专题 20 椭 圆（客观题）
一、单选题
1．已知椭圆C 经过点 5 0 0 4A B ， ， ， ，则椭圆 C 的标准方程为
A．
2 2
15 4
x y B．
2 2
125 16
x y
C．
2 2
116 25
x y D．
2 2
125 9
x y
【试题来源】西藏日喀则市拉孜县中学 2021 届高三上学期第二次月考（理）
【答案】B
【分析】由所给的椭圆上的点为顶点，即可求出椭圆的方程．
【解析】因为椭圆C 经过点 5 0 0 4A B ， ， ， ，所以 5, 4a b ，且焦点在 x 轴上，
所以椭圆的方程为
2 2
125 16
x y ，故选 B.
2．若点 M 到两定点 1 0, 1F ， 2 0,1F 的距离之和为 2，则点 M 的轨迹是
A．椭圆 B．直线
C．线段 D．线段的中垂线．
【试题来源】四川省绵阳市 2020-2021 学年高三上学期 11 月月考（文）
【答案】C
【分析】根据 M 到 1 2,F F 的距离之和正好等于 1 2F F ，可得 M 的轨迹．
【解析】 1 0, 1F ， 2 0,1F ， 1 2 2F F ，因为点 M 到两定点 1 0, 1F ， 2 0,1F 的
距离之和为 2， M 的轨迹是线段 1 2F F ，故选 C．
3．已知实数1, ,9m 成等比数列，则椭圆
2
2 1x ym
的离心率为
A． 6
3
B．2
C． 6
3
或 2 D． 2
2
或 3
【试题来源】宁夏石嘴山市 2020 届高三适应性测试（理）
【答案】A
【分析】由 1，m，9 构成一个等比数列，得到 m=±3．当 m=3 时，圆锥曲线是椭圆；当 m=
﹣3 时，圆锥曲线是双曲线，(舍）由此即可求出离心率．
【解析】因为 1，m，9 构成一个等比数列，所以 m2=1×9，则 m=±3．
当 m=3 时，圆锥曲线
2x
m
+y2=1 是椭圆，它的离心率是 2
3
= 6
3
；
当 m=﹣3 时，圆锥曲线
2x
m
+y2=1 是双曲线，故舍去，则离心率为 6
3
．故选 A．
4．关于 x ， y 的方程 2 22 1 1ax a y 表示的曲线为椭圆的一个充分不必要条件为
A． 1
2a B． 1a
C． 1
2a 且 1a D． 1
2a 或 0a
【试题来源】百师联盟 2021 届一轮复习（二） 全国卷 III 理数试题
【答案】B
【分析】根据椭圆的方程可得
0
2 1 0
2 1
a
a
a a
，求出 a 的取值，再根据充分条件、必要条件的
定义即可求解．
【解析】若方程 2 22 1 1ax a y 表示的曲线为椭圆，
则有
0
2 1 0
2 1
a
a
a a
，所以 1
2a 且 1a ，故选项 A 和 D 非充分条件，选项 C 为充要条件，
选项 B 为充分不必要条件，故选 B．
5．已知 P 是椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
（ 0a b ）上一点，过原点的直线交椭圆于 A， B 两点，
且 3
4PA PBk k ，则椭圆的离心率为
A． 1
2 B． 1
3
C． 1
4 D． 2
2
【试题来源】安徽省六安市第一中学 2020-2021 学年高三上学期第四次月考（文）
【答案】A
【解析】由题可设 ,P x y ， 1 1,A x y ， ( )1 1,B x y- - ，
则
2 2
1 1 1
2 2
1 1 1
PA PB
y y y y y yk k x x x x x x
，
2 2
2 2 1x y
a b
，
2 2
1 1
2 2 1x y
a b
，两式相减可得
2 2 2 2
1 1
2 2 0x x y y
a b
，即
2 2 2
1
2 2 2
1
y y b
x x a
，
2
2
3
4
b
a
，
2 2
2
3
4
a c
a
， 1
2
c
a
，
故选 A.
【名师点睛】（1）该题来自椭圆的一个小结论：若椭圆方程为
2 2
2 2 1 0x y a ba b
， ,A B
是该椭圆上关于原点对称的两点， P 为椭圆上异于 ,A B 的任意一点，则 PA PBk k 为定值，
为
2
2
b
a
．（2）椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范
围)，常见有两种方法：①求出 a，c，代入公式 ce a
；②只需要根据一个条件得到关于 a，
b，c 的齐次式，结合 b2＝a2－c2 转化为 a，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 a
或 a2 转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围)．
6．如图，椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的右焦点为 , ,F A B 分别为椭圆的上､下顶点，P 是椭
圆上一点， / / ,| | | |AP BF AF PB ，记椭圆的离心率为 e ，则 2e
A． 2
2
B． 17 1
8
C． 1
2 D． 15 1
8
【试题来源】2021 年 1 月浙江省普通高中学业水平考试
【答案】B
【解析】 0, , ,0B b F c ，则 BF
bk c
，所以直线 : bAP y x bc
，与椭圆方程联立
2 2 2 22 0a c x a cx ，所以点 P 的横坐标是
2
2 2
2a cx a c
，
3
2 2
by a c
，
即
2 3
2 2 2 2
2 ,a c bP a c a c
，
2 22 3
2 2 2
2 2 2 2
2a c bPB a b aa c a c
，
整理为 6 2 4 4 2 64 3 2 1c a c a c a ，两边同时除以 6a 得 6 4 24 3 2 1 0e e e ，
2 4 21 4 1 0e e e ， 2 1 0e ，所以 4 24 1 0e e ，得 2 1 17
8e ，
或 2 1 17
8e （舍）．故选 B．
7．已知椭圆
2 2
2 2 1 0x y a ba b
，点 M 在椭圆上，以 M 为圆心的圆与 x 轴相切与椭
圆的焦点，与 y 轴相交于 P ，Q ，若 MPQ 为正三角形，则椭圆的离心率为
A． 1
2 B． 1
3
C． 2
2
D． 3
3
【试题来源】浙江省金华市义乌市 2020-2021 学年高三上学期第一次模拟考试
【答案】D
【解析】不妨设 0 0,M x y 在第一象限，以 M 为圆心的圆与 x 轴相切于椭圆右焦点，
则 0x c ，又 M 在椭圆上，则
2
0
by a
，圆 M 的半径
2br a
，
MPQ 为正三角形，
23 3
2 2
bc r a
，
2 23 3 2 0c a ac ，即 23 2 3 0e e ，解得 3
3e ．故选 D．
【名师点睛】本题考查椭圆离心率的求解问题，求解离心率的关键是能够通过图形中的长度
关系构造出关于 ,a c 的齐次方程，利用齐次方程配凑出离心率 e ，解方程求得结果．
8．已知椭圆
2 2
2 2 1 0x y a ba b
上一点 A关于原点的对称点为点 B ， F 为其右焦点，
若 AF BF ，设 ABF ，且 ,6 4
，则该椭圆的离心率 e 的取值范围是
A． 2 ,12
B． 2 , 3 12
C． 2 3,2 2
D． 3 6,3 3
【试题来源】河北省衡水中学 2021 届高三上学期期中（理）
【答案】B
【解析】设椭圆
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的左焦点为 1F ，
因为 AF BF ，所以四边形为 1AF BF 为矩形，所以 1 2AB FF c
因为 ABF ，所以 2 sin , 2 cos ,AF c BF c
由椭圆的定义得 2 2 sin 2 cosa c c ，所以
1 1
sin cos 2 sin 4
ce a
，
因为 ,6 4
，所以 5 ,4 12 2
，所以 2 6sin ,14 4
，
所以 1 32 sin , 24 2
，所以 2 , 3 12e
，故选 B.
【名师点睛】椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为
椭圆；二是当 P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点 F1，F2 组成的三角形通常称为“焦点三角形”，
利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等．
9．已知 F 是椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的一个焦点，若直线 y kx 与椭圆相交于 A，B 两
点，且 120AFB ，则椭圆离心率的取值范围是
A． 3 ,12
B． 30, 2
C． 1 ,12
D． 10, 2
【试题来源】湖北省黄冈市部分普通高中 2020-2021 学年高三上学期 12 月联考
【答案】C
【解析】连接 A，B 与左右焦点 F， F的连线，由 120AFB ，
由椭圆及直线的对称性可得四边形 AFBF 为平行四边形， 60FAF ，在三角形 AFF
中， 22 2 2 2 cos 3FF AF AF AF AF FAF AF AF AF AF ，
所以
2
2 2 3 3 2
AF AFAF AF FF AF AF
，即 2 21
4 AF AF FF
即 2 21 4 44 a c ，可得 1 2
ce a
，所以椭圆的离心率 1,12e
，故选 C．
【名师点睛】该题考查的是有关椭圆离心率的取值范围的求解问题，解题方法如下：
（1）根据题意，结合椭圆的对称性，连接相应点，得到平行四边形；
（2）根据平行四边形的性质，得到角的大小；
（3）根据余弦定理，列出相应等式，结合椭圆定义以及基本不等式求得结果．
10．已知椭圆
2 2
: 19 5
x yE 的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，P 为椭圆上一个动点，Q 为圆
2 2: 10 8 40 0M x y x y 上一个动点，则 1PF PQ 的最大值为
A．12 B． 65 1
C．11 D．18
【试题来源】江苏省苏州市常熟市 2020-2021 学年高三上学期阶段性抽测二
【答案】A
【解析】由题意得 1 2( 2,0), (2,0)F F ，根据椭圆的定义可得 1 2 2 6PF PF a ，
所以 1 26PF PF ，又圆 2 2: 10 8 40 0M x y x y ，变形可得 2 2( 5) ( 4) 1x y ，
即圆心 (5,4)M ，半径 1r ，所求 1PF PQ 的最大值，即求 1PF PM r 的最大值，
1 26PF PM PF PM ，如图所示：
当 2, ,P F M 共线时， 2PM PF 有最大值，且为 2 2
2 (5 2) 4 5F M ，
所以 1 26PF PM PF PM 的最大值为5 6 11 ，
所以 1PF PQ 的最大值，即 1PF PM r 的最大值为 11+1=12，故选 A
11．已知 A､ B 分别为椭圆C ：
2
2 14
x y 的左､右顶点，P 为椭圆C 上一动点，PA ，PB
与直线 3x 交于 M ， N 两点， PMN 与 PAB△ 的外接圆的周长分别为 1L ， 2L ，则 1
2
L
L
的最小值为
A． 5
4
B． 3
4
C． 2
4
D． 1
4
【试题来源】湖南省长郡中学、、长沙市一中联合体 2020-2021 学年高三上学
期 12 月联考
【答案】A
【解析】由已知得 ( 2,0)A 、 (2,0)B ，设椭圆 C 上动点 ( , )P x y ，
则利用两点连线的斜率公式可知 0
2
PA
yk x
， 0
2
PA
yk x
，
2
2 2
2 2
10 0 14
2 2 2 2 4 4 4
PA PB
x
y y y yk k x x x x x x
设直线 PA 方程为 2y k x ，则直线 PB 方程为 1 24y xk
，根据对称性设 0k ，
令 3x 得 5My k ， 1
4Ny k
，即 3,5M k ， 13, 4
kN ，则 15 4MN k k
设 PMN 与 PAB△ 的外接圆的半径分别为 1r ， 2r ，
由正弦定理得 1 sin2 N
Pr M
M N
， 22 sin
ABr APB
，
又 180 Q MPN APB ， sin sin MPN APB
1 1 1
2 2 2
11 2 552 544
2 4 4 4
kkL r r MN kk
L r r AB
，当且仅当 15 4
k k
，即 5
10
k 时，
等号成立，即 1
2
L
L 的最小值为 5
4
故选 A
12．椭圆
2 2
2 2 1 01
x y mm m
的焦点为 1F 、 2F ，上顶点为 A，若 1 2 3F AF ，则 m
A．1 B． 2
C． 3 D． 2
【试题来源】2021 年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学
【答案】C
【解析】在椭圆
2 2
2 2 1 01
x y mm m
中， 2 1a m ，b m ， 2 2 1c a b ，
如下图所示：
因为椭圆
2 2
2 2 1 01
x y mm m
的上顶点为点 A，焦点为 1F 、 2F ，所以 1 2AF AF a ，
1 2 3F AF Q ， 1 2F AF△ 为等边三角形，则 1 1 2AF F F ，即 2 1 2 2m a c ，
因此， 3m ．故选 C．
13．已知椭圆 C ：
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的左､右焦点分别为 1F ､ 2F ， B 是椭圆C 的上顶
点，直线 1
3x c 与直线 2BF 交于点 A，若 1 2 4AF F ，则椭圆C 的离心率为
A． 5
5
B． 3
3
C． 2
2
D． 3
2
【试题来源】江西省吉安市 2021 届高三大联考数学（理）（3-2）试题
【答案】A
【解析】由题设知， 0,B b ， 2 ,0F c ，所以直线 2BF 的方程为 1x y
c b
，联立
1
3
1
x c
x y
c b
得， 1 2,3 3A c b
，设直线 1
3x c 与 x 轴交于点 M ，则 1
4
3FM c ， 2
3MA b ，
因为 1 2 4AF F ，所以 1
4 2
3 3F M MA c b ，即 2b c ，
所以 2 2 24a c c ，即 2 25a c ，所以 2 1 5
5 5e e ，故选 A.
14．已知 ABCDEF 为正六边形，若 A、D 为椭圆 W 的焦点，且 B、C、E、F 都在椭圆 W
上，则椭圆 W 的离心率为
A． 3 1 B． 2 1
C． 3 1
2
D． 3 1
2
【试题来源】湖南省株洲市 2020-2021 学年高三上学期第一次教学质量统一检测
【答案】A
【分析】设正六边形 ABCDEF 的边长为 1，则 1c OA ，由 2 1 3AF FD a ，
可得 a ，从而可得椭圆的离心率．
【解析】设正六边形 ABCDEF 的边长为 1，如图
由 A、D 为椭圆 W 的焦点，则在椭圆中， 1c OA ，由 B、C、E、F 都在椭圆 W 上，则
在直角三角形 ADF 中， 2 2 4 1 3DF AD AF ，
由椭圆的定义可得 2 1 3AF FD a ，则 1 3
2a ，
所以
1 3 1
1 3
2
ce a
，故选 A.
15．椭圆
2 2
2 2 1( 0)y x a ba b
的上、下焦点分别为 1F 、 2F ，过椭圆上的点 M 作向量 MN
使得 1 2MN F F ，且 1 2 F F N 为正三角形，则该椭圆的离心率为
A． 2
2
B． 2 1
2
C． 3
2
D． 3 1
2
【试题来源】2021 届高三湘豫名校联考（2020 年 11 月）（文）
【答案】D
【分析】根据 1 2 F F N 为正三角形得到点 N 必在 x 轴上，即可求出 ON ，再根据 1 2MN F F ，
即可求出 M 点的坐标，代入椭圆方程，根据离心率的公式即可求出离心率．
【解析】 1 2 F F N 为正三角形，点 N 必在 x 轴上，且 1 2 60NF F ，
1tan60 3ON OF c ，又 1 2MN F F ， 3 ,2M c c ，
又 点 M 在椭圆上， 2
2
2 2
3(2 ) 1
cc
a b
，化简得 4 24 8 1 0e e ，
解得 2 8 64 16 2 3
8 2e ，又 0 1e Q ， 3 1
2e ．故选 D．
16．已知曲线 ：
2 2
12 3
x y
，则以下判断错误的是
A． 0 或 3 时，曲线 一定表示双曲线
B． 0 3 时，曲线 一定表示椭圆
C．当 3 时，曲线 表示等轴双曲线
D．曲线 不能表示抛物线
【试题来源】云南省西南名校联盟 2021 届高三 12 月高考适应性月考卷（理）
【答案】B
【解析】对 ：
2 2
12 3
x y
，当 2 (3 ) 0 ，即 0 或 3 时，曲线 表示双曲线，
当 3 时， ：
2 2
16 6
y x 表示等轴双曲线，因为无论 取何值，曲线方程均只含 2x ，
2y 项与常数项，因此 A，C，D 正确；当 1 时， ： 2 2 2x y 表示圆，B 错误．选 B．
17．已知点 P 是椭圆 C ：
2 2
1100 64
x y 上一点， M ， N 分别是圆 2 26 1x y 和圆
2 26 1x y 上的点，那么 PM PN 的最小值为
A．15 B．16
C．17 D．18
【试题来源】安徽省六安市第一中学 2020-2021 学年高三上学期第四次月考（理）
【答案】D
【解析】如图，椭圆C ：
2 2
1100 64
x y 的 10 8a b ， ，所以 6c ，
故圆 2 26 1x y 和圆 2 26 1x y 的圆心为椭圆的两个焦点，
则当 M ， N 为如图所示位置时， PM PN 最小，
值为 1 2 1 2 2 2 18PF PF MF MF a ，故选 D．
18．椭圆C ：
2 2
2 1( 0)3
x y aa
的焦点在 x 轴上，其离心率为 1
2
，则
A．椭圆C 的短轴长为 3 B．椭圆C 的长轴长为 4
C．椭圆C 的焦距为 4 D． 4a
【试题来源】辽宁省葫芦岛市协作校 2020-2021 学年高三 12 月联考
【答案】B
【分析】由离心率可求出 2a ，结合椭圆的性质可求出椭圆的短轴长，长轴长，焦距．
【解析】由椭圆的性质可知，椭圆 C 的短轴长为 2 3 ，圆的离心率 2
3 11 2e a
，则
2 4a ，即 2a ， 2 2 3 1c a ，所以椭圆C 的长轴长 2 4a ，椭圆C 的焦距 2 2c ，
故选 B．
19．已知 1F ， 2F 是椭圆
2 2
125 16
x y 的左、右焦点，P 是椭圆上任意一点，过 1F 引 1 2F PF 的
外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 与短轴端点的最近距离为
A．1 B．2
C．4 D．5
【试题来源】河南省洛阳市 2021 届高三上学期第一次统一考试（文）
【答案】A
【分析】根据角平分线的性质和椭圆的定义可得 OQ 是 1 2F F M△ 的中位线， | | 5OQ a ，
可得 Q 点的轨迹是以 O 为圆心，以 5 为半径的圆，由此可得选项．
【解析】因为 P 是焦点为 1F ， 2F 的椭圆
2 2
125 16
x y 上的一点， PQ 为 1 2F PF 的外角平分
线， 1QF PQ ，设 1FQ 的延长线交 2F P 的延长线于点 M，所以 1| | | |PM PF ，
1 2 2 1 22 10,PF PF a MF PF PF ，
所以由题意得 OQ 是 1 2F F M△ 的中位线，所以| | 5OQ a ，
所以 Q 点的轨迹是以 O 为圆心，以 5 为半径的圆，所以当点 Q 与 y 轴重合时，
Q 与短轴端点取最近距离 5 4 1.d 故选 A．
20．已知椭圆
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，过 1F 且与 x 轴垂直的
直线交椭圆于 A， B 两点，直线 2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若 2
3ABC BCFS S ，则椭
圆的离心率为
A． 5
5
B． 10
5
C． 3
3
D． 3 3
10
【试题来源】云南省 2021 届高三第三次双基检测（理）
【答案】A
【解析】设椭圆的左、右焦点分别为 1 ,0F c ， 2 ,0F c ，
由 x c ，代入椭圆方程得
2by a
，设
2
, bA c a
， ,C x y ，由 2
3ABC BCFS S ，
可得 2 22AF F C ，即
2
2 , 2( , )bc x c ya
，即 2 2 2c x c ，
2
2b ya
，
所以 2x c ，
2
2
by a
，代入椭圆得，
2 2
2 2
4 14
c b
a a
，由 2 2 2b a c 得 215 3e ，
解得 5
5e ，由 0 1e ，所以 5
5e ．故选 A．
21．已知抛物线 2 2 0y px p 的准线与椭圆
2 2
19 4
x y 相交的弦长为 2 3 ，则 p
A．1 B．2
C．3 D．4
【试题来源】云南师大附中 2020 届高三（下）月考（理）（七）
【答案】C
【解析】抛物线的准线方程为
2
px ，设其与椭圆相交于 A， B 两点， 2 3AB ，
不妨设 0Ay ，根据对称知 3Ay ，代入椭圆方程解得 3
2Ax 或 3
2Ax （舍去），
3p ，故选 C．
22．椭圆
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
的左、右焦点为 1F ， 2F ，过 2F 垂直于 x 轴的直线交 C
于 A，B 两点，若 1AF B△ 为等边三角形，则椭圆 C 的离心率为
A． 1
2 B． 3
2
C． 1
3 D． 3
3
【试题来源】 2020-2021 学年高三上学期第二次月考
【答案】D
【分析】利用椭圆方程，求出焦点坐标，通过三角形是等边三角形求解椭圆的离心率即可．
【解析】椭圆
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
的左、右焦点为 1F ， 2F ，
过 2F 垂直于 x 轴的直线交 C 于 A，B 两点，若 1AF B△ 为等边三角形，
可得
23 22 2
bc a
，所以： 2 22 3ac a c ，即 2 3 2 3 0e e ，
因为 01e ， ，解得 3
3e ，故选 D．
23．椭圆 C：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左､右焦点分别为 F1，F2，点 P(x1，y1)，Q(-x1，-y1)
在椭圆 C 上，其中 x1>0，y1>0，若|PQ|=2|OF2|， 1
1
| | 3
| | 3
QF
PF
，则离心率的取值范围为
A． 6 10, 2
B．(0, 6 2]
C． 2 , 3 12
D． (0, 3 1]
【试题来源】江苏省镇江市丹阳市吕叔湘中学 2020-2021 学年高三上学期 11 月教学调研
【答案】C
【分析】根据 2| | 2PQ OF ，可得四边形 1 2PFQF 为矩形，设 1 2,PF n PF m ，根据椭
圆的定义以及勾股定理可得
2
2 2
4
2
c m n
n ma c
，再分析 18mt n m
的取值范围，
进而求得
2
2 2
4 4 32 32
c
a c
，再求离心率的范围即可
【解析】设 1 2,PF n PF m ，由 2 10, 0x y ，知 m n ，
因为 1 1 1 1, , ,P x y Q x y ，在椭圆C 上， 22 2PQ OP OF ，
所以，四边形 1 2PFQF 为矩形， 1 2QF PF ；由 1
1
3
3
QF
PF
，可得 3 13
m
n
，
由椭圆定义可得 2 2 22 , 4m n a m n c ①；平方相减可得 2 22mn a c ②；
由①②得
2 2 2
2 2
4
2
c m n m n
mn n ma c
；
令 m nt n m
，令 3 ,13
mv n
，所以， 1 4 32, 3t v v
，
即
2
2 2
4 4 32 32
c
a c
，所以， 2 2 2 2 22 3
3a c c a c ，
所以， 2 2 22 31 13e e e ，所以， 21 4 2 32 e ，
解得 2 3 12 e ，故选 C.
24．已知椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，点 A 是椭圆短轴的一个
顶点，且 1 2
3cos 4F AF ，则椭圆的离心率 e
A． 1
2 B． 2
2
C． 1
4 D． 2
4
【试题来源】江苏省泰州市姜堰中学、南通市如东中学、宿迁市沭阳如东中学 2020-2021 学
年高三上学期联考
【答案】D
【分析】依题意，不妨设点 A 的坐标为 0 b， ，在 1 2F AF 中，由余弦定理得 2 21 42 a c ，
再根据离心率公式计算即可．
【解析】设椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的焦距为 2 ( 0)c c ，
则椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左焦点 1F 的坐标为 0c ， ，右焦点 2F 的坐标为 0c， ，
依题意，不妨设点 A 的坐标为 0 b， ，在 1 2F AF 中，由余弦定理得
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2| | | | 2 cosF F AF AF AF AF F AF ，
1 2
3cos 4F AF ， 2 2 2 23 14 2 2 4 2c a a a ，
2
2
2
1
8
ce a
，
解得 2
4e ．故选 D．
25．已知 A､B 为椭圆的左、右顶点，F 为左焦点，点 P 为椭圆上一点，且 PF⊥x 轴，过点
A 的直线与线段 PF 交于 M 点，与 y 轴交于 E 点，若直线 BM 经过 OE 中点，则椭圆的离心
率为
A． 1
2 B． 3
2
C． 1
3 D． 6
3
【试题来源】黑龙江省哈尔滨市道里区第三中学校 2020-2021 学年高三上学期期末
【答案】C
【分析】根据已知条件求出 , ,B H M 三点坐标，再由三点共线可得斜率相等，从而得出
3a c 可得答案．
【解析】由题意可设 ( ,0), ( ,0), ( ,0)F c A a B a ，设直线 AE 的方程（由题知斜率存在）为
( )y k x a ，令 x c ，可得 , ( )M c k a c ，令 0x ，可得 (0, )E ka ，设 OE 的中
点为 H ，可得 0, 2
kaH
，由 , ,B H M 三点共线，可得 BH BMk k ，即 ( )2
ka
k a c
a c a
，即
为 3a c ，可得 1
3
ce a
，故选 C．
26 ． 已 知 命 题 p ： 2 2x my 表 示 焦 点 在 y 轴 的 正 半 轴 上 的 抛 物 线 ， 命 题 q ：
2 2
16 2
x y
m m
表示椭圆，若命题“ p q ”为真命题，则实数 m 的取值范围是
A． 2 6m B． 0 6m
C． 0 6m 且 2m D． 2 6m 且 2m
【试题来源】安徽省皖江名校联盟 2021 届高三第二次联考（理）
【答案】C
【解析】对于命题 2: 2p x my 表示焦点在 y 轴的正半轴上的抛物线，所以 0m ，
对于命题
2 2
: 16 2
x yq m m
表示椭圆，所以
6 0
2 0
6 2
m
m
m m
，解得 2 6m 且 2m ，
因为命题“ p q ”为真命题，所以命题 p 和命题 q均为真命题，
所以实数 m 的取值范围是 0 6m 且 2m ．故选 C．
27．已知 1 1,0F ， ( )2 1,0F ， M 是第一象限内的点，且满足 1 2 4MF MF ，若 I 是
1 2MF F△ 的内心， G 是 1 2MF F△ 的重心，记 1 2IF F△ 与 1GF M△ 的面积分别为 1S ， 2S ，
则
A． 1 2S S B． 1 2S S=
C． 1 2S S D． 1S 与 2S 大小不确定
【试题来源】浙江省十校联盟 2020-2021 学年高三上学期 10 月联考
【答案】B
【分析】作出图示，根据 ,I G 的特点分别表示出 1S ， 2S ，即可判断出 1 2,S S 的大小关系．
【解析】因为 1 2 1 24 2MF MF F F ，所以 M 的轨迹是椭圆
2 2
14 3
x y 在第一象限
内的部分，如图所示：因为 I 是 1 2MF F△ 的内心，设内切圆的半径为 r ，
所以 1 2 1 2 1 2
2 2
MMF MF F F r F F y ，所以
3
Myr ，
所以 1 2 1 2
1 2 2 3
I MF F y F F r yS
，因为G 是 1 2MF F△ 的重心，所以 : 1: 2OG GM ，
所以
1 2 1
1 2
2
2 1 1
3 3 3 2 3
M M
MOF F OF
F F y yS S S
，所以 1 2S S= ，故选 B．
28．已知 1F 、 2F 为椭圆和双曲线的公共焦点，P 为其一个公共点，且 1 2 3F PF ，则椭
圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为
A． 4 3 B． 2 3
3
C． 4 3
3
D． 2 3
【试题来源】【新东方】【2020】【高三上】【期中】【HD-LP367】【数学】
【答案】C
【解析】设椭圆的长半轴长为 1a ，双曲线的实半轴长为 2a 1 2( )a a ，半焦距为 c ， 椭圆和
双曲线的离心率分别为 1e 和 2e ， 1 1| |PF r ， 2 2| |PF r ，
由椭圆和双曲线的定义可知， 1 2 12r r a ， 1 2 22r r a ，
因为 1 2 3F PF ，由余弦定理得 2 2 2
1 2 1 24 2 cos 3c r r rr 2 2
1 2 1 2r r rr ，
所以 2 2 2
1 2 1 2 1 1 24 ( ) 3 4 3c r r rr a rr ，且 2 2 2
1 2 1 2 2 1 24 ( ) 4c r r rr a rr ，
所以 2 2 2 2
1 24 4 3(4 4 )a c c a ，即 2 2 2
1 23 4a a c ，则
2
2 2
1
31 4e e
，
由柯西不等式得 2
2 2
1 2 1 2
1 1 3 1 1 3(1 )( ) (1 )3 3e e e e
，
所以
1 2
1 1 4 4 343 3e e
，当且仅当 1
3
3e ， 2 3e 时，等号成立．故选 C
29．如图，设 1F 、 2F 分别是椭圆的左、右焦点，点 P 是以 1 2F F 为直径的圆与椭圆在第一象
限内的一个交点，延长 2PF 与椭圆交于点Q ，若 1 24PF QF ，则直线 2PF 的斜率为
A． 2 B． 1
C． 1
2
D．1
【试题来源】浙江省宁波十校 2020-2021 学年高三上学期期中联考
【答案】A
【解析】如下图，连接 1 1,PF QF ，设 2 0QF x x ，则 1 4PF x ，
因为 1 2 2PF PF a ， 1 2 2QF QF a ，所以 2 2 4PF a x ， 1 2QF a x ，
在
△
1PFQ 中， 1 2 90F PF ，所以 2 2 2
1 1 PF PQ QF ，
即 2 2 24 2 4 2x a x x a x ，整理得 3a x ，
所以 1
2 1
2
4 4tan 22 4 6 4
PF x xPF F PF a x x x
，
所以直线 2PF 的斜率为 2 1tan 180 2k PF F ．故选 A．
30．已知 P 是椭圆
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
上的点， 1F ， 2F 分别是C 的左，右焦点，O
是坐标原点，若 2 12OP OF OF
且 1 2 60F PF ，则椭圆的离心率为
A． 1
2 B． 3
2
C． 3 1
2
D． 3
3
【试题来源】福建省 2021 届高三上学期期中考试
【答案】A
【解析】如图所示，设 M 是 2PF 中点，则 2 2OP OF OM
， 1| | 2 | |PF OM ，
因为 2 12OP OF OF
，所以 1| | | |OM OF ，所以 1 1 2| | | | 2PF F F c ，
因为 1 2 60F PF ，所以 1 1 2 2| | | | | | 2PF F F PF c ．由椭圆的定义得 1 2| | | | 2PF PF a ，
所以 1 12 2 2 , ,2 2
cc c a ea
．故选 A
二、填空题
1．点 P 是椭圆
2 2
: 116 7
x yC 上的一点， 1 2,F F 是椭圆的两个焦点，且 1 2PF F△ 的内切圆
半径为 1．当点 P 在第一象限时，它的纵坐标为__________．
【试题来源】云南省 2021 届高三第五次复习检测（理）
【答案】 7
3
【分析】椭圆的焦点三角形问题，充分利用椭圆的定义，从两个角度表示出 1 2PF FS ，建立
关于 py 的关系式求解．
【解析】因为 1 2 8PF PF ， 1 2 6F F ，所以 1 2 1 2 1 2
1 1 72PF FS PF PF F F ；
因为
1 2 1 2
1 3 72PF F p pS F F y y ，所以 7
3py ．故答案为 7
3
【名师点睛】椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有
关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a 等．
2．已知椭圆
2 2
116 4
x y 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 6，则点 P 到另一个焦点的
距离为__________．
【试题来源】上海市奉贤区 2021 届高三上学期一模
【答案】 2
【解析】利用椭圆定义 1 2 2PF PF a ， 4a ，可知 26 8PF ，即 2 2PF .
3．已知 F1，F2 是椭圆 C：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左、右焦点，过左焦点 F1 的直线与椭
圆 C 交于 A，B 两点，且|AF1|＝3|BF1|，|AB|＝|BF2|，则椭圆 C 的离心率为__________．
【试题来源】广西北海市北海中学 2021 届高三 12 月考试（理）
【答案】 10
5
【解析】设 1BF k ，则 1 3AF k ， 2 4BF k ，由 1 2 1 2 2BF BF AF AF a ，
得 2 5a k ， 2 2AF k ，在 2ABF 中， 2
1cos 4BAF ，
又在 1 2F AF 中，
2 2 2
1 2
(3 ) (2 ) (2 ) 1cos 2 3 2 4
k k cF AF k k
，得 2 10c k
故离心率 10
5
ce a
．故答案为 10
5
4．已知椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
，点 F 为左焦点，点 P 为下顶点，平行于 FP 的直线l
交椭圆于 A B， 两点，且 A B， 的中点为 11 2M
， ，则椭圆的离心率为__________．
【试题来源】 2021 届高三上学期第三次月考（文）
【答案】 2
2
【解析】由题意知 ,0F c ， 0,P b ，所以直线 FP 的斜率为 0
0 ( )
b b
c c
，
设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，则
2 2
1 1
2 2 1x y
a b
①，
2 2
2 2
2 2 1x y
a b
②，
①-②得
2 2 2 2
1 2 1 2
2 2
x x y y
a b
，即 1 1 1 22 2 1 2
2 2
x x y y y y
a
x x
b
，
因为 11 2M
， 是 A B， 的中点，所以 1 2 2x x ， 1 2 1y y ，
所以 21 1 2
2 2
2 x y y
a b
x ，所以
2
1 2
2
1 2
2
AB
y y bk x x a
，
因为 //AB FE ，所以
2
2
2b b
c a
，即 2 2a bc ，所以 2 2 2b c bc ，
所以b c ，所以 2 2 2 22a b c c ，所以 2
2
ce a
，故答案为 2
2
【名师点睛】本题的关键点是利用点差法设设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，则
2 2
1 1
2 2 1x y
a b
，
2 2
2 2
2 2 1x y
a b
，两式相减得
2 2 2 2
1 2 1 2
2 2
x x y y
a b
， 11 2M
， 是 A B， 的中点，所以
1 2 2x x ， 1 2 1y y ，可得
2
1 2
2
1 2
2
AB
y y bk x x a
，再计算 0
0 ( )FP
b bk c c
，
利用 AB FPk k 结合 2 2 2a b c 即可求离心率．
5．已知椭圆
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的焦距等于其过焦点且与长轴垂直的弦长，则该椭圆的
离心率为__________．
【试题来源】北京市 2021 届高三上学期数学统练 5 试题
【答案】 5 1
2
【解析】如下图所示，设椭圆
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，
设过椭圆右焦点 2F 且垂直于长轴的弦为 AB ，则 2AB c ， 2
1
2AF AB c ，
由勾股定理可得 2 2
1 2 1 2 5AF AF F F c ，
由椭圆的定义可得 1 2 2AF AF a ，即 5 2c c a ，
所以，该椭圆的离心率为
2 5 12 5 1
25 1 5 1 5 1
ce a
．故答案为 5 1
2
．
6．已知椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
，左焦点 ( ,0)F c ，右顶点 ( ,0)A a ，上顶点 (0, )B b ，
满足 0FB AB
，则椭圆的离心率为__________．
【试题来源】四川省成都市第七中学 2020-2021 学年高三期中（文）
【答案】 5-1
2
【解析】由 0FB AB
可得， , , 0c b a b ，即 2 2 2ac b a c ，
则 2 1 0e e ，解得 5 1
2e 或 5 1
2
（舍），故答案为 5-1
2
7．已知椭圆 1C ：
2 2
2 2 1 0x y a ba b
和双曲线 2C ：
2 2
2 2 1( 0, 0)x y m nm n
的焦点
相同， 1F ， 2F 分别为左､右焦点， P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点， PM x 轴， M
为垂足，若 2
2
3OM OF (O 为坐标原点)，则椭圆和双曲线的离心率之积为__________．
【试题来源】浙江省台州市六校 2020-2021 学年高三上学期期中联考
【答案】 3
2
【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为 c，根据 2
2
3OM OF ，得到 P 的横坐标为 2
3 c ，设
1 2,PF s PF t ，分别利用椭圆和双曲线的定义求得 ,s t ，然后再利用椭圆和双曲线的
第二定义求解．
【解析】设椭圆和双曲线的半焦距为 c，所以 2
2 2
3 3OM OF c ，即 P 的横坐标为 2
3 c ，
设 1 2,PF s PF t ，由椭圆的定义得 2s t a ，由双曲线的定义得 2s t m ，
联立解得 ,s a m t a m ，设椭圆和双曲线的离心率分别为 1 2,e e ，
由椭圆的第二定义得
2
2 2 2
3p
PF t c
a a ax cc c
，解得 1
2
3t a e c ，
由双曲线的第二定义得
2
2 22
3p
PF t c
m m mx cc c
，解得 2
2
3t e c m ，
又t a m ，则 2
2
3a e c ， 1
2
3
2e e
，所以 1 2 2
3
2
ce e ea
，故答案为 3
2
8．已知 F 为椭圆
2 2
: 14 3
x yC 的左焦点，定点 3, 3A ，点 P 为椭圆 C 上的一个动点，
则 PA PF 的最大值为__________．
【试题来源】湖南省长沙市广益实验中学 2020-2021 学年高三上学期第一次新高考适应性考
试
【答案】9
【分析】设椭圆的右焦点为 1(1,0)F ，再利用数形结合分析求解．
【解析】设椭圆的右焦点为 1(1,0)F ，
2 2
1 1 1= | | 2 4 | | 4 | | 4 ( 3 1) 3 9PA PF PA a PF PA PF AF ．
【名师点睛】圆锥曲线中的最值问题常用的解题方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）
导数法；（4）基本不等式法．要根据已知条件，灵活选择方法求解．
9．椭圆C ：
2 2
2 2 1x y
a b
0a b ，以原点为圆心，半径为椭圆C 的半焦距的圆恰与椭
圆四个项点围成的四边形的四边都相切，则椭圆C 的离心率为__________．
【试题来源】江苏省镇江市 2020-2021 学年高三上学期期中
【答案】 5 1
2
【分析】由题意画出图形，利用等面积法可得关于 a ，b ，c 的等式，结合隐含条件即可求
得椭圆的离心率．
【解析】如图所示，过点O 作 2 2OM A B ，则 2 90OMA ，
由题意可得， 2 2 2 2
1 1
2 2OB OA A B OM ，即 2 2a b a b c ，又由 2 2 2a b c 可得，
2 2 2 2 2 2 2a a c a a c c ，整理可得 4 4 2 23 0a c a c ，
因为 ce a
，所以 4 23 1 0e e ，解得 2 3 5
2e ，
因为 0 1e ，所以 5 1
2e ．故答案为 5 1
2
．
10．如图，过原点 O 的直线 AB 交椭圆 C：
2 2
2 2 1x y
a b
（a＞b＞0）于 A，B 两点，过点 A
分别作 x 轴、AB 的垂线 AP，AQ 分别交椭圆 C 于点 P，Q，连接 BQ 交 AP 于一点 M，若
3
4AM AP ，则椭圆 C 的离心率是__________．
【试题来源】重庆市第八中学 2021 届高三上学期高考适应性月考（三）
【答案】 3
2
【分析】设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )Q x y ，根据已知条件得 B 、 P 、 M 的坐标， AB AQ 、B，
M，Q 三点共线， 2 1 1
2 1 1
y y x
x x y
以及 1 2
1 2
y y
x x
1
14
y
x ，由 A，Q 在椭圆上有
2 2 2
1 2
2 2 2
1 2
y y b
x x a
，
联立所得方程即可求离心率．
【解析】设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )Q x y ，则 1 1( , )B x y ， 1 1( , )P x y ， 1
1, 2
yM x
，
由 AB AQ ，则 1 2 1 2 1 1
1 2 1 2 1 1
1y y y y y x
x x x x x y
①，
由 B，M，Q 三点共线，则 BQ BMk k ，即 1 2
1 2
y y
x x
1
14
y
x ②．
因为
2 2
1 1
2 2 1x y
a b
，
2 2
2 2
2 2 1x y
a b
，即
2 2 2 2
1 2 1 2
2 2 0x x y y
a b
，
2 2 2
1 2
2 2 2
1 2
y y b
x x a
③，
将①②代入③得
2 2
2 2
1 314 2
b bea a
．
11．已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yE a ba b
的左焦点为 F ，经过原点O 的直线l 与椭圆 E 交于
P ，Q 两点，若| | 3| |PF QF ，且 120PFQ ，则椭圆 E 的离心率为__________．
【试题来源】四川省眉山市仁寿第二中学 2020-2021 学年高三上学期第四次诊断（理）
【答案】 7
4
【解析】取椭圆的右焦点 F，连接 QF， PF，
由 椭 圆 的 对 称 性 ， 可 得 四 边 形 PFQF 为 平 行 四 边 形 ， 则 PF QF ，
180 180 120 60FPF PFQ ，
| | 3| |PF QF 3| |PF ，而| | | | 2PF PF a ，所以
2
aPF ，所以 3
2
aPF ，
在 PFF 中，
2 2 22 2 2
2
9 1 4| | | | 5 8 14 4cos 32 3 3 22 2 2
a a cPF PF FF
FPF eaPF PF a
，
解得 7
4e ，故答案为 7
4
．
【名师点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于 , ,a b c 的等量关系．本题中，
由椭圆的对称性以及椭圆的定义得到
2
aPF ，所以 3
2
aPF ，然后在 PFF 中，根据
余弦定理得到所要求的等量关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．
12．椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左､右焦点分别为 1 2,F F ，椭圆上的点 M 满足：
1 2
2
3F MF 且
1 2 2MF MF
，则 b __________．
【试题来源】河北省保定市 2021 届高三上学期 10 月摸底考试
【答案】1
【分析】先根据数量积运算得 1 2 4MF MF ，再结合椭圆的定义与余弦定理即可得 1b ．
【解析】因为 1 2
2
3F MF 且
1 2 2MF MF
，所以 1 2 4MF MF ，
由椭圆的定义得 1 2 2MF MF a ，故 2 2 2
1 2 1 22 4MF MF MF MF a
所以在 1 2F MF△ 中，由余弦定理得 1 2
2 2 2
1 2
1 2
4cos 2
MF MF M F c
MF F MF
，
代入数据得
2 2 21 4 4 8 4 8
2 8 8
a c b ，解得 1b ．故答案为1．
【 名 师 点 睛 】 解 题 的 关 键 在 于 应 用 定 义 1 2 2MF MF a 与 余 弦 定 理
1 2
2 2 2
1 2
1 2
4cos 2
MF MF M F c
MF F MF
列方程求解得 1b ．
13．已知椭圆的方程为
2 2
2 116
x y
m
，焦点在 x 轴上， m 的取值范围是__________．
【试题来源】江西省贵溪市实验中学 2021 届高三上学期第二次月考数学（三校生）试题
【答案】 4,0 0,4
【分析】由椭圆的焦点在 x 轴上，可得 20 16m ，求解即可．
【解析】由椭圆的方程为
2 2
2 116
x y
m
，焦点在 x 轴上，
可得 20 16m ，所以 4 0m 或 0 4m ，故答案为 4,0 0,4 .
14．在平面直角坐标系中，点 21, 2A
与点 B 关于原点O 对称，直线 AP 与直线 BP 相
交于点 P ，且它们的斜率之积为 1
2
，则 ABP△ 的面积的取值范围是__________．
【试题来源】浙江省浙南名校联盟 2020-2021 学年高三上学期第一次联考
【答案】 0, 2
【分析】首先根据题意得到点 P 在椭圆
2
2 12
x y 1x 上，从而得到当 P 点无限靠近 A，
B 时， ABP△ 的面积趋向 0 ，当直线l 与直线 AB 平行，且与椭圆相切于 P 点，此时 ABP△
的面积最大，从而得到答案．
【解析】由题知点 21, 2A
与点 B 关于原点O 对称，所以 21, 2B
．
设 ,P x y ，因为直线 AP 与直线 BP 斜率之积为 1
2
，所以
2 2
12 2 11 1 2
y y
xx x
，
即
2
2 12
x y 1x ．所以点 P 在椭圆
2
2 12
x y 1x 上，
将 1x 代入
2
2 12
x y ，解得 2
2y ，所以 A， B 在椭圆
2
2 12
x y 上．如图所示：
当 P 点无限靠近 A， B 时， ABP△ 的面积趋向 0 ，
当直线l 与直线 AB 平行，且与椭圆相切于 P 点，此时 ABP△ 的面积最大．
因为
2 2
22 2
1 1 2ABk
，设 2: 2l y x m 0m ，
联立 2 2
2
2
2
2 2 2 2 2 2 0
12
y x m
x mx m
x y
①，
2 22 2 8 2 2 0m m ，解得 2m ，即 : 2 2 0l x y ．
因为 2: 2ABl y x ， 221 1 2 6AB ，
直线 AB 与直线l 的距离 2 2 3
31 2
d
， max
1 2 36 22 3ABPS △ ，
当直线l 与椭圆相切时，①式为 2 2 1 0x x ，解得 1Px ，
此时直线 BP 的斜率不存在，所以 ABP△ 的面积的取值范围为 0, 2 ．
15．过椭圆
2
2
2 1( 1)x y aa
上一点 P 及坐标原点 O 作直线 l 与圆 2 2 2 1x y a 交于 A，
B 两点．若存在一点 P 满足 2 | || | 1a PA PB ，则实数 a 的取值范围是__________．
【试题来源】河北省衡水中学 2021 届全国高三第一次联合考试（全国卷）理数试题
【答案】[ 2, )
【分析】将| || |PA PB 整理化简得 2 2| || | 1 | |PA PB a OP 结合 2 2| | 1,OP a ，
得 21 | | | |PA PB a ，即可得 2 21 1a a ，解不等式即可．
【解析】如图所示： 2 2| || | (| | | |)(| | | |) 1 | |PA PB OA OP OA OP a OP ．
因为 2 2| | 1,OP a ，所以 21 | | | |PA PB a ．
若存在一点 P，使得 2 | || | 1a PA PB ，即 2 21 1a a ，解得 2a ．故答案为[ 2, ) .
三、双空题
1．在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 的坐标为 1,2 ，且 0OM ON ，动点 P 与 ,M N
连线的斜率之积为 1
2
，则动点 P 的轨迹方程为__________， PMN 面积的取值范围是
__________．
【试题来源】浙江省 2020-2021 学年高三上学期 11 月期中
【答案】
2 22 1 19 9
x y x 9 20, 2
【分析】求得 N 点坐标，根据题意 1
2NP MPK K ，列出方程，即可求得动点 P 的轨迹方
程；根据 P 在曲线上运动，设平行与 MN 的椭圆切线方程为 2y x b ，与椭圆联立，根
据相切，求得 b ，代入面积公式，即可求得面积最大值，即可得答案．
【解析】因为 M 的坐标为 1,2 ，且 0OM ON ，可得 (1, 2)N ，设 ( , )P x y ，
所以 2
1MP
yK x
， 2
1NP
yK x
（ 1x ），由题意得 2 2 1
1 1 2
y y
x x
，
整理可得动点 P 的轨迹方程为
2 22 1 19 9
x y x ；
直线 MN 的斜率 2 ( 2) 21 1K
，设平行与 MN 的椭圆切线方程为 2y x b ，
与椭圆联立可得 2 2
2
2 19 9
y x b
x y
（ 1x ），即 2 29 8 2 9 0x bx b ，
2 2( 8 ) 4 9 (2 9) 0b b ，解得 9 2
2b ，
所以该切线与直线 MN 的距离
2 2
9 2
2 9 10
102 1
d
， 2 5MN ，
所以 PMN 面积的最大值 1 1 9 10 9 22 52 2 10 2S MN d ，
所以随着 P 在椭圆上运动， PMN 的面积取值范围为 9 20, 2
．
故答案为
2 22 1 19 9
x y x ； 9 20, 2
．
【名师点睛】解题的关键是根据斜率乘积为 1
2
列出表达式，进行求解，易错点为斜率必定
存在，故 1x ，在求面积取值范围时，可联立直线与曲线方程，先求得最大值，再得范
围，属中档题．
2．已知椭圆
2
2 12
x y 的左右焦点分别为 1 2,F F ，过 2F 的直线 AB 与椭圆交于 AB 两点，
则 1F AB 的周长是__________， 1F AB 内切圆面积的最大值是__________．
【试题来源】 2020-2021 学年高三上学期第一次模拟考试
【答案】 4 2 4
【分析】根据椭圆的定义求得 1F AB 的周长．将 1F AB 内切圆半径的最大转化为 1F AB 面
积最大来求解，结合弦长公式求得 1F AB 面积的表达式，利用基本不等式求得面积的最大
值，由此求得内切圆半径的最大值，进而求得内切圆面积的最大值．
【解析】根据椭圆定义可知 1F AB 的周长 4 4 2C a ；
在 1F AB 内， 1 2 22S Cr r ，只要求 1F AB 面积最大值即可，
设 : 1AB x my ， 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，
则 1 2 2
2 2
1 2 2
2
22 2 1 0 1
2
my y mm y my
y y m
，
于是
2 2
1 2 1 2 2 2 2
2
2
1 2 4 2 2 1 2 2
12 2 2 2 1
1
m mS F F y y m m m m
m
2
2
2 2 2
12 1
1
m
m
，则 212 2 2 2 4r r r ，等号在 0m 时取到．
故答案为 4 2 ；
4
．
3．设椭圆
2 2
14 3
x y 的右焦点为 F ，则 F 的坐标是__________；若 A为椭圆的右顶点，P
为椭圆上的动点．则当 2 PF PA 最小时， P 点的横坐标是__________．
【试题来源】2020 年浙江省新高考名校交流模拟卷（四）
【答案】 1,0 8 4 3
【分析】由椭圆标准方程即可得右焦点为 F 的坐标，由 (2,0)A ， ( , )P x y 2 2x 利
用两点距离公式，结合椭圆方程即有 212 4 4 74PF PA x x x ，应用导数研究
函数的单调性，即可求得其最小值，进而得到横坐标 x 的值
【解析】由椭圆方程
2 2
14 3
x y 知右焦点 F 的坐标为(1，0)
由题意，知 (1,0)F ， (2,0)A ，令 ( , )P x y ， 2 2x
则 2 22 22 2 1 2PF PA x y x y 214 4 74x x x
令
2
( ) 4 4 74
xg x x x ，则 2
8( ) 1
2 16 28
xg x
x x
当 ( ) 0g x 有 2 8 4 3x ，即 ( )g x 单调递减；
当 ( ) 0g x 有8 4 3 2x ，即 ( )g x 单调递增，而 ( ) 0g x 有 8 4 3x
所以当 8 4 3x 时， ( )g x 有最小值，即 2 PF PA 最小
故答案为 1,0 ；8 4 3 .
【名师点睛】本题考查了椭圆，根据标准方程求焦点坐标，利用两点距离公式并结合椭圆方
程可得关于关于动点横坐标的函数式，应用导数研究其单调性求最值并确定横坐标值
4．已知椭圆
2 2
19 5
x y 的左焦点为 F，点 P 在椭圆上且在 x 轴的上方，若线段 PF 的中点
在以原点 O 为圆心，|OF|为半径的圆上，则|PF|＝__________，P 点的坐标为__________．
【试题来源】【新东方】杭州新东方高三数学试卷 259
【答案】2 3 15,( )2 2
【分析】求得椭圆的 a ，b ，c ，e ，设椭圆的右焦点为 F，连接 PF，运用三角形的中位
线定理和椭圆的焦半径公式，求得 P 的坐标，利用椭圆的定义求解| |PF ．
【解析】由题意，该椭圆的长半轴长 3a ，短半轴长 5b ，半焦距 2c ，离心率 2
3e ，
设椭圆的右焦点为 F，连接 PF，
线段 PF 的中点 A在以原点 O 为圆心，2 为半径的圆，连接 AO ，可得| | 2 | | 4PF AO ，
设 P 的坐标为 ( , )m n ，由焦半径公式可得 23 43 m ，可得 3
2m ，
代入到椭圆方程得 15
2n ，由| | 2 | | 4PF AO 得| | 2 3 4 2PF ，
故答案为 2； 3 15,( )2 2
．
【名师点睛】本题主要考查椭圆的定义和标准方程、几何性质，注意运用三角形的中位线定
理，考查运算能力，属于中档题．
5．如图，椭圆 E 的左右焦点为 1F ， 2F ，以 2F 为圆心的圆过原点，且与椭圆 E 在第一象限
交于点 P ，若过 P ､ 1F 的直线l 与圆 2F 相切，则直线l 的斜率 k __________；椭圆 E 的离
心率 e __________．
【试题来源】浙江省“山水联盟”2020-2021 学年高三上学期开学考试
【答案】 3
3 3 1
【分析】根据直角三角形的性质求得 1 2PF F ，由此求得 k ，结合椭圆的定义求得离心率．
【解析】连接 2PF ，由于l 是圆 2F 的切线，所以 1 2PF PF ．
在 1 2Rt PF F 中， 2 1 2PF OF OF c ，
所以 2 1 2
1
2PF F F ，所以 1 2 6PF F ，所以直线l 的斜率
6 3tan 3πk ．
2 2
1 1 2 2 3PF F PF F c ，
根据椭圆的定义可知 1 2
1 2
2 2 2 3 12 3 3 1
F Fc c ce a a PF PF c c
．
故答案为 3
3
； 3 1
6．以椭圆
2
2 14
x y 的焦点为顶点、长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是__________，
离心率为__________．
【试题来源】 2020 届高三下学期高考模拟测试（四）
【答案】 3 0x y 2 3
3
【分析】根据椭圆的标准方程求出焦点和顶点坐标，得出双曲线的顶点和焦点，从而求出双
曲线的方程，进而写出渐近线方程与离心率．
【解析】椭圆
2
2 14
x y 的焦点为 3,0 ，长轴顶点为 2,0 ；
则双曲线的顶点为 3,0 ，焦点为 2,0 ，所以 3, 2a c ，
所以 2 2 1b c a ，所以双曲线的方程为
2
2 13
x y ，
所以渐近线方程为 3 0x y ，离心率为 2 3
3
c
a
．
故答案为（1） 3 0x y ；（2） 2 3
3
【名师点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程与简单几何性质的应用问题，是基础题．
7．经过原点的直线交椭圆
2 2
2 2 1 0x y a ba b
于 ,P Q 两点（点 P 在第一象限），若点 P
关于 x 轴的对称点称为 M ，且 1
3PA PM ，直线 QA 与椭圆交于点 B ，且满足 BP PQ ，
则直线 BP 和 BQ 的斜率之积为__________，椭圆的离心率为__________．
【试题来源】黑龙江省 2020 届高考数学（理）四模试题
【答案】 2
3
3
3
【分析】设 ,P B 的坐标，由题意可得 ,Q M 的坐标，再由向量的关系求出 A的坐标，求出 PQ ，
PB ， QB 的斜率表达式；又 ,P B 在椭圆上，将 ,P B 的坐标代入椭圆的方程，化简可得
2
2PB QBk k b
a
，又 B 在直线 AQ 上，可得
2
2
1
PB
QA
b
ak k
，进而求出 PB 的斜率，再由
BP PQ 可求出直线 BP 和 BQ 的斜率之积，进而求出离心率．
【解析】设 P m n, ， ,B s t ，则 ,Q m n ， ,M m n ，
因为 1
3PA PM ，所以 , 3
nA m
，
所以 PQ 斜率为 PQ
nk m
， PB 斜率为 PB
t nk s m
， QB 斜率为 QB
t nk s m
又 P m n, ， ,B s t 在椭圆
2 2
2 2 1 0x y a ba b
上，
所以
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
b bn b m t b sa a
， ；
所以
2 2
2 2 2 2
2 2 22 2
2 2 22 2PB QB
b bb s b mat n t n t nk k s m s
b
s m s m
a
am
，
所以
2 2 2
2 2 2
1 1 3
2PB
QB QA
b b b m
a a ak k k n
，
又 BP PQ ，所以
2
2
3 12BP PQk b m n
a n mk ，
所以
2
2
2
3
b
a
，所以
2 2
2 2
2 11 3 31c b
a a
，所以 3
3
c
a
，所以椭圆的离心率为 3
3
．
8．已知 P 是椭圆
2
2 14
x y 上任意一点，AB 是圆 22 2 1x y 的任意一条直径（ A，
B 为直径两个端点），则 PA PB 的最小值为__________，最大值为__________．
【试题来源】浙江省绍兴市嵊州市 2020 届高三下学期第二次适应性考试
【答案】0 25
3
【分析】由题意，所给圆的圆心 0,2C ，半径 1r ，得 CA CB ，设 0 0,P x y ，则
2 2
0 04 1x y ，且 01 1y ，由平面向量的线性运算得 2
PA PB PC CA CB ，代
入数据后根据二次函数的性质即可求出答案．
【解析】由题意，圆 22 2 1x y 的圆心 0,2C ，半径 1r ，
因为 AB 是圆 22 2 1x y 的任意一条直径，所以CA CB ，
设 0 0,P x y ，则 0 0,2xC yP ，因为点 P 在椭圆
2
2 14
x y 上，
所以
2
20
0 14
x y ，则 2 2
0 04 1x y ，且 01 1y ，
所 以
PA PB PC CA PC CB 2
PC CA CB 22
0 02 1 1 cosx y
2 2
0 0 04 1 4 4 1y y y 2
0 03 4 7y y
2
0
2 253 3 3y
，
因为 01 1y ，所以当 0 1y 时， PA PB 有最小值 0 ，
当 0
2
3y 时， PA PB 有最大值 25
3
，故答案为 0 ； 25
3
．
9．已知椭圆
2 2
: 14 3
x yC 的焦点是 1 2,F F ， ,A B 是 C 上（不在长轴上）的两点，且
1 // 2F A F B
． M 为 1F B 与 2F A 的交点，则 M 的轨迹所在的曲线是__________；离心率为
___________．
【试题来源】福建省 2020 届高三考前冲刺适应性模拟卷（三）（理）
【答案】椭圆 4
5
【分析】设 1 1,A x y ， 2 2,C x y 则 2 2,B x y ，设 1
: 1AFl x my 表示出 1BFl ， 2AFl
联立直线 1
: 1AFl x my 与椭圆方程，消元列出根与系数关系，代入消去 m 即可得解；
【解析】设 1 1,A x y ， 2 2,C x y 则 2 2,B x y ， 1AF 的斜率不为 0，可设 1
: 1AFl x my ，
则 1
2
2
: 1 1BF
yyl x x
①， 2
1
1
: 1 1AF
yyl x x
②，
所以
1 2 1 2 1 2
2
1 2 1 2 1 2 1 21 1 1 1 2 2 2 4
y y y y y yy y
x x x x my my m y y m y y
，
联立 2 2
1
14 3
x my
x y
得 2 24 2 3 03m y my
，得 1 2
2
2
4
3
my y
m
， 1 2
2
3
4
3
y y
m
，
所以
2
2
2
3
161 3 3
y
x m
，由①②得 1 2
1 2
21 1 2 y yx x my y y y
，所以 3
5
xm y
，
所以
2
22
3
1 3 163 5 3
y
x x
y
整理得
2 2
2 2 1
5 3
4 4
x x
，所以 M 的轨迹所在的曲线是椭圆，
1 4
5 5
4
e ，故答案为椭圆； 4
5
．
10．如图所示，已知椭圆 E 经过点 2,3A ，对称轴为坐标轴，焦点 1F ， 2F 在 x 轴上，离
心率 e 1
2
．直线 l 是 1 2F AF 的平分线，则椭圆 E 的方程是__________，l 所在的直线方程
是__________．
【试题来源】宁夏银川九中、石嘴山三中、三校 2020 届高三下学期联考（理）
【答案】
2 2
116 12
x y 2 1 0x y ．
【解析】第一空：设椭圆方程为
2 2
2 2 1x y
a b
，（a＞b＞0）
因为椭圆 E 经过点 2,3A ，离心率 e 1
2
，所以
2 2a b
a
e 1
2
， 2 2
4 9
a b
1，
所以 a2＝16，b2＝12，所以椭圆方程 E 为
2 2
116 12
x y ；
第二空：由椭圆方程可得 1 2,0F ， 2 2,0F ，因为 2,3A ，
1
3 0 3=2+2 4AFk ，
所以 AF1 方程为3 4 +6=0x y ，AF2 方程为 x＝2，
设角平分线上任意一点为 P（x，y），则 3 4 6
5
x y 2x ．
得 2 1 0x y 或 2 8 0x y ，因为斜率为正，所以直线方程为 2 1 0x y ；
故答案为
2 2
116 12
x y ； 2 1 0x y ．
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