河南省郑州市2020-2021学年高三第二次质量预测理科数学试卷（PDF版含答案）

第 1 页 共 9 页 第 2 页 共 9 页 第 3 页 共 9 页 第 4 页 共 9 页 第 5 页 共 9 页 2020-2021 郑州市第二次质量预测理科数学评分参考 一、选择题 BCDAA BDCAD BB 二、填空题 13. ;y x 14.-3; 15. 2; 16. (0, ].e 三、解答题 17.解：（1）由题意 ( 1) 2 n n n a S   ， 1 1 ( 2), 2 n n na S n    两式相减得， ………………2 分 1( 1) ( 2), 2 2 n n n n a na a n    ………………4 分 即 1( 1) ,n nn a na   1 1 1, 1 1 n na a a n n       所以 .na n ………………6 分 （2） 1 12 +1 1 1 =( 1) ( 1) ( ) ( 1) 1 n n n n b n n n n        ，………………8 分 2021 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( )+( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 4 2020 2021 2021 2022 T           1 2023 1 = . 2022 2022   ………………12 分 18.解：（1）设 AD、BC 的中点分别为 O、E，连接PO、OE 、EP， 则 为直角梯形 的中位线，故 ． ……………2 分 又平面 平面 ，平面 PAD平面 ABCD AD ， ， 所以 平面 ， ，又PO OE O ，所以 平 面 ， ………………4 分 又 PE 平面 ，故 ，又 E 为 中点，所以 .……………5 分 （2）在 上取一点 F，使得 ，则 ， ， 两两垂直，以 O 为原点，射线 ， ， 分 别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 2 (0,0, ) 2 P ， 1 1 ( , ,0) 2 2 A  ， 1 3 ( , ,0) 2 2 C  ， 1 1 ( , ,0) 2 2 D  ， …6 分 从而： 1 1 2 1 3 2 ( , , ), ( , , ), (0,1,0) 2 2 2 2 2 2 PA PC DC          ，8 分 设平面 的法向量为 ， OE ABCD BC OE PAD  ABCD PO AD PO  ABCD PO BC BC⊥ PEO PEO BC PE BC PB PC AB 4AB AF OF OE OP OF OE OP PCD  , ,n x y z  第 6 页 共 9 页 由 1 3 2 0, 2 2 2 0 x y z y         ………………10 分 可取 ( 2,0, 1)n    ， 6 cos , . 3| | | | PA n PA n PA n            故直线 与平面 夹角的正弦值为 6 3 ．………………12 分 19.解：（1）由题意知， 2 2 2 2 2 1 , 2 1 9 1, 4 , c e a a b a b c             解得 2 2=4 =3a b， ， ………………4 分 椭圆 C 的方程为 2 2 1. 4 3 x y   ………………5 分 （2）显然直线 l 斜率不为 0，设直线 l 方程为 1x my  ，与 2 2 1 4 3 x y   联立得： 2 2(3 4) 6 9 0m y my    ， ………………7 分 设 P、Q 点坐标为 1 1 2 2( , ), ( , ),x y x y 则 1 2 1 22 2 6 9 , 3 4 3 4 m y y y y m m        ， 直线 AP 的方程为 1 1 ( 2) 2 y y x x    ，令 4x  ，得 1 1 6 2 M y y x   ，同理 2 2 6 2 N y y x   ， 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 36 36 36 ( 2)( 2) ( 3)( 3) 3 ( ) 9 M N y y y y y y y y x x my my m y y m y y           2 2 2 2 9 36 3 4 9. 9 6 3 9 3 4 3 4 m m m m m m           ………………9 分 （3） 1 9 9 6 | | 3 | | 3 2 18. 2 AMN M N M M M M S y y y y y y            当且仅当 =3, 3M Ny y   或 = 3, 3M Ny y  时等号成立. ………………12 分 20.（1） X 服从正态分布 (280,25)N ，所以   1 0.9974 265 0.0013 2 P X     ，…2 分  265 1 0.0013 0.9987.P X     ………………4 分 PB PCD 第 7 页 共 9 页 至少一个零件尺寸小于 265 的概率为 101 (0.9987) 1 0.9871 0.0129.    ……5 分 （2）四年内正常维护费为5000 4 20000  元， ………………6 分 故障维修费第一次 2000元，第二次 4000元，第三次 6000 元，第四次 8000元， 所以四年内生产维护费用总和Y 的可能取值为 20000、22000、26000、32000、40000， 则   4 0 4 3 81 20000 4 256 P Y C          ，   3 1 4 1 3 27 22000 4 4 64 P Y C           ，   2 2 2 4 1 3 27 26000 4 4 128 P Y C               ，   3 3 4 1 3 32000 4 3 4 64 P Y C           ，   4 1 1 40000 4 256 P Y         ， ………………9 分 则Y 的分布列为： Y 20000 22000 26000 32000 40000 P 81 256 27 64 27 128 3 64 1 256 故   81 27 27 3 1 2000 22000 26000 32000 40000 256 64 128 64 256 E Y           22750. ………………12 分 21.（1）当 2a e ，不等式 ( )f x mx m  即为 2 lnxxe e x e mx m    ， …………2 分 令 ( ) 2 ln ( 1), [1, )xF x xe e x e m x x       2 ( ) ( 1) ,x e F x x e m x      ( )F x 在[1, ) 上单调递增， (1)=F m  ， ………………4 分 当 0m  时， (1) 0 ( ) (1) 0F F x F    ， ， ( )F x 在[1, ) 上单调递增， ( ) (1) 0.F x F  当 0m  时， (1) 0F  ，当 , ( )x F x ，所以存在 * (1, )x   ， *( ) 0F x  ， 当 *(1, )x x ， ( ) 0F x  ， ( )F x 单调递减， ( ) (1) 0.F x F  不符合题意. 综上， 0m  . ………………6 分 （2） ( ) lnxf x xe a x e   ， ( ) ( 1) x a f x x e x     ， ( )f x 在 (0, ) 上单调递增， 当 0, ( )x f x ， , ( )x f x ，所以存在唯一的正数 0 (0, )x   ， 0( ) 0f x  ， ………………7 分 当 0(0, )x x ， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递减，当 0( )x x ， ， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递增， 第 8 页 共 9 页 0 0 0 min 0 0 0 0 0 0 0( ) ( ) ln ( 1) ln x x x f x f x x e a x e x e x x e x e        ， ………………8 分 令 ( ) ( 1) ln , (0, )x xh x xe x x e x e x      2 2( ) ( 1) [( 3 1)ln 1] ( 3 1)lnx x xh x x e e x x x x e x x x            ， ……………10 分 所以 (1) 0h  ，且当 (0,1)x ， ( ) 0h x  ， ( )h x 单调递增，当 (1 )x ， ， ( ) 0h x  ， ( )h x 单调递减， max( ) (1) 0h x h  ，此时 0 1, 2 .x a e  ………………12 分 22. （Ⅰ） 2 2 4 2 sin cos 2cos 4sin 2cos 2 2                    ， …………2 分 2 4 sin 2 cos      ，∴ 2 2 4 2x y y x   ， ………………4 分 ∴圆 2C 的直角坐标方程是 2 2 2 4 0x y x y    .……………5 分 （Ⅱ）因为曲线 1C 与 2C 有且仅有一个公共点，说明直线 tan 5y x   与圆 2C 相切， 2C 圆心为（1，2），半径 为 5 ，则 2 | tan +3 | 5 1 tan     ，解得 tan 2 = 或 1 tan 2  = - （舍去）， ………………8 分 所以 2 2 2 2 2 2 sin sin cos tan tan 2 sin sin cos . sin cos tan 1 5                    ……10 分 23.（Ⅰ）由题意得：   3 3, 2 2 4 1 5, 1 2 3 3, 1 x x f x x x x x x x                  ， ………………2 分 ①当 2x  时，由3 3 5x  得： 8 3 x  ， 8 3 x  ； ②当 1 2x   时，由 5 5x   得： 0x  ， 1 0x   ； ③当 1x   时，由 3 2 5x   得： 1x   ， 1x   ； ………………4 分 综上所述：不等式   5f x  的解集为   8 ,0 , 3        .………………5 分 （Ⅱ）   2 2 4f x a a   恒成立等价于   2 min 2 4f x a a   ， ………………6 分   2 4 2 2f x x x a x x x a             2 2 2x x a x a x a          ，等号成立条件是 2x  ， ………………8 分   min 2f x a   ， 22 2 4a a a     ，解得：1 2a  ， 实数a 的取值范围为[1,2]．………………10 分 第 9 页 共 9 页