专题 06 函数及其性质的综合（客观题）
一、单选题
1．已知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数， 2 2f x f x ，且 2,0x 时，
2log 3 1f x x ，则 2021f
A．4 B． 2log 7
C．2 D．-2
【试题来源】安徽省六安市第一中学 2020-2021 学年高三上学期第二次月考（文）
【答案】D
【解析】因为 2 2f x f x ，所以函数 ( )f x 是周期为 4 的周期函数，
则 (2021) (505 4 1)f f f （1） 2 2( 1) log (3 1) log 4 2f ，故选 D．
2．下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是
A． x xf x e e B． 2 2x xf x
C． 1( )f x x
D． f x ln x
【试题来源】河北省张家口市 2021 届高三上学期第一次质量检测
【答案】A
【解析】对于 A 选项， x xf x e e 为奇函数，且在定义域内递增；
对于 B 选项， 2 2x xf x 为偶函数，不符合题意；
对于 C 选项， 1( )f x x
是奇函数，在 ,0 和 0, 上都递增，不符合题意；
对于 D 选项， f x ln x 为偶函数，不合符题意．故选 A．
3．已知函数 ( ) ( )f x x x a b ，若函数 ( 1)y f x 为偶函数，且 1 0f ，则 b 的值为
A．-2 B．-1
C．1 D．2
【试题来源】河北省衡水中学 2021 届高三上学期二调
【答案】C
【分析】由 ( 1)y f x 为偶函数，所以 ( )y f x 的对称轴为 1x ，再结合 1 0f ，
即可求得 ,a b 的值．
【解析】因为 ( 1)y f x 为偶函数，所以 ( )y f x 的对称轴为 1x ．
因为 1 0f ，所以 y f x 的顶点坐标为 (1,0) ．
由
2 2
2( ) 2 4
a af x x ax b x b
，得 12
(1) 1 0
a
f a b
，解得 2
1
a
b
，故选 C．
4．下列函数中，既是偶函数又在区间 (0, ) 上单调递增的是
A． 3y x B． ln | |y x
C． 2 xy D． 2 2y x x
【试题来源】北京市丰台区 2021 届高三上学期期中练习
【答案】B
【解析】因为 3y x 为奇函数，函数 2 xy 和函数 2 2y x x 不具有奇偶性，故排除 A，
C，D，又 ln | |y x 为偶函数且在 (0, ) 上递增，故 B 符合条件．故选 B．
5 ． 已 知 函 数 (x xf x e e e 为 自 然 对 数 的 底 数 ) ， 若
0.5
0.50.7 log 0.7a b ， ， 0.7log 5c ，则
A． f b f a f c B． f c f b f a
C． f c f a f b D． f a f b f c
【试题来源】江苏省泰州市姜堰中学、南通市如东中学、宿迁市沭阳如东中学 2020-2021 学
年高三上学期联考
【答案】D
【分析】先根据指数函数，对数函数的性质得 a b c ，再根据函数 x xf x e e 在 R
上单调递减求解．
【解析】因为 0.5
0.5 0.70.7 1 log 0.7 01 log 5 0a b c ， ，， ．所以 a b c ，
又函数 x xf x e e 在 R 上单调递减，所以 f a f b f c ，故选 D．
6．已知定义在 R 上的函数 ( )f x 是奇函数，且满足 3( ) ( )2f x f x ， ( 2) 2f ，则
( 31)f
A． 2 B．2
C． 3 D．3
【试题来源】江西省赣县第三中学 2021 届高三上学期期中适应性考试（文）
【答案】B
【解析】由题意，函数 f x 为 R 上的奇函数，可得 f x f x ，
又由 3( ) ( )2f x f x ，可得 3( )2f x f x ，
进而得到 ( 3)f x f x ，所以函数 f x 是以 3 为周期的周期函数，
则 ( 31) ( 31 3 11) (2)f f f ，又由 ( 2) 2f ，可得 (2) ( 2) 2f f ，
所以 ( 31) 2f ．故选 B．
7．下列函数中，既是偶函数，又在 ( ,0) 上单调递增的是
A． 2
1( ) log | 1|f x x
B． ( ) 2 | |f x x
C． 2( )f x x D． | |( ) 2 xf x
【试题来源】天津市第四十一中学 2020-2021 学年高三上学期 10 月质检
【答案】B
【解析】对于 A，定义域为 | 1x x 不关于原点对称， ( )f x 不为偶函数，故 A 错误；
对于 B， ( ) 2| | 2| | ( )f x x x f x ， ( )f x 为偶函数，且 0x 时， ( ) 2f x x 单调
递增，故 B 正确；
对于 C， ( )f x 为偶函数，但在 ( ,0) 上单调递减，故 C 错误；
对于 D， | |( ) 2 2 ( )x xf x f x ∣ ∣ ， ( )f x 为偶函数，当 0x 时， ( ) 2 xf x 单调递减，
故 D 错误．故选 B．
【名师点睛】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：（1）定义域关于原点
对 称 是 函 数 f x 为 奇 函 数 或 偶 函 数 的 必 要 非 充 分 条 件 ； (2 f x f x 或
f x f x 是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴
对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的
奇偶性．
8．下列函数中，是偶函数且在区间 (0, ) 上为增函数的是
A． 2lny x B． 3| |y x
C． 1y x x
D． cosy x
【试题来源】北京市海淀区 2021 届高三上学期期中考
【答案】B
【分析】根据奇偶性和单调性的定义逐个判断即可．
【解析】对于 A， 2lny x 的定义域为 (0, ) ，故不是偶函数，故 A 错误；
对于 B， 3f x x 的定义域为 R ，关于原点对称，且 3 3f x x x f x ，
3y x 是偶函数，且根据幂函数的性质可得在 (0, ) 上为增函数，故 B 正确；
对于 C， 1f x x x
的定义域为 0x x ，关于原点对称，
且 1 1f x x x f xx x
，故 1y x x
是奇函数，故 C 错误；
对于 D， cosy x 在 (0, ) 有增有减，故 D 错误．故选 B．
9．已知 f x 是 R 上的奇函数，当 0x 时， 1
2
logf x x ，则 0f x 的解集是
A． 1,0 B． 0,1
C． , 1 0,1 D． 1,0 0,1 U
【试题来源】北京市第四中学 2020-2021 学年高三上学期期中考试
【答案】C
【解析】 f x 是 R 上的奇函数，当 0x 时， 1
2
logf x x ，
令 0, 0x x ，则有 1
2
( ) log ( ) ( )f x x f x ，则当 0x 时， 1
2
( ) log ( )f x x ，
所以
1
2
1
2
log , 0
( ) 0, 0
log ( ), 0
x x
f x x
x x
，所以，当
1
2
log 0
0
x
x
或
1
2
log ( ) 0
0
x
x
，
解得 , 1 0,1x ．故选 C．
10．已知 f x 是定义在 R 上的奇函数，当 0x 时， 1xf x e ，若 26f a f a ，
则实数 a 的取值范围是
A． ( , 2) (3, ) B． 3,2
C． 2,3 D． ( , 3) (2, )
【试题来源】河北省张家口市 2021 届高三上学期第一次质量检测
【答案】C
【分析】先判断函数 ( ) 1xf x e 在 0, 上单调递增，再由函数奇偶性，得到 f x 在 R
上单调递增；将不等式 26 ( )f a f a 化为 26 a a 求解，即可得出结果．
【解析】因为当 0x 时， ( ) 1xf x e ，根据指数函数的性质，可得 xy e 是增函数，
所以 ( ) 1xf x e 在 0, 上单调递增，又 f x 是定义在 R 上的奇函数， 0 0f ，
所以 f x 在 ,0 上单调递增，因此 f x 在 R 上单调递增；
所以由 26 ( )f a f a ，得 26 a a 解得 2 3a ．故选 C．
11．下列函数中，是偶函数，且在区间 (0 + )， 上单调递增的为
A． 1y x
B． lny x
C． lgy x D． 1y x
【试题来源】北京市第七中学 2021 届高三上学期期中考试
【答案】B
【解析】y 1
x
为奇函数，不符合题意，
y＝ lny x 为偶函数，在区间 (0 + )， 单调递增，符合题意，
lgy x 定义域为（0，+∞），是非奇非偶函数，不符合题意，
1y x 是偶函数，且 x＞0 时，y＝1-x 单调递减，不符合题意．故选 B．
12．函数 ( )f x 的图象与曲线 2logy x 关于 x 轴对称，则 ( )f x
A． 2x B． 2x
C． 2log ( )x D． 2
1log x
【试题来源】北京市铁路第二中学 2021 届高三上学期期中考试
【答案】D
【解析】任取函数 ( )f x 上的一点 ,x y ，由函数 ( )f x 的图象与曲线 2logy x 关于 x 轴对
称，
则点 ,x y 关于 x 轴对称的点坐标为 ,x y ，又点 ,x y 在曲线 2logy x 上，
可得 2 2 2log log log 1y y xx x ，则 2
1logf x x
．故选 D．
13．已知定义在 R 上的函数 f x ，都有 1f x f x ，且函数 1f x 是奇函数，若
1 1
4 2f
，则 2019
4f
的值为
A． 1 B．1
C． 1
2
D． 1
2
【试题来源】湖北省鄂州高中 2020-2021 学年高三上学期 10 月质量检测
【答案】D
【解析】因为函数 1f x 是奇函数，所以 1 1f x f x ，
又 1f x f x ，所以 1f x f x ，所以 2 1 f x f x f x ，
所以函数 f x 的周期为 2，所以 2019 3 3 15044 4 4 4f f f f
．
因为 1 5 5 11 14 4 4 4f f ff
，
所以 1 11
4 4 2f f
，所以
2
2019
4
1f
．故选 D．
14．设函数 ( )f x 的定义域为 D，如果存在常数 ,m R 对任意 1 ,x D 都存在唯一的 2 ,x D
使得 1 2( ) ( )f x f x m 成立，那么称函数 ( )f x 在 D 上具有性质 P，现有函数：
① ( ) 3f x x ；② ( ) 3xf x ；③ 3( ) logf x x ；④ ( ) tanf x x ．
其中，在其定义域上具有性质 P 的函数的个数为
A．0 B．1
C．2 D．3
【试题来源】北京市第三十九中学 2021 届高三上学期期中考试
【答案】C
【解析】① ( ) 3f x x 的定义域为 R ，函数的值域为 R ，对任意 1x D ，都存在唯一的
2x D ，对于任意 m ， 1 2( ) ( )f x f x m ，恒成立，其定义域上具有性质 P 的函数．
② ( ) 3xf x 的定义域 R ，值域 0y ，对任意 1x R ，都存在唯一的 2x R ，使得
1 2( ) ( ) (f x f x m m 为常数）不恒成立，例如 1m ， 1 1x ，不存在唯一的 2x R ，故②
不是定义域上具有性质 P 的函数．
③ 3( ) logf x x 的定义域为{ | 0}x x ，函数的值域是 R ，而且是单调增函数，所以对任意
1x D ，都存在唯一的 2x D ，
对于任意 m ， 1 2( ) ( )f x f x m ，恒成立，其定义域上具有性质 P 的函数．
④ ( ) tanf x x 的定义域为 R ，值域是 R ，不是单调函数，是周期函数，对任意 1x R ，
都存在的 2x R ，使得 1 2( ) ( ) (f x f x m m 为常数），恒成立，但是 2x 不唯一，所以在其定
义域上不具有性质 P 的函数故选C ．
15．对于定义在 R 上的奇函数 ( )f x ，满足 ( 2) ( )f x f x ，则 (1) (2) (3)f f f
A．0 B．－1
C．3 D．2
【试题来源】安徽省马鞍山市和县第二中学 2020-2021 学年高三上学期第一次月考（文）
【答案】A
【解析】因为 ( )f x 是定义在 R 上奇函数，所以有 ( ) ( ), (0) 0f x f x f ，
因为 ( 2) ( )f x f x ，所以 (0 2) ( 0) (2) (0) 0f f f f ，
(1 2) ( 1) 1f f f ，所以 (1)+ (3) 0f f ，
所以 (1) (2) (3) 0+0 0f f f ．故选 A．
16．已知定义在 R 上的奇函数 f(x)有 5 ( ) 02f x f x
，当 5
4
≤x≤0 时，f(x)＝2x＋a，
则 f(16)的值为
A． 1
2 B．－ 1
2
C． 3
2 D．－ 3
2
【试题来源】河南省 2020-2021 学年高三上学期 10 月月考（文）
【答案】A
【解析】定义在 R 上的奇函数 f(x)有 5 ( ) 02f x f x
，得 5( ) ( ) ( 5)2f x f x f x ，
( )f x 是以 5 为周期的周期函数， (16) (3 5 1) (1)f f f ，根据题意得，
0(0) 2 0f a ，得 1a ， 1 1(1) ( 1) 2 1 2f f ．故选 A．
17．若偶函数 ( )f x 满足 ( ) ( 1) 2020f x f x ， ( 2) 1f ，则 (2021)f
A． 2020 B． 1010
C．1010 D．2020
【试题来源】江苏省徐州市 2020-2021 学年高三上学期期中
【答案】A
【解析】根据题意得 2020( 1) ( )f x f x
，所以 20202 1f x f xf x
，即函数是以 2 为
周期的周期函数，由于函数是偶函数， ( 2) 1f ，所以 2 1f ，所以 1 2020f ，
所以 (2021) 2 1010 1 1 2020f f f ．故选 A．
18 ． 已 知 f x ， g x 分 别 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 与 偶 函 数 ， 若
cos 3f x g x x
，则
A．
2x 时， f x 取最大值 B．
2x 时， g x 取最大值
C． f x 在 0, 2
上单调递减 D． g x 在 0, 2
上单调递减
【试题来源】“皖赣联考”2021 届高三第一学期第三次考试 （文）
【答案】C
【分析】先利用函数的奇偶性求出 f x 和 g x ，再对选项一一判断即可．
【解析】已知 f x ， g x 分别是定义在 R 上的奇函数与偶函数，
由 cos 3f x g x x
①，得 cos 3f x g x x
，
即 cos 3f x g x x
②．
由①②解得 1 3cos cos sin2 3 3 2f x x x x
， 1 cos2g x x ．
对于 A：当
2x 时， f x 取最小值，故 A 错；
对于 B：当
2x 时， 0g x ，不是最大值，故 B 错；
对于 C： 3 sin2f xx 在 0, 2
上单调递减，故 C 正确；
对于 D： 1 cos2g x x 在 0, 2
上单调递增，故 D 错误．故选 C
19．已知函数 2( ) (2 )g x f x x 为奇函数，且 (2) 1f ，则 ( 2)f
A． 2 B． 1
C．1 D． 2
【试题来源】【市级联考】山西省 2019 届高三 3 月高考考前适应性测试（文）
【答案】C
【 解 析 】 因 为 1 2 1, 1 2 1g f g f ， 且 g x 是 奇 函 数 ， 所 以
1 1 0g g ，所以 2 1 2 1 0f f ，所以 2 2 2 1f f ，故选 C．
20．函数 y f x 是 R 上的奇函数，当 0x 时， 2xf x ，则当 0x 时， f x
A． 2x B． 2 x
C． 2x D． 2 x
【试题来源】河北省尚义县第一中学 2021 届高三上学期期中
【答案】D
【分析】首先设 0x ， 0x ，利用函数是奇函数，求 0x 时的 f x ．
【解析】设 0x ， 0x ， 2 xf x ， y f x 是奇函数， f x f x ，
即 2 xf x f x ．故选 D．
21．“天干地支纪年法”源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干为甲、乙、丙、
丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支为子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、
亥．“天干地支纪年法”是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在
后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，
以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”
重新开始，即“丙子”，…，以此类推．2020 年为“天干地支纪年法”的庚子年，在推算公元 x
年（ *xN ）所在的天干地支纪年的年份时，定义 f x 为 ( 2020) 60x 所得的非负余
数，则以下判断错误的为
A． f x 在[2020, ) 上不是单调函数 B． (225) 5f
C． (2020 ) (2020 ) 60f x f x D． ( ) ( )x y f x f y
【试题来源】2021 届高三高考必杀技之新定义题专练
【答案】D
【解析】根据 ( )f x 的定义易知函数值是由周期性重复出现的，A 正确； 225f 为
(225 2020) 60 的非负余数，即为 1795 60 的非负余数，为 5，故 B 正确；不妨设
*60 ,0 60x n r n r N ，则 (2020 ) (2020 ) (60 ) 60f x f x n r 的非负余
数 ( 60 ) 60n r 的 非 负 余 数 (60 ) 60r r ， 故 C 正 确 ； 当 60x y 时 ，
( ) ( 60) [( 60) 2020] 60f x f y y 的 非 负 余 数 ( 2020) 60y 的 非 负 余 数
f y ，故 D 错误．故选 D．
22 ． 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ( )f x 在 [0, ) 单 调 递 增 ． 若 (1) 1f ， 则 不 等 式
1 ( 1) 1f x 的解集为
A． ( 1,1) B． ( 2,2)
C． (0,1) D． (0,2)
【试题来源】北京市丰台区 2021 届高三上学期期中练习
【答案】D
【分析】根据题意可得 1 1 1x ，解不等式即可求解．
【解析】 ( )f x 在 R 上的奇函数且[0, ) 单调递增．可得 ( )f x 在 R 上为增函数，
因为 (1) 1f ，可得 ( 1) 1f ，由 1 ( 1) 1f x ，即 1 ( 1) 1f f x f ，
所以 1 1 1x ，解得 0 2x ，所以不等式 1 ( 1) 1f x 的解集为 (0,2) ．故选 D．
23．已知函数 f x 对于任意 xR 都满足 1 1f x f x ，且当 1x ， 2 0,1x
（ 1 2x x ）时，不等式 1 2
1 2
0f x f x
x x
恒成立，若 1
2a ， 2log 3b ， ln 3c e ，
则下列结论正确的是
A． f a f c f b B． f c f b f a
C． f b f a f c D． f b f c f a
【试题来源】山西省太原市 2021 届高三上学期期中质量监测
【答案】C
【解析】因为当 1x ， 2 0,1x （ 1 2x x ）时，不等式 1 2
1 2
0f x f x
x x
恒成立，
所以函数 f x 是增函数，又函数 f x 对于满足 1 1f x f x ，
所以函数 f x 的图象关于 1x 对称，
所以 2
ln 3log,1 3 2, 32 3f a f f b f f c f e f f
，
因为 2 2 20 log 3 log 2 13 12 3 2 log 22 2
，
所以 f b f a f c ，故选 C．
24．已知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数，当 0x 时， 2( ) logf x x m ，
1 22f
，则实数 m
A． 2
2
B． 2
2
C． 2 1 D． 2 1
【试题来源】陕西省宝鸡市扶风县法门高中 2020-2021 学年高三上学期第三次月考（文）
【答案】D
【解析】因为函数 f x 是定义在 R 上的奇函数， 1 22f
，
所以 1 1= 22 2f f
，由于当 0x 时， 2( ) logf x x m ，
所以 2
1 1log 1 22 2f m m
，解得 2 1m ．故选 D．
25．函数 ( )f x 在 ( , ) 单调递减，且为奇函数．若 (1) 1f ，则满足 1 ( 2) 1f x
的 x 的取值范围是．
A． 2 2 , B． 1,1
C． 0,4 D． 1,3
【试题来源】陕西省延安市黄陵中学高新部 2020-2021 学年高三上学期期中（理）
【答案】D
【解析】由函数 ( )f x 为奇函数，得 ( 1) (1) 1f f ，
不等式 1 ( 2) 1f x 即为 (1) ( 2) ( 1)f f x f ，
又 ( )f x 在 ( , ) 单调递减，所以得1 2 1x ，即1 3x ，故选 D．
26．设 ( )f x 为定义在 R 上的奇函数，当 0x 时， 2
2( ) log ( 1) 1f x x ax a （ a 为
常数），则不等式 (3 5) 2f x 的解集为
A． ( , 1) B． ( 1, )
C． ( , 2) D． ( 2, )
【试题来源】天津市八校 2020-2021 学年高三上学期期中联考
【答案】D
【解析】因为 ( )f x 是定义在 R 上的奇函数，所以 (0) 0f ，解得 1a ，所以，当 0x 时，
2
2log 1f x x x ．当 [0, )x 时，函数 2log ( 1)y x 和 2y x= 在 [0, )x 上
都是增函数，所以 ( )f x 在 [0, )x 上单调递增；由奇函数的性质可知， ( )y f x 在 R 上
单调递增，因为 (1) 2 ( 1) 2f f ， ，故 (3 5) 2 (3 5) 1f x f x f ，即有
3 5 1x ，解得 2x ．故选 D．
27．已知定义在 R 上的奇函数 ( )f x 满足 ( 4) ( )f x f x 且在区间 0,2 上是增函数，则
A． (2019) (2017)f f B． (2019) (2020)f f
C． (2016) (2019)f f D． (2017) (2021)f f
【试题来源】江苏省南通市西藏民族中学 2020-2021 学年高三上学期期中
【答案】D
【解析】因为定义在 R 上的函数 ( )f x 满足 ( 4) ( )f x f x ，即 ( ) ( 4)f x f x
所以 ( 4) ( )f x f x ，则 ( 8) ( 4) ( )f x f x f x ，因此函数 ( )f x 是以8为周期的函数；
又 ( )f x 是定义在 R 上的奇函数，且在区间 0,2 上是增函数，所以 ( )f x 在 2,0 上也是增
函数，因此 ( )f x 在 2 2 , 上是增函数；
所以 (2019) (3 8 252) (3) (1) ( 1)f f f f f ，
(2017) (1 8 252) (1) ( 1) (2019)f f f f f ，故 A 错；
(2020) (4 8 252) (4) (0) (0) ( 1) (2019)f f f f f f f ，故 B 错；
(2016) (0 8 252) (0) ( 1) (2019)f f f f f ，故 C 错；
(2021) (5 8 252) (5) (1) (1) (2017)f f f f f f ，故 D 正确．故选 D．
【名师点睛】求解本题的关键在于根据 ( 4) ( )f x f x 得到 ( ) ( 4)f x f x ，确定函数
的周期；再利用函数的单调性及奇偶性，即可求解．
28．已知函数 f x 是定义在 R 上的偶函数，且 0 0f ，当 0x 时， f x 单调递增．若
实数 a 满足 1 33 3
af f
，则 a 的取值范围是
A． 3 1,2 2
B． 3 1, ,2 2
C． 4 2,3 3
D． 4 2, ,3 3
【试题来源】江苏省 2021 届高三新高考高考模拟样卷
【答案】B
【解析】由题意可知 f x 为偶函数，且在 ,0 上单调递增，所以 f x 在 0,+ 上单
调递减，所以 f x 的图象越靠近 y 轴对应的函数值越大，
因为 1 33 3
af f
，所以 1 33 3
a ，所以 1
1
233 a
，
所以 11 2a ，所以 11 2a ，所以 3 1, ,2 2a ，故选 B．
【名师点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解抽象不等式的解集，属于中档题．利
用函数性质求解抽象不等式的方法：
（1）根据奇偶性分析出函数在对称区间上的单调性；
（2）将关于函数值的不等式中的自变量通过奇偶性转变到同一单调区间内；
（3）通过单调性得到自变量的大小关系，由此求解出不等式的解集．
29．已知函数 ( )f x 的定义域为 , ( 4)R f x 是偶函数， (6) 3f ， ( )f x 在 ( ,4] 上单调递
减，则不等式 (2 4) 3f x 的解集为
A．(4, 6) B． ( , 4) (6, )
C． ( , 3) (5, ) D． (3,5)
【试题来源】广东省 2021 届高三上学期第二次联考
【答案】D
【 解 析 】 因 为 ( 4)f x 是 偶 函 数 ， 所 以 函 数 ( )f x 的 图 象 关 于 直 线 4x 对 称 ， 则
(6) (2) 3f f ．因为 ( )f x 在 ( ,4] 上单调递减，所以 ( )f x 在[4, ) 上单调递增，
故 (2 4) 3f x 等价于 2 2 4x 6 ，解得3 5x ．故选 D
30．已知函数 f x 是定义在 R 上的偶函数，且函数 f x 在[0, ) 上是减函数，如果
3 1f ，则不等式 1 1 0f x 的解集为
A． 2， B． 2，
C． 2 4 ， D． 1 4，
【试题来源】福建省福州市八县（市）一中 2021 届高三上学期期中联考
【答案】C
【解析】函数 ( )f x 是定义在 R 上的偶函数，且函数 ( )f x 在[0 ， ) 上是减函数，
所以 ( )f x 在 ( ,0) 上是增函数，
由 f （3） 1 ，则不等式 ( 1) 1 0 ( 1) 1 ( 1)f x f x f x f
（3） (| 1|)f x f
（3）
| 1| 3x ，解得 2 4x ，故不等式的解集为[ 2 ， 4]．故选C ．
【名师点睛】将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在
所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上
单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解．
31．已知 ( )f x 是定义域为 ( , ) 的奇函数，满足 (1 ) (1 )f x f x ．若 (1) 2f ，
则 21 3 2020f f f f
A．50 B．0
C．2 D．-2018
【试题来源】宁夏青铜峡市高级中学 2021 届高三上学期期中考试（理）
【答案】B
【解析】由函数 ( )f x 是定义域为 ( , ) 的奇函数，所以 ( ) ( )f x f x ，且 (0) 0f ，
又由 (1 ) (1 )f x f x ，即 ( 2) ( ) ( )f x f x f x ，
进而可得 ( ) ( 4)f x f x ，所以函数 ( )f x 是以 4 为周期的周期函数，
又由 (1) 2f ，可得 (3) ( 1) (1) 2f f f ， (2) (0) 0f f ， (4) (0) 0f f ，
则 (1) (2) (3) (4) 0f f f f ，
所以 (1) (2) (3) (2020) 505 [ (1) (2) (3) (4)] 0f f f f f f f f ．故选 B．
32．已知定义在 R 上的奇函数 f x ，对任意的实数 x，恒有 3f x f x ，且当
3(0, ]2x 时， 2 6 8f x x x ，则 0 1 2 ... 2020f f f f （ ）
A．6 B．3
C．0 D． 3
【试题来源】安徽省安庆市怀宁中学 2020-2021 学年高三上学期第一次质量检测（理）
【答案】B
【解析】因为函数 f x 对任意的实数 x，恒有 3f x f x ，
所以 6 3f x f x f x ，所以函数 f x 是以 6 为正切的周期函数，
又 f x 定义在 R 上的奇函数，所以 0 0, 3 0 0f f f ，
又当 3(0, ]2x 时， 2 6 8f x x x ，
所以 1 3, 2 1 3 1 1 3f f f f f ，
4 1 3 1 3, 5 2 3 2 3f f f f f f ，
所以 0 1 2 ... 2020f f f f 0 1 2 ... 5 336f f f f
0 1 2 3 4f f f f f 0 336 3 3 ，故选 B．
33．若函数 f x 是定义在 R 上的奇函数，对于任意两个正数 1x 、 2 1 2x x x ，都有
2 1 1 2x f x x f x ．记 225 0.2a f ， 1b f ， 5 1
3
log 3 log 5c f
，则 a 、b 、
c 的大小关系为
A． a b c B． a c b
C．b c a D． c b a
【试题来源】云南省德宏州 2020 届高三上学期期末教学质量检测（文）
【答案】A
【解析】构造函数 f xg x x
，函数 g x 的定义域为 0x x ，
因为函数 f x 为 R 上的奇函数，则 f x f x ，
f x f xg x g xx x
，函数 g x 为偶函数，
对于任意两个正数 1x 、 2 1 2x x x ，都有 2 1 1 2x f x x f x ，则 1 2
1 2
f x f x
x x
，
所以， 1 2g x g x ，则函数 g x 在 0, 上单调递减，
2 1 1 125 0.2 1 25 25
25
f f ga
， 1 1b f g ，
5 1 3 3
33
1log 3 log 5 log 5 log 5log 5c f f g
，
3 3
1log 5 log 3 1 25
，则 3
1log 5 1 25g g g
，即 a b c ．故选 A．
【名师点睛】利用函数的单调性与奇偶性比较函数值的大小关系，一般先利用函数的奇偶性
得出区间上的单调性，先比较出自变量的大小关系，再利用其单调性得出函数值的大小关系，
若 f x 为偶函数，则 f x f x f x ．
34．已知定义域为 R 的函数 f x 的图象连续不断，且 x R ， 2( ) 4f x f x x ，当
0,x 时， 4f x x ，若 22 1 6 8 2f m f m m m ，则实数 m 的取值
范围为
A． 1 ,3
B． 1,
C． 1, 3
D． , 1
【试题来源】广东省广州市 2020 届高三上学期 9 月月考（理）
【答案】A
【解析】依题意， 24f x f x x ，故 222 2f x x f x x ，
令 22g x f x x ，可知，函数 g x 为奇函数．
因为当 0,x 时， 4f x x ，即当 0,x 时， 22 0f x x ，
故函数 g x 在 0, 上单调递减，由奇偶性可知，函数 g x 在 R 上单调递减，
因为 22 1 6 8 2f m f m m m ，
故 2 22 1 2 2 1 2f m m f m m ，即 2 1g m g m ，
故 2 1m m ，故 1
3m ，故实数 m 的取值范围为 1 ,3
．故选 A．
35．已知对任意的 a ，bR 都有 b a bb a e be a 恒成立，则实数 的值为
A． e B．1
C．0 D． e
【试题来源】河南省焦作市 2020—2021 学年高三年级第一次模拟考试（理）
【答案】B
【分析】通过构造函数，把问题转化为 0f b a f b ，进而转化为 0f x 对任
意的 xR 恒成立，然后，对 x 进行分类讨论，进而可得解．
【解析】因为 e eb a bb a b a ，所以 e eb a bb a b a b b ，
所以 e e 0b a bb a b a b b ．
设 exf x x x ，问题转化为 0f b a f b 对任意的 a ，bR 恒成立，则有
b a b 时为 0f b a f b 对任意的 a ， bR 仍然成立，则问题转化为
0f x 对任意的 xR 恒成立，当 0x 时，显然成立；当 0x 时， ex ，所以 1 ；
当 0x 时， ex ， 1 ．综上 1 ．故选 B．
36．已知函数 1
2
12 log , 18( )
2 ,1 2x
x x
f x
x
，若 ( ) ( )( )f a f b a b ，则 b a 的取值范围
为
A． 30, 2
B． 70, 4
C． 90, 8
D． 150, 8
【试题来源】甘肃省张掖市第二中学 2020-2021 学年高三第一学期 10 月月考（理）
【答案】B
【解析】因为函数 ( )f x 在 1[ ,1)8
上递减，在[1,2] 上递增，又 ( ) ( )( )f a f b a b ，
所以 1 1,1 28 a b ，且 1
2
2 log 2ba ，令 1
2
2 log 2ba k ，则 2 4k ，
所以
21
2
k
a
， 2logb k ，所以
2
2
1log 2
k
b a k
，
设函数
2
2
1( ) log 2
x
g x x
， (2,4]x ，因为 g x 在 2,4 上单调递增，
所以 (2) ( ) (4)g g x g ，即 70 ( ) 4g x ，所以 70, 4b a
，故选 B．
【名师点睛】根据分段函数的单调性以及 ( ) ( )( )f a f b a b 得到 1 1,1 28 a b ，且
1
2
2 log 2ba 是解题关键．属于中档题．
37．已知函数 ( ) ln( 2) ln(4 )f x x x ，则下列说法错误．． 的是
A． ( )f x 在区间( 2, 1) 上单调递增 B． ( )f x 在区间 (1, 4) 上单调递减
C． ( )f x 的图象关于直线 =1x 对称 D． ( )f x 的图象关于点(1, 0) 对称
【试题来源】甘肃省武威第一中学 2020-2021 学年高三上学期第二阶段考试（理）
【答案】D
【 分 析 】 先 求 出 函 数 的 定 义 域 ， 再 根 据 复 合 函 数 的 单 调 性 判 断 单 调 区 间 ， 根 据
(1 ) (1 )f x f x 判断函数对称轴．
【解析】由 ( ) ln( 2) ln(4 )f x x x 可得 2 0
4 0
x
x
，解得 2 4x ，
2( ) ln( 2) ln(4 ) ln( 2 8)f x x x x x ，
令 2( ) 2 8u x x x ，开口向下，对称轴为 1x ，
所以函数 ( )u x 在 ( 2,1)x 上单调递增，在 (1,4)x 上单调递减，
根据复合函数的单调性可得 ( )f x 在(一 2，1)上单调递增，在(1，4)上单调递减，
因为 (1 ) ln(3 ) ln(3 ) (1 )f x x x f x ，
所以函数 ( )f x 的图象关于 x = 1 对称，因此 A，B，C 正确，D 错误，故选 D
38．已知定义在 R 上的函数 ( )f x 满足 ( 3) ( )f x f x ，且当 (1x ，3] 时， 4( ) logf x x ，
则 (2021)f
A． 1
2 B．0
C． 4log 3 D．1
【试题来源】 2021 届高三（上）第一次月考
【答案】A
【解析】根据题意，定义在 R 上的函数 ( )f x 满足 ( 3) ( )f x f x ，则 ( )f x 是周期为 3 的
周期函数，则 (2021) (2 3 673) (2)f f f ，
又由当 (1x ，3] 时， 4( ) logf x x ，则 f （2） 4
1log 2 2
，故 1(2021) 2f ，故选 A．
39 ． 已 知 函 数 ( )f x 对 任 意 xR 都 有 ( ) (6 ) 2f x f x ， 当 3x 时 ，
3( ) xf x x a x e ，若 (log (18 3 ))t
af f t ，则t 的取值范围是
A． (2, ) B． (3, )
C． 3, log 2) D． (2,3)
【试题来源】甘肃省永昌县第一中学 2020-2021 学年高三上学期第一次月考数学理试题
【答案】C
【分析】先分析得到 ( )f x 关于点 (3,1) 对称，求出 3a ，再证明 ( )f x 在 R 上单调递增，得
3log (18 3 )t t ，解不等式得解．
【解析】由 ( ) (6 ) 2f x f x 得 ( ) 1 [ (6 ) 1]f x f x ，
令 ( ) ( ) 1h x f x ，则 ( ) (6 )h x h x ，所以 ( )h x 关于点 (3,0) 对称，
所以 ( )f x 关于点 (3,1) 对称，由题意知 (3) 3 3 1 1f a ，解得 3a ，
所以当 [3, )x 时， 2 3( ) 3 xf x x x e ，
此时 2 3y x x 单调递增， 3xy e 单调递增，所以 ( )f x 在[3, ) 为增函数，
因为 ( )f x 关于点 (3,1) 对称，所以 ( )f x 在 R 上单调递增，
因为 3(log (18 3 ))tf f t ，所以 3log (18 3 )t t ，
所以 18 3t t ，解得 3log 2t ，故选 C．
【名师点睛】解答本题的关键有两个地方：其一是分析得到函数 ( )f x 关于点 (3,1) 对称，其
二是分析得到函数 ( )f x 在 R 上单调递增．研究函数的问题，要从分析函数的奇偶性、单调
性、周期性和对称性等入手．
40．设 ( )f x 是定义域为 ( , ) 的奇函数，满足 (1 ) (1 )f x f x ，已知当 0 2x
时， 1( ) 2 1xf x ，则 (2022) (2023)f f
A．2 B． 2
C．1 D． 1
【试题来源】辽宁省丹东市 2021 届高三（10 月份）段考
【答案】B
【解析】根据题意， ( )f x 是定义域为 ( , ) 的奇函数，则 ( ) ( )f x f x ，且 (0) 0f ；
又由 (1 ) (1 )f x f x 即有 ( 2) ( )f x f x ，则 ( 2) ( )f x f x ，
进而得到 ( 4) ( 2) ( )f x f x f x ， ( )f x 为周期为 4 的函数，
则 (2022) (2 4 505) (2)f f f (0) 0f ，
(2023) ( 1 2024) ( 1) (1)f f f f ，
当 0 2x 时， 1( ) 2 1xf x ，则 f （1） 1 12 1 2 ，
则 (2023) (1)f f 2 ，故 (2022) (2023) 0 ( 2) 2f f ，故选 B ．
41．定义在 R 上的偶函数 f x 在[ ]0,1 上单调递减，且满足 1f x f x ， 1f ，
2 2f ，则不等式组
1 2,
1 2
x
f x
的解集为
A． 1, 2
B． 2 6,4
C． 2, 2
D． 2,8 2
【试题来源】山东省临沂市 2020-2021 学年高三上学期期中考试
【答案】D
【解析】因为 1f x f x ，所以 f x 的周期为 2，
因为定义在 R 上的偶函数 f x 在[ ]0,1 上单调递减，
所以由 1f ， 2 2f ，可得 (4 ) 1, (2 6) 2f f ，
且 4 ,2 6 [0,1] ，由1 2x ，得 0 2 1x ，
由
1 2,
1 2
x
f x
，得
1 2
{ 4 2 2 6
x
f f x f
，
所以 1 2
2 6 2 4
x
x
，解得 2 8 2x ，
所以原不等式组的解集为 2,8 2 ，故选 D．
42．已知定义在 R 上的偶函数 f x 在 ,0 上单调递增，则
A．
3
4
1 4
4
12 log 6 log 5f f f
B．
3
4
4 1
4
12 log log 65f f f
C．
3
4
1 4
4
1log 6 2 log 5f f f
D．
3
4
1 4
4
1(log 6) (log ) (2 )5f f f
【试题来源】天一大联考（河北广东全国新高考）2020-2021 学年高中毕业班阶段性测试（二）
【答案】D
【解析】 偶函数 f x 在 ,0 上单调递增，函数 f x 在 (0 ) 上单调递减，
1 1 4 4
4 4
1 1(log 6) (| log 6 |), (log ) (| log |)5 5f f f f ，
又 1 4 4 4
4
1| log 6 | log 6,| log | log 55
， 1 4
4
1| log 6 | | log | 15
， 3
42 1
3
4
1 4
4
1(| log 6 |) (| log |) (2 )5f f f
，
3
4
1 4
4
1(log 6) (log ) (2 )5f f f
，故选 D．
43．已知定义在 R 上的函数 f x 满足 4 2f x f x ，若函数 2 1
1
xy x
与函数
y f x 的图象的交点为 1 1 2 2, , , , , ,n nx y x y x y ，则
1
n
k k
k
x y
A． n B． 3
2
n
C．3n D． 6n
【试题来源】天一大联考（河北广东全国新高考）2020-2021 学年高中毕业班阶段性测试（二）
【答案】C
【解析】 4 2f x f x ， f x 关于点 1,2 对称，
2 1 12 1 121 1 1
xxy x x x
，可知函数关于点 1,2 对称，
2 1
1
xy x
与 y f x 的交点也关于点 1,2 对称，
1 1 2 2
1
...
n
k k n n
k
x y x y x y x y
1 2 1 2... ...nx x x y y y 2 4 32 2
n n n ．故选 C．
【名师点睛】本题的重点是判断两个函数的对称性，所以理解熟记一些抽象函数的对称性的
式子，① x R ，有 2f a x f x ， f a x f a x ，都说明函数 y f x 关
于直线 x a 对称，② x R ，有 2 2f a x b f x ， 2f a x b f a x ，
说明函关于点 ,a b 对称．
44．已知
2
1
2
log 1 , 0
, 0
x x x
f x
f x x
，则不等式 2 2f x f x 的解集为
A． 2x x B． 2x x
C． 2 23x x
D． 2
3x x
或 2x
【试题来源】安徽省江淮十校 2020-2021 学年高三上学期第二次质量检测（文）
【答案】C
【解析】由于
2
1
2
log 1 , 0
, 0
x x x
f x
f x x
，则函数 f x 为 R 上的偶函数，
当 0,x 时， 2
1
2
log 1f x x x 为增函数，
由 2 2f x f x ，可得 2 2f x f x ，可得 2 2x x ，
所以， 2 24 4 4x x x ，即 23 4 4 0x x ，解得 2 23 x ，
因此，不等式 2 2f x f x 的解集为 2 23x x
．故选 C．
【名师点睛】求解函数不等式的方法如下：
（1）解函数不等式的依据是函数单调性的定义：
具体步骤：①将函数不等式转化为 1 2f x f x 的形式；
②根据函数 f x 的单调性去掉对应法则“ f ”转化为形如“ 1 2x x ”或“ 1 2x x ”的常规不等
式求解；
（2）利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常
将问题转化为两函数的图象的上、下关系问题，从而利用数形结合思想求解．
45 ． 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 2 | |· xf x x e ， 3 5a f log ， 3
1
2b f log
，
ln3c f ，则 a ，b ， c 的大小关系是
A． c a b B．b c a
C． a b c D． c b a
【试题来源】山东省德州市 2020-2021 学年高三上学期期中考试
【答案】A
【 分 析 】 可 看 出 ( )f x 在 (0, ) 上 单 调 递 增 ， 且 得 出 3(log 2)b f ， 并 且 可 得 出
3 3ln3 log 5 log 2 ，根据增函数的定义即可得出 a ，b ， c 的大小关系．
【解析】 0x 时， 2( ) xf x x e 是增函数，且 ( ) ( )f x f x ， 3 3( log 2) (log 2)b f f ，
3 3 3 30 log 1 log 2 log 5 log 3 1 ， ln3 ln 1e ， 3 3ln3 log 5 log 2 ，
3 3(ln3) (log 5) (log 2)f f f ， c a b ．故选 A．
【名师点睛】解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是
看三个区间 ,0 , 0,1 , 1, ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大
小问题也可以两种方法综合应用．
46．已知函数 1 13 3 2cos 1x x xf x ，则 0.5
2 3
10.5 log 9 log 2f f f
、 、 的
大小关系
A． 0.5
2 3
1log 9 log 0.52f f f B． 0.5
3 2
1(log ) (0.5 ) (log 9)2f f f
C． 0.5
3 2
1(0.5 ) (log ) (log 9)2f f f D． 0.5
2 3
1(log 9) (0.5 ) (log )2f f f
【试题来源】黑龙江省校 2020-2021 学年高三上学期期中
【答案】A
【解析】令 ( ) ( 1) 3 3 2cosx xg x f x x ， ( ) ( )g x g x ，所以 ( )g x 是偶函数；
( ) ln3(3 3 ) 2sinx xg x x ，当 (0, )x 时， ( ) 0g x ， ( )g x 在 (0, ) 上是增函数，
将 ( )g x 图象向右平移一个单位得到 f x 图象，
所以 f x 关于直线 1x 对称，且在 (1,1 ) 单调递增．
因为 23 log 9 4 ， 0.50.5 2 ， 3 3
12 log 2 log 2 2,32
，
所以 0.5
2 3
14 log 9 2 log 0.5 12
，所以 0.5
2 3
1log 9 2 log 0.52f f f
，
因为 f x 关于直线 1x 对称，所以 3 3
1 1log 2 log2 2f f
，
所以 0.5
2 3
1log 9 log 0.52f f f
．故选 A．
47．定义在 R 上的奇函数 ( )f x 满足 ( 2) ( 2)f x f x ，并且当 [0,1]x 时， ( ) 2 1xf x ，
则 2log 10f 的值为
A． 2
5
B． 2
5
C． 3
5- D． 3
5
【试题来源】广东省汕头市金山中学 2021 届高三上学期期中
【答案】C
【分析】由 ( 2) ( 2)f x f x ，得出函数 f x 是以 4 为周期的周期函数，再结合对数的
运算法则和函数的奇偶性 2 2
8log 10 (log )5f f ，代入函数 ( ) 2 1xf x ，即可求解．
【解析】由题意，函数 f x 满足 ( 2) ( 2)f x f x ，化简可得 ( 4)f x f x ，
所以函数 f x 是以 4 为周期的周期函数，由对数的运算性质可得 2log 10 (3,4) ，
可得 2 2 2
5log 10 log 10 4 (log )8f f f ，且 2
5log ( 1,0)8
，
因为 f x 为 R 上的奇函数，且当 [0,1]x 时， ( ) 2 1xf x ，
可得 2
8log 5
2 2 2
5 5 8 3(log ) ( log ) (log ) (2 1)8 8 5 5f f f ，
即 2
3log 10 5f ．故选 C．
48．下列不可能是函数 ( )a x xf x x e e a Z 的图象的是
A． B．
C． D．
【试题来源】浙江省 2020-2021 学年高三上学期 11 月期中
【答案】C
【分析】根据题意，分 0,a a 为正整数和 a 为负整数三种情况讨论，分析函数 f x 的定
义域、奇偶性以及单调性，结合选项，即可求解．
【解析】根据题意，函数 ( )a x xf x x e e a Z ，
当 0a 时， x xf x e e 其中定义域为 | 0x x 关于原点对称，
且 x x x xf x e e e e f x ，所以函数 f x 为偶函数，不经过原点且在第一
象限为单调增函数，故选项 A 符合题意；
当 a 为正整数时， a x xf x x e e ，其定义域为 R ，图象经过原点，没有选项符合；
当 a 为负整数时， a x xf x x e e ，其定义域为 | 0x x ，
可得 1 a x x a x xf x ax e e x e e ，
当 0x 时， 1 1[ ( ) ( )] [( ) ( ) ]a x x x x a x xf x x a e e x e e x a x e a x e ，
可得 f x 先负后正，故函数 f x 不经过原点且在第一象限先减后增，
其中 a 为负偶数时，函数 f x 为偶函数，此时 D 符合题意；
a 为负奇数时，函数 f x 为奇函数，此时 B 符合题意；故选 C
【名师点睛】对于知式选图问题的解答方法：
（1）从函数的定义域，判定函数图象的左右位置，从函数的值域判断图象的上下位置；
（2）从函数的单调性（有时借助导数），判断函数的图象的变换趋势；
（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）从函数的周期性，判断函数的循环往复；
（5）从函数的特殊点（与坐标轴的交点，经过的定点，极值点等），排除不和要求的图象．
49．已知 x xf x e ke （ k 为常数），那么函数 f x 的图象不可能是
A． B．
C． D．
【试题来源】福建省 2021 届高三上学期期中考试
【答案】B
【解析】当 0k 时， xf x e ，图象如 A，所以 A 可能；
因为图象 B 函数 f x 过原点，所以 0 0, 1f k ， x xf x e e ，是减函数，所以
B 不可能；当 1k 时， x xf x e e ，图象如 C，所以 C 可能；
当 1k 时， x xf x e e ，是偶函数图象如 D，所以 D 可能．故选 B
【名师点睛】本题考查指数函数的性质以及复合函数单调性的判断，属于基础题．
方法【名师点睛】复合函数单调性判断方法---同增异减：内函数与外函数单调性一致复合函
数在相应区间上增；内函数与外函数单调性相异复合函数在相应区间上减．
50．已知奇函数 f x 的图象关于直线 3x 对称，当 0 3x ， 时， f x x ，则
16f
A．－2 B．－1
C．1 D．2
【试题来源】江苏省南京市秦淮区三校（第三高级中学、第五高级中学、第二十七中学）
2020-2021 学年高三上学期期中联考
【答案】D
【分析】由题意 f x 为奇函数，则 f x f x ，又 f x 的图象关于直线 3x 对称，
则 6f x f x ，从而得到函数的周期为 12，再进行求值计算．
【解析】由题意 f x 为奇函数，则 f x f x ，又 f x 的图象关于直线 3x 对称，
则 6f x f x ，则有 6f x f x f x ，即 6f x f x ，
所以 12 6f x f x f x f x ，则周期为 12，
所以 16 4 4 2 2f f f f ．故选 D．
二、填空题
1．已知函数 y f x 是定义在 R 上的奇函数，且满足 2f x f x ，又当 0,1x 时，
2 1xf x ，则 1
2
log 7f
的值等于__________．
【试题来源】辽宁省沈阳市郊联体 2020-2021 学年高三上学期期中考试
【答案】 3
4
【解析】 2f x f x ， f x 是周期为 2 的函数，
1
2
3 log 7 2 ， 1
2
1 log 7 2 0 ， y f x 是定义在 R 上的奇函数，
1 1 1 1
2 2 2 2
7 7log 7 log 7 2 log log4 4f f f f
1 22
7 7log log4 4 7 312 1 2 41 4
．故答案为 3
4
．
2．已知奇函数 ( )f x 满足 ( 2) ( )f x f x ，且当 0,1x 时， 2logf x x ，则 7
2f
的值为__________．
【试题来源】湖南省长沙市 2020-2021 学年高三上学期 11 月摸底考试
【答案】1
【解析】由 2 4 2f x f x f x f x f x ，故 4T ，
则 7 1
2 2f f
，又函数为奇函数，得 2
1 1 1log 12 2 2f f
，故答案为 1．
3 ． 已 知 函 数 f x 满 足 1f x f x ， 当 0,1x 时 ， 函 数 3xf x ， 则
1
3
log 19f
__________．
【试题来源】江苏省南京市六校联合体 2020-2021 学年高三上学期 11 月联考
【答案】 27
19
【解析】由题意，函数 f x 满足 1f x f x ，化简可得 2f x f x ，
所以函数 f x 是以 2 为周期的周期函数，
又由 0,1x 时，函数 3xf x ，且 1f x f x ，
则 1 3 3 3
3
9(log 19) ( log 19) ( log 19 2) (log )19f f f f
3
27log 19
3 3
9 27 27(log 1) (log ) 319 19 19f f ．故答案为 27
19
．
【名师点睛】函数的周期性有关问题的求解策略：
（1）求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；
（2）解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，
再利用奇偶性和单调性求解．
4．已知 f x 为奇函数，且当 0x 时单调递增， 3 0f ，则不等式 0xf x 的解集
__________．
【试题来源】吉林省长春市第五中学 2020-2021 学年高三上学期期中考试（理）
【答案】 ( 3,0) (0,3)
【解析】由题意 ( 3) (3) 0f f ，当 0x 时，由 ( ) 0f x 得 0 3x ，
当 0x 时，由 ( ) 0f x 得 3 0x ，所以 0xf x 0
( ) 0
x
f x
或 0
( ) 0
x
f x
，
解得 0 3x 或 3 0x ．所以不等式的解集为 ( 3,0) (0,3) ．
5．已知函数 f x 的定义域为 R ，导函数为 ( )f x¢ ，若 cosf x x f x ，且
sin 02
xf x ，则满足 π 0f x f x 的 x 的取值范围为__________．
【试题来源】河南省南阳市 2020-2021 学年高三期中质量评估 （理）
【答案】 π ,2
【分析】构造函数 cos
2
xg x f x ，再根据条件确定 g x 为奇函数且在 R 上单调递
减，最后利用单调性以及奇偶性化简不等式，解得结果．
【解析】令 cos
2
xg x f x ， 又 cosf x x f x ，
则 coscos
2 2
xxf x f x
，即 g x g x ，故函数 g x 为奇函数．
cos sin 02 2
x xg x f x f x
，故函数 g x 在 R 上单调递减，
则 cos cos0 02 2
x xf x f x f x f x
，
即 0g x g x ，即 g x g x g x ，即 x x ，故
2x ，
所以 x 的取值范围为 ,2
．故答案为 π ,2
【名师点睛】本题考查函数奇偶性、单调性以及利用函数性质解不等式，解题的关键是要利
用题目条件合理构造函数，从而利用函数单调性解不等式，考查学生的综合分析求解能力，
属中档题．
6．已知 f x 是定义在 R 上的奇函数，满足 1 1f x f x ．若 1 1f ，则
1 2 3 2021f f f f __________．
【试题来源】山东省潍坊市 2020-2021 学年高三上学期期中考试
【答案】1
【解析】由 1 1f x f x 得 2f x f x ，
因为 f x 是定义在 R 上的奇函数，所以 f x f x 且 0 0f ，
所以 2f x f x ，所以 2 4f x f x ，所以 4f x f x ，
所 以 f x 的 周 期 是 4 ， 因 为 1 1f ， 所 以 2 0 0f f ，
3 1 1 1f f f ， 4 0 0f f ，所以 f x 在一个完整周期内的函数的
和为 0 ，所以 1 2 3 2021 2021 1 1f f f f f f ，故答案为1
【名师点睛】对于函数的周期性问题，应熟记以下结论
（1）如果函数 f x x D 在定义域内有两条对称轴 x a ，x b ， a b 则函数 f x
是周期函数，且周期 2T a b ；
（2）如果函数 f x x D 在定义域内有两个对称中心 ,0A a ， ,0B b a b 则函数
f x 是周期函数，且周期 2T a b ；
（ 3 ） 如 果 函 数 f x x D 在 定 义 域 内 有 两 一 对 称 轴 x a ， 有 一 个 对 称 中 心
,0B b a b 则函数 f x 是周期函数，且周期 4T a b ．
7．已知 f（x）是定义域为 R 的偶函数，且在区间（-∞，0]上单调递增，则不等式，f（3x-1）
＞f（2）的解集是__________．
【试题来源】广东省湛江市 2021 届高三上学期高中毕业班调研测试题
【答案】 1( ,1)3
【解析】因为 f（x）是定义域为 R 的偶函数，且在区间（-∞，0]上单调递增，
所以函数在[0, ) 上递减，因为 f（3x-1）＞f（2），所以 (| 3 1|) (2)f x f ，
所以| 3 1| 2x ，即-2＜3x-1＜2，解得 1 13
x ．故答案为 1( ,1)3
．
8．若 ( )f x 是定义在 R 上的奇函数， ( 2) ( )f x f x ，当 0 1x 时， ( )f x x ，则
(47.5)f __________．
【试题来源】北京市第三十一中学 2021 届高三上学期数学期中试题
【答案】 0.5
【解析】因为 2f x f x ，所以 4 2f x f x f x
又 ( )f x 是定义在 R 上的奇函数，且当 0 1x 时， f x x ，
所以 47.5 47.5 12 4 0.5 0.5 0.5f f f f ．故答案为 0.5 ．
9．给出下列四个命题：
① 函数
21
2 2
xy x
为奇函数；
② 奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；
③ 函数 1
2 xy 的值域是 0, ；
④ 若函数 2f x 的定义域为 1,2 ，则函数 2xf 的定义域为 1 2， ；
其中正确命题的序号是__________．(填上所有正确命题的序号)
【试题来源】内蒙古通辽第五中学 2020-2021 学年高三年级第三次月考试卷（文）
【答案】① ④
【解析】对于选项①：函数首先必须满足 21 0x ，即 1 1x ，则1 2 3x ，
则函数化简为
21 xy f xx
，定义域为 1,0 0,1 ，关于原点对称，
21 xf x f xx
，即函数为奇函数，①正确；
对于选项②：若定义域中有零则必过直角坐标系的原点，定义域中没有零则必不过直角坐标
系的原点，②不正确；
对于选项③：由于 0x ，则 1y ，函数 1
2 xy 的值域是 0,1 1, ；③不正确；
对于选项④：若函数 2f x 的定义域为 1,2 ，则函数 f x 的定义域为 2,4 ，
令 2 2 4x ，解得1 2x ，则函数 2xf 的定义域为 1,2 ．④正确；
故答案为①④．
10．已知 f x ， g x 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 3 2f x g x x x a ，
则 2g __________．
【试题来源】江苏省连云港市 2020-2021 学年高三上学期期中调研适应性考试
【答案】 8
【解析】因为 f x ， g x 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，
所以 3 2 3 2f x g x x x a x x a ，即 3 2+f x g x x x a ，
又 3 2f x g x x x a ，所以 3g x x ，所以 32 2 8g ，故答案为 8．
11 ． 已 知 奇 函 数 ( )f x 的 定 义 域 为 R ， 若 ( 2)f x 为 偶 函 数 ， 且 (1) 1f ， 则
(2020) (2021)f f __________．
【试题来源】甘肃省 2021 届高三上学期第二次诊断考试（文）
【答案】-1
【解析】 奇函数 ( )f x 的定义域为 R ，若 ( 2)f x 为偶函数，
(0) 0f ，且 ( 2) ( 2) ( 2)f x f x f x ，
则 ( 4) ( )f x f x ，则 ( 8) ( 4) ( )f x f x f x ，
则函数 ( )f x 的周期是 8，且函数关于 2x 对称，
则 2020 252 8 4 4 0 0f f f f ，
(2021) (252 8 5) (5) 1 1 1f f f f f ，
则 (2020) (2021) 0 1 1f f ，故答案为-1．
【名师点睛】本题考查由函数的奇偶性，对称性和周期性求解函数值，解题的关键是利用奇、
偶性求出函数的周期为 8 以及关于 2x 对称，考查了分析能力、计算能力．
12．若函数 2 4f x x ax 在 1,3 内不单调，则实数 a 的取值范围是__________．
【试题来源】陕西省延安市黄陵中学本部 2020-2021 学年高三上学期期中（文）
【答案】 1 3,2 2
【解析】由题意得 2 4f x x ax 的对称轴为 2x a ，
因为函数 f x 在 1,3 内不单调，所以1 2 3a ，得 1 3
2 2a ．故答案为 1 3,2 2
．
13．已知 ( )f x 是奇函数，且当 0x 时， ( ) eaxf x ．若 (ln 2) 8f ，则 a __________．
【试题来源】湖南省长沙市麓山国际实验学校 2020-2021 学年高三上学期第一次月考
【答案】-3
【解析】因为 ( )f x 是奇函数，且当 0x 时 0x ， ( ) ( ) axf x f x e ．
因为 ln 2 (0,1) ， (ln 2) 8f ，
所以 ln 2 8ae ，两边取以 e 为底的对数得 ln 2 3ln 2a ，所以 3a ，即 3a ．
14 ． 已 知 函 数 ( )f x 的 图 象 关 于 y 对 称 ， 当 0x 时 ， ( )f x 单 调 递 增 ， 则 不 等 式
1(2 () )f x f x 的解集为__________．
【试题来源】湖南省三湘名校教育联盟 2020-2021 学年高三上学期 10 月联考
【答案】 1( , 1) ,3
【解析】依题意， ( )f x 为偶函数，当 0x 时， ( )f x 单调递增，
要满足 1(2 () )f x f x ，则要求 2 1x x ，两边平方得 2 24 1 2x x x ，
即 23 2 1 0x x ，即 1 3 1 0x x ，解得 1( , 1) ,3x
．
故答案为 1( , 1) ,3
．
15．对于函数 sin sin( ) 2 2x xf x ，有如下结论：
① ( )f x 在 R 上是奇函数；② 为 ( )f x 的一个周期；③
2
为 ( )f x 的一个极大值点；④ ( )f x
在区间 ( 2
， )2
上单调递增．其中所有正确结论的序号是__________．
【试题来源】内蒙古赤峰市 2020 届高三（5 月份）高考数学（（理））模拟试题
【答案】①③④．
【分析】结合函数的性质中周期的定义及复合函数单调性原则，函数极值存在条件分别检验
各选项即可判断．
【解析】因为 sin sin( ) 2 2 ( )x xf x f x ，即 ( )f x 为奇函数，①正确；
因为 sin( ) sin( ) sin sin( ) 2 2 2 2 ( )x x x xf x f x 即 不为 ( )f x 的周期，②错误；
因为 siny x 在 ( , )2 2
单调递增，在 3( , )2 2
上单调递减，
又 2 2t ty 在 R 上单调递增，根据复合函数的单调性可知， ( )f x 在 ( , )2 2
单调递增，
在 3( , )2 2
上单调递减，故
2
为 ( )f x 的一个极大值点； ( )f x 在区间 ( 2
， )2
上单调递
增．③④正确．故答案为①③④．
三、双空题
1．已知函数 ( )f x 是 R 上的奇函数，并且是周期为 3 的周期函数，若 (1)=2f ，则
(2)=f ___________； ( =2019)f __________．
【试题来源】北京市第三中学 2021 届高三上学期期中考试
【答案】 2 0
【解析】因为函数 ( )f x 是 R 上的奇函数， (1)=2f ，所以 ( 1)= 2f ，
因为 ( )f x 是周期为3的周期函数，所以 ( 1 3)= (2) 2f f ．
由函数 ( )f x 是 R 上的奇函数，所以 (0)=0f ， 2019 673 3( )= ( ) (0) 0f f f ，
故答案为① 2 ； ②0．
2 ． 定 义 在 R 上 的 函 数 f x 满 足 6f x f x ． 当 3,3x 时 ，
22 , 3 1
, 1 3
x xf x
x x
，则 4f ___________；
1 2 3 2016 2017f f f f f __________．
【试题来源】安徽省池州市第一中学 2020-2021 学年高三上学期 9 月月考（文）
【答案】0 337
【解析】因为 6f x f x ，所以函数 f x 的周期为 6的周期函数，
当 3,3x 时， 22 , 3 1
, 1 3
x xf x
x x
，所以 24 2 2 2 0f f ，
因为 2017 6 336 1 ， 1 1f ， 2 2f ， 23 3 3 2 1f f ，
4 0f ， 5 1 1f f ， 6 0 0f f ，
所以 1 2 3 2016 2017f f f f f
336 1 2 3 6 2017f f f f f
336 1 2 1 0 1 0 1 337 ，故答案为 0；337．
3．已知函数 2( ) 2 ,3 1xf x x
则 f（2）+f(-2)= __________；不等式 f(x) + f(3x+2)≥2 的解
集为__________．
【试题来源】江苏省泰州市姜堰市 2020-2021 学年高三上学期综合检测
【答案】2 1| 2x x
【解析】 2
2 19(2) 2 23 1 5f
， 2
2 29( 2) 2 23 1 5f
，
所以 (2) ( 2) 2f f ； 2( ) 2 22 2 ,3 1 3 1x xf x x x
所以 ( ) ( ) 2f x f x ，
即 1 ( ) 1 ( )f x f x ，令 ( ) 1 ( ) g x f x ，
所以 ( ) ( )g x g x ， ( )g x 是 xR 上的奇函数，且 (0) 1 (0) 0g f ，
因为 1
2( ) 3 1xf x
， 2 ( ) 2 1f x x 都是增函数，所以 ( )g x 是 xR 上的增函数，
由 ( )+ (3 2) 2f x f x 得1 ( )+1 (3 2) 2g x g x ，即 ( ) (3 2)g x g x ，
( )g x 是 xR 上的奇函数，所以 ( ) (3 2)g x g x ，
因为 ( )g x 是 xR 上的增函数，所以 3 2x x ，解得 1
2x ，
( )+ (3 2) 2f x f x 的解集为 1| 2x x
，故答案为①2；② 1| 2x x
．
4．函数 f x 是定义在 R 上的奇函数，且当 0x 时， 2 4xf x ，则 1f _________；
不等式 0f x 的解集为__________．
【试题来源】浙江省嘉兴市 2020-2021 学年高三上学期 9 月教学测试
【答案】2 , 2 0,2
【解析】设 0x ，则 0x ，所以 2 4xf x ，
因为 f x 是定义在 R 上的奇函数，所以 2 4 ( )xf x f x ，
即 2 4xf x ，所以 1 2 4 2f ，
当 0x 时， 2 4 0xf x ，解得 0 2x ，
当 0x 时， 2 4 0xf x ，解得 2x ，
所以 0f x 的解集为 0,2 , 2 ，
故答案为①2；② 0,2 , 2 ．
5．已知函数 2
1
2
log 2 3f x x x ，则 f x 单调递增区间为__________；若函数
( )y f x 在区间 ,2 3a a 上单调，则 a 的取值范围为__________．
【试题来源】 2019-2020 学年高二下学期 5 月期中数学（数理班）试题
【答案】 ( , 1) 3a
【解析】 2
1
2
log 2 3f x x x ，函数的定义域满足 2 2 3 0x x ，解得 3x 或
1x ．函数 1
2
logy x 单调递减， 2 2 3y x x 的单调减区间为 ,1 ，
故 f x 单调递增区间为 ( , 1) ．
函数 ( )y f x 为偶函数，定义域满足 2 2 3 0x x ，解得 3x 或 3x ．
当 3x 时， 2 2 3y x x 单调递增， 1
2
logy x 单调递减，故 ( )y f x 单调递减，
则 3x 时，函数单调递增，函数 ( )y f x 在区间 ,2 3a a 上单调，
则3 2 3a a ，解得 3a ，或 2 3 3a a ，无解．
故 3a ．故答案为 ( , 1) ； 3a ．
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