专题 18 解三角形（客观题）
一、单选题
1． ABC 中，角 A ， B ，C ，的对边分别为 a ， b ， c ，若 3a ， 3c ，
6B ，
则b
A． 2 3 B． 2 2
C． 3 D． 2
【试题来源】河南省名校联盟 2020-2021 学年高三 11 月联考
【答案】C
【解析】由余弦定理得 2 2 2 32 cos 9 3 2 3 3 32b a c ac B ，
3b ．故选 C．
2．若在 ABC 中，角 A， B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ， 60A ， 2 6a ， 4b ，
则 B
A． 45 或135 B．135
C． 45 D．以上都不对
【试题来源】安徽省滁州市定远县 2020-2021 学年高三上学期第二次联考（理）
【答案】C
【分析】利用正弦定理即可求解．
【解析】在 ABC 中，由正弦定理可得
sin sin
a b
A B
得 2 6 4
sin60 sin B
，
解得 2sin 2B ，因为b a ，所以 B A ，所以 45B ，故选 C.
3． ABC 的三边满足 2 2 2 3a b c ab ，则 ABC 的最大内角为
A． 60 B．90
C．120 D．150
【试题来源】云南民族大学附属中学 2021 届高三上学期期中考试（文）
【答案】D
【分析】利用余弦定理结合三角形内角的取值范围求得角C 的值，由此可得出结果．
【解析】由余弦定理可得
2 2 2 3 3cos 2 2 2
a b c abC ab ab
， 0 180C o oQ ，
150C ，因此， ABC 的最大内角为150 ．故选 D．
4．在 ABC 中，若 2
0AB BC AB ，则 ABC 的形状一定是
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【试题来源】上海市虹口区 2021 届高三上学期一模
【答案】B
【分析】先利用数量积运算化简得到 2cosac B c ，再利用余弦定理化简得解．
【解析】因为 2
0AB BC AB ，所以 2cos( ) 0ac B c ，所以 2cosac B c ，
所以
2 2 2
2
2
a c bac cac
，所以 2 2 2b c a ，所以三角形是直角三角形．故选 B
【名师点睛】判断三角形的形状，常用的方法有：（1）边化角；（2）角化边．在边角互化时
常利用正弦定理和余弦定理．
5．在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 2 2 4a b c ， 120C ，
则 ABC 的面积为
A． 3
3
B． 2 3
3
C． 3 D． 2 3
【试题来源】天津市经济技术开发区第二中学 2020-2021 学年高三上学期第三次月考
【答案】C
【分析】利用余弦定理可求 ab 的值，从而可求三角形的面积．
【解析】因为 120C ，故 2 2 2 2 22 cos120c a b ab a b ab ，
而 2 2 4a b c ，故 2 2 2 2 22 4c a b ab a b ab ，
故 4ab ，故三角形的面积为 1 3sin120 4 32 4ab ，故选 C．
6．若三角形的三边是三个连续的自然数，且最大角是最小角的 2 倍，则这样的三角形
A．三边为 2 ，3， 4 B．三边为 4 ，5， 6
C．三边为 7 ，8 ，9 D．不存在
【试题来源】四川省绵阳市南山中学实验学校 2020-2021 学年高三第一学期第一次诊断（理）
【答案】B
【解析】设三角形三边是连续的三个自然 1, , 1 2n n n n ，三个角分别为 ， 3 ，
2 ，由正弦定理可得 1 1
sin sin 2
n n
，即
1cos 2 1
n
n
，
再由余弦定理可得
2 221 1 4cos 2 1 2 1
n n n n
n n n
，
所以
1 4
2 1 2 1
n n
n n
，解得 5n ，故三角形的三边长分别为 4，5，6，故选 B．
7 ． 已 知 O 是 ABC 的 外 心 ， 6AB ， 10AC ， 若 AO xAB yAC ， 且
2 10 5( 0)x y x ，则 ABC 的面积为
A．10 2 B．18
C．24 D． 20 2
【试题来源】山东省枣庄市滕州市 2020-2021 学年高三上学期期中
【答案】D
【分析】由外心的性质建立 DO AC ，进—步利用向量的线性运算和数量积运算建立三角
函数的关系式，进一步求出 2 2sin 3A ，最后利用三角形的面积公式求出结果．
【解析】取 AC 的中点为 D ，连接OD ，因为 O 是 ABC 的外心，所以 DO AC ，
由于 AO AD DO
uuur uuur uuur ，则 5 10 50AO AC AD AC DO AC AD AC ，
所以 2( ) | | 60 cos 100 50AO AC xAB yAC AC xAC AB y AC x A y ，
即 6 cos 10 5
2 10 5( 0)
x A y
x y x
，得 6 cos 2x A x ，即 1cos 3A ， 2 2sin 3A ，
则 1 2 26 10 20 22 3ABCS △ .故选 D.
【名师点睛】本题主要考查了向量知识的应用以及三角形面积公式的应用，解题的关键在于
由外心的性质出发得出 DO AC ，结合数量积公式建立三角函数的关系式，进一步求出
2 2sin 3A ．
8．某公园有一个边长为 2m 的等边三角形花圃，现要在花圃中修一条篱笆，将花圃分成面
积相等的两部分，则篱笆的最短长度为
A． 3m B． 3
2 m
C．1m D． 2m
【试题来源】广东省肇庆市 2021 届高三上学期第一次（11 月）统一检测
【答案】D
【分析】设等边三角形花圃为 ABC ，篱笆 DE 的长度为 y ，AD 的长为 x ，先求出 ABC
的面积，再利用面积公式求出 ADE 的面积让其等于 ABC 的面积的一半，即可求出
2AE x
，在 ADE 中，由余弦定理可得
2
2 2 2
2
2 2 1 42 22y x x xx x x
，再利
用基本不等式即可求 2y 的最值，进而可得篱笆长的最小值．
【解析】设等边三角形花圃为 ABC ，因为边长为 2 ，所以 1 2 2 sin 60 32ABCS
，
设篱笆 DE 的长度为 y ， AD 的长为 x ， 则 1 3sin 602 4ADES AD AE x AE
，
因为 1
2ADE ABCS S ，所以 3 1 34 2x AE ，即 2x AE ，所以 2AE x
，
在 ADE 中，由余弦定理可得 2 2 2 2 cos60DE AD AE AD AE ，
即
2
2 2 2
2
2 2 1 42 22y x x xx x x
，
由基本不等式可得 2 2 2
2 2
4 42 2 2 4 2 2y x xx x
，
当且仅当 2
2
4x x
即 2x 时，篱笆长 y 取得最小值为 2 ，故答案为 D.
【名师点睛】本题的关键点是设篱笆 DE 的长度为 y ， AD 的长为 x ，先利用面积等于
ABC 的面积的一半，即可求出 2AE x
，在 ADE 中，由余弦定理可得
2
2 2 2
2
2 2 1 42 22y x x xx x x
，即可利用基本不等式求最值．
9．已知 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，若 60A ， 2b ，则
2 2 22 24sin 4 ss ins ni i sin nA B c A B C ，则 a
A．4 B．1
C．2 D．3
【试题来源】广东省清远市 2021 届高三上学期 11 月摸底
【答案】C
【解析】再 ABC 中， 2 2 2 2 2sin sin 4 sin sin sinA B c B C A ，正弦定理化简
得 2 2 2 2 24a b c b c a ，
2b Q ， 60A ， 2 2 2 2 2 14 4 2 cos 4 2 2a b cb b b c a b bc A b bc ，则
2 2
42
a b ，解得 2a ．故选 C．
【 名 师 点 睛 】 由 2 2 2 2 24a b c b c a ， 且 2b ， 等 式 两 边 同 乘 b ， 得
2 2 2 2 24a b cb b b c a ，再利用余弦定理化简．
10．在 ABC 中，角 A， B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，且 A， B ，C 成等差， 1b ，
则 a c 的取值范围是
A． 1,2 B． 0,2
C．1, 3 D．0, 3
【试题来源】江西省萍乡市 2021 届高三上期数学期中复习试卷（理）试题
【答案】A
【分析】在 ABC 中，由 A ， B ， C 成等差，结合三角形内角和定理得
3B ，再由余
弦定理 2 2 2 2 cosb a c ac B 列式，配方后利用基本不等式求解．
【解析】在 ABC 中，由 A， B ，C 成等差，可得 2B A C ，
由 A B C ，得 3B ，
3B ．由余弦定理 2 2 2 2 cosb a c ac B ，
可得 2 21 2 cos 3a c ac ，即 2 2 21 ( ) 3a c ac a c ac ，
则 2 23( ) 1 3 ( )4a c ac a c ，解得 2 2a c ．
又 1a c b ． a c 的取值范围是 (1 ， 2]．故选 A.
【名师点睛】利用余弦定理可得等式 2 2 21 ( ) 3a c ac a c ac ，运用均值不等式可得关
于 a c 的一元二次不等式，解不等式可求解，这是本题的解题关键，属于中档题．
11．克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如
下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角
互补时取等号，根据以上材料，完成下题：如图，半圆O 的直径为 2， A为直径延长线上的
一点， 2OA ， B 为半圆上一点，以 AB 为一边作等边三角形 ABC ，则当线段 OC 的长
取最大值时， AOC
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【试题来源】江苏省南通市海安县 2020-2021 学年高三上学期期中调研考试
【答案】C
【分析】根据已知条件先分析出 OC 的最大值并得到 ,OBC OAC 之间的关系，由此借
助余弦定理求解出 AB 的长度，再利用余弦定理即可求解出 AOC 的大小．
【解析】因为OB AC OA BC OC AB ，且 ABC 为等边三角形， 1, 2OB OA ，
所 以 OB OA OC ， 所 以 3OC ， 所 以 OC 的 最 大 值 为 3 ， 取 等 号 时
180OBC OAC ，所以 cos cos 0OBC OAC ，不妨设 AB x ，
所以
2 21 9 4 9 02 4
x x
x x
，所以解得 7x ，
所以 9 4 7 1cos 2 2 3 2AOC
，所以 60AOC ，故选 C．
【名师点睛】解答问题的关键是理解题中所给的定理，由此分析得到角的关系，并借助余弦
定理即可求解出结果．
12．在 ABC 中， ABC 的面积为 S， 2 2 24 3( )S a c b ， 2AB BC ，且满足
sin sin 2sinA C B ，则该三角形的外接圆的半径 R 为
A． 4 3
3
B． 2 3
3
C． 3 D．2
【试题来源】江西省南昌县莲塘第一中学 2021 届高三 12 月质量检测（理）
【答案】B
【分析】先利用三角形的面积公式和余弦定理得到
3B ，再根据向量的数量积的运算，
求得 4ac ，由正弦定理和余弦定理，列出方程求得 4a c ，进而得到 2b ，再利用正
弦定理，即可求解球的半径．
【解析】由 2 2 24 3( )S a c b ，得 2 2 214 sin 3( )2 ac B a c b ，
利用余弦定理得 2 sin 2 3 cosac B ac B ，即 tan 3B ，又 0 B ，得
3B ；
由题意，因为 1cos 22AB BC ac B ac ，所以 4ac ．
由余弦定理得 2 2 2 2 cosb a c ac B ．因为sin sin 2sinA C B ， 所以 2a c b ，
所以
2
2 34
a c a c ac
，所以 23 124
a c ，所以 2 16a c ，
所以 4a c ，所以 2b ，所以 2 4 32 sin sin 60 3
bR B
，所以 2 3
3R ，故选 B．
【名师点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及利用正、余弦定理解三角形问题，
其中合理应用正弦定理和余弦定理列出方程是解答的关键．
13．已知非零平面向量 a
、b
、 c
，设b
与 c
、 c
与 a
、 a
与b
的夹角依次为 、 、 ，
关 于 论 断 P ： “ a
、 b
、 c
经 平 移 之 后 能 构 成 三 角 形 ” 有 两 个 命 题 ： ① P 等 价 于
sin sin sin
a b c
；② P 等价于 2 2 2
2 cosc a b a b ，则
A．①②都是真命题 B．①②都是假命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①是真命题，②是假命题
【试题来源】上海市华东师范大学附属第二中学 2021 届高三上学期期中
【答案】D
【分析】利用正弦定理可判断命题①的正误，取 c a b 且 为钝角，利用平面向量数量
积可判断命题②的正误，综合可得出结论．
【解析】非零平面向量 a
、b
、 c
，设b
与 c
、 c
与 a
、 a
与b
的夹角依次为 、 、 ，
关于论断 P ：“ a
、b
、 c
经平移之后能构成三角形”，
根据正弦定理可得
sin sin sin
a b c
，所以，命题①为真命题；
对于命题②，设 c a b ，且 为钝角，且“ a
、b
、 c
经平移之后能构成三角形”，
则 2 2 2 2 2 22 2
2 2 cos 2 cosc a b a b a b a b a b a b a b ，
所以，命题②为假命题．故选 D．
【名师点睛】解决本题的关键在于灵活利用正弦定理与平面向量数量积来进行判断，同时要
注意取向量夹角时，一般要求向量的起点一致．
14．在 ABC 中，角 A、 B 、C 所对的边分别为 a 、b 、 c 且 2a ， 3b ， 4c ，下
面说法正确的个数是
①sin :sin :sin 2:3: 4A B C ； ② ABC 是锐角三角形；
③ ABC 的最大内角是最小内角的 2 倍； ④ ABC 内切圆半径为 1
2
．
A．1 B． 2
C．3 D． 4
【试题来源】黑龙江省绥化市 2020-2021 学年高三上学期期中考试（理）
【答案】A
【分析】利用正弦定理可判断①的正误；求出最大角的余弦值，可判断②的正误；利用二倍
角的正弦公式以及余弦定理可判断③的正误；求出 ABC 的面积，进而可计算出该三角形
的内切圆半径，由此可判断④的正误．
【 解 析 】 对 于 ① ，
sin sin sin
a b c
A B C
， 2a ， 3b ， 4c ，
sin :sin :sin 2:3: 4A B C ，故①正确；
对于②，由于 a b c ，则 ABC 中最大角为角C ，
2 2 2 2 2 22 3 4cos 02 2 2 3
a b cC ab
，
2C ， ABC 是钝角三角形，故②错；
对于③，假设 ABC 的最大内角是最小内角的 2 倍，则 2C A ，
即sin sin 2 2sin cosC A A A ，又sin :sin 1: 2A C ，即 sin 2sin cos 1: 2A A A : ，
cos 1A ，不符合题意，故③错；
对于④，
2 2 2 2 2 22 4 3 11cos 2 2 2 4 16
a c bB ac
， 2 3 15sin 1 cos 16B B ，
1 1 3 15 3 15sin 2 42 2 16 4ABCS ac B △ ，
设 ABC 的内切圆半径为 r ，则 1 1 3 152 3 42 2 4ABCS a b c r r △ ，
15
6r ，故④错．故选 A．
【名师点睛】在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理
或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有 a 、b 、 c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．
15．在 ABC 内角 A，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，若 3 cos sin sin 1 cosA B A B ，
6a c ，则 ABC 的面积的最大值为
A． 2 3 B． 3
C． 2 D． 2 2
【试题来源】河南省郑州市 2020-2021 学年度上学期高三二调考试（理）
【答案】D
【分析】由正弦定理可得3b a c ，联立 6a c ，解得 b，由余弦定理、均值不等式，
面积公式可求解．
【解析】在 ABC 内角 A， B ，C 的对边分别是 a ，b ， c ，
若 3 cos sin sin 1 cosA B A B ，
整理得3sin sin sin cos cos sin sin sinB A B A B A A C ，
利用正弦定理：3b a c ，由于 6a c ，整理得3 6b a c ，解得 2b ．
因为 6a c ，所以 6 2a c ac ，
整理可得 9ac ，（当且仅当 3a c 时等号成立），
所以 22 2 2 2 4 16cos 2 2
a c aca c b acB ac ac ac
．
所以 2 4sin 1 cos 2 16B B acac
，
所以 1 4 2 16 2 2 16 2 22ABCS ac ac acac
△ ，
当且仅当 3ac 时，等号成立．则 ABC 的面积的最大值为 2 2 ．故选 D.
【名师点睛】求 ABC 的面积的最大值问题，一般要用面积公式表示出，根据余弦定理及
均值不等式求出两边积的最大值即可，本题考查了运算能力，难度中等．
16．某人在 A 处向正东方向走 xkm 后到达 B 处，他沿南偏西 60 方向走 3km 到达 C 处，结
果他离出发点恰好 3 km ，那么 x 的值为
A． 3 或3 2 B． 3 或 2 3
C． 2 或3 2 D． 2 2
【试题来源】福建省龙海市第二中学 2020~2021 学年高三上学期第二次月考
【答案】B
【解析】如图： AB x ， 3BC ， 3AC ， 90 60 30ABC ，
在 ABC 中由余弦定理可得 2 2 2 2 cos30AC AB BC AB BC ，
即 2 2 33 3 2 3 2x x ，所以 2 6 3 6 0x x ，即 3 2 3 0x x ，
解得 3x 或 2 3x ，故选 B.
17．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》一章给出计算弧田面积所
用的公式为弧田面积= 1
2
（弦×矢+矢×矢）．其中弧田由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”
指的是圆弧所对弦长，矢等于半径长与圆心到弦的距离之差．如图，现有圆心角为 2
3
的弧
田，其弦与半径构成的三角形面积为 4 3 ，按照上述公式计算，所得弧田面积是
A． 4 3 2 B． 4 3 3
C． 2 3 4 D． 2 2 4
【试题来源】山东省德州市 2020-2021 学年高三上学期期中考试
【答案】A
【分析】先利用弦与半径构成的三角形面积为 4 3 ，结合三角形面积公式求出圆的半径 r ，
然后计算出弦长、矢，然后利用题目所给公式计算弧田的面积．
【解析】如图，在 ABC 中，设OA OB r ，则 2 21 2 3sin 4 32 3 4ABCS r r V
，
则 4r ，所以圆心到弦 AB 的距离为 sin 30 2r o ，故矢为 2 ，
弦长 2 2 sin 60 4 3AB AC r o ，
所以该弧田的面积为 1 4 3 2 2 2 2 4 32S ．故选 A．
【名师点睛】本题考查几何图形面积的计算问题，考查学生获取新知识应用新知识点的能力，
较简单．解答时，三角形面积公式、解三角形知识的运用是关键．
18． ABC 中，a ，b ，c 分别为 A ， BÐ ， C 的对边，如果 2 3 2b c ， 45A ，
ABC 的面积为 2 2 ，那么 a 的值为
A． 10 B． 2 2
C． 6 D．2
【试题来源】黑龙江省绥化市 2020-2021 学年高三上学期期中考试（理）
【答案】C
【分析】根据三角形面积公式得出bc 、然后利用余弦定理求解 a ．
【解析】 1 2sin 2 22 4bc A bc ， 4 4 2bc ．
又
2 22 22 2 2 2 3 2 2 4 4 22 2cos 2 2 22 4 4 2
ab c bc ab c aA bc bc
，
6a ．故选 C．
【名师点睛】本题考查解三角形，考查三角形面积公式、余弦定理的运用．计算时，注意整
体代入，利用余弦定理直接代入b c 与bc 的值求解．
19．《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今
有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十
三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，
亦与表末参合，问岛高几何？用现代语言来解释，其意思为立两个 3 丈高的标杆，之间距离
为 1000 步，两标杆与海岛的底端在同一直线上．从第一个标杆 M 处后退 123 步，人眼贴地
面，从地上 A 处仰望岛峰，人眼，标杆顶部和山顶三点共线；从后面的一个标杆 N 处后退
127 步，从地上 B 处仰望岛峰，人眼，标杆顶部和山顶三点也共线，则海岛的高为（3 丈=5
步）
A．1200 步 B．1300 步
C．1155 步 D．1255 步
【试题来源】重庆市 2021 届高三上学期第二次预测性考试
【答案】D
【分析】设海岛的高为 h 步，用 h 表示 AC 和 BC ，列出方程即可求出 h ．
【解析】设海岛的高为 h 步，由题意知， 5FM GN 步， 123AM 步， 127BN 步，
1000MN 步，则 ,FM AM GN BN
DC AC DC BC
，即 123
5
AM DC hAC FM
，
127
5
BN DC hBC GN
，所以 MN BC AC BN AM ，
则 127 1231000 127 1235 5
h h ，解得 1255h ，即海岛的高为1255步，故选 D．
20．在边长为 3 的等边 ABC 中， D 为 ABC 内一点， 120ADC ，若 2CD ，
则 BCD
A．15 B．30°
C． 45 D． 60
【试题来源】安徽省五校（怀远一中、颍上一中、蒙城一中、涡阳一中、）2020-2021
学年高三上学期 12 月联考（文）
【答案】C
【分析】首先根据正弦定理在 ACD△ 中，计算出 CAD ，然后再得 ACD ，根据等边三
角形每个内角为 60，即可求得 BCD ．
【解析】如图，在 ACD△ 中， 2CD ， 3AC ， 120ADC ，由正弦定理得，
sin sin
AC CD
ADC CAD
，即
3 2
sin3
2
CAD
= Ð ，解得， 2sin 2CADÐ = ，又由题意 CAD
为 锐 角 ， 所 以 45CAD ， 可 得 180 15ACD ADC CAD ，
45BCD ACB ACDÐ = Ð -Ð = °．故选 C．
21 ． ABC 的 内 角 , ,A B C 的 对 边 分 别 为 , ,a b c ， 已 知 , ,C A B 成 等 差 数 列 ，
4cos cos 1 0, 1B C a ，则 ABC 的面积为
A．1 B． 3
2
C． 1
2 D． 3
4
【试题来源】贵州省黔东南州 2021 届高三上学期第二次月考（文）
【答案】D
【分析】根据 , ,C A B 成等差数列，且C A B ，得到 2,3 3A C B ，然后利用
两角差的余弦公式和二倍角公式，化简 4cos cos 1 0B C 得到
3B ，由 ABC 是边
长为 1 的等边三角形求解．
【解析】因为 , ,C A B 成等差数列，且C A B ，所以 2,3 3A C B ，
所以 24cos cos 4cos cos 3B C B B
1 34cos cos sin2 2B B B
22cos 2 3sin cosB B B 1 cos2 3sin 2B B 2sin 2 1 16B
，
所以 2 26 2B k ，因为 20, 3B
，所以 ,3 3B C ，
则 ABC 是边长为 1 的等边三角形，所以其面积为 1 3 312 2 4S ，故选 D.
22．在 ABC 中， 3a ， 2b ， 60A ，那么sin B 的值为
A． 3
3
B． 2
3
C． 2
3
D． 3
3
【试题来源】天津市静海区瀛海学校 2020-2021 学年高三上学期高三开学考试
【答案】A
【解析】因为
sin sin
a b
A B
，所以
32sin 32sin 3 3
b AB a
，故选 A．
23．在 ABC 中，若
2
2
sin cos
cos sin
a A B
b A B
，则 ABC 的形状为
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
【试题来源】天津市第八中学 2020-2021 学年高三上学期第三次统练
【答案】D
【分析】由已知条件，结合正弦定理得 sin 2 sin 2A B ，有 A B 或
2A B ，即可知
正确选项．
【解析】由
2
2
sin cos
cos sin
a A B
b A B
知
2
2
sin cossin
sin cos sin
A B
A
A
B B
，即sin cos sin cosA A B B ，
所以sin 2 sin 2A B ，即 2 2A B 或 2 2A B ，所以 A B 或
2A B ，故选 D.
24．已知 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，AH 为 BC 边上的高，以下结论：
① 0AH AC AB
；② 0AB BC ABC
为锐角三角形；
③
AHAC
AH
sinc B ；④ 2 2( ) 2 cosBC AC AB b c bc A
其中正确的个数是
A．1 B．2
C．3 D．4
【试题来源】陕西省 2020-2021 学年高三上学期第二次月考（文）
【答案】C
【分析】由向量的数量积的几何含义及运算法则，判断各项的正误即可．
【解析】由 AH 为 BC 边上的高，
所以 AH BC ，而 BC AC AB ，故 ( ) 0AH AC AB ，①正确；
0AB BC 知向量 ,AB BC
的夹角为钝角，即 BÐ 为锐角，而无法判断 ABC 是否为锐角
三角形，②错误； | cos sin sin|AHAC AC CAH b C c B
AH
，③正确；
2 2 2 2( ) 2 cosBC AC AB BC a b c bc A ，④正确．故选 C.
25．在 ABC 中， 1tan 2A ， 5AC ， 4AB ，则 BC
A． 2
3 B．4
C． 5 D． 3
【试题来源】云南省 2021 届高三第三次双基检测（理）
【答案】C
【解析】设 AC b ， AB c ， BC a ， 5b ， 4c ， 1tan 0, 0,π2A A ，
sin 1 π, 0,cos 2 2
A AA
，又 2 2sin cos 1A A ，解得 2 5cos 5A ，
由余弦定理得 22 2 2 2 2 52 cos 5 4 2 5 4 55a b c bc A ，
5BC ．故选 C．
26．如图所示是一个正方体的表面展开图， A， B ， D 均为棱的中点，C 是顶点，则在正
方体中异面直线 AB 和 CD 所成角的余弦值为
A． 10
5
B． 10
10
C． 5
5
D． 5
10
【试题来源】河南省郑州市商丘市名师联盟 2020-2021 学年高三 11 月质量检测巩固卷（文）
【答案】B
【分析】将正方体的表面展开图还原成正方体，根据异面直线的定义，结合三角形中位线定
理、余弦定理进行求解即可．
【解析】正方体的表面展开图还原成正方体，如图所示．因为 A， B ，为棱的中点，
所以 / /AB CE ，
因此异面直线 AB 和 CD 所成角为 DCE ．设正方体棱长为 2，在 DCE 中， 5CD ，
2 2CE ， 3DE ，则 2 2 25 2 2 3 10cos 102 5 2 2
DCE
．故选 B．
27．一辆汽车在一水平的公路上由北向南行驶，在公路右侧有一高山．汽车行驶到 A 处测
得高山在南偏西 15°方向上，山顶处的仰角为 60°，继续向南行驶300m 到 B 处测得高山在
南偏西 75°方向上，则山高为
A．150( 3 2)m B．100( 3 2)m
C．150( 6 2)m D．100( 6 2)m
【试题来源】广东省深圳明德实验学校 2021 届高三上学期 11 月阶段性考试
【答案】C
【分析】首先根据题意画出图形，设 A 处到山顶处下方的地面 C 距离为 mx ，则山高 3 mx ，
再利用正弦定理即可得到答案．
【解析】如图所示：设 A 处到山顶处下方的地面 C 距离为 mx ，则山高 3 mx ，
在 ABC 中， 75 15 60ACB ， 180 75 105ABC o o o ， 300AB ，
由正弦定理，得 300
sin105 sin 60
x ， 6 2sin105 sin 60 cos45 cos60 sin 45 4
，
所以 50(3 2 6)x ， 3 150( 6 2)x ．故选 C.
28． ABC 的三边长分别为 4，5，7，则该三角形的形状为
A．没有满足要求的三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
【试题来源】吉林省舒兰市实验中学 2020 届高三学业水平模拟考试
【答案】D
【解析】因为 2 2 24 5 7 ，由余弦定理易知，最大角为钝角，
该三角形为钝角三角形．故选 D．
29．在 ABC 中，角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，若 2sin sin sinB A C ， 3cos 5B ，
ABC 的面积等于 6，则 b
A． 2 B．3
C． 4 D．5
【试题来源】吉林省通榆县第一中学 2020-2021 学年高三上学期第四次质量检测（文）
【答案】C
【分析】利用正弦，余弦定理将角化边，结合三角形面积公式，列方程求解即可．
【解析】 2sin sin sinB A C ， 2b a c ①， 3cos 5B Q ，
2 2 2 3
2 5
a c b
ac
②，
0,B ， 4sin 5B ，据题设可得 1 4 62 5ac ③，由①②③解得 4b ，故选 C.
30．在 ABC 中，已知 2AB ， tan 3tanB A ，若 ABC 的面积 S CA CB ，则 S
的值为
A．3 B． 3
2
C．2 D． 1
4
【试题来源】山西省 2021 届高三上学期八校联考（文）
【答案】B
【分析】根据 ABC 的面积 S CA CB ，结合三角形的面积公式得到 tan 2C ，即
tan tantan 21 tan tan
A BA B A B
，再结合 tan 3tanB A ，解得 tan 1A ，tan 3B ．然
后由 2AB 求得其上的高求解．
【解析】因为 ABC 的面积 S CA CB ，所以 1 sin cos2 ab C ab C ，
所以sin 2cosC C ，即 tan 2C ，所以 tan tantan 21 tan tan
A BA B A B
，
因为 tan 3tanB A ，所以 24tan 2 6tanA A ，解得 tan 1A ， 1tan 3A （舍去），
所以 tan 3B ．设 ABC 的 AB 边上的高CD h ，
则 tan tan 3h AD A BD B AD BD ，所以 1 1 324 2 2BD h ，
所以 ABC 的面积为 1 3 322 2 2S ，故选 B．
31．刘徽(约公元 225 年-295 年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一．他
在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所
失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术的核心思想是将一个圆的内接正 n 边形
等分成 n 个等腰三角形(如图所示)，当 n 变得很大时，这 n 个等腰三角形的面积之和近似等
于圆的面积，运用割圆术的思想得到 6sin 的近似值为
A．
30
B．
60
C．
90
D．
180
【试题来源】河南省郑州市 2020-2021 学年高三上学期第一次质量检测（文）
【答案】A
【分析】首先判断等腰三角形的个数，根据割圆术的思想，等腰三角形的面积和近似为圆的
面积，列出面积公式，求sin 6 的近似值．
【解析】圆的周角为 360 ， 360 606
，所以当等腰三角形的顶角为6 时，共割了 60 个等
腰三角形，设圆的半径为 r ，则由题意可知 2 2160 sin 62 r r ，解得sin 6 30
，
所以sin 6 的近似值是
30
．故选 A.
32．在 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，若 2 sin 3b A a ，则 B
A．
6
B．
6
或 5
6
C．
3
D．
3
或 2
3
【试题来源】2021 年 1 月浙江省普通高中学业水平考试
【答案】D
【分析】根据 2 sin 3b A a ，利用正弦定理得到 2sin sin 3 sinB A A 求解．
【解析】因为在 ABC 中， 2 sin 3b A a ，所以 2sin sin 3 sinB A A
因为sin 0A ，所以 3sin 2B ，因为 0,B ， B
3
或 2
3
，故选 D.
33．在 ABC 中，内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，若
3A ， 4b ， ABC 的面
积为3 3 ，则sin B
A． 2 39
13
B． 39
13
C． 5 2
13
D． 3 13
13
【试题来源】陕西省榆林市 2020-2021 学年高三上学期第一次高考模拟测试（文）
【答案】A
【分析】由面积公式可得 3c ，由余弦定理可得 2 2 2 2 cos 13,a b c bc A 得 13a ，
再由正弦定理可得答案
【解析】 1 sin 3 3 32
S bc A c ，所以 3c ，
由余弦定理可得 2 2 2 2 cos 13,a b c bc A 得 13a
又由正弦定理可得
sin sin
a b
A B
，所以 sin 2 39sin 13
b AB a
，故选 A．
34．在 ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对应的三边分别为 a 、 b 、 c ．若 2 cosb a A ，
2 2 2a b c ab ，则下面式子中不可能成立的是
A． a c b B． a b c
C． c b a D． 2 2 3sin sin sin sin 4B A A B
【试题来源】河南省南阳市 2020-2021 学年高三期中质量评估（文）
【答案】C
【分析】由余弦定理求得 C ，再由正弦定理化边为角，可得 2B A 或 2B A ，分类
讨论求得 ,A B ，然后分析各选项成立的可能性．
【解析】因为 2 2 2a b c ab ，所以
2 2 2 1cos 2 2
a b cC ab
，而 (0, )C ，所以
3C ，
又 2 cosb a A ，由正弦定理得sin 2sin cos sin 2B A A A ，
,A B 是三角形内角，所以 2B A 或 2B A ，
若 2B A ，则由
3C 得， 2
9A ， 4
9B ，则 a c b ，A 可能成立，
若 2B A ，则由
3C 得，
3A B ，则 a b c ，B 可能成立，此时若 3
2c ，
则 2 2 2 2 2 32 cos 4a b ab C a b ab c ，D 可能成立，
只有 C 不可能成立．故选 C．
【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，利用正弦定理进行边角转化，利用余
弦定理求角是解题的一般方法，解题时要注意，由 sin sin 2B A 时，结论是 2B A 或
2B A ，不能只得出 2B A ，否则出错．
35．在 ABC 中，内角 A ， B ， C 所对边分别为 a ， b ， c ．若
3A ， 4AC ，
3 3ABCS ，则
sin sin
a b
A B
A． 4 7 B． 4 57
3
C． 4 21
3
D． 2 39
3
【试题来源】山东省德州市 2020-2021 学年高三上学期期中考试
【答案】D
【分析】首先求得外接圆半径，然后结合合分比的性质求解
sin sin
a b
A B
的值即可．
【解析】由三角形面积公式可得 1 sin 3 32 bc A ，即 1 4 sin 3 32 3c ，解得 3c ，
结合余弦定理可得 2 2 2 2 22 cos 4 3 2 4 3 cos 133a b c bc A ，则 13a ，
由正弦定理有： 2 392sin sin sin 3
a b c RA B C
，
结合合分比定理可得
sin sin
a b
A B
2 39
3
．故选 D．
【名师点睛】本题解答关键在于求出三角形的外接圆的半径，运用合分比性质求值，属于中
档题．
二、填空题
1．在
△
ABC 中，若 4AB ， 3BC ， 2cos 3B ，则 cosC = __________．
【试题来源】北京房山区 2021 届高三上学期数学期末试题
【答案】 1
9
【分析】由余弦定理求出 AC ，再次由余弦定理得出 cosC ．
【解析】由余弦定理可知 2 2 24 3 2 3 4 25 16 33AC
即
2 2 23 3 4 18 16 1cos 2 3 3 18 9C
，故答案为 1
9 .
2．在 ABC 中，D 为边 BC 上一点， 2CD ， π
6BAD ，若 2 3
5 5
AD AB AC ，且
π
6B ，则 AC __________．
【试题来源】江苏省连云港市 2020-2021 学年高三上学期期末
【答案】 7
【分析】由 2 3
5 5
AD AB AC 及向量平行四边形法则可得出 3BD ，结合条件可得
ACD△ 中 2CD ， π
3ADC ， 3AD ，根据余弦定理计算即可．
【解析】因为 2 3
5 5
AD AB AC ， 2CD ，
所以根据向量平行四边形法则可得 5CB ， 3BD ，
又 π
6BAD B ，故 3AD BD 且 π
3ADC ，
在 ACD△ 中，由余弦定理： 2 2 2 2 cos 7AC AD CD AD CD ADC ，
所以 7AC ．故答案为 7 .
【名师点睛】求解几何计算问题要注意：（1）根据已知的边角画出图形并在图中标示；（2）
选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．
3．已知 ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．若 2sin sin cos cos2 1B C A A ，
则
2a
bc
的最小值为__________．
【试题来源】江西省吉安市 2021 届高三大联考数学（理）（3-2）试题
【答案】 2
3
【分析】由二倍角公式，正弦定理，余弦定理化简已知等式可得 2 2 23b c a ，利用均值
不等式求解即可．
【解析】因为 2sin sin cos cos2 1B C A A ，
所以 2sin sin cos 1 cos2 B C A A，即 22sin sin cos 2sinB C A A ，
由正弦定理得，所以 22 cos 2bc A a ，由余弦定理知， 2 2 22 cosbc A b c a ，
所以 2 2 2 22b c a a ，则 2 2 23b c a ，因为 2 2 2b c bc ，
所以 23 2a bc ，则
2 2
3
a
bc
，当且仅当b c 时，等号成立，即
2a
bc
的最小值为 2
3
．
【名师点睛】利用正弦定理、余弦定理可得 2 2 23b c a ，再根据重要不等式 2 2 2b c bc
求解，余弦定理、正弦定理的灵活运用是解题关键．
4．在 ABC 中，已知 1AC ， A 的平分线交 BC 于 D ，且 1AD ， 2BD ，则 ABC
的面积为__________．
【试题来源】江苏省常州市四校联考 2020-2021 学年高三上学期期末
【答案】 3 7
8
【分析】设 1
2BAD CAD BAC ， AB x ，将 BAD CAD ABCS S S △ △ △ 利用三
角 形 面 积 公 式 表 示 出 来 ， 可 得 1cos 2
x
x
， 在 ABD△ 中 ， 利 用 余 弦 定 理 可 得
2 1 2cos 2
x
x
，解得 2x ，即可求出 cos ，sin ，进而可得sin BAC 的值，再利
用三角形面积公式即可求解．
【解析】因为 AD 平分 BAC ，所以 1
2BAD CAD BAC ，
设 BAD ，则 CAD ， 2BAC ，因为 BAD CAD ABCS S S △ △ △ ，设 AB x ，
所以 1 1 1sin sin sin 22 2 2x x ，所以， sin sin 2 sin cosx x ，
因为sin 0 ，所以 1 2 cosx x ，即 1cos 2
x
x
，
在 ABD△ 中，
2 1 2cos 2
x
x
，所以
2 1 1
2 2
x x
x x
，
可得 2 2 0x x ，解得 2x ，所以 3cos cos 4BAD ，
所以 7sin 4BAD ， 7 3 3 7sin 2sin cos 2 4 4 8BAC ，
所以 1 3 7sin2 8ABCS AC AB BAC
，故答案为 3 7
8
.
【名师点睛】本题解题的关键是将 BAD CAD ABCS S S △ △ △ 用面积公式表示出来可得边角之
间的关系，再结合余弦定理即求出边和角即可求面积．
5．在 ABC 中，角 A、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、 c ，且 2 2 cosb c a B ， 8a ，
ABC 的面积为 4 3 ，则b c 的值为__________．
【试题来源】四川省乐山市 2020-2021 学年高三上学期第一次调查研究考试（文）
【答案】 4 5
【分析】由 2 2 cosb c a B ，根据余弦定理，求得得 2 2 2b c a bc ，得到 1cos 2A ，
根据因为 ABC 的面积为 4 3 ，求得 16bc ，利用余弦定理，列出方程，即可求解．
【解析】由题意，在 ABC 中， 2 2 cosb c a B ，
根据余弦定理，可得
2 2 2
2 2 2
a c bb c a ac
，整理得 2 2 2b c a bc ，
可得
2 2 2 1cos 2 2
b c aA bc
，因为 (0, )A ，可得 2
3A ，
因为 ABC 的面积为 4 3 ，可得 1 1 3sin 4 32 2 2bc A bc ，解得 16bc ，
又由 8a ，根据余弦定理可得 2 2 2 2 cosa b c bc A ，
即 2 2 2 2 2 2264 2 cos ( ) ( ) 163b c bc b c bc b c bc b c ，
所以 2( ) 80b c ，可得 4 5b c ．故答案为 4 5 .
【名师点睛】对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角
转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内
角和定理，三角形面积公式在解题中的应用．
6．在 ABC 中，若 2AB ， 5
12B ，
4C ，则 BC __________．
【试题来源】上海市浦东新区 2021 届高三上学期一模
【答案】 6
【分析】由内角和求得 A，然后由正弦定理求得 BC ．
【解析】 5
12 4 3A π B C π π ππ ，
由正弦定理得
sin sin
AB BC
C A
，所以
2sinsin 3 6sin sin 4
π
AB ABC πC
．故答案为 6 ．
7．在 ABC 中，若 2sin sin
a b cB A
，则 ABC 是__________三角形．
【试题来源】广东省高州市 2021 届高三上学期第一次模拟
【答案】等腰直角
【 解 析 】 由 正 弦 定 理 可 知
sin sin
a b
A B
， 因 为 2sin sin
a b cB A
， 所 以
sin sin 2sinsin sin
A B CB A
，
由 sin sin sin sin2sin 2 2sin sin sin sin
A B A BC B A B A
，当且仅当 sin sinA B 时取等号，
即 a b A B ，有 2sin 2C ，所以sin 1C ，而sin 1C ，所以sin 1C ， π
2C ，
因此 ABC 为等腰直角三角形．故答案为等腰直角.
8．在有一个内角为120 的 ABC 中，三边长分别为 x，2 1x ，2 1( 1)x x ，则 ABC
的面积为__________．
【试题来源】陕西省宝鸡市 2020-2021 学年高三上学期第三次月考（理）
【答案】15 3
4
【分析】根据题意，利用余弦定理得到 2 2 2(2 1) (2 1) (2 1)x x x x x ，求得 x 的值，
结合面积公式，即可求解．
【解析】由 ABC 中，三边长分别为 x，2 1x ，2 1( 1)x x ，可得 2 1 2 1x x x ，
又由一个内角为120 ，根据余弦定理可得 2 2 2(2 1) (2 1) (2 1)x x x x x ，解得 3x ，
所以 ABC 的面积为 1 15 33 5 sin1202 4
．故答案为15 3
4
.
9 ． 在 ABC 中 ， 内 角 A ， B ， C 所 对 的 边 分 别 为 a ， b ， c 若
cos( ) cos 2 3 sina B C A b C a ，则 A __________．
【试题来源】吉林省 2020-2021 学年高三上学期第三次月考（文）
【答案】
3
【分析】先利用三角恒等变换，将原式化为 2 sin sin 2 3 sin cosa B C b C A ，根据正弦
定理，得到sin 3cosA A ，进而可求出结果．
【解析】由 cos( ) cos 2 3 sina B C A b C a
得 cos( ) cos 2 3 sin cosa B C a A b C A ，
则 cos( ) cos( ) 2 3 sin cosa B C a B C b C A ，
则 cos cos sin sin cos cos sin sin 2 3 sin cosa B C B C B C B C b C A
即 2 sin sin 2 3 sin cosa B C b C A ，
由正弦定理可得 2sin sin sin 2 3sin sin cosA B C B C A ，
又角 A， B ，C 为三角形内角，所以 0A B C , , , ，
则sin 3cosA A ，即 tan 3A ，所以
3A ．故答案为
3
．
10．在 ABC 中，
6A ， 3AB ， 4AC ，则 BC 边上的高的长度为__________．
【试题来源】辽宁省辽西联合校 2020-2021 学年高三（上）期中
【答案】 2 21
7
【分析】利用余弦定理求出 BC ，通过三角形的面积转化求解 BC 边上的高即可．
【解析】在 ABC 中，
6A ， 3AB ， 4AC ，所以 1 14 3 32 2ABCS △ ，
由余弦定理可得 33 16 2 4 3 72BC ，
所以 BC 边上的高为 2 3 2 21
77
．故答案为 2 21
7
．
11．设 ABC 的内角 A，B ，C 所对的边为 a ，b ，c ，则下列命题正确的是__________．
①若 2ab c ，则
3C ； ②若 2a b c ，则
3C ；
③若 2 2 2a b c ，则
2C ； ④若 2a b c ab ，则
2C ．
【试题来源】江西省 2021 届高三年级上学期期中考试（理）
【答案】①②③
【分析】利用余弦定理结合基本不等式判断①②③，举反例判断④．
【解析】①因为 2 2 2a b ab ， 2ab c ，
所以
2 2 2 2 22 1 1cos 1 1 12 2 2 2 2 2
a b c ab c c abC ab ab ab ab
≥ ，
因为 0 C ，所以 0 3C ，所以①正确．
②由 2a b c ，得 2 24a b c ，即 2
2
4
a bc
，
所以
2
2 2 2 22 2 2 3 2 3 2 2 14cos 2 2 8 8 2
a ba b a b nba b c ab abC ab ab ab ab
≥ ，
因为 0 C ，所以 0 3C ，所以②正确．
③由余弦定理得当 2 2 2a b c 时，
2C ，所以③正确．
④取 2a b ， 1c ，满足 2a b c ab ，但是C 为锐角，所以④错误．
所以命题正确的是①②③．故答案为①②③．
【名师点睛】本题考查考查余弦定理，基本不等式的应用，在三角形中判断一个角的大小，
可利用余弦函数性质由角的余弦值的范围得角的范围，这样顺理成章地利用余弦定理求出角
的余弦，并结合基本不等式得出余弦值范围．得出结论．
12．在 ABC 中，内角 A，B ，C 所对的边分别是 a ，b ，c ，若 2a ，且 cosbc A a ，
则b c 的取值范围为__________．
【试题来源】河南省 2021 届高三名校联盟模拟信息卷（文）
【答案】 2,4
【分析】由 cos 2bc A ，利用余弦定理化简得到 2 2 8b c ，再根据
22 2
2 2
b c b c
求
解．
【解析】由 cosbc A a ， 2a ，得 cos 2bc A ，由余弦定理得
2 2 2
22
b c abc bc
，
即 2 2 2 4b c a+ - = ，所以 2 2 8b c ，又
22 2
2 2
b c b c
，得
28
2 2
b c
，
解得 4b c ．又 2b c a ，所以 2 4b c ．所以b c 的取值范围为 2,4 ．
13．我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，
并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一
为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即
22 2 2
2 21
4 2
c a bS c a
（其中 S
为三角形的面积，a ，b ，c 为三角形的三边）．在非直角 ABC 中，a ，b ，c 为内角 A，
B ，C 所对应的三边，若 3a ，且 cos 3 cosa c B C ，则 ABC 的面积最大时，
c __________．
【试题来源】T8 联考八校 2020-2021 学年高三上学期第一次联考
【答案】3
【分析】先利用正弦定理将边化为角，化简整理得 3b c ，带入面积公式，配方可得最值．
【解析】 cos 3 cosa c B C ， sin sin cos 3 cosA C B C ，
sin sin sin cos cos sinA B C B C B C ， cos sin 3sin cosC B C C ，
ABC 非直角三角形， cos 0C ， sin 3sinB C ，即 3b c ，
2 22 2 2 2 2
2 2 21 1 9 394 2 4 2
c a b c cS c a c
4 2 24 2 21 4 72 81 1 81 1 24318 92 4 2 4 2 4
c c c c c ，
当且仅当 2 9c ，即 3c 时， S 有最大值．故答案为 3．
14．如图，在已知的四边形 ABCD 中， AD CD ， 3AD ， 13AB ， 60BDA ，
135BCD ，点 E 为 AD 边上的动点，则 EB EC 的最小值为__________．
【试题来源】 2020-2021 学年高三上学期第二次月考
【答案】11 4 3
【分析】根据条件，结合正弦定理、余弦定理，可求得 DC、BD 的长，化简可得，
2( )EB EC ED ED DC ED DB DB DC ，根据数量积公式，结合二次函数图象
与性质，即可求得答案．
【解析】因为在 ABD△ 中， 13AB ， 3AD ， 60BDA ，
所以
2 2 2
cos60 2
AD BD AB
AD BD
，解得 4BD ，
在 ACD△ 中，根据正弦定理，可得
sin135 sin15
BD DC
，解得 2( 3 1)DC ，
所以 2( ) ( ) ( )EB EC ED DB ED DC ED ED DC ED DB DB DC ，
因为 AD CD ，点 E 为 AD 边上，所以 0ED DC ，设 ED x
， [0,3]x ，
所以 2 24 cos120 4 2( 3 1) cos30 2 12 4 3EB EC x x x x
= 2( 1) 11 4 3x ， [0,3]x ，所以 1x 时， EB EC 有最小值11 4 3 .
【名师点睛】解题的关键是熟练掌握正弦定理、余弦定理，并灵活应用，在求 EB EC 时，
可利用向量的加减法运算，转化到已知的边长上，再利用数量积公式求解，考查分析理解，
计算求值的能力，属中档题．
15．在 ABC 中，角 A、B 、C 成等差数列，且对边分别为 a 、b 、c ，若 20BA BC ，
7b ，则 ABC 的内切圆的半径为__________．
【试题来源】黑龙江省八校 2020-2021 学年高三摸底考试（理）
【答案】 3
【分析】由已知条件得出
3B ，由平面向量数量积的定义可求得 40ac ，利用余弦定理
可求得 13a c+ = ，设 ABC 的内切圆半径为 r ，利用三角形的面积公式可求得 r 的值，
即为所求．
【解析】在 ABC 中，角 A、 B 、C 成等差数列，则 3A B C B ，解得
3B ，
由平面向量数量积的定义可得 1cos 202BA BC ca B ac ，解得 40ac ，
由余弦定理可得 22 2 2 2 22 cos 3 49b a c ac B a c ac a c ac ，
可得 2 3 49 169a c ac ， 13a c ，设 ABC 的内切圆半径为 r ，由三角形的
面积公式可得 1 1 sin2 2ABCS a b c r ac B △ ，因此
340sin 2 320
ac Br a b c
．
【名师点睛】解决本题的关键在于以下两点：
（1）充分利用余弦定理结合已知条件求出 ABC 的周长；
（2）在求解 ABC 的内切圆半径时，利用三角形的面积得出 2 ABCSr a b c
△ 进行求解．
16．平面四边形 ABCD 中，BC CD ， 3
4B ， 3 2AB ， 2 10AD ，若 3 5AC ，
则 CD __________．
【试题来源】河南省开封市 2021 届高三第一次模拟考试（理）
【答案】1 或 5
【解析】因为在 ABC 中， 3
4B ， 3 2AB ， 3 5AC ，
由正弦定理可得
sin sin
AC AB
B ACB
，所以
23 2sin 52sin 53 5
AB BACB AC
，
又 BC CD ，所以 ACB 与 ACD 互余，因此 5cos sin 5ACD ACB ，
在 ACD△ 中， 2 10AD ， 3 5AC ，
由余弦定理可得
2 2 2 25 5cos 5 2 6 5
AC CD AD CDACD AC CD CD
，
所以 2 6 5 0CD CD ，解得 1CD 或 5CD ．故答案为 1 或 5．
17．如图所示，一块长为 5m，宽为 3m 缺一角 A的长方形木板， EF 是直线段．木工师傅
想要在 BC 的中点 M 处作 EF 延长线的垂线，可是直角曲尺长度不够，无法直接画出此
线．请帮忙在 BF 边上找到一点 N ，使得木工师傅能精准地完成该项任务，此时 FN 的长
度为__________m．
【试题来源】山东省威海市威海文登区 2020-2021 学年高三上学期期中考试
【答案】 2.4
【分析】根据题意，由 MN EF ，可得 AEF BNM ∽ ，由已知结合相似比求出 BN ，进
一步可得 FN 的值．
【解析】如图所示，假设 MN EF ，则 AEF BNM ∽ ，
又由 0.8AE m ， 0.6AF m ， 1.5BM m ，则 AE BN
AF BM
，即 0.8
0.6 1.5
BN ，
得 2BN m ，此时 5 2 0.6 2.4FN m ．故答案为 2.4．
18． ABC 的内角 A， B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 60C ， 6b ， 3c ，
则 A=__________．
【试题来源】山西省大同市煤矿第四中学校 2021 届高三上学期期中（文）
【答案】75°
【分析】在 ABC 中，利用正弦定理求得 sin B ，然后根据 b c ，求得角 B 即可．
【解析】在 ABC 中， 60C ， 6b ， 3c ，
由正弦定理得
sin sin
b c
B C
，所以
36sin 6 sin60 22sin 3 3 2
b CB c
，
因为b c ，所以 60B C ，所以 45B ，所以 75A ，故答案为 75°.
19 ． 已 知 圆 内 接 四 边 形 ABCD 中 ， 1AB ， 2BC ， 2AD DC ， 则
CA CB __________．
【试题来源】江苏省南通市启东市 2020-2021 学年高三上学期期中
【答案】15
4
【分析】画出图形，利用圆内接四边形对角互补，结合余弦定理列方程求解 AC ，然后求解
ACB 的余弦函数值，利用平面向量数量积公式即可求解向量的数量积．
【解析】圆内接四边形 ABCD 中， 1AB ， 2BC ， 2AD DC ，如图：
可得
2 2 2 25cos 2 4
AB BC AC ACB AB BC
，
2 2 2 24cos 2 4
AD DC AC ACD AD DC
，
因为 cos cos( ) cosD B B ，可得
2 25 4
4 4
AC AC ， 2 9 3 3 2,2 22
AC AC ，
9 4 1 5 22cos 3 82 2
2
ACB
．则 3 2 5 2 1522 8 4CA CB ．故答案为15
4
．
【名师点睛】应用余弦定理一定要熟记两种形式：（1） 2 2 2 2 cosa b c bc A ；（2）
2 2 2
cos 2
b c aA bc
，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件．还需要记住 30 ,45 ,60 等
特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用．
20．某展馆现有一块三角形区域可以布展，经过测量其三边长分别为14 、10、 6（单位：
m ），且该区域的租金为每天 4 元/ 2m ．若租用上述区域 5 天，则仅场地的租用费约需
__________元．（结果保留整数）
【试题来源】上海市普陀区 2021 届高三上学期一模
【答案】520
【分析】根据余弦定理求出一个角，根据面积公式求出三角形的面积后可得结果．
【解析】设 ABC 的 , ,A B C 对应的边为 , ,a b c ，且 14, 10, 6a b c ，
由余弦定理可得
2 2 2 2 2 210 6 14 1cos 2 2 10 6 2
b c aA bc
，因为 0 A ，
所以 2
3A ，所以 3sin 2A ，所以 1 1 3sin 10 6 15 32 2 2ABCS bc A △ ，
所以仅场地的租用费为15 3 4 5 30 3 520 元．故答案为520 .
21．欧几里得在《几何原本》中，以基本定义､公设和公理作为全书推理的出发点．其中第
卷命题 47 是著名的毕达哥拉斯定理(勾股定理)，书中给出了一种证明思路：如图，Rt ABC
中， 90BAC ，四边形 ABHL ､ ACFG ､ BCDE 都是正方形， AN DE 于点 N ，交
BC 于点 M ．先证 ABE△ 与 HBC 全等，继而得到矩形 BENM 与正方形 ABHL 面积相
等；同理可得到矩形 CDNM 与正方形 ACFG 面积相等；进一步定理可得证．在该图中，
若 1tan 3BAE ，则 sin BEA __________．
【试题来源】江苏省常州市教育学会 2020-2021 学年高三上学期学业水平监测
【答案】 2
10
【分析】设 AB=k，AC=m，BC=n，由勾股定理可得 2 2 2k m n ，由同角的基本关系式求
得 sin BAE ， cos BAE ，在 ABE△ 中，求得 AE，分别运用余弦定理和正弦定理，计
算可得所求值．
【解析】设 AB=k，AC=m，BC=n，可得 2 2 2k m n ，
又 ABE HBC△ ≌△ ，可得 22 2 2AE CH HL CL k m k ，
在 ABE△ 中， sin 1tan cos 3
BAEBAE BAE
，
又 2 2sin cos 1BAE BAE ，解得 1sin
10
BAE ， 3cos
10
BAE ，
由
22 2 22 2 2
22
cos 2 2
k k m k nAB AE BEBAE AB AE k k k m
2
2 2 2 2
2 2 3
102 2 2 2 2
k km k m
k k km m k m km
，
化为 2 28 2 0k km m ，解得 2m k ，又 2 2 2k m n ，可得 5n k ，
在 ABE△ 中， sin sin
AB BE
BEA BAE
，即 1sin
10
n
BE
k
A
，可得 2sin 10BEA ．
【名师点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关
系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应
用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
22．已知 ABC 是面积为 3 的等边三角形，点 D 在线段 AC 的延长线上，若 45BDC ，
则 BD __________．
【试题来源】辽宁省 2020-2021 学年高三第一学期期中考试
【答案】 6
【解析】如图所示：
因为 21 sin 32 3ABCS AB △ 所以 2AB AC BC ， 120BCD ．
在 BCD△ 中，由正弦定理可知
sin sin
BD BC
BCD BDC
，
2
3 2
2 2
BD ，解得 6BD ．
三、双空题
1 ． 如 图 ， 设 ABC 的 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c ，
3( cos cos ) 2 sina C c A b B ，且
3CAB ．若点 D 是 ABC 外一点， 1CD ，
3AD ，则当 D __________时，四边形 ABCD 的面积的最大值为__________．
【试题来源】山东省威海市威海文登区 2020-2021 学年高三上学期期中考试
【答案】 5
6
5 33 2
【分析】利用正弦定理边角互化结合 BÐ 的取值范围可求得
3B ，可判断出 ABC 为
等边三角形，利用余弦定理求得 2 10 6cosAC ，利用三角形的面积公式可得出四边形
ABCD 的面积关于 的表达式，利用三角恒等变换思想结合正弦函数的有界性可求得四边
形 ABCD 面积的最大值及其对应的 的值，即可得解．
【解析】 3 cos cos 2 sina C c A b B ，
由正弦定理可得 23 sin cos cos sin 2sinA C A C B ，
所以， 22sin 3sin 3sin 3sinB A C B B ，
3CAB ， 20, 3B
，可得sin 0B ， 3sin 2B ，
3B ，
所以， ABC 为等边三角形，设 D ，则 0 ，
由余弦定理可得 2 2 2 2 cos 10 6cosAC AD CD AD CD ，
21 3 5 3 3 3sin 10 6cos cos2 3 4 2 2ABCS AC △ ，
1 3sin sin2 2ACDS AD CD △ ，所以，四边形 ABCD 的面积为
3 5 3 3 3 5 3sin cos 3sin2 2 2 3 2ACD ABCS S S △ △ ，
0 Q ， 2
3 3 3
，所以，当
3 2
时，即当 5
6D 时，四
边形 ABCD 的面积取最大值 5 33 2
．故答案为 5
6
； 5 33 2
．
【名师点睛】在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理
或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有 a 、b 、 c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．
2．在 ABC 中，内角 A，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若
3B ， 1a c ，则 ABC
面积的最大值为__________， ABC 周长的取值范围为__________．
【试题来源】浙江省金华市义乌市 2020-2021 学年高三上学期第一次模拟考试
【答案】 3
16
3 ,22
【分析】利用二次函数知识可得 ac 的最大值，根据三角形面积公式可得 ABC 面积的最大
值；利用余弦定理可得 1
2b ，根据三角形两边之和小于第三边可得 1b ，从而可得 ABC
周长的取值范围
【解析】由 1a c 得 1c a ，所以 21 1(1 ) ( )2 4ac a a a ，所以当 1
2a c 时，
ac 的最大值为 1
4
，所以 1 1 1 3 3sin2 2 4 2 16ABCS ac B △ ，即 ABC 面积的最大值
为 3
16
；由余弦定理可得 2 2 2 22 cos ( ) 3b a c ac B a c ac 1 3ac 1 11 3 4 4
，
所以 1
2b ，又 1b a c ，所以 1 12 b ，所以 3 22 b a c ，即 ABC 周长的取
值范围为 3 ,22
．故答案为 3
16
； 3 ,22
．
【名师点睛】求三角形面积最大值的关键是求出 ac 的最大值，利用二次函数知识可得 ac 的
最大值，求三角形周长的取值范围的关键是求出b 的取值范围，利用余弦定理和三角形两边
之和小于第三边可得b 的取值范围．
3．在 ABC 中，角 A､ B ､C 所对的边分别为 a ､b ､ c ，已知 2 sinbc A 2 2 23( ) 0a b c ，
则 C =__________；若点 D 是边 AB 上靠近 A的三等分点，且 1CD ，则 ABC 面积的
最大值为__________．
【试题来源】浙江省绍兴市稽阳联谊学校 2020-2021 学年高三上学期 11 月联考
【答案】 2
3
9 3
8
【 分 析 】 根 据 2 sinbc A 2 2 23( ) 0a b c ， 利 用 余 弦 定 理 化 简 得 到
sinc A 3 cos 0a C ，再利用正弦定理求解．根据点 D 是边 AB 上靠近 A的三等分点，
得到 2 1
3 3CD CA CB ，再由 1CD 求解．
【解析】因为 2 sinbc A 2 2 23( ) 0a b c ，所以 2 sinbc A 3 2 cos 0ab C ，
所以 sinc A 3 cos 0a C ，即sin sinC A 3sin cos 0A C ，故 tan 3,C
所以 2
3C ．因为点 D 是边 AB 上靠近 A的三等分点，
所以 2 2 1
3 3 3CD CB BD CB BA CA CB ，
从而
22 2 1
3 3CD CA CB 2 24 1 2 19 9 9b a ab ，
故 2 19 ab ，即 9
2ab ，故 1 9 3sin2 8ABCS ab C ．故答案为 2
3
， 9 3
8
【名师点睛】（1）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个
定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二
次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦
定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．（2）解题中注意三角形内角
和定理的应用及角的范围限制．
4 ． ABCV 中 ， 3cos cos 2A B C ， 2c ab ， 则 角 C __________ ，
cos cosA B __________．
【试题来源】浙江省 9 1 高中联盟 2020-2021 学年高三上学期期中
【答案】
3
1
4
【分析】本题首先可对 3cos cos 2A B C 进行转化，得出 3sin sin 4A B ，然后根据
2c ab 得出 2sin sin sinC A B ，则 2 3sin 4C = ，再然后根据 0 C 求出
3C 以及
1cos 2C ，最后根据 1cos 2C 求出 cos 1A B ，通过两角差的余弦公式即可求出
cos cosA B 的值．
【解析】 3cos cos 2A B C ，即 3cos cos 2A B A B ，
3cos cos 2A B A B ， 3cos cos sin sin cos cos sin sin 2A B A B A B A B ，
32sin sin 2A B ， 3sin sin 4A B ，因为 2c ab ，所以 2 3sin sin sin 4C A B= = ，
因为 0 C ，所以 sin 0C ， 3sin 2C ，因为 2c ab ，所以角 C 不可能是钝角，
3C ， 因 为 1cos 2C ， 所 以 cos 1A B ， 即 cos cos sin sin 1A B A B ，
3 1cos cos 1 4 4A B ，故答案为
3
、 1
4
．
【名师点睛】本题考查三角恒等变换以及解三角形，考查诱导公式、两角差的余弦公式、两
角和的余弦公式的应用，考查正弦定理边角互化，考查计算能力，考查转化与化归思想，是
中档题．
5．锐角 ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且 sin 2 sin
sin sin
a b C B
c A B
，
则角 A的大小为__________；若 2b ，则 ABC 面积 S 的取值范围是__________．
【试题来源】浙江省杭州市桐庐中学 2020-2021 学年高三上学期 12 月精准测试
【答案】
4
1,2
【分析】用正弦定理化角为边后，应用余弦定理可求得 A，把三角形面积表示为C 的函数，
由三角函数性质求得范围．
【解析】因为 sin 2 sin
sin sin
a b C B
c A B
，所以 2a b c b
c a b
，整理得 2 2 2 2b c a bc ，
所以
2 2 2 2cos 2 2
b c aA bc
，又 A是三角形内角，所以
4A ，
ABC 是锐角三角形，则
2A C ，所以
4 2C ．
由正弦定理
sin sin sin
b c a
B C A
得
2
sin sin sin 4
c a
B C ，
2sin 2sin 2sin
sin sin( ) sin( )
C C Cc B A C A C ，
所以 1 2 sinsin2 sin( )ABC
CS bc A A C
△
2 sin 2
1sin cos cos sin 1tan
C
A C A C
C
，
因为
4 2C ，所以 tan 1C ，所以1 2ABCS △ ．故答案为
4
； (1,2) ．
【名师点睛】在解三角形中，出现边角混合等式时，常常利用正弦定理进行边角互化．而三
角形面积或周长范围时，一般把面积或周长表示一个内角的函数，利用三角函数的恒等变换，
结合三角函数性质求得结论，解题时注意角的范围的确定．
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