 10 月月考(理) 【答案】7 【解析】画出约束条件 0, 1 0, 1 0, y x x y y          表示的可行域,如图, 由 1 0 1 0 x y y        可得 2 1 x y      ,得  2, 1C  , 将 3z x y  变形为 3y x z  ,平移直线 3y x z  , 由图可知当直 3 ( )y x z   经过点  2, 1C  时,直线在 y 轴上的截距最大, 所以 z 的最大值为3 2 1 7   .故答案为 7. 6.若 ,x y 满足约束条件 0 3 0 2 0 x x y x y         ,则 2z x y  的最小值是___________. 【试题来源】陕西省宝鸡市金台区 2020-2021 学年高三上学期 11 月教学质量检测(文) 【答案】4 【解析】画出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分, 将 2z x y  化为 1 2 2 zy x   ,根据图象可知直线过点  2,1A 时 z 取最小值 4. 故答案为 4 . 7.已知实数 x , y 满足 2 0 3 5 0 0 0 x y x y x y          ,则 4 2x yz   的最大值为___________. 【试题来源】贵州省凯里市第三中学 2021 届高三上学期第二次月考(理) 【答案】16 【解析】不等式组表示的可行域如图所示: 由题知 22 x yz  ,设 2m x y  , 则 2y x m   , m 表示直线 2y x m   的 y 轴截距, 联立 2 0 3 5 0 x y x y       ,解得 1 2 x y    ,即  1,2A . 当直线 2y x m   过  1,2A 时, m 取得最大值,即 max 2 1 2 4m     . 所以 4 max 2 16z   .故答案为16 . 8.若实数 ,x y 满足不等式组 1 2 1 2 1 0 x y x y x y            ,则 2 3x y 的最大值为___________. 【试题来源】河北省保定市 2021 届高三上学期 10 月摸底考试 【答案】3 【分析】由题意作出可行域,转化目标函数为 2 3 3 zy x  ,数形结合即可得解. 【解析】由题意作出可行域,如图,设 2 3z x y  ,则 2 3 3 zy x  , 上下平移直线 2 3 3 zy x  ,数形结合可得当直线 2 3 3 zy x  过点 A时, z 取最大值, 由 1 2 1 0 x y x y        可得点  0, 1A  ,所以  max 2 0 3 1 3z       .故答案为 3. 9.若 x,y 满足约束条件 0 2 6 0 2 0 x y x y x y           ,则 3 2z x y  的最大值是___________. 【试题来源】福建省 2021 届高三(10 月月考)数学第一次质量检测试题 【答案】10 【解析】根据约束条件画出可行域如下: 作目标函数 3 2z x y  的一系列平行线,可知直线过 A 点时 z 最大. 由 0 2 6 0 x y x y       得  2,2A ,故 3 2z x y  的最大值为 3 2 2 2 10z      . 故答案为 10. 10.设 x , y 满足约束条件 2 4, 1, 0 x y x y y        则 4z x y  的取值范围是___________. 【试题来源】云南省 2021 届高三第二次双基检测(文) 【答案】[1,6] 【解析】画出约束条件 2 4, 1, 0 x y x y y        表示的平面区域如下, 因为目标函数 4z x y  可化为 1 4 4 zy x   , 因此 z 表示直线 1 4 4 zy x   在 y 轴截距的 4 倍, 由图象可得,当直线 1 4 4 zy x   过点 A时,在 y 轴的截距最大; 当直线 1 4 4 zy x   过点 B 时,在 y 轴的截距最小; 由 1 2 4 x y x y      解得  2,1A ,此时 2 4 1 6z     ; 由 1 0 x y y     得  10B , ,此时 1 4 0 1z     ,所以 [1,6]z  .故答案为[1,6] . 11.设实数 x , y 满足 0 2 1 0 2 1 0 y x y x x y           ,则 z x y  的最大值为___________. 【试题来源】四川省阆中中学 2020-2021 学年高三 11 月月考(文) 【答案】 4 5 【解析】画出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分, 将 z x y  化为 y x z   ,观察图形可知,当直线 y x z   过 B 点时, z 取得最大值, 联立方程 2 1 0 2 1 0 y x x y        ,解得 1 3,5 5x y  ,即 1 3,5 5B     , 则 z 的最大值为 1 3 4 5 5 5   .故答案为 4 5 . 12.已知 x , y 满足约束条件 0 2 0 x y x y y        ,若 2z x y  的最大值为___________. 【试题来源】云南民族大学附属中学 2021 届高三上学期期中考试(文) 【答案】4 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分 )OBC . 由 2z x y  得 2y x z   ,平移直线 2y x z   , 由图象可知当直线 2y x z   经过点C 时,直线 2y x z   的截距最大,此时 z 最大. 由 0 2 y x y     ,解得 2 0 x y    ,即 (2,0)C ,将 (2,0)C 的坐标代入目标函数 2z x y  , 得 2 2 0 4z     .即 2z x y  的最大值为 4 .故答案为 4. 【名师点睛】本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数 学思想是解决此类问题的基本方法. 13.已知 x 、 y 实数满足 2 2 0 3 3 0 2 4 0 x y x y x y            ,则 3z x y  的最大值为___________. 【试题来源】福建省 2021 届高三 10 月月考 【答案】 6 【分析】作出不等式组所表示的可行域,数形结合找到使得直线 3z x y  在 x 轴的截距最 大时对应的最优解,代入目标函数即可得解. 【解析】作出不等式组 2 2 0 3 3 0 2 4 0 x y x y x y            所表示的可行域如下图所示: 联立 2 2 0 2 4 0 x y x y        ,解得 0 2 x y    ,即点  0,2B , 平移直线 3z x y  ,当该直线经过可行域的顶点 B 时,直线 3z x y  在 x 轴上的截距最 大,此时 z 取最大值,即 max 0 3 2 6z      .故答案为 6 . 14.设 2z y x  ,式中变量 x、y 满足下列条件 2 1 3 2 23 1 x y x y y         则 z 的取值范围为___________. 【试题来源】西藏拉萨市第二高级中学 2020 届高三第六次月考 【答案】 5,11 【解析】作出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分, 将 2z y x  化为 1 2 2 zy x  ,通过图形可知,当直线 1 2 2 zy x  过点 A 时, z 取得最大 值,当直线 1 2 2 zy x  过点 C 时, z 取得最小值, 联立方程 2 1 3 2 23 x y x y       可解得  3,7A ,故 z 的最大值为 2 7 3 11   , 联立方程 3 2 23 1 x y y     可解得  7,1C ,故 z 的最小值为 2 1 7 5    , 所以 z 的取值范围为 5,11 .故答案为 5,11 . 【名师点睛】线性规划常见类型, (1) y bz x a   可看作是可行域内的点到点  ,a b 的斜率; (2) z ax by  ,可看作直线 a zy xb b    的截距问题; (3)    2 2z x a y b    可看作可行域内的点到点 ,a b 的距离的平方. 15.若 x , y 满足约束条件 3 0 3 2 3 0 1 0 x y x y x y         „ … „ ,则 3z x y  的最小值为___________. 【试题来源】安徽省皖豫名校联盟体 2021 届高三(上)第一次联考(文) 【答案】 33 5  【分析】画出约束条件 3 0 3 2 3 0 1 0 x y x y x y         „ … „ 表示的平面区域,当直线 3z x y  过点 A时,z 有 最小值,解出 A的坐标,代入即可. 【解析】画出约束条件 3 0 3 2 3 0 1 0 x y x y x y         „ … „ 表示的平面区域,如阴影部分所示 由图形知,当直线 3z x y  过点 A时, z 有最小值, 联立 3 0 3 2 3 0 x y x y        ,解得 3 5 12 5 x y     , 所以 z 的最小值为 3 12 3335 5 5minz      .故答案为 33 5  . 16.已知实数 x , y 满足不等式组 3, 2 0, 4, x y x y x        则 2z x y  的最小值是___________. 【试题来源】河南省部分重点高中 2020-2021 学年高三阶段性考试(四)(文) 【答案】5 【解析】画出可行域如下: 当直线 2z x y  经过点 2,1 时, z 取得最小值,且最小值是 5.故答案为 5. 17.已知实数 x , y 满足约束条件 2 2 2 4 4 0 x y x y x y          ,则 2z x y  的最大值为___________. 【试题来源】江西师大附中 2020 年-2021 学年高三上学期 11 月期中数学(理) 【答案】2 【解析】画出可行域如下图所示, 由图可知平移基准直线 2 0x y  到可行域边界点 (2,0) 处, 目标函数 2z x y  取得最大值为 2 0 2z    .故答案为 2 . 18.已知实数 x , y 满足不等式组 2 0 3 0 1 x y x y y          ,则目标函数 2z x y  的最大值为 ___________. 【试题来源】广东省汕头市澄海中学 2021 届高三上学期第一次段考 【答案】5 【解析】由实数 x , y 满足不等式组 2 0 3 0 1 x y x y y          ,画出可行域如图所示: 将目标函数 2z x y  转化为 2y x z   ,平移直线 2y x  , 当经过点  2,1A 时,直线在 y 轴上的截距最大, 此时目标函数取得最大值,最大值为 5,故答案为 5. 19.已知实数 x , y 满足 2 4 1 3 5 x y x y        ,则 2z x y  的最大值为___________. 【试题来源】百校联盟 2021 届高三普通高中教育教学质量监测考试(全国卷 11 月)(理) 【答案】 5 2 【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示;观察可知,当直线 2z x y  过点 D 时, z 有最大值;联立 2 3 5 x y x y      ,解得 3 2 1 2 x y     ,故 2z x y  的最大值为 3 12 2 2    5 2 .故答案为 5 2 . 20.已知点 x , y 满足 1 1 3 x y x y       ,则代数式 2 2 xy x y 的取值范围为___________. 【试题来源】 2020-2021 学年高三上学期期中(理) 【答案】 2 1,5 2      【解析】作出不等式组对应的平面区域如图: 则 1x , 1y  , 2 2 xy x y = 21 ( ) y x y x  ,设 k= y x , 则 k>0, 2 2 xy x y = 21 ( ) y x y x  = 21 k k = 1 1k k  , 则 k 的几何意义是区域内的点到原点的斜率,由图象知 OC 的斜率最小,OA 的斜率最大, 由 1 3 x x y     得 1 2 x y    ,即 A(1,2),由 1 3 y x y     得 2 1 x y    ,即 C(2,1), 则 OC 的斜率 k= 1 2 ,OA 的斜率 k=2,即 1 2 ≤k≤2, 设 f(k)=k+ 1 k ,则函数在 1 2 ≤k≤1 上递减,在 1≤k≤2 上递增,则最小值为 f(1)=1+1=2, f(2)=2+ 1 2 = 5 2 ,f( 1 2 )=2+ 1 2 = 5 2 =f(2),则 2≤f(k)≤ 5 2 ,则 2≤k+ 1 k ≤ 5 2 , 则 2 5 ≤ 1 1k k  ≤ 1 2 ,即 2 2 xy x y 的取值范围为[ 2 5 , 1 2 ], 故答案为[ 2 5 , 1 2 ]. 三、双空题 1.若实数 x ,y 满足 2, 2 4, 0, x y x y x y         则 2 3x y 的最小值是___________,最大值是___________. 【试题来源】浙江省台州市仙居县文元横溪中学 2020-2021 学年高三上学期期中 【答案】4 20 【解析】画出不等式所表示的平面区域,如图阴影部分, 可得      1,1 , 4,4 , 2,0A B C ,将 2 3z x y  化为 2 +3 3 zy x  , 则观察图形可知,当直线 2 +3 3 zy x  过  2,0C 时, z 取得最小值为 min 2 2+0 4z    , 当直线 2 +3 3 zy x  过  4,4B 时, z 取得最大值为 max 2 4+3 4 20z     . 故答案为 4;20. 2.若实数 x , y 满足约束条件 3 1 0 3 0 x y x y        ,则 3z y x  的最大值是___________, 2 2x y 的最小值是___________. 【试题来源】浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟 2020-2021 学年高三上学期返校联考 【答案】 4 9 2 【解析】根据线性约束条件作出可行域如图: 由 3z y x  得 1 1 3 3y x z  ,作 0l : 1 3y x ,将 0l 沿着可行域的方向平移,过 A 时,截 距最大,即 z 最大,由 3 1 0 3 0 x y x y        得 5 1,2 2A    ,所以 max 1 53 42 2z          , 2 2x y 最小为原点到 3 0x y   的距离的平方,最小距离为 3 3 2 2   , 所以 2 2x y 的最小值是 9 2 ,故答案为 4 ; 9 2 . 3.设实数 x ,y 满足 7 0 2 5 0 0 x y x y y          ,则点  ,P x y 形成的区域面积为___________; 2x y 的最大值为___________. 【试题来源】2020 年浙江省新高考名校交流模拟卷(四) 【答案】24 11 【分析】画出不等式组表示的平面区域,可知形成的区域为三角形,求出其面积即可,进而 可求出 2x y 的最大值. 【解析】画出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分, 可知形成的区域为 ABC ,其中 ( ) ( ) ( )5,0 , 3,4 , 7,0A B C- , 1 12 4 242ABCS\ = 创 = , 令 2z x y  ,则 1 2 2 zy x   ,可知看出当直线过  3,4B 时, z 取得最大值为 11. 故答案为 24;11. 4.已知实数 x 、 y 满足条件 0 2 2 0 y y x x y      … „ „ ,则 2x y 的最小值为___________,最大值为 ___________. 【试题来源】2020 届浙江省台州市温岭中学高三下学期 3 月第二次高考模拟 【答案】 2 3  2. 【解析】由实数 x 、 y 满足条件 0 2 2 0 y y x x y      … „ „ 作出可行域如图,化目标函数 2z x y  为 2 2 x zy   ,由图可知,当直线 2 2 x zy   过 B 时直线在 y 轴上的截距最小, z 有最大值,等 于 2 2 0 2   .由 2 2 0 y x x y      ,解得 2 2,3 3A     当直线 2 2 x zy   过 A时直线在 y 轴上的截距最大, z 有最小值,等于 2 2 223 3 3     . 故答案为 2 3  ;2. 5.设集合   1|,A x y y x   ,   , |B x y y x a    . (1)若 A B   ,则实数 a 的取值范围是___________; (2)当 3a  时,若  ,x y A B  ,则 2x y 的最大值是___________. 【试题来源】湖南省邵阳市第二中学 2020 届高三下学期模拟考试(理) 【答案】 1, 5 【解析】(1)考虑不等式 1y x  , y x a   表示的平面区域,它们如图所示, 其中Ⅰ对应不等式 1y x  表示的平面区域,Ⅱ对应不等式 y x a   表示的平面区域. 若 A B   ,则 1a  . (2)当 3a  时, A B 对应的平面区域如下图所示: 把初始直线 2 0x y  平移至 M 时, 2z x y  可取最大值, 令 1 3 y x x x       ,故 2 1 x y    即  2,1M ,故 max 2 2 1 5z     ,故答案为 1, ,5. 【名师点睛】本题以集合为载体,考查不等式表示的平面区域以及利用线性规划求最值,确 定不等式表示的平面区域的核心为 y kx b  ( y kx b  )就是表示直线 y kx b  上方(下 方)的区域,而利用线性规划求最值时,要准确刻画初始直线,本题属于中档题. 6.已知在平面直角坐标系中,不等式组 2 2 3 x y x y       表示的平面区域面积是___________,周 长为___________. 【试题来源】浙江省金华市永康市 2020 届高三下学期 6 月高考适应性考试 【答案】 1 2 2+ 2 【解析】由不等式组,作出可行域如下图所示的阴影部分 ABC , 由 2 2 x y    得  2 2B , , 2 3 x x y     得  21A , , 由 2 3 y x y     得  1 2C , ,所以 1, 1, 2AB BC AC   , 所以 ABC 的面积为 1 11 12 2    , ABC 的周长为1+1+ 2 2+ 2 , 故答案为 1 2 ; 2+ 2 . 7.若实数 x , y 满足不等式组 3 3 0 2 3 0 3 0 x y x y x my            ,且 z x y  且最小值为 2 ,则最优解  ,x y  ___________,实数 m  ___________. 【试题来源】浙江省绍兴市柯桥区 2020 届高三下学期 6 月方向性考试 【答案】 3 5,4 4     9 5 【解析】 3 0x my   ,表示过定点 3,0 的直线,若要能形成可行域,直线的斜率大于 0,所以 0m  ,如图,画出可行域, z x y  表示斜率为 1 的直线,当 0y  时, x z , 所以 z 表示直线的横截距,所以 z x y  平移至点 B 时, z 取得最小值, 3 0 3 3 0 x my x y        ,解得 3 9 3 mx m   , 6 3y m   ,即 3 9 6,3 3 mB m m       , 由条件可知 3 9 6 23 3 m m m      ,解得 9 5m  ,此时最优解 3 5,4 4B    . 故答案为 3 5,4 4     ; 9 5 . 【名师点睛】本题考查线性规划,重点考查转化思想,数形结合思想,属于中档题型,本题 的关键是根据 3 0x my   表示过定点 3,0 的直线,画出可行域. 8.已知实数 ,x y 满足 0 1 3 3 0 y x y x y         ,则由不等式组确定的可行域的面积为___________; 2z x y  的最大值为___________. 【试题来源】浙江省金华市兰溪市第三中学 2020 届高三下学期寒假返校考试 【答案】1 6 【解析】不等式组表示的平面区域如下所示: 故不等式组确定的可行域的面积 1 1 2 12S     ; 数形结合可知,当且仅当目标函数过点  3,0C 时取得最大值. 故 2 3 0 6maxz     .故答案为1; 6. 9.设变量 x 、y 满足约束条件 2 0 2 0 1 0 x y x y x y            ,则目标函数 2 4  y xz 的最大值为___________, 最小值为___________. 【试题来源】浙江省超级全能生 2020 届高三下学期 3 月联考(B 卷) 【答案】8 1 16 【分析】作出不等式组所表示的可行域,平移直线 2t y x  ,观察该直线在 y 轴截距最大 和最小时对应的最优解,代入目标函数计算即可得解. 【解析】作出不等式组 2 0 2 0 1 0 x y x y x y            所表示的可行域如下图所示: 联立 1 2 0 x x y       ,解得 1 1 x y     ,即点  1,1C  ; 联立 2 0 0 x y y      ,解得 2 0 x y    ,即点  2,0A . 令 2t y x  ,则 22 2 24 y y x t xz    ,平移直线 2t y x  , 当直线 2t y x  经过可行域的顶点 A时,直线 2t y x  在 y 轴上的截距最小, 此时 z 取最小值,即 0 2 2 min 12 16z    ; 当直线 2t y x  经过可行域的顶点C 时,直线 2t y x  在 y 轴上的截距最大,此时 z 取 最大值,即  1 2 1 max 2 8z     .故答案为8 ; 1 16 . 10.设实数 x 、 y 满足条件3 0x y  、 2x y  ,则可行域面积为___________, xy 最 大值为___________. 【试题来源】浙江省 2020 届高三下学期 4 月适应性测试 【答案】3 1 【解析】因为实数 x 、 y 满足条件 3 0x y  、 2x y  , 所以实数 x 、 y 满足 0 3 0 2 y x y x y        或 0 3 0 2 y x y x y        ,绘出可行域,如图: 易知 1 3,2 2A     , 1 3,2 2B    ,  2,0C ,故可行域面积 1 32 2 2 32 2AOCS S= = 创 �△ , 结合图象可知,当 xy 最大时点在线段 AC 上,直线 AC 的方程为 2y x  , 则    222 2 1 1 1xy x x x x x          , 故当 1x  时, xy 取最大值, xy 的最大值为1,故答案为3、1. 11.已知 x , y 满足条件 0, 4 0, 1 0, x y x y x          则 2x y 的最大值是___________,原点到点  ,P x y 的距离的最小值是___________. 【试题来源】2020 届浙江省宁波市镇海中学高三下学期 3 月高考模拟测试 【答案】 6 2 【分析】画出不等式组对应的可行域,通过平移动直线 2 0x y t   求目标函数的最大值, 而原点到点 P 的距离的最小值就是原点到点 A的距离. 【解析】不等式组对应的可行域如下: 当动直线 2 0x y t   过 B 时, 2x y 有最大值,又  2,2B ,故 2x y 的最大值为 6. 原点到 P 的距离的最小值即为    2 20 1 0 1 2OA      ,故分别填 6、 2 . 【名师点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题,常通过线性规划来求最值, 求最值时往往要考二元函数的几何意义,比如 3 4x y 表示动直线3 4 0x y z   的横截距 的三倍 ,而 2 1 y x   则表示动点  ,P x y 与 1, 2 的连线的斜率. 12.若实数 x,y 满足约束条件 2 0 2 3 0 0 x y x y x y          ,则 2z x y  的最小值是___________; 1 yu x   的最大值是___________. 【试题来源】浙江省北斗星盟 2020 届高三下学期高考适应性考试 【答案】 1 1 3 【分析】先作可行域,再根据 2z x y  表示直线、 1 yu x   表示斜率,结合图象确定最值 取法,计算即得结果. 【解析】作可行域,如图阴影部分, (2,1)A , 则直线 2z x y  过点 (1, 1)B  时, z 取最小值,为1 2 1   ; 1 yu x   表示可行域内点与定点 ( 1,0)P  连线的斜率, 由图可得 1 yu x   的最大值是 1 1 2 1 3PAk   , 故答案为 1 , 1 3 .

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