专题 12 几何概型（客观题）
一、单选题
1．如图所示，若在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内（图中阴影部分）的概
率为
A． 1
2 B． 5
5
C． 1
3 D． 1
5
【试题来源】云南省德宏州 2020 届高三上学期期末教学质量检测（文）
【答案】D
【分析】求出阴影部分的面积，大正方形的面积即可得概率．
【解析】由已知大正方形的边长为 2 21 2 5 ，面积为 2
5 5S ，
小正方形边长为 1，面积为 2
1 1 1S ，
所以所求概率为 1 1
5
SP S
．故选 D．
2．宋代文学家欧阳修在《卖油翁》中写道“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓
酌油沥之，自钱孔人，而钱不湿”，由此诠释出了“熟能生巧”的道理．已知铜钱是直径为
1 cma a 的圆，正中间有一边长为 0．5cm 的正方形小孔，现随机向铜钱上滴--滴油(油
滴的大小忽略不计)，若油滴落入孔中的概率为 1
16π
，则 a
A．4 B．3
C．2 D． 2
【试题来源】百师联盟 2021 届高三开学摸底联考（文）全国卷 III 试题
【答案】A
【分析】分别计算钱的圆面面积和钱空正方形的面积，由几何概型概率公式求出一滴油滴落
入孔中的概率．
【解析】圆的面积为
2
2
a
2cm ，正方形的面积为 20.5 0.5cm ，
则一滴油滴落入孔中的概率 2
0.5 0.
16
5 1
2
a
P
，得 4a ，故选 A．
3．在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C．现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC，CB 的
长，则该矩形面积大于 20cm2 的概率为
A． 1
6 B． 1
3
C． 2
3 D． 4
5
【试题来源】安徽省 2019-2020 学年高三上学期第一次段考（文）
【答案】C
【解析】设 AC=x，则 BC=12-x（0＜x＜12），矩形的面积 S=x（12-x）＞20，
所以 x2-12x+20＜0，所以 2＜x＜10，
由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于 20cm2 的概率 10 2 2
12 0 3p
．
4．在等腰直角三角形 ABC 中，角C 为直角．在 ACB 内部任意作一条射线CM ，与线段
AB 交于点 M ，则 AM AC 的概率
A． 2
2
B． 1
2
C． 3
4 D． 1
4
【试题来源】 2020 届高三下学期 6 月月考（文）
【答案】C
【分析】求出满足 AM AC 时CM 所扫过的角度，利用角度比可得概率．
【解析】当 AM AC 时， 180 45 67.52ACM ， 90ACB ，
所以所求概率为 67.5 3
90 4P
．故选 C．
5．在区间[ 2,2] 内随机取一个数 a，则关于 x 的方程 2 2 0x x a 无实根的概率是
A． 1
5 B． 1
4
C． 1
3 D． 3
4
【试题来源】陕西省西安市高新一中 2019-2020 学年高三上学期期末（文）
【答案】B
【分析】由已知条件，得 4 4 0a ，结合 [ 2,2]a ，求出 a 的范围，根据几何概型
的概率公式， a 取值范围区间长度除以[ 2,2] 长度，即可求解．
【解析】关于 x 的方程 2 2 0x x a 无实根，
得 4 4 0, 1, [ 2,2], (1,2]a a a a ，
所以所求的概率为 1
4P ．故选 B．
6．五铢钱是一种中国古铜币，奠定了中国硬通货铸币圆形方孔的传统，这种钱币外圆内方，
象征着天地乾坤．如图是一枚西汉五铢钱币，其直径为 2.5 厘米．现向该钱币上随机投掷一
点，若该点落在方孔内的概率为 16
25π
，则该五铢钱的穿宽(即方孔边长)为
A．0.8 厘米 B．1 厘米
C．1.1 厘米 D．1.2 厘米
【试题来源】广西桂林市广西师范大学附属 2021 届高三年级上学期数学第三次月考试题
【答案】B
【分析】设该五铢钱的穿宽为 x 厘米，根据几何概型的概率公式列式可解得结果．
【解析】圆的半径为 5
4
厘米，圆的面积为 25( )4
25
16
，
设该五铢钱的穿宽为 x 厘米，则方孔面积为 2x 厘米，
根据几何概型可得
2 16
25 25
16
x
，解得 1x 厘米．故选 B．
7．在区间[4,12]上随机地取一个实数 a ，则方程 22 8 0x ax 有实数根的概率为
A． 1
4 B． 2
3
C． 1
3 D． 1
2
【试题来源】2020 届广西壮族自治区高三第一次教学质量诊断性联合（理）
【答案】D
【分析】根据 求出 a 的取值范围，结合几何概型的概念，可得结果．
【解析】因为方程 22 8 0x ax 有实数根，所以 2( ) 4 2 8 0a ，
解得 8a 或 8a ，故方程 22 8 0x ax 有实数根的概率
12 8 1
12 4 2p
．故选 D．
8．在区间 0,8 上随机取一个实数 a ，则方程 2 2 16 0x ax 有实数根的概率为
A． 1
4 B． 1
2
C． 1
3 D． 2
3
【试题来源】云南省 2021 届高三第三次双基检测（文）
【答案】B
【分析】由 24 4 1 16 0a 可得 4a 或 4a ，然后根据几何概型的概率计算公
式可得答案．
【解析】由 24 4 1 16 0a ，得 2 16a ，即 4a 或 4a ，
它与 0 8a 的公共元素为 4 8a ，所以 4 1
8 2p ，故选 B．
9．为了求得椭圆
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的面积，把该椭圆放入一个矩形当中，恰好与矩形
相切，向矩形内随机投入 1 1 2 2, , , , ,n nx y x y x y 共 n 个不同的点，其中在椭圆内的点
恰好有 m m n 个．若矩形的面积是 2，则可以估计椭圆的面积为
A． m
n B． 2m
n
C．
2
m
n D． n
m
【试题来源】吉林省通化市 2020 届高三数学（（文））五模试题
【答案】B
【解析】依题意，根据几何概型的概率公式
SP S
椭圆
矩形
，所以椭圆的面积为 2m
n
，故选 B．
10．如图，随机向大圆内投一粒豆子，则豆子落在阴影部分的概率为
A． 1
3 B． 4
C． 2
2
D． 2
2
【试题来源】江西省鹰潭市 2021 届高三第二次模拟考（理）
【答案】C
【分析】设小圆的半径为 r ，则大圆的半径为 2r ，计算出阴影部分区域的面积和大圆的面
积，利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率．
【解析】设小圆的半径为 r ，则大圆的半径为 2r ，
则空白区域可看作是边长为 2r 的正方形与半径为 r 的四个半圆组合而成，
所以，空白区域的面积为 2 2 212 4 4 22r r r ，
所以，阴影部分区域的面积为 2 2 22 4 2 2 4S r r r ，
因此，所求概率为 2
2
2 4 2
4 2
rP r
．故选 C．
11．在平面区域 0 2,{0 2
x
y
内随机取一点，在所取的点恰好满足 2x y 的概率为
A． 1
16 B． 1
8
C． 1
4 D． 1
2
【试题来源】广西 2020 届高三数学（理）考试二试题
【答案】C
【 解 析 】 由 题 意 可 知 所 取 的 点 应 在 图 中 阴 影 部 分 ． 从 而 其 概 率 为
．故本题正确答案为 C．
12．刘徽是魏晋期间伟大的数学家，他是中国古典数学理论的奠基者之一．他全面证明了《九
章算术》中的方法和公式，指出并纠正了其中的错误，更是擅长用代数方法解决几何问题．如
下图在圆的直径 CD 上任取一点 E，过点 E 的弦 AB 和 CD 垂直，则 AB 的长不超过半径的
概率是
A． 31 2
B． 1
3
C． 1
4 D． 1 3
4
【试题来源】河南省许昌市、济源市、平顶山市 2020 届高三数学（（理））第三次质检试题
【答案】A
【分析】设圆的半径为 1，由 222 1 1AB OE 得 OE 的范围，从而确定点 E 满足的
条件，再由几何概型公式算出概率．
【解析】设圆的半径为 1，则有 222 1 1AB OE ，解得 3
2OE ，
又 E 在直径 CD 上，所以所求的概率为
32 1 22 312 2
CE
CD
．故选 A．
13．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数
学家谢尔宾斯基 1915 年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，
将它分成 4 个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余 3 个小三角形重复上述过程
得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是
A． 7
16 B． 9
16
C． 3
5 D． 1
2
【试题来源】陕西省安康市 2020 届高三下学期第三次联考（理）
【答案】B
【分析】先观察图象，再结合几何概型中的面积型可得 9 9
16 16
SP A S
小三角形
小三角形
，得解．
【解析】由图可知黑色部分由 9 个小三角形组成，该图案由 16 个小三角形组成，
设“向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分”为事件 A，
由几何概型中的面积型可得 9 9
16 16
SP A S
小三角形
小三角形
，故选 B．
14．如图所示，在边长为 4 的正三角形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正三角形中随机
撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为 3
4
，则阴影区域的面积为
A． 3 B． 2 3
C．3 3 D． 4 3
【试题来源】安徽省四校 2020-2021 学年高三上学期适应性测试（文）
【答案】C
【分析】由题意结合几何概型计算公式得到关于面积的方程，解方程即可求得最终结果．
【解析】设阴影部分的面积为 S，结合几何概型公式可得
3
41 34 42 2
S
，解得 S＝
3 3 ．故选 C．
15．如图来自中国古代的木纹饰图．若大正方形的边长为 6 个单位长度，每个小正方形的边
长均为 1 个单位长度，则在大正方形内随机取一点，此点取自图形中小正方形内的概率是
A． 1
36 B． 1
9
C． 1
6 D． 2
9
【试题来源】河南省名校联考 2020-2021 学年高三上学期第一次模拟考试（文）
【答案】D
【分析】分别求出各自对应的面积即可求解结论．
【解析】因为大正方形的面积为 6 6 36 ；而小正方的面积为1 1 1 ；
故在大正方形内随机取一点，大正方形内部有 6 个小正方形，此点取自图形中小正方形内的
概率是 8 1 2
36 9
．故选 D ．
16．如图，边长为 3 的正方形 ABCD ，射线 BP 从 BA 出发，绕着点 B 顺时针方向旋转至
BC ，点 E 为线段 DC 上的点，且 1CE ，则在旋转的过程中， BP 与线段 EC 有交点的概
率为
A． 1
3 B． 1
2
C． 2
3 D． 1
4
【试题来源】河南省名校联盟 2020 届高三（6 月份）高考数学（（理））联考试题
【答案】A
【分析】首先求出 CBE ，再根据角度型几何概型概率公式计算可得；
【解析】 1 3tan 33
CECBE CB
，
6CBE ，
BP 与线段 EC 有交点的概率为 16
3
2
．故选 A．
17．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇
骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号，如图是折扇的示意图， A为OB
的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是
A． 1
4 B． 1
2
C． 5
8 D． 3
4
【试题来源】江西省 2020 届高三高考数学（（理））校测试卷题（三）
【答案】D
【解析】设扇形的圆心角为 ，大扇形的半径长为 R ，小扇形的半径长为 r ，
则 2
2S R大扇形 ， 2
2S r小扇形 ， 2R r ．
根据几何概型，可得此点取自扇面（扇环）部分的概率为
2 2
2 2 2
2 2
2
3 32 2
4 4
2
R r R r rP R rR
．故选 D．
18．刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”所谓“割圆
术”是指用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法．已知半径为
1的圆O 内接正二十四边形，现随机向圆O 内投放 a 粒豆子，其中有b 粒豆子落在正二十四
边形内 *,a b b aN、 ，则圆周率的近似值为
A． 3 6 3 2 a
b
B． 3 6 3 2 b
a
C． 3 6 3 2 a
b
D． 3 6 3 2 b
a
【试题来源】河南省 2020 届高三（6 月份）高考数学（（理））质检试题
【答案】C
【分析】本题首先可计算出正二十四边形的面积 1S ，然后计算出半径为1的圆的面积 2S ，最
后根据几何概型的概率计算公式即可得出结果．
【解析】因为正二十四边形的面积 2
1
1 6 224 1 sin15 24 3 6 22 8S ，
半径为1的圆的面积 2S ，所以 1
2
3 6 2S
S
b
a
，解得 3 6 3 2 a
b
，故
选 C．
【名师点睛】本题考查几何概型的概率计算公式，能否求出正二十四边形的面积以及圆的面
积是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题．
19．在正方形 ABCD 中，弧 AD 是以 AD 为直径的半圆，若在正方形 ABCD 中任取一点，
则该点取自阴影部分内的概率为
A．
16
B．
12
C． 4
4
D． 1
4
【试题来源】四川省德阳市 2020 届高三高考数学（（文））三诊试题
【答案】D
【分析】设正方形 ABCD 的边长为 2 ，计算出阴影部分区域和正方形 ABCD 的面积，利用
几何概型的概率公式可求得所求事件的概率．
【解析】设正方形 ABCD 的边长为 2 ，将图中阴影部分中的弓形区域沿着图中的虚线对称，
如下图所示：
所以，阴影部分区域的面积为 1 2 1 12S ，正方形 ABCD 的面积为 22 4S ，
因此，所求概率为 1
4
SP S
．故选 D．
20．在区间[-2，2]上随机抽取一个数 x，则事件“-1≤ln（x＋1）≤1”发生的概率为
A．
2e 1
3e
B．
2e 1
4e
C．
2e 2e 1
3e
D．
2e 2e 1
4e
【试题来源】云南省红河州第一中学 2021 届高三年级（理）第一次联考试题
【答案】B
【分析】先解不等式 1 ln 1 1x ，然后利用几何概型的长度类型求解．
【解析】由不等式 1 ln 1 1x ，得 1 1 e 1e x ，
所以事件“-1≤ln（x＋1）≤1”发生的概率为
1e 1 1e
4P
2e 1
4e
．故选 B．
【名师点睛】本题主要考查几何概型的概率求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题．
21．“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾
股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，
四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角
6
，现在向该大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是
A． 2 3
2
B． 1
2
C． 1 3
4
D． 3
4
【试题来源】校 2021 届高三上学期 9 月质量调研（文）
【答案】A
【分析】设大正方形的边长为 2，求出阴影部分的面积后，由几何概型概率公式即可得解．
【解析】设大正方形的边长为 2，则大正方形的面积 1 4S ，易知阴影部分图形为正方形，
因为直角三角形中较小的锐角
6
，所以小正方形的边长为 2cos 2sin 3 16 6
，
所以阴影部分的面积为 2
2 3 1 4 2 3S ，
故所求概率 2
1
2 32
4 2
4 3SP S
．故选 A．
22．古埃及、古印度、古巴比伦和中国是四大文明古国之一，金字塔（如图 1）作为古埃及
劳动人民的智慧结晶，是历史留给当下的宝贵遗产著名的胡夫金字塔的俯视图如图 2 所示，
该金字塔的高 146．5 米，底面正方形边长 230 米．若小明在距离金字塔底而中心 230 米的
圆周．上任取一点（圆周上所有点被选取的概率相等），从该点处观察金字塔，则小明可以
同时看到金字塔两个侧面的概率为
A． 1
3 B． 2
3
C． 1
4 D． 3
4
【试题来源】江苏省宿迁中学 2020-2021 学年高三上学期期中巩固测试
【答案】A
【分析】根据题意，利用长度比的几何概型求得只能看到金字塔的一个侧面的概率，进而求
得看到两个侧面的概率．
【解析】如图所示，中间正方形的边长为 230 米，可得 230AB CD 米，
其中在 AB 处的任意一点，只能看到金字塔的一个侧面，
又由圆的半径为 230 米，其中 230OA OB 米，
所以 ABO 为等边三角形，即 60AOB ，
其中由四个这的区域，只能看到金字塔的一个侧面，
所以只能看到一个侧面的概率为 4 60 2
360 3
，
所以小明可以同时看到金字塔两个侧面的概率为 1
3
．故选 A．
23．已知 x 、 y 满足 1x y ，则事件“ 2 2 1
2x y ”的概率为
A．
8
B．
4
C．1 8
D．1 4
【试题来源】四川省成都市蓉城名校联盟 2020-2021 学年高三第一次联考（文）
【答案】B
【分析】作出区域 , 1A x y x y 与区域 2 2 1, 2B x y x y
，并计算出两个
区域的面积，利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率．
【解析】区域 , 1A x y x y 是由 1,0 、 0,1 、 1,0 、 0, 1 为四个顶点的
正方形及其内部，
区域 2 2 1, 2B x y x y
是以原点为圆心，半径为 2
2
的圆及其内部，如下图所示：
区域 A是边长为 2 的正方形及其内部，区域 A的面积为 2
2 2AS ，
区域 B 的面积为
2
2
2 2BS
，因此，所求概率为 2
2 4
B
A
SP S
．故选 B．
24．第 24 届国际数学大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，
会标是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的一个
锐角为 ，且 πsin 2sin 52
．若在大正方形内随机取一点，则该点取自小正方
形区域的概率为．
A． 1
4 B． 1
5
C． 2
5 D． 3
5
【试题来源】山西省运城市 2021 届高三上学期 9 月调研（理）
【答案】B
【分析】根据 πsin 2sin 52
，可以求得sin( ) 1 ， tan 2 ，求出小正
方形的边长和直角三角形两直角边的长，进而得到大正方形的边长，然后根据几何概型概率
公式求解即可．
【解析】由 πsin 2sin 52
可得 sin 2cos 5 ，
即 5 sin( ) 5 ，即 sin( ) 1 ，且 tan 2 ，所以
2
，
所以直角三角形较大的锐角为 ，较小的锐角为 ，
如图，设小正方形的边长为 a ，直角三角形较大的锐角为 、较大的锐角为为 ，
较小的直角的边长b ，则直角三角形较大的直角边长为 a b，
因为 tan 2a b
b
，所以 a b ，所以大正方形的边长为 2 2(2 ) 5a a a ，
由几何概型概率公式可得，所求概率为
2
2
1
5( 5 )
aP
a
．故选 B．
【名师点睛】解答几何概型概率的关键是分清概率是属于长度型的、面积型的、还是体积型
的，然后再根据题意求出表示基本事件的点构成的线段的长度（或区域的面积、空间几何体
的体积），最后根据公式计算即可．
25．《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，
一 为鳖 臑．” 其 中“解 ” 字 的意 思是 用一 个 平面 对某 几何 体 进行 切割 ．已 知 正方 体
1 1 1 1ABCD A B C D ，随机在线段 1AC 上取一点，过该点作垂直于 1AC 的平面 ，则平面
“解”正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 所得的大、小两部分体积之比大于 5 的概率为
A． 1
6 B． 1
3
C． 1
2 D． 2
3
【试题来源】河南省 2020-2021 学年上学期高中毕业班阶段性测试（一）（文）
【答案】D
【分析】如图所示，由正方体的性质可知， 1AC 垂直于平面 1A BD 和平面 1 1CB D ，设 P 和Q
分别是平面 1A BD 和平面 1 1CB D 与线段 1AC 的交点， 当平面 取平面 1A BD 或平面 1 1CB D
时，切割得到的大、小两部分体积之比恰好为 5，即可得答案；
【解析】如图所示，由正方体的性质可知， 1AC 垂直于平面 1A BD 和平面 1 1CB D ，
设 P 和Q 分别是平面 1A BD 和平面 1 1CB D 与线段 1AC 的交点，
1 1 1 1 1 1 1 1
1
6A ABD C C B D ABCD A B C DV V V ，
当平面 取平面 1A BD 或平面 1 1CB D 时，切割得到的大、小两部分体积之比恰好为 5，
要满足条件，应在线段 AP 或 1QC 上取点，而 1AP PQ QC ，
所以所求的概率为 1
1
2
3
AP QC
AC
．故选 D．
【名师点睛】本题考查正方体截面的性质与几何概型的交会，考查转化与化归思想，考查逻
辑推理能力、运算求解能力 ．
26．“勾股定理”在西方被称为“华达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾
股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，
四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为 2 的大正方形，若直角三角形中较
小的锐角
6
，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概
率是
A． 31 2
B． 3
2
C． 4 3
4
D． 3
4
【试题来源】江西省 2021 届高三上学期第一次段考（理）
【答案】A
【分析】根据几何概率的求法：一次飞镖扎在中间小正方形区域(含边线)的概率就是阴影区
域的面积与总面积的比值．
【解析】观察这个图可知大正方形的边长为 2，总面积为 4，
由直角三角形中较小的锐角
6
，可知直角三角两直角边长为 1， 3 ，
所以阴影区域的边长为 3 1 ，面积为 4 2 3 ，
故飞镖落在阴影区域的概率为 4 2 3 314 2P ．故选 A
【名师点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用
阴影区域表示所求事件(A)﹔然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事
件(A）发生的概率；关键是得到两个正方形的边长．
27．已知 8,4a ，则命题 0 0x ， 2
0 0 1 0x ax 为假命题的概率
A．0.2 B．0.3
C．0.4 D．0.5
【试题来源】陕西省 2020-2021 学年高三上学期第二次月考（理）
【答案】D
【分析】求出使命题 0 0x ， 2
0 0 1 0x ax 为假命题时 a 的取值范围，再利用几何概型
即可求解．
【解析】因为命题 0 0x ， 2
0 0 1 0x ax 为假命题，即 0x ， 2 1 0x ax 为真命
题，①当 0,4a 时，原式显然成立；
②当 8,0a 时，对称轴大于 0，只需 2 4 0a ，解得 2 0a ，
故当 2 4a 时，命题 0 0x ， 2
0 0 1 0x ax 为假命题．
故所求概率为
4 2 0.54 8P
．故选 D．
28．如图是一边长为 8 的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆
之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的 2 倍．若在正方形图案上随机取一
点，则该点取自黑色区域的概率为
A．
8
B．
16
C．1 8
D．1 16
【试题来源】山西省 2020 届高三高考数学（理）二模试题
【答案】C
【分析】设黑色小圆的半径为 r ，则黑色大圆的半径为 2r ，由题意求得 r ，进一步求出黑
色区域的面积，由测度比是面积比得答案．
【解析】设黑色小圆的半径为 r ，则黑色大圆的半径为 2r ，由题意可知，8 8r ，即 1r ．
图中黑色区域的面积为 2 2 28 8 4 4 1 2 64 8 ，又正方形的面积为 64．
在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为 64 8 164 8
．故选C ．
【名师点睛】本题考查几何概型的概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．
29．如图，点C 在以 AB 为直径的圆上，且满足CA CB ，圆内的弧线是以C 为圆心，CA
为半径的圆的一部分．记 ABC 三边所围成的区域（灰色部分）为Ⅰ，右侧月牙形区域（黑
色部分）为Ⅱ．在整个图形中随机取一点，记此点取自Ⅰ，Ⅱ的概率分别为 1P ， 2P ，则
A． 1 2P P B． 1 2P P
C． 1 2
4
1P P D． 2 1
1
1P P
【试题来源】江西省 2020 届高三（6 月份）高考数学（（理））校测试题（一）
【答案】A
【分析】本题首先可以设出圆的半径，然后计算出区域Ⅰ的面积以及区域Ⅱ的面积，再然后
计算出圆的面积并通过几何概型的概率计算公式即可得出结果．
【解析】设圆的半径为1，则区域Ⅰ的面积为 1
1 2 1 12S ；
区域Ⅱ的面积 2 2
2
1 1 11 [ ( 2) 2 1]2 4 2S 1．
圆的面积为π×12＝π．所以 1 2
1P P
．故选 A．
【名师点睛】本题考查几何概型的相关性质以及平面图形的面积求法，考查数形结合思想，
考查推理能力，考查几何概型的概率计算公式，是中档题．
30．魏晋时期数学家刘徽在他的著作《 九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内
切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与
“牟合方盖”的体积之比应为 π ：4．在棱长为 2 的正方体内任取一点，此点取自“牟合方盖”
的概率为
A． 1
2 B． 3
2
C． 2
3 D． 3
3
【试题来源】黑龙江省 2020-2021 学年高三上学期第一次月考（理）
【答案】C
【分析】根据题意，可求出正方体的体积和正方体的内切球的体积，再由已知体积比即可求
“牟合方盖”的体积，最后根据体积型几何概型的求法，即可求得正方体内任取一点，此点取
自“牟合方盖”的概率．
【解析】正方体的棱长为 2，则其内切球的半径为 1，
设正方体的体积为V ，正方体的内切球的体积为 1V ，“牟合方盖”的体积为 2V ，
正方体的体积为 32 8V ，正方体的内切球的体积为 3
1
4 4π 1 π3 3V ，
由题意得
2
1
4
V
V
，则“牟合方盖”的体积为 2
4 4 16ππ 3 3V ，
所以在棱长为 2 的正方体内任取一点，此点取自“牟合方盖”的概率为
2
16
23
8 3
VP V
．故选 C．
【名师点睛】本题考查数学文化及正方体内切球、球的体积公式的应用，以及体积型几何概
型的求法，考查运算求解能力．
二、填空题
1．在区间 0,6 中任取一个数 x．则能使 2，3，x 是某个三角形三边长的概率是__________．
【试题来源】江苏省南通市如皋一中 2020 届高三下学期原创押题卷
【答案】 2
3
．
【解析】要使 2，3， x 能构成一个三角形，则 3 2 3 2x ，即1 5x ，
故其概率为 4 2
6 3
．故答案为 2
3
．
2．在区间 1,5 内任取一个实数，则此数大于 2 的概率为__________．
【试题来源】陕西省西安市 2020 届高三下学期第二次质量检测（文）
【答案】 3
4
【解析】根据几何概型可知，所求概率为 5 2 3
5 1 4p
．故答案为 3
4
．
3．在区间[ 2,3] 上随机取一个实数 x ，则“| | 1x ”的概率为__________．
【试题来源】江苏省南京市秦淮中学 2020 届高三下学期最后一练
【答案】 2
5
【解析】满足“| | 1x ”的范围在“ 1 1x ”上，由几何概型概率公式可得，在区间 2,3 上
随机取一个实数 x ，则“ 1x ”的概率为 1 ( 1) 2
3 ( 2) 5
，故答案为 2
5
．
4．如图，已知正方形的边长为 10，向正方形内随机地撒 200 颗黄豆，数得落在阴影外的黄
豆数为 114 颗，以此实验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为__________．
【试题来源】四川省内江市第六中学 2020 届高三强化训练（一）（文）
【答案】43
【解析】设阴影外部分的面积为 s ，则由几何概型的概率公式得
114
10 10 200
s ，解得 57s ，可以估计出阴影部分的面积约为100 57 43 ．
【名师点睛】本题主要考查了几何概型，以及利用几何意义求面积，属于基础题．简单地说，
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概
率模型为几何概率模型，简称为几何概型．本题利用几何概型求解．
5．如图所示，在 Rt ABC 中， 90C ∠ ， 30B ，在 BAC 内过点 A任作一射线与 BC
相交于点 D ，使得 30DAC 的概率为__________．
【试题来源】甘肃省武威第六中学 2020 届高三下学期第六次诊断考试（文）
【答案】 1
2
【解析】因为在 Rt ABC 中， 90C ∠ ， 30B ，所以 60BAC ，
所以 30DAC 的概率为 30 1
60 2P
，故答案为 1
2
．
6．2020 年 2 月 17 开始，为实现“停课不停学”，张老师每天晚上 20：05-20：50 时间段通过
班级群直播的形式为学生们在线答疑，某天一位高三学生在 19：00 至 20：30 之间的某个时
刻加入群聊，则他等待直播的时间不超过30分钟的概率是__________．
【试题来源】百校联盟 2020 届高三 5 月教育教学质量监测考试（全国Ⅰ卷）（文）
【答案】 11
18
【分析】根据长度型几何概型概率计算公式，计算出所求概率．
【解析】由题意可知，该学生在 19：00 至 20：30 之间的加入群聊，其时间长度为90分钟．该
学生等待直播的时间不超过 30分钟，则应该在 19：35 至 20：30 分之间的任意时刻加入，
区间长度为 55 ．由测度比为长度比，可知他等待直播的时间不超过 30 分钟的概率是
55 11
90 18
．故答案为 11
18
．
7．点 P 是 ABC 内部任意一点，则 PAB△ 的面积小于 ABC 面积一半的概率为
__________．
【试题来源】新疆 2020 届高考数学（（文））二模试题
【答案】 3
4
【解析】如图所示：DE 为三角形的中为线，
因为 PAB△ 的面积小于 ABC 面积一半，所以点 P 的区域是图中阴影部分，
由面积之比是相似比的平方得图中阴影部分是整个三角形面积的 3
4
，
所以 PAB△ 的面积小于 ABC 面积一半的概率为
3
34
1 4p ．故答案为 3
4
．
8．记函数 2 5 4f x x x 的定义域为 D，若在区间 5,5 上随机取一个数 x，则
x D 的概率为__________．
【试题来源】江苏省南通市 2020 届高三下学期高考考前模拟卷（五）
【答案】 3
10
【分析】先由题意求出函数的定义域，再由与长度有关的几何概型，即可求出结果．
【解析】由 2 5 4 0x x 得 2 5 4 0x x ，解得1 4x ，
即函数 2 5 4f x x x 的定义域为 1,4D ；
所以，在区间 5,5 上随机取一个数 x，则 x D 的概率为
4 1 3
5 5 10P ．
9．关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯
实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值：先请 160 名同学，每人
随机写下开一个都小于 4 的正实数对 ,x y ；再统计两数能与 4 构成钝角三角形三边的数对
,x y 的个数 n ；最后再根据统计数 n 来估计 的值．假如统计结果是 126n ，那么据此
估计 的值为__________．
【试题来源】2020 年普通高等学校招生伯乐马模拟考试（六）（理）
【答案】 63
20
【解析】两数都小于 4 的正实数对 ,x y 构成的区域是 0 4,
0 4,
x
y
，区域面积为 16，其中
两数能与 4 构成钝角三角形三边的数对 ,x y 还需满足 2 2 16x y ，区域面积为
1 16 44
，故 4 126
16 160
，即 126 63
40 20
．故答案为 63
20
．
10．勾股定理又称商高定理，三国时期吴国数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，正方形
ABDE 是由 4 个全等的直角三角形再加上中间的阴影小正方形组成的，如图，记 ABC ，
若 tan 74
πθ
，在正方形 ABDE 内随机取一点，则该点取自阴影正方形的概率为
__________．
【试题来源】2020 届云南师范大学附属中学高三上学期第三次月考（理）
【答案】 1
25
【分析】根据 tan 74
，得到 tan 的值，得到 AC 和 BC 的关系，然后得到大正
方形的面积，和阴影小正方形的面积，根据几何概型的公式，求出答案．
【解析】因为 π tan 1tan 74 1 tan
，所以 4tan 3
AC
BC
，
不妨设 4AC a ， 3BC a ，则 5AB a ，所以大正方形的面积为 225a ，
阴影小正方形的面积为 2a ，所以概率为
2
2
1
25 25
aP a
．故答案为 1
25
．
11．七巧板是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，后清陆以活
《冷庐杂识》卷一中写道“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．”在 18
世纪，七巧板流传到了国外，被誉为“东方魔板”，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一
部《七巧新谱》．完整图案为一正方形(如图)：五块等腰直角三角形､一块正方形和一块平行
四边形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率是__________．
【试题来源】云南省 2020 届高三适应性考试（理）（A 卷）
【答案】 7
16
【解析】设大正方形边长为 1，大正方形面积为 1S ，
阴影部分是两个等腰直角三角形和一个正方形，由图可知阴影部分正方形的边长为 2
4
，阴
影部分大的等腰直角三角形的直角边长为 2
2
，小的等腰直角三角形的直角边长为 2
4
，
阴影部分的面积为
2 2 2
2 1 2 1 2 7
4 2 4 2 2 16S
，
所以所求概率为 7
16
SP S
．故答案为 7
16
．
12．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数
学家谢尔宾斯基 1915 年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，
将它分成 4 个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余 3 个小三角形重复上述过程
逐次得到各个图形，如上图．现在图（3）中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率
为__________．
【试题来源】辽宁省大连市普兰店市第三十八中学 2020-2021 学年高三上学期开学考试
【答案】 9
16
【分析】由归纳推理得设图（3）中 1 个小阴影三角形的面积为 S ，则图（3）中阴影部分
的面积为 9S ，又图（3）中大三角形的面积为16S ，由几何概型的概率公式计算可得；
【解析】设图（3）中 1 个小阴影三角形的面积为 S ，则图（3）中阴影部分的面积为 9S ，
又图（3）中大三角形的面积为16S ，由几何概型中的面积型可得
此点取自阴影部分的概率为 9 9
16 16
S
S
，故答案为 9
16
．
13．如图， AB 是圆 O 的直径，OC AB ，假设向该圆随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部
分的概率为__________．
【试题来源】四川省凉山州 2020 届高三第三次诊断性检测（理）
【答案】 1
【解析】如图， AB 是圆 O 的直径， OC AB ，设圆的半径为 r，
所以 21 22ABCS r ，圆 O 的面积为 2S r ，
所以向该圆随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为
2
2
1 2 12 r
p r
．
14．在区间[0, ] 上随机取一个数 ，则 1 1cos ,2 2
的概率为__________．
【试题来源】江苏省 2019-2020 学年高三下学期 4 月月考
【答案】 1
3
【解析】因为 0, ， 1 1cos ,2 2
，所以 2,3 3
，
由与长度有关的几何概型概率计算公式可得， 13
3P
．
15．如图所示，是一正方形苗圃图案，中间黑色的大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之
间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的 2 倍，若在正方形图案上随机地取一
点，则该点取自黑色区域的概率为__________．
【试题来源】山西省 2020 届高三下学期 6 月月考（文）
【答案】1 8
【分析】设黑色小圆的半径为 r ，则黑色大圆的半径为 2r ，由题意求得 r ，进一步求出黑
色区域的面积，由测度比是面积比得答案．
【解析】设黑色小圆的半径为 r ，正方形的边长为 8，
则黑色大圆的半径为 2r ，由题意可知，8 8r ，即 1r ．
图中黑色区域的面积为 2 2 28 8 4 4 1 2 64 8 ，
又正方形的面积为 64． 在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为
64 8 164 8
．故答案为1 8
．
16．在区间 1,1 上随机取一个数 k，则能够使直线 3y k x 与圆 2 2 1x y 相交的概
率为______．
【试题来源】河南省部分重点中学 2020 届高考质量监测（文）
【答案】 2
4
【解析】因为圆心 0,0 ，半径 1r ，直线与圆相交，所以
2
3 1
1
kd
k
，解得
2 2
4 4k ，故相交的概率
2
22
2 4P ．故答案为 2
4
．
17．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角
形，一块正方形和一块平行四边形组成．如图是一块用七巧板组成的正方形，若在此正方形
中任意取一点，则该点来自于阴影部分的概率为__________．
【试题来源】四川省乐山市 2020 届高三第三次调查研究考试（理）
【答案】 3
8
【解析】设拼成的正方形的面积为 1，
由图知，最大的三角形面积为 1
4
，最小的三角形面积为 1
16
，
平行四边形的面积是最小三角形面积的 2 倍，
由此可得阴影部分的面积为 3
8
，则所求的概率为 3
8
．
18．如图是以一个正方形的四个顶点和中心为圆心，以边长的一半为半径在正方形内作圆弧
得到的．现等可能地在该正方形内任取一点，则该点落在图中阴影部分的概率为__________．
【试题来源】2020 届安徽省安庆市高三下学期第三次模拟（文）
【答案】 12
【解析】设正方形的边长为 2a ，则空白部分的面积为 2 2 2 22 2 8 2a a a a ，
因此所求概率为 2 2 2
2
4 8 2
14 2
a a a
a
．故答案为 12
．
19．已知直线 : 4l y x 与曲线 2: 4C y x ，在曲线C 上随机取一点 M ，则点 M 到
直线l 的距离不大于 2 的概率为__________．
【试题来源】2020 届河北省衡水中学高三卫冕联考（文）
【答案】 1
2
【解析】作出示意图：
曲线 2: 4C y x 是圆心为原点，半径为 2 的一个半圆．
圆心O 到直线 : 4l y x 的距离 2 2
| 0 0 4 | 2 2
1 1
d
，
而点O 到直线 : 2AB x y 的距离为 2 ，故若点 M 到直线 4x y 的距离不大于 2 ，
则点 M 在阴影部分所对的劣弧上，由几何概型的概率计算公式知，所求概率为
1 2 12
2 2
．
20．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是
万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方
法，在平面直角坐标系中，圆 O 被 y＝3sin
4
x 的图象分割为两个对称的鱼形图案(如图所
示)．其中小圆的半径均为 1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为
__________．
【试题来源】四川省眉山市仁寿一中南校区 2020-2021 学年高三上学期第二次调考数学（理）
【答案】 1
8
【解析】依题意，大圆的直径为 y＝3sin
4
x 的最小正周期
2 8
4
T
，
所以大圆的面积 S＝
28 162
．又一个小圆的面积 2
0 1S ．
故所求事件的概率 P＝ 02 2
16
S
S
＝ 1
8
．
21．若在不等式 2 2 1x y 所表示的平面区域内随机投一点 P ，则该点 P 落在不等式组
1
1
x y
x y
所表示的平面区域内的概率为__________．
【试题来源】四川省宜宾市叙州区第二中学 2020-2021 学年高三上学期阶段二考试（理）
【答案】 2
【解析】不等式 2 2 1x y 表示单位圆的圆上和圆内；不等式组 1
1
x y
x y
等价于
1
1
1
1
x y
x y
x y
x y
．画出不等式 2 2 1x y 和不等式组 1
1
x y
x y
所表示的平面区域如下图所示，
阴影部分为正方形，边长为 2 21 1 2 ，所以面积为 2 2 2 ．
所以所求的概率为 2
2 2
1
．故答案为 2
．
22．如图是古希腊数学家希波克拉底所研究的弓月形的一种，此图是以 BC ， AB ， AC 为
直径的三个半圆组成， 2BC ，点 A在弧 BC 上，若在整个图形中随机取一点，点取自阴
影部分的概率是 P ，则 P 的最大值是__________．
【试题来源】黑龙江省 2020 届高三 6 月复课线下考查（理）
【答案】 2
2
【分析】设两个小半圆的半径分别为 1r ， 2r ，大半圆半径为 R ，根据几何概型公式结合均
值不等式计算得到答案．
【解析】设两个小半圆的半径分别为 1r ， 2r ，大半圆半径为 R ，则 2 2 2
1 22 2 2R r r ，
即 2 2 2
1 2R r r ，根据几何概型：
2 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2
2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 12 4 4 22 2 2
1 1 4 2 4 222 2
r r rr R rr rrp r r rr rr rrr r rr
，
当 1 2r r 时等号成立．故答案为 2
2
．
23 ． 如 图 是 一 种 圆 内 接 六 边 形 ABCDEF ， 其 中 BC CD DE EF FA 且
AB BC ．则在圆内随机取一点，则此点取自六边形 ABCDEF 内的概率是__________．
【试题来源】2020 届广东省汕头市金山中学高三下学期第三次模拟（6 月） （文）
【答案】 3 2
2
【分析】半径为1，利用三角形面积公式得出六边形 ABCDEF ，最后由几何概型概率公式
计算即可．
【解析】连接 AC ，显然， AC 中点O 为 ABC 的外接圆圆心，设半径为1，
连接 , , ,FO EO DO BO ，由于 BC CD DE EF FA ， AC 为直径，
则 180 454BOC ， 135AOB ，
该六边形的面积为 A F EFO EDO DCO BCO AOO BS S S S S S
1 2 1 3 25 5 1 1 1 2
212 2 2 2BCO AOBS S ，
则此点取自六边形 ABCDEF 内的概率为
2
3 2
3 22
1 2P
，故答案为 3 2
2
.
24．黄金三角形有两种，一种是顶角为 36°的等腰三角形，另一种是顶角为 108°的等腰三角
形．例如，一个正五边形可以看成是由正五角星和五个顶角为 108°的黄金三角形组成，如
图所示，在黄金三角形 1A AB 中， 1 5 1
2
A A
AB
．根据这些信息，若在正五边形 ABCDE 内
任取一点，则该点取自正五边形 1 1 1 1 1A B C D E 内的概率是__________．
【试题来源】河南省 2020 届高三考前 6 月份适应性考试理数试题
【答案】 7 3 5
2
【分析】如图，过点 B 作 BH AC ，垂足为 H ，设 2AB ，利用余弦定理及锐角三角函
数求得 1 1 3 5A B ，再根据多边形相似面积比等于相似比的平方，从而计算出几何概型
的概率；
【解析】如图，过点 B 作 BH AC ，垂足为 H ，设 2AB ，由题意可得 1 1 5 1AA A B ，
1 36A AB ，则
2 2
1
4 5 1 5 1 5 1cos 42 2 5 1
A AB
，
在 Rt ABH 中， 1
5 1cos 4
AHA AB AB
，则 5 1
2AH ，因为 1 5 1AA ，所
以 1 1
3 5
2A H AH AA ， 所 以 1 1 12 3 5A B A H ， 记 正 五 边 形 ABCDE 与
1 1 1 1 1A B C D E 的面积分别为 1S 和 2S ，因为正五边形 ABCDE 与 1 1 1 1 1A B C D E 相似，所以
22
2 1 1
1
3 5 7 3 5
2 2
S A B
S AB
，故所求概率 2
1
7 3 5
2
SP S
.
25．已知 P，E，F 都在球面 C 上，且 P 在 EFG 所在平面外， PE EF ， PE EG ，
2 2 4PE GF EG ， 120EGF ，在球 C 内任取一点，则该点落在三棱锥 P﹣EFG
内的概率为__________．
【试题来源】黑龙江省 2020 届高三综合训练（二）（理）
【答案】 6
32
【分析】由题意画出图形，求出三棱锥外接球的半径，再分别求出三棱锥及其外接球的体积，
由测度比为体积比得答案．
【解析】如图，在 EGF 中，由已知可得 2EG GF ， 120EGF ，
可得 2 3EF ，设 EFG 的外接圆的半径为 r，由 2 3 2120 rsin
，可得 2r = ，
再设 EGF 的外心为 1G ，过 1G 作底面 EGF 的垂线 1G O ，且使 1
1 22G O PE ，
连接 OE，则 2 2OE ，OE 为三棱锥 P EFG 的外接球的半径，
则 34 64 2(2 2)3 3V 球 ； 1 1 4 32 2 120 43 2 3P EGFV sin
，
由测度比为体积比，可得在球 C 内任取一点，则该点落在三棱锥 P﹣EFG 内的概率为
4 3
63
3264 2
3
．故答案为 6
32
．
26．在曲线 2 2x y x y 上及其内部随机取一点，则该点取自圆 2 2 1x y 上及其内部
的概率为__________．
【试题来源】2020 届山西省临汾市高三高考考前适应性训练（三）（理）
【答案】
2
【解析】由 2 2x y x y 得
2 21 1 1
2 2 2x y
．
①当 0
0
x
y
时，
2 21 1 1
2 2 2x y
，表示以 1 1,2 2
为圆心， 2
2
为半径的圆的一部分；
②当 0
0
x
y
时，
2 21 1 1
2 2 2x y
，表示以 1 1,2 2
为圆心， 2
2
为半径的圆的一
部分；
③当 0
0
x
y
时，
2 21 1 1
2 2 2x y
，表示以 1 1,2 2
为圆心， 2
2
为半径的圆的一
部分；
④当 0
0
x
y
时，
2 21 1 1
2 2 2x y
，表示以 1 1,2 2
为圆心， 2
2
为半径的圆的
一部分；即
2 21 1 1
2 2 2x y
由以上四部分组成；
在同一坐标系内画出
2 21 1 1
2 2 2x y
与 2 2 1x y 的图象如下：
由 图 象 易 得 曲 线
2 21 1 1
2 2 2x y
表 示 的 平 面 区 域 面 积 为
2
2 1 24 22 2S AB
，单位圆 2 2 1x y 的面积为 21 ，
因此，所求的概率为
2P
．故答案为
2
．
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