专题 08 基本不等式（客观题）
一、单选题
1．已知 0, 0a b ，且 1 1 1a b
，则 4a b 的最小值是
A．2 B．6
C．3 D．9
【试题来源】湖南省湘潭市 2020-2021 学年高三上学期第一次模拟（理）
【答案】D
【解析】 1 1 4 44 4 5 5 2 9a b a ba b a b a b b a b a
，
当且仅当 3
2a ， 3b 时取等号，故选 D．
2．设正实数 a ，b 满足 2a kb (其中 k 为正常数)，若 ab 的最大值为 3，则 k
A．3 B． 3
2
C． 2
3 D． 1
3
【试题来源】广东省 2021 届高三上学期第二次月考
【答案】D
【解析】因为正实数 a ，b 满足 2a kb (其中 k 为正常数)，
所以 2( ) 12
a kba kb ，则 1a b k
，所以 1 3k
，所以 1
3k ，故选 D．
3．已知 41 3m ，则 2 3
1 4 3m m
的最小值是
A．3 2 9 B． 3 6
C． 6 2 9 D．12
【试题来源】山东新高考质量测评联盟 2020-2021 学年高三上学期 10 月联考
【答案】C
【解析】 41 3m 1 0,4 3 0m m ，
2 3 6(4 3 ) 3(3 3)9 9 6 21 4 3 3 3 4 3
m m
m m m m
，
当且仅当 6(4 3 ) 3(3 3)
3 3 4 3
m m
m m
，又 41 3m 故 5 2
3m 时取等号．故选 C．
4．已知 a>0，b>0，4a+b+2=2ab，则下列不等式一定成立的是
A．a+b≥7 B．a+b≤5
C．2a+b≥7 D．2a+b≤6
【试题来源】广西桂林市广西师范大学附属 2021 届高三年级上学期数学第三次月考试题
【答案】C
【解析】因为 4a+b+2=2ab，所以 4 2
2 1
ab a
，因为 a>0，b>0，所以 1
2a ，
所 以
4 2
2 1
aa b a a
2 1
1
2
aa
a
1 2 5
12 2
2
a
a
1 22 ( ) 12
2
a
a
5
2
52 2 2
，
当且仅当 1 22a ， 2 2b 时，等号成立，故 ,A B 不正确；
4 22 2 2 1
aa b a a
42 1 32 1a a
42 (2 1) 3 72 1a a
，
当且仅当 3 , 42a b 时，等号成立，故C 正确， D 不正确．故选 C．
5．点 A、 B 、C 为直线l 上互异的三点，点 P l ，若 PA xPB yPC （ 0, 0x y ），
则 1 9
x y
的最小值
A．16 B．17
C．18 D．19
【试题来源】辽宁省凌海市第二高级中学 2020-2021 学年高三上学期第二次月考
【答案】A
【解析】因为点 A、B 、C 为直线l 上互异的三点，所以存在实数t ，使得 1AB t AC t ，
又点 P l ，所以 PB PA t PC PA
，则 1t PA tPC PB ，
因此 1
1 1
tPA PC PBt t
，又 PA xPB yPC ，所以 1 11 1
tx y t t
，
所以 1 9 1 9 91 9 10 2 9 16y xx yx y x y x y
，
当且仅当 9y x
x y
，即
1
4
3
4
x
y
时，等号成立．故选 A．
6．“ 4 4x x
”是“ 1
2x ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【试题来源】河南省八市全国百强名校“领军考试”联考 2020-2021 年第一学期高三（理）
【答案】B
【解析】当 4 4x x
时，得 0x ，充分性不成立；
当 1
2x 时，由均值不等式可得 4 42 4x xx x
，当且仅当 2x 时取等号，
必要性成立，故“ 4 4x x
”是“ 1
2x ”的必要不充分条件．故选 B．
7．若正数 x，y 满足 x+3y=5xy，则 3x+4y 的最小值是
A． 24
5 B． 28
5
C．5 D．6
【试题来源】2020 届新疆库车县乌尊镇中学高三上学期月考（理）
【答案】C
【解析】由已知可得 3 1 15 5x y
，
则 3 1 9 4 12 3 13 123 4 ( )(3 4 ) 55 5 5 5 5 5 5 5
y xx y x yx y x y
，
所以3 4x y 的最小值5，故选 C．
8．五一期间小红父母决定自驾汽车匀速到北京自驾游，全段路程1200km ，速度 v 不能超
过120km / h ，而汽车每小时的运输成本为 21 20050 v 元，为全程运输成本最小，则汽车
的行驶速度为
A． 90km / h B．100km / h
C．110km / h D．120km / h
【试题来源】北京市 2020 届高三数学高考考前冲刺模拟试题
【答案】B
【解析】由题可得汽车全程运输成本
21200 240000 24000024 2 24 481 2 000050y v vv v vv
，
当且仅当 24000024v v
即 100v 时， y 最小．故选 B．
9．已知 2 1( 0, 0)a b a b ，则 2 1b
a b
的最小值等于
A．3+ 2 2 B． 2 2 2
C．3 D． 2 2 1
【试题来源】江苏省镇江市丹阳市吕叔湘中学 2020-2021 学年高三上学期 11 月教学调研
【答案】B
【解析】因为 2 1( 0, 0)a b a b ，所以 1 2 0a b ，则 10 2b ，
所以 2 1 2 1 2 1 1 1 111 2 1 2 1 2
1b b b
a b b b b b b b
1 2 1 2 2 1 21 1 2 2 1 1 2 21 2
1
1 2 1 2
b b b bb bb b b b b b
2 1 22 2 2 2 21 2
b b
b b
，当且仅当 2 1 2
1 2
b b
b b
，即 21 2b = - 时，
等号成立；故选 B．
10．已知 0, 0, 6m n m n ，则 2 8
m n
的最小值是
A． 4 2 B．4
C． 6 D．3
【试题来源】广东省 2021 届高三上学期第二次联考
【答案】D
【解析】因为 0m ， 0n ， 6m n ，
所以 2 8 1 2 8 1 2 8( )( ) (10 ) 36 6
n mm nm n m n m n
，
当且仅当 2n
m
8m
n
，即 2m ， 4n 时取等号．故选 D．
11．设 a，b R ，且 0a b ，则
A． 1 1
a b
B． b a
a b
C．
2
a b ab D． 2b a
a b
【试题来源】北京市海淀区 2021 届高三上学期期中考
【答案】D
【解析】 0a b Q ， 1 1
a b
，故 A 错；
0a b Q ， 2 2a b ，即 2 2 0, 0b a ab ，
可得
2 2
0b a b a
a b ab
， b a
a b
，故 B 错；
0a b Q ， 02
a b ，而 0ab ，则
2
a b ab ，故 C 错；
0a b Q ， 0, 0b a
a b
， 2 2b a b a
a b a b
，等号取不到，故 D 正确；故选 D．
12．已知 0 0 4 2m n m n ， ， ，则 4 1
m n
的最小值为
A．36 B．16
C．8 D．4
【试题来源】福建省福州市八县（市）一中 2021 届高三上学期期中联考
【答案】C
【 解 析 】 0 0 4 2m n m n ， ， ，
4 1 1 4 1 1= 4 = 82
1
2
6m nm n m
n
m
m
n n
1 8 2 =82
16n m
m n
， 当且 仅当
16 =n
m
m
n
时即 11, 4m n 时等号成立，故 4 1
m n
的最小值为 8．故选 C．
13．函数 3( ) 1
xf x x
的最大值是
A． 1
4 B． 1
2
C． 2
2
D．1
【试题来源】山西省大同市 2021 届高三上学期期中质量检测（理）
【答案】A
【解析】令 3 ( 0)x t t
，则 2 3x t ，
求函数 3( ) 1
xf x x
的最大值可化为 2( ) 4
tg t t
， 0t 时， (0) 0g
0t ，有 2
1 1 10 ( ) 44 442
tg t t t tt t
，当且仅当 2t 时“ ”成立，
综上， 10 ( ) 4g t ， 3( ) 1
xf x x
的最大值为 1
4
，故选 A．
14．已知实数 a ，b 满足 ln ln ln 3a b a b ，则 a b的最小值为
A．2 B．4
C．2 D．6
【试题来源】“皖赣联考”2021 届高三第一学期第三次考试 （理）
【答案】D
【解析】依题意 ln ln ln ln 3a b ab a b
由已知得 3ab a b ，即 1 1 4a b ，
1 1 2 2 1 1 2 6a b a b a b ，
当且仅当 1 1a b ，即 3a b 时取等号．故选 D．
15．《几何原本》卷 2 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理
问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称
之为无字证明．现有如图所示图形，点 F 在半圆O 上，点C 在直径 AB 上，且OF AB ，
设 AC a ， BC b ，则该图形可以完成的无字证明为
A． ( 0, 0)2
a b ab a b B． 2 2 2 ( 0, 0)a b ab a b
C． 2 ( 0, 0)ab ab a ba b
D．
2 2
( 0, 0)2 2
a b a b a b
【试题来源】2021 届高考数学复习（理）一轮讲练测
【答案】D
【解析】由 AC＝a，BC＝b，可得圆 O 的半径 r＝
2
a b ，
又 OC＝OB－BC＝
2
a b －b＝
2
a b ，
则 FC2＝OC2＋OF2＝
2( )
4
a b ＋
2( )
4
a b ＝
2 2
2
a b ，
再根据题图知 FO≤FC，即
2
a b ≤
2 2
2
a b ，当且仅当 a＝b 时取等号．故选 D．
16．已知 , ,x y z 都是正数，且 1x y z xyz
， ( )( )x y y z 的最小值
A．1 B． 2
C．3 D． 4
【试题来源】浙江省 2020-2021 学年高三上学期 11 月期中
【答案】B
【解析】 ( )( )x y y z 2xy y xz yz y x y z xz
1 1 12 2y xz xz xzxyz xz xz
，当且仅当 1 , 1xz xzxz
时等号成立．故选 B．
17．若 0mn ， 3m n ，则 1 4
m n
的最小值为
A．2 B．6
C．9 D．3
【试题来源】河北省沧州市七校联盟 2021 届高三上学期期中
【答案】D
【解析】因为 0mn ， 3m n ，
所以 1 4 1 1 4 1 4( ) 53 3
n mm nm n m n m n
1 45 2 33
n m
m n
．
当且仅当 4n m
m n
，即 1m ， 2n 时取等号．故选 D．
18．已知函数
2 , 1
4 3, 1
x x
f x
x xx
，则 f x 的值域是
A． 1, B． 0,
C． 1, D． 0,1 1,U
【试题来源】新疆呼图壁县第一中学 2021 届高三上学期第二次月考（理）
【答案】B
【分析】考虑 1x 和 1x 两种情况，根据二次函数性质结合均值不等式计算得到答案．
【解析】当 1x 时， 2 0,y x ；
当 1x 时， 4 3 2 4 3 1y x x
，当 2x 时等号成立．
故函数值域为 0, ．故选 B．
19．在 ABC 中，内角 A，B ，C 所对应的边分别为 a ，b ，c ，且 sin 2 sin 0a B b A ，
若 2a c ，则边b 的最小值为
A． 2 B．3 3
C．2 D． 3
【试题来源】江西省南昌市新建县第一中学 2021 届高三第一次月考（文）
【答案】D
【解析】根据 sin2 sin 0a B b A 由正弦定理可得sin sin2 sin sin 0A B B A ，
即 2sin sin cos sin sin 0A B B B A ， sin 0,sin 0A B ， 1cos 2B ， 2
3B ，
由余弦定理可得 22 2 2 2 22 cos 4b a c ac B a c ac a c ac ac ．
2 2a c ac ， 1ac ． 2 4 3b ac ，即 3b ，
故边b 的最小值为 3 ．故选 D．
20．若 1a ，设函数 4xf x a x 的零点为 , log 4am g x x x 的零点为 n ，则
1 1
m n
的取值范围是
A． 7 ,2
B． 1,
C． 4, D． 9 ,2
【试题来源】四川省射洪中学校 2020-2021 学年高三上学期第二次月考（理）
【答案】B
【解析】函数 ( ) 4xf x a x 的零点是函数 xy a 与函数 4y x 图象交点 A的横坐标，
函数 ( ) log 4ag x x x 的零点是函数 logay x 与函数 4y x 图象交点 B 的横坐标，
由于指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于直线 y x 对称，
直线 4y x 与直线 y x 垂直，故直线 4y x 与直线 y x 的交点 (2,2) 即是 A，B 的
中点， 4m n ， 1 1 1 1 1 1( )( ) (2 ) 14 4
m nm nm n m n n m
，
当 2m n 等号成立，而 4m n ，故 1 1 1m n
，
故所求的取值范围是[1， ) ．故选 B．
21．已知正数 a 、b 满足 1 2 3a b
，则 1 2a b 的最小值是
A．16
3 B． 50
9
C． 49
9 D． 6
【试题来源】 2020-2021 学年高三上学期第二次质检
【答案】B
【解析】 1 2 3a b
， 2 1 3 13 a
b a a
， 2
3 1
ab a
，
由于 a 、b 为正数，则 2 03 1
a
a
且 0a ，可得 1
3a ．
28 2 12 8 6 21 2 1 23 1 3 1 3 1
a aa a aa b a a a a
，
令 3 1 0t a ，可得 1
3
ta ，
所以，
28 6 2 1 81 2 8 343 1 9
a aa b ta t
1 8 502 8 349 9t t
．
当且仅当 1t 时，即当 2
3a 时，等号成立，因此， 1 2a b 的最小值为 50
9
．故选 B．
22．已知 0x ， 0y ， lg 4 lg 2 lg8x y ，则 1 4
2x y
的最小值是．
A．3 B． 9
4
C． 46
15 D．9
【试题来源】江苏省淮安市五校 2020-2021 学年高三上学期第一次联考
【答案】A
【解析】 0x > ， 0y ， 4 2 8x ylg lg lg ，所以 4 2 8x y ，即 2 3x y ，
则 1 4 1 1 4 1 8 1 82 5 5 22 3 2 3 2 3 2
y x y xx yx y x y x y x y
3 ，
当且仅当 8
2
y x
x y
且 2 3x y 即 1
2x ， 2y 时取等号，
则 1 4
2x y
的最小值是 3．故选 A．
23．某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理 300 吨垃圾，
最多要处理 600 吨垃圾，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示
为 21 300 800002y x x ，为使每吨的平均．．．．．处理成本最低，该厂每月处理量应为
A．300 吨 B．400 吨
C．500 吨 D．600 吨
【试题来源】湖北省宜昌市 2019-2020 学年高三上学期元月调研考试（文）
【答案】B
【解析】由题意，月处理成本（元）与月处理量（吨）的函数关系为 21 300 800002y x x ，
所以平均处理成本为
21 300 80000 800002 3002
x xy xs x x x
，其中 300 600x ，
又由 80000 80000300 2 300 400 300 1002 2
x x
x x
，
当且仅当 80000
2
x
x
时，即 400x 时，每吨的平均处理成本最低．故选 B．
24．已知 0a ， 0b ，若 4a b ，则
A． 2 2a b 有最小值 B． ab 有最小值
C． 1 1
a b
有最大值 D． 1
a b
有最大值
【试题来源】上海市交通大学附属中学 2021 届高三上学期 10 月月考
【答案】A
【解析】由题意，可知 a 0 ， b 0 ，且 a b 4 ，
因为 0, 0a b ，则 2a b ab ，即 2( ) 42
a bab ，
所以 22 2a b a b 2ab 16 2ab 16 2 4 8 ，
当且仅当 2a b 时，等号成立，取得最小值8 ，故选 A．
25．甲、乙两班在我校举行的“勿忘国耻，振兴中华”合唱比赛中，7 位评委的评分情况如茎
叶图所示，其中甲班成绩的中位数是 81，乙班成绩的平均数是 86，若正实数 a、b 满足：a，
G，b 成等差数列且 x，G，y 成等比数列，则 1 4
a b
的最小值为
A． 4
9 B．2
C．8 D． 9
4
【试题来源】广西 2021 届高三上学期数学（文）10 月份考试
【答案】D
【解析】由于甲班成绩的中位数是81，乙班成绩的平均数是86 ，结合茎叶图可知， 1x ，
76 80 82 80 91 93 96 867
y ，解得 4y ．由于正实数 a、b 满足：a，G，b
成等差数列且 x，G，y 成等比数列，所以 2
2G a b
G xy
，即
2
4, 42
a b a b
．所以
1 4 1 1 4 1 4 1 4 1 95 5 2 5 44 4 4 4 4
a b a ba ba b a b b a b a
．故选 D．
26．已知 1F ， 2F 为双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的左右焦点，过 1F 的直线 l 与双曲线的左
右两支分别交于 A，B 两点，若 2ABF 为等边三角形，则 2
2
1b a
的最小值为
A． 6
3
B． 66 3
C． 6 2 6 D． 2 6
【试题来源】浙江省东阳中学 2021 届高三暑期第三次检测
【答案】D
【解析】由双曲线定义知 1 2 2BF BF a ，又 2BA BF ，故 1 2 ,AF a
由双曲线定义知 2 1 2AF AF a ，得 2 4AF a ，
在 1 2AF F△ 中， 1 2 1 2 1 2
22 , 4 , 2 , 3AF a AF a F F c F AF ，
由余弦定理得 2 2 2 22 2 4 2 2 4 cos 3c a a a a ，即 2 27c a ，
2 2 2 26b c a a ， 2 2
2 2
1 16 2 6b aa a
，
当且仅当 2
2
16a a
即 2 6
6a 时取等号．故选 D．
27．已知函数
1, 1
2 , 1x
mx x
f x
n x
，在 R 上单调递增，则 mn 的最大值为
A．2 B．1
C． 9
4 D． 1
4
【试题来源】江苏省无锡市 2020-2021 学年高三上学期期中
【答案】D
【解析】由题意可知，函数在 R 上单调递增，则
0
2 1
1 2
m
n
m n
，解得
0
1
1
m
n
m n
，
则由基本不等式可得
2 21 1
2 2 4
m nmn
，当且仅当 m=n= 1
2
时取等号．故选 D．
28．若向量 1,2a x
r ， 4,b y 相互垂直，则9 3x y 的最小值为
A．6 B． 2 3
C．3 2 D．12
【试题来源】陕西省咸阳市高新一中 2020-2021 学年高三上学期第三次质量检测（理）
【答案】A
【解析】因为 a b ，所以 0a b ，即 4 1 2 0x y ，所以 2 2x y ．
则 2 2 2 29 3 3 3 2 3 3 2 3 2 3 6x y x y x y x y ，
当且仅当 23 3x y ， 2 1x y 取等号，所以最小值为 6，故选 A．
29．已知函数 ( ) |lg |, , ( ) ( )f x x a b f a f b ，且 3 3a b m 恒成立，那么 m 的最大值
等于
A．8 B． 2 3
C． 3 D．2
【试题来源】北京师范大学第二附属中学 2021 届高三 10 月月考
【答案】D
【解析】 ( ) | lg |f x x 的定义域为 (0, ) ，所以 0a b ，
由 ( ) ( )f a f b 得| lg | | lg |a b ，得 lg lga b 或 lg lga b ，
因为 a b ，所以 lg lga b ，所以 lg lga b ，即 lg lg 0a b ，则 lg( ) 0ab ， 1ab ，
即 1b a
，所以 3 3 3 3
3 3
1 12 2a b a aa a
，当且仅当 1a 时，等号成立，
而当 1a 时， 1 1b a
，与 a b 矛盾，所以基本不等式中的等号取不到，
所以 3 3 2a b ，所以由 3 3a b m 恒成立，可得 2m ，则 m 的最大值等于 2 ．故选 D．
30．已知
4 2
2
3 3
1
x xy x
，则 y 的最小值为
A．1 B． 2
C． 2 D．3
【试题来源】2021 年高考一轮数学（理）单元复习一遍过
【答案】D
【解析】令 2 1t x ，则 1t 且 2 1x t ，
所以
4 2 2 2
2
3 3 ( 1) 3( 1) 3 1 1 11
x x t t t ty tx t t t
．
因为 1t ，所以 1 12 2t tt t
，当且仅当 1t t
，即 1t 时，等号成立，
所以当 0x 时， y 取得最小值3．故选 D．
【名师点睛】解答本题的关键是换元和化简得到
4 2
2
3 3 1 11
x xy tx t
．对于高次或比
较复杂的式子，首先要注意观察，尝试换元，化复杂为简单，提高解题效率．
31．已知 0, 0, 1a b a b ，则下列不等式一定成立．．．．的是
A． b aa b B． b aa b
C． 1
2
a ba b D． 1a ba b
【试题来源】江苏省苏州市八校联盟 2020-2021 学年高三上学期 10 月第一次适应性检测
【答案】C
【解析】由题意 0 1a ， 0 1b ，所以函数 ,x xy a y b 均为单调递减函数．
而函数 ,a by x y x 在 0 ， 上均为增函数．
对于 A，当 a b 时， b a aa a b ，故 A 错误；
对于 B，当 a b 时， b a aa a b ，故 B 错误；
对于 C，由 aa a ， bb b ，
2
2 2
a b a b
，
所以 1
2a b ， 1
2
a ba b a b ，故 C 正确；
对于 D，取 1
4a b ，可得 2 1a ba b ，故 D 错误．故选 C．
32．若函数 21( ) ln 2f x x cx x 存在垂直于 y 轴的切线，又
3
3
log 0
, 0
x
g x
x a b x
，
且有 (1) 1g g ，则 a b c 的最小值为
A．1 B． 2
C． 2 1 D．3
【试题来源】四川省遂宁市 2021 届高三零诊考试（理）
【答案】D
【解析】由题意，函数 f x 的定义域为( )0,+¥ ，且 1( )f x c xx
，
因为函数 f x 存在垂直于 y 轴的切线，所以存在 0 0x ，使得 0 0
0
1( ) 0f x c xx
成立，
所以 0 0
0 0
1 12 2c x xx x
，当且仅当 0
0
1 xx
，即 0 1x 时，等号成立，
又 3
3(1) log 1 0 1g g g g a b ，所以 1a b ，
则 1 1 2 3a b c c ．故选 D．
33 ． 已 知 二 次 不 等 式 2 2 2 0 ,ax x b a b R 的 解 集 为 2x x a
， 则
2 2 2y a b a b 的最小值为．
A． 2 4 2 B． 2 4 2
C． 4 4 2 D． 4 4 2
【试题来源】中学生标准学术能力诊断性测试 THUSSAT2021 届高三诊断性测试 （文）（一）
【答案】C
【解析】因为二次不等式 2 2 2 0 ,ax x b a b R 的解集为 2x x a
，
所以 8 4 0
0
ab
a
，即 2ab ， 0, 0a b ，
所以 2 2 2a b ab ，当且 a b 时，等号成立，
所以 2 22 2 2 2 4 1 5y a b a b a b a b a b ，
所以当 2 2a b 时， y 最小，最小值为 4 4 2 ，故选 C．
34．某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当住第 n
层楼时，上下楼造成的不满意度为 n ，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此
随楼层升高，环境不满程度降低，设住第 n 层楼时，环境不满意程度为 8
n
，则此人应选
A．1 楼 B．2 楼
C．3 楼 D．4 楼
【试题来源】贵阳市 2021 届高三调研考试
【答案】C
【解析】由题意，可得总的不满意度为 8 82 4 2n nn n
，
当且仅当 8n n
，即 2 2 3n 时等号成立，所以选三楼．故选 C．
35．如图，某市一个圆形公园的中心为喷泉广场， A 为入口， B 为公园内紧贴围墙修建的
一 个 凉 亭 ， C 为 公 园 内 紧 贴 围 墙 修 建 的 公 厕 ， 已 知 300mAB ， 500mBC ，
120ABC ，计划在公园内 D 处紧贴围墙再修建一座凉亭，若要使得四条直线小路 AB ，
BC ， CD 和 DA 的总长度 L 最大，则 DC 的长度应为（凉亭和公厕的大小忽略不计）
A．500m B．700m
C． 700 3m D．1400 3 m3
【试题来源】百师联盟 2021 届一轮复习（二） 全国卷 III 理数试题
【答案】 B
【分析】连接 AC ，由余弦定理，在 ABC 中，求出 AC ；在 ACD△ 中，求出 AD 和 CD
的关系，利用基本不等式求出 AD CD 的最值即可．
【解析】连接 AC ，则由余弦定理可得
2 2 2 2 22 cos 300 500 2 300AC AB BC AB BC B 1500 4900002
，
所以 700AC ．因为四边形 ABCD 是该圆的内接四边形，所以 180 60D B ．
在 ACD△ 中， 2 2 2 2 cosAC AD CD AD CD D ，
即 2 2490000 AD CD AD CD ，所以 2490000 3AD CD AD CD ，
所以 23AD CD AD CD
2
490000 3 2
AD CD
，所以 1400AD CD ，
当且仅当 700AD CD 时等号成立，此时 L 取得最大值，故选 B．
36．在 ABC 中，点 D 是线段 BC 上任意一点（不包含端点），若 AD mAB nAC
uuur uuur uuur ，
则 1 4
m n
的最小值是
A．4 B．9
C．8 D．13
【试题来源】河南省部分重点高中 2020-2021 学年高三阶段性考试（四）（理）
【答案】B
【解析】因为点 D 是线段 BC 上任意一点（不包含端点），所以 0 1BD tBC t
uuur ，
则 AD AB BD AB
uuur uuur uuur uuur 1tBC AB t AC AB t AB t AC
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
，
因为 AD mAB nAC
uuur uuur uuur ，所以 1m t ， n t ，所以 1m n ．因为 0 1t ，
所以 0m ， 0n ，则 1 4 1 4 4 5 4 5 9m nm nm n m n n m
，当且仅当 1
3m ，
2
3n 时，等号成立．故选 B．
【名师点睛】注意当 A，B，C 三点共线时，若OA OB OC ，则必有 1 成立．
37．已知实数 a ，b 满足 ln ln ln 3a b a b ，则 a b的最小值为
A． 2 3 B．4
C． 2 5 D．6
【试题来源】【南昌新东方】江西师大附中 2020 年-2021 学年高三上学期 11 月期中数学（理）
【答案】D
【解析】由已知得 3ab a b ， 0, 0a b ，即 1 1 4a b ，
给 3ab a b 两边同除以 a ，得 31 b ba a
，
整理得， 1 3(1 ) 1ba a
，当 1a 时，右边=0 左边=4，所以 1a ，同理 1b ，
则 1 3a aba a
，所以 3 411 1
ab a a
，因为 0b ，所以 1a ，同理 1b ，
所以 1 1 2 2 1 1 2 6a b a b a b ，
当且仅当 3a b 时取等号．故选 D．
38．在 ABC 内角 A，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，若 3 cos sin sin 1 cosA B A B ，
6a c ，则 ABC 的面积的最大值为
A． 2 3 B． 3
C． 2 D． 2 2
【试题来源】河南省郑州市 2020-2021 学年度上学期高三二调考试（理）
【答案】D
【解析】在 ABC 内角 A， B ，C 的对边分别是 a ，b ， c ，
若 3 cos sin sin 1 cosA B A B ，
整理得3sin sin sin cos cos sin sin sinB A B A B A A C ，
利用正弦定理：3b a c ，由于 6a c ，整理得3 6b a c ，
所以解得 2b ．因为 6a c ，所以 6 2a c ac ，
整理可得 9ac ，（当且仅当 3a c 时等号成立），
所以 22 2 2 2 4 16cos 2 2
a c aca c b acB ac ac ac
．
所以 2 4sin 1 cos 2 16B B acac
，
所以 1 4 2 16 2 2 16 2 22ABCS ac ac acac
△ ，
当且仅当 3ac 时，等号成立．则 ABC 的面积的最大值为 2 2 ．故选 D．
39．已知正数 x，y 满足 1 2x y ，则 2x y 的最小值为
A．4 B．5
C．6 D．8
【试题来源】河南省九师联盟 2020-2021 学年高三第一学期 11 月质量检测（理）
【答案】B
【解析】由题意，得 0x ， 1y ．
法一： 2 2 1 1 2 2 1 1 5x y x y x y ，
当且仅当 2 1x y ，即 1x ， 3y 时， 2x y 的最小值为 5．
法二：由 1 2x y ，得 2
1x y
，
则 4 42 1 1 2 1 1 51 1x y y yy y
，
当且仅当 2 1x y ，即 1x ， 3y 时， 2x y 的最小值为 5．故选 B．
40 ． 已 知 f x
2 4 21
x x xx
， xg x a 1, 2a x ， 若 1 2,x ，
2 2,x 使得 1 2f x g x ，则实数 a 的取值范围是
A． 3 5a B．1 2a
C．1 3a D．1 5a
【试题来源】四川省眉山市仁寿一中南校区 2020-2021 学年高三上学期第二次调考（理）
【答案】D
【解析】
2 4
1
x xf x x
21 1 4
1
x x
x
4 41 1 2 1 1 51 1x xx x
，
取等号时 21 4x 且 2x ，即 3x ， 41 1 51f x x x
，
xg x a ，若 1a ，则 g x 为增函数，当 2x 时， 2g x a ，
1 2,x ， 2 2,x 使得 1 2f x g x ，
2 5
1
a
a
，解得1 5a ，
故实数 a 的取值范围为1, 5 ，故选 D．
【名师点睛】一般地，已知函数 , ,y f x x a b ， , ,y g x x c d ，则有：
若 1 ,x a b ， 2 ,x c d ，有 1 2f x g x ，则 f x 的值域是 g x 值域的子集．
41．已知 0a ， 0b ，直线 1l ： 4 1 0x a y ， 2l ： 2 2 0bx y ，且 1 2l l ，
则 1 1
1 2a b
的最小值为
A．2 B．4
C． 2
3 D． 4
5
【试题来源】江苏省南京市六校联合体 2020-2021 学年高三上学期 11 月联考
【答案】D
【解析】因为 1 2l l ，所以 2 4 0b a ，即 1 2 5a b ，
因为 0, 0a b ，所以 1 0,2 0a b ，
所以 1 1
1 2a b
1 1
1 2a b
1 1 25 a b 1 2 125 1 2
b a
a b
1 2 1 42 25 1 2 5
b a
a b
，当且仅当 3 5,2 4a b 时，等号成立．故选 D ．
42．l 是经过双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
焦点 F 且与实轴垂直的直线，A，B 是双曲线
C 的两个顶点，若在 l 上存在一点 P，使 45APB ，则双曲线离心率的最大值为
A． 2 B． 3
C．2 D．3
【试题来源】 2020-2021 学年高三上学期月考（三）
【答案】A
【解析】设点 ( , )P c m (不妨设 0m )，则有
2 2 2
2 2
tan tan 2tan( ) 11 tan tan 1
m m
PBF PAF amc a c aPBF PAF mPBF PAF m b
c a
，
所以 2
2 1a
bm m
有解．即
2
2bm am
有解，又
2
2bm bm
，所以 2 2a b ．
故1 2e ．故选 A．
43．已知 0x ， 0y ，且 1 2 1x y
，则 xy x y 的最小值为
A． 6 5 3 B． 7 4 3
C． 6 4 3 D． 7 5 3
【试题来源】江西省部分省级示范性重点中学教科研协作体 2021 届高三统一联合考试（理）
【答案】B
【解析】由 1 2 1x y
可得出 2
1
xy x
，再由 0x ， 0y 可得出 1x ，
22 2 1 1 2 1 12 2 43 41 1 1 1 1
x xx xxy x y x x xx x x x x
4 43 1 7 2 3 1 7 7 4 31 1x xx x
，
当且仅当
3 2 3
3
2 3
x
y
时，等号成立，因此， xy x y 的最小值为 7 4 3 ．故选 B．
44．四面体 ABCD 中， , , 2AB BC CD BC BC ，且异面直线 AB 与 CD 所成的角为
60 ．若四面体 ABCD 的外接球半径为 5 ，则四面体 ABCD 的体积的最大值为
A． 2 3 B． 4 3
C． 3
3
D． 3
6
【试题来源】浙江省绍兴市稽阳联谊学校 2020-2021 学年高三上学期 11 月联考
【答案】A
【分析】构建直三棱柱 ABE FCD ，利用正弦定理得到 ABE△ 的外接圆半径，从而得到
AE，再利用等体积法将 A BCDV 转化为 D ABEV ，结合基本不等式及余弦定理得到 ABE△ 面
积的最大值即可得到答案．
【解析】构建直三棱柱 ABE FCD ，设 ,G H 分别为 ,ABE CDF△ △ 的外心，连接 GH ，
取其中点O ，则O 为直三棱柱 ABE CDF 的外接球的球心，也为四面体 ABCD 的外接球
的球心，因为异面直线 AB 与 CD 所成的角为 60 ，所以 60ABE ．
设三棱柱底面 ABE△ 的外接圆半径为 r ，则 5 1 2r ， 2 sin 60 2 3AE r ，再
由余弦定理， 2 2 2 2 22 cos60 12AE AB BE AB BE AB BE AB BE ，
所以 2 212 2AB BE AB BE AB BE AB BE AB BE ，
即 12AB BE ，当且仅当 2 3AB BE 时，等号成立，
所以 1 1 3sin60 2 33 2 6A BCD A DBE D ABEV V V AB BE DE AB BE ，
故四面体 ABCD 的体积的最大值为 2 3 ．故选 A．
45．设 0a b c ，则
2 21 12 10 25a ac cab a a b
取得最小值时， a 的值为
A． 2 B．2
C．4 D． 2 5
【试题来源】河南省南阳市 2020-2021 学年高三期中质量评估 （理）
【答案】A
【解析】
2 21 12 10 25a ac cab a a b
2 21 1 ( ) ( ) 2 10 25( )ab a a b ab a a b a ac cab a a b
2 21 1 ( ) 10 25( )ab a a b a ac cab a a b
21 1 ( ) ( 5 )( )ab a a b a cab a a b
1 12 2 ( ) 0 4( )ab a a bab a a b
，
当且仅当
1
( ) 1
5
ab
a a b
a c
，即 2a ， 2
2b ， 2
5c 时，等号成立．故选 A．
二、填空题
1．函数 4 ( 1)1y x xx
的最小值为_________．
【试题来源】北京市丰台区 2021 届高三上学期期中练习
【答案】5
【解析】 1x Q ， 1 0x ， 4 41 1 2 1 1 51 1y x xx x
，
当 3x 时，等号成立．所以函数 4 ( 1)1y x xx
的最小值为5．故答案为5．
2．已知正数 ,x y 满足 3 4 1y x
，则 3x y 的最小值为_________．
【试题来源】陕西省渭南市大荔中学 2020-2021 学年高三上学期第二次质量检测（文）
【答案】25
【解析】 正数 ,x y 满足 3 4 1y x
，
3 4 3 12 3 123 3 13 2 13 2 12 13 25x y x yx y x y y x y x y x
，
当且仅当 3 12x y
y x
，即 10, 5x y 时等号成立， 3x y 的最小值为 25．故答案为 25．
3．已知 0x ， 0y 且 1 9 1x y
，求 x y 的最小值为_________．
【试题来源】广东省、珠海一中、金山中学三校 2021 届高三上学期 11 月联考
【答案】16
【解析】 0x > ， 0y 且 1 9 1x y
，
1 9 9 910 10 2 16x y x yx y x y x y y x y x
（ 当 且 仅 当 9x y
y x
， 即
3y x 时取等号）， min 16x y ．故答案为16 ．
【名师点睛】本题考查利用基本不等式求最值的问题，解题关键是能够灵活利用已知条件中
“1”的等式，将所求项配凑成符合基本不等式的形式．
4．在三角形 ABC 中， 5BC ， 12AC ， 13AB ，在边 AB ， AC 上分别取点 D ， E
满足线段 DE 将三角形 ABC 分为面积相等的两个部分，则这样的 DE 的长度的最小值为
_________．
【试题来源】江西省部分省级示范性重点中学教科研协作体 2021 届高三统一联合考试（理）
【答案】 2 3
【解析】因为三角形 ABC 为直角三角形，过 D 作 DF AC 于 F ，设 DF x
则 DF AF
BC AC
即 12
5 12 5
x AF xAF ，
1 1 30152 2ADE ABCS AE x S AE x
，
30 12
5
xEF AE AF x
，
2 2
2 2 2 2
2
30 12 169 900 144 125 25
x xDE DF EF x x x
，
2DE 的最小值是 12， DE 的最小值是 2 3 ．故答案为 2 3 ．
5．设等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 0na ， 3 3S ，则 2a 的取值范围为_________．
【试题来源】浙江省台州市第一中学 2020-2021 学年高三上学期期中
【答案】 (0,1]
【解析】设等比数列 na 的公比为 , 0q q ，
则 3 1 2 3 2
1 1 3S a a a a q q
，所以 2
3
1 1
a
q q
，
因为 1 11 2 1 3q qq q
，当且仅当 1q 时，等号成立，
所以
3 11 1q q
，所以 2 (0,1]a ．故答案为 (0,1]．
6．已知正实数 x，y 满足 x＋y＝1，则 2y
x xy
的最小值为_________．
【试题来源】江苏省泰州市 2020-2021 学年高三上学期期中
【答案】 4 2 6
【解析】由题意因为 1x y ，所以
22 2 2 2y y yx y yx xy x xy x y x
，
2 2 22 2 2 2 41 1
y y y y x yy x yy y x y y x
2 2 2 2 3 24 4 4 2 6 41
y x y y x y y x
y y x x y x x y
，当且仅当 3 2y x
x y
，
即 3 6, 6 2x y 时等号成立，故答案为 2 6 4 ．
7．已知 x>0，y>0，且 x+3y=xy，若 t2﹣t≤x+3y 恒成立，则实数 t 的取值范围是_________．
【试题来源】江苏省淮安市高中校协作体 2020-2021 学年高三上学期期中
【答案】 3,4
【解析】因为 3x y xy ，所以 3 1 1x y
，
所以 3 1 9 93 ( 3 ) 6 6 2 12y x y xx y x y x y x y x y
，
当且仅当 6, 2x y 时，等号成立，因为 2 3t t x y 恒成立，
即 2 12t t ，解得 3 4t ．所以实数 t 的取值范围是 3,4 ．故答案为 3,4 ．
8．已知正实数 ,a b 满足 1 2 1a b
，则 ( 1)( 2)a b 的最小值为_________．
【试题来源】浙江省绍兴市稽阳联谊学校 2020-2021 学年高三上学期 11 月联考
【答案】18
【解析】因为 1 2 1a b
，则 2a b ab ，
所以 ( 1)( 2) 2 2 2(2 ) 2a b a b ab a b 1 22(2 )( ) 2a b a b
4 42(4 ) 2 2(4 2 ) 2 18b a b a
a b a b
，
当且仅当 2b a ，即 2, 4a b 取等号．故答案为 18
9．在 ABC 中，点 F 为线段 BC 上任一点（不含端点），若 2 0, 0AF xAB yAC x y ，
则 1 2
x y
的最小值为_________．
【试题来源】福建省平和县第一中学 2021 届高三上学期期中考试
【答案】8
【解析】因为 2 0, 0AF xAB yAC x y ，且点 F 在线段 BC 上，
则 2 1x y ，且 0, 0x y ，
则 1 2 1 2 42 4 4 4 8y xx yx y x y x y
，当且仅当 1 1,4 2x y 时等号成立．
故答案为 8．
10．若点 2,1A 在直线 1 0mx ny 上，且 0m ， 0n ．则 1 1
m n
的取值范围为
_________．
【试题来源】山东省德州市 2020-2021 学年高三上学期期中考试
【答案】 3 2 2,
【解析】因为点 2,1A 在直线 1 0mx ny 上，所以 2 1m n ．
因为 0m ， 0n ，
所以 1 1 1 1 2 22 3 3 2 3 2 2m n m nm nm n m n n m n m
．
当且仅当 2m n
n m
，即 21 2m ， 2 1n 时取等号．
故 1 1
m n
的取值范围为 3 2 2, ．故答案为 3 2 2, ．
11．已知 A、B、P 是直线 l 上三个相异的点，平面内的点 O l ，若正实数 x、y 满足
4 2OP xOA yOB
uuur uur uuur ，则 1 1
x y
的最小值为_________．
【试题来源】备战 2021 年高考数学（文）一轮复习易错题
【答案】 3 2+4 2
【解析】因为 A、B、P 是直线上三个相异的点，4 2OP xOA yOB
uuur uur uuur ，即
2 4
x yOP OA OB
uuur uur uuur
，
所以 12 4
x y ， 1 1 1 1
2 4
x y
x y x y
3
4 4 2
y x
x y
3 24 4 2
y x
x y
3 2
4 2
，
当且仅当
4 2
y x
x y
，即 4 2 2x ， 4 2 4y 时取等号，故答案为 3 2+4 2
．
12 ． 定 义 ,
,
a a ba b b a b
， 若 , 0x y ， 则
2 2
2 2
4 16
16
xy y x xy
x y
的 最 小 值
_________．
【试题来源】浙江省 2020-2021 学年高三上学期 11 月期中
【答案】 9
4
【解析】令 yt x
，则
2
2
2
4 4xy y t tx
在 0, 为增函数，
2
2 2
16 1 1
16 16
x xy
y t t
在在 0, 为减函数， 从而 2
2
1 1 1 942 16 4t t t t
，
当且仅当 1
2t 时取等号．故答案为 9
4
．
13．已知首项与公比相等且不为 1 的等比数列 na 中，若 *,m nN ，满足 2 2
6m na a a ，则
2 1
m n
的最小值为_________．
【试题来源】天津市经济技术开发区第一中学 2020-2021 学年高三上学期期中
【答案】 2
3
【分析】将 2 2
6m na a a 写成等比数列基本量 1a 和 q的形式，结合 1a q 可得 2 12m n ，
从而利用 2 1 1 2 1 212 m nm n m n
，展开后使用基本不等式即得结果．
【解析】设等比数列 na 公比为 q，则首项 1a q ，
由 2 2
6m na a a 得 2 21 1 5
1 1 1
m na q a q a q ，则： 2 12m nq q 2 12m n ．
2 1 1 2 1 1 4 1 42 2 2 412 12 12
n m n mm nm n m n m n m n
*,m n N 4 0, 0n m
m n
则 4 42 4n m n m
m n m n
（当且仅当 4n m
m n
，即 2n m 时取等号），即
min
4 4n m
m n
，
min
2 1 1 24 412 3m n
．故答案为 2
3
．
14．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，E，F 分别为 BC，CD 的动点，且 2BE CF ，设
AC xAE yAF x y R ， ，则 x y 的最大值是_________．
【试题来源】浙江省杭州市桐庐分水高级中学 2020-2021 学年高三上学期期中
【答案】 2 1
2
【分析】设 CF a ，建立直角坐标系，求得 , ,AC AE AF
的坐标，根据题设用 a 表示出 x y ，
再利用函数的性质，即可求解．
【解析】建立如图所示的直角坐标系，其边长为 2， CF a ，
则 (0,0), (2,2), (2,2 ), (2 ,2)A C E a F a ，所以 (2,2), (2,2 ), (2 ,2)AC AE a AF a ，
由 ,( , )AC xAE yAF x y R ， 得 2 (2 ) 2
2 2 2
x a y
ax y
， 解 得
2 2
2 2, (2 2 2 2 2 2
a ax ya a a a
其中 0 1)a ，
所以 2
2
2 2 2
ax y a a
，
令 2 [1,2]t a ， 则 2
1 1 2 1
22 2 22 2 22
tx y t t t t
， 当 且 仅 当
2t 时，即 2 2a 时取等号，所以 x y 的最大值为 2 1
2
．故答案为 2 1
2
．
15．若正实数 ,x y 满足 2 9xy x y ，则 2x y 的最小值为_________．
【试题来源】湖北省部分重点中学 2020-2021 学年高三上学期第一次联考
【答案】 2 3
【 分 析 】 根 据 2 2 3 9 0x y xy ， 利 用 一 元 二 次 方 程 的 解 法 结 合 0x ， 得 到
2
2
1 36
2 2
yx y y
，进而得到 2
2
362x y y y
，利用基本不等式求解．
【解析】因为正实数 ,x y 满足 2 9xy x y ，所以 2 2 3 9 0x y xy ，
解得
3 6 2
2
2 2
36 1 36
2 2 2
y y y yx yy y
，
因为 0x ，所以 2
2
1 36
2 2
yx y y
，
所以 2 2
2 2
36 362 2 2 3x y y yy y
，当且仅当 63 , 62x y ，取等号，
所以 2x y 的最小值为 2 3 ，故答案为 2 3 ．
三、双空题
1．已知 ,a b 均为正实数，且 1a b ，则
28 1a
ab
的最小值为_________，此时 a 的值为
_________．
【试题来源】天津市八校 2020-2021 学年高三上学期期中联考
【答案】8 1
4
【解析】因为 ,a b 均为正实数，且 1a b ，所以 2 1a b ，
所以
2 2 2 2 2 2 2 28 1 8 ( ) 8 2 9 2a a a b a a ab b a b
ab ab ab ab
9 92 2 2 8a b a b
b a b a
，当且仅当 9a b
b a
，即 1 3,4 4a b 时取等号，
所以
28 1a
ab
的最小值为 8，故答案为 8； 1
4
2．已知二次函数 2y a bx c ( a ，b ，c 均为正数)过点 1,1 ，值域为 0, ，则 ac 的
最大值为_________；实数 满足1 b a ，则 取值范围为_________．
【试题来源】江苏省南通市如皋市 2020-2021 学年高三上学期期中
【答案】 1
16 2 2,
【解析】因为二次函数 2y a bx c ( a ，b ， c 均为正数)过点 1,1 ，
1( 0, 0, 0)b c aa b c ， 开口向上且值域为 0, ， 2 4 0b ac ，
2 ab c ， 2 1b c a ac ca ， 2( ) 1a c ， 1a c ，
1 2a c a c
，即 1
2ac ，当且仅当 1
4a c 时等号成立．
1 ,4ac 即 1
16ac ，当且仅当 1
4a c 时等号成立，
ac 的最大值为 1
16 (当且仅当 1
4a c 时最大)，
21 (1 ) 2 2 1a b a c a a a a ，
1 12 2 2 2a a
a a
，
2 2 1 1 1 a c a a b ，即 2 2 0a a ， 0a a ，
1 0, 0 1a a a a a ， 0 1a ，
12 2 2 2 2 2a
a
，当且仅当 12 a
a
时，即 1
2a 时，等号成立．
又 0 a 时， 1
a
， 2 2, ，故答案为 1
16
； 2 2, ．
3．已知 ABC 中， 2AB AC ，则 BC 的取值范围是_________，若 AB AC ，则 BC
的最小值是_________．
【试题来源】 2020-2021 学年高三上学期第一次模拟考试
【答案】 (0,2) 2
【解析】第一空： 0 2BC AB AC ；
第二空：若 AB AC ，则
2
2 2 ( ) 22
AB BCBC AB BC ，当 1AB AC 时
取等号．故答案为 (0,2) ； 2 ．
4．已知 1x ，则 4
1x x
的最小值为_________，此时 x 的值为_________．
【试题来源】北京市第七中学 2021 届高三上学期期中考试
【答案】5 3
【分析】先将 4
1x x
变形为 41 11x x
，再根据基本不等式求解即可．
【解析】因为 1x ，所以 1 0x ， 4 01x
，
所以 4 4 41 1 2 1 1 51 1 1x x xx x x
，
当且仅当 41 1x x
，即 3x 时等号成立．故答案为5；3．
5．如图，将一个圆柱 2n（n∈N*）等分切割，再重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，
当 n 越大，重新组合的几何体就越接近于一个“长方体”，若新几何体的表面积比圆柱的表面
积增加了 8，则圆柱的侧面积为_________，在满足前面条件且圆柱外接球表面积最小时，
它的外接球体积为_________．
【试题来源】陕西省榆林市 2020 届高三下学期第四次高考模拟（文）
【答案】8π 32
3
【解析】（1）由题知，表面积增加的部分为新“长方体”的左右两个侧面，设原圆柱的底面半
径为 r ，高为 h ，则可得 2 8rh ，所以圆柱的侧面积为 2 8rh ；
（2）设圆柱的外接球的半径为 R ，依题得 2 2 22 2R r h ，所以外接球的表面积
2 2 2 2 24 4 2 4 4 16S R r h r h rh ，
当且仅当 2r h 时， S 最小，此时 2R ，外接球的体积 34 32
3 3V R ．
故答案为（1）8π；（2） 32
3
．
6．已知递增等差数列{an}，其前 n 项和为 Sn， 2 2
8 53a a ，则当公差 d 的值为_________时，
S13 的最小值为_________．
【试题来源】广西桂林市广西师范大学附属 2021 届高三年级上学期数学第三次月考试题
【答案】1 13
【分析】由 2 2
8 53a a ，得 2 2
1 1( 7 ) 3 ( 4 )a d a d ，化简可得
2
1
1 11
2
da d
，从而可得
2
13
1 1113( 6 )2
dS dd
，然后利用基本不等式可得答案
【解析】设等差数列{an}的公差为 d （ 0d ），
因为 2 2
8 53a a ，所以 2 2
1 1( 7 ) 3 ( 4 )a d a d ，
所以 2 2 2 2
1 1 1 114 49 3 8 16a a d d a a d d ，化简得 2
12 11 1a d d ，
所以
2
1
1 11
2
da d
，所以 1 13 7
13 7 1
13( ) 13 2 13 13( 6 )2 2
a a aS a a d
21 1113( 6 )2
d dd
1 113( ) 13 2 132 2 2 2
d d
d d
，当且仅当 1
2 2
d
d
，即 1d 时
取等号，所以当公差 1d 时， 13S 有最小值 13，故答案为 1，13．
7．已知正实数满足 2 29 1 3x y xy ，则当 x _________时， 1 3 1
x y xy
取得最小值是
_________．
【试题来源】湖北省鄂西北五校（宜城一中、枣阳一中、襄州一中、曾都一中、南漳一中）
2020-2021 学年高三上学期期中
【答案】 1
3 9
【解析】因为 2 29 1 3x y xy ，所以1 3 6xy xy ，解得 1
3xy ，当且仅当 3 1x y ，
即 1 , 13x y 时，取等号，所以
2
21 3 1 1 3 1 1 1 12 2 3 3 3 3 3 3 9x y xy x y xy xy xy xy
，
所以 1 3 1
x y xy
的最小值是 9，故答案为 1
3
，9．
8．已知 0, 0, 1x y xy ，则 4x y 的最小值为_________，此时 x 的值为_________．
【试题来源】北京市朝阳区 2021 届高三上学期期中质量检测
【答案】 4 2
【解析】由 0, 0, 1x y xy ，可得 1y x
，
则 4 44 2 4x y x xx x
，当且仅当 4x x
时，即 12, 2x y 时等号成立，
所以 4x y 的最小值为 4 ，此时 2x ．故答案为 4 ， 2 ．
9．已知 0x ， 1y ，则 2x y
y x
的最小值是_________， 2 22 3 2x xy y y 最小值是
_________．
【试题来源】浙江省“数海漫游”2020-2021 学年高三上学期 8 月线上模拟考试
【答案】 2 2 0
【解析】已知 0x ， 1y ，则 2 22 2 2x y x y
y x y x
，
当且仅当 2x y
y x
，即 2x y 时取等号，所以 2x y
y x
的最小值是 2 2 ．
因为 22 22 3 2 2 1x xy y y x y y y ，且 0x ， 1y ，
所以当 1x y 时， 2 22 3 2x xy y y 有最小值 0．故答案为 2 2 ；0．
10．已知函数 3 21( ) 23f x ax x cx 在 R 上单调递增，且 4ac ，则 2 24 4
a c
c a
的
最小值为_________，
sin ins ac
xx 的最小值为_________．
【试题来源】江苏省苏州市新草桥中学 2020-2021 学年高三上学期 10 月月考
【答案】 1
2 5
【解析】因为 3 21( ) 23f x ax x cx 在 R 上单调递增，则 2 4 0f x ax x c ，
所以 0, =16 4 0a ac ，所以 4ac ，因为 4ac ，所以 4ac ，则 0c ，
所以
2
4 2
2 2 2 3
2
4 16
16 1 4 8
16 4 44 4 4 44 44 4
ca c c cc c cc a c cc c c cc c c
，
因为 4 42 4c cc c
，取等号时 2c ，
且函数 8g t t t
在 4, 上递增，所以 min 4 2g t g ，
所以 2 24 4
a c
c a
的最小值为 1 12=4 2
，取等号时 2a c ；
因为 4sin sinsin sinx
acx x x
，因为对勾函数 4h x x x
在 0,1 上单调递减，
所以 min 1 5h x h ，所以
sin ins ac
xx 的最小值为5，取等号时sin 1x ，
故答案为 1
2
；5．
微信/支付宝扫码支付