专题 13 计数原理（客观题）
一、单选题
1．在新冠肺炎疫情防控期间，某记者要去武汉 4 个方舱医院采访，则不同的采访顺序有
A．4 种 B．12 种
C．18 种 D．24 种
【试题来源】 2021 届高三上学期高考适应性月考（三）
【答案】D
【解析】由题意可得不同的采访顺序有 4
4 24A 种，故选 D．
2．某班级从 6 名男生，3 名女生中选派 6 人参加社区宣传活动，如果要求至少有 1 名女生
参加，那么不同的选派方案种数为
A．83 B．84
C．72 D．75
【试题来源】吉林省榆树市第一高级中学 2020-2021 学年高三第一学期 10 月月考（理）
【答案】A
【分析】从反面入手，至少有 1 名女生的反面是没有女生，由此易得结论．
【解析】至少有 1 名女生的反面是全是男生，因此所求方法数为 6 6
9 6 83C C ．故选 A．
3．在（x﹣2）5 的展开式中，x2 的系数为
A．﹣40 B．40
C．﹣80 D．80
【试题来源】北京市昌平区 2020 届高三第二次统一练习（二模）
【答案】C
【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得 x2 的系数．
【解析】在（x﹣2）5 的展开式中，含 x2 的项为 32 2 2
5 2 80C x x ，
故 x2 的系数为﹣80．故选 C．
4．某大学计算机学院的薛教授在 2019 年人工智能方向招收了 6 名研究生．薛教授欲从人工
智能领域的语音识别、人脸识别，数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且
每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识别，则这 6 名研究生不同的分配方向共
有
A．480 种 B．360 种
C．240 种 D．120 种
【试题来源】陕西省安康市 2020 届高三下学期第三次联考（理）
【答案】B
【分析】将人脸识别方向的人数分成：有 2 人、有1人两种情况进行分类讨论，结合捆绑计
算出不同的分配方法数．
【解析】当人脸识别方向有2人时，有 5
5 120A 种，当人脸识别方向有1人时，有 2 4
5 4 240C A
种，所以共有 360 种．故选 B．
5．2020 年初，我国向相关国家派出了由医疗专家组成的医疗小组．现有四个医疗小组和 4
个需要援助的国家，每个医疗小组只去一个国家，且 4 个医疗小组去的国家各不相同，则不
同的分配方法有
A．64 种 B．48 种
C．24 种 D．12 种
【试题来源】山东省潍坊高密市等三县市 2020-2021 学年高三 10 月过程性检测
【答案】C
【解析】4 个医疗小组全排列后按顺序到四个国家即可，共有 4
4 24A 种方法．故选 C．
6．二项式
5
3 2x
x
的展开式中常数项为
A．5 B．10
C．-20 D．40
【试题来源】广西 2020 届高三数学（理）考试二
【答案】D
【解析】二项式展开式的通项公式为
10 5
53 6
1 5 5
2( ) ( 2)
r r
r r r r
rT C x C x
x
，
令10 5 06
r ，则 2r = ，所以展开式中的常数项为 2 2
5 ( 2) 40C ，故选 D．
7．在
5
2
12x x
的二项展开式中 2x 的系数为
A． 40 B． 40
C．80 D． 80
【试题来源】福建省 2021 届高三上学期开学检测
【答案】D
【解析】因为
5
2
12x x
展开式的第 1r 项为
5 52 5 3
1 5 52 1 1 2r r r rr r r r
rT C x x C x
，令5 3 2r ，则 1r ，
所以
5
2
12x x
的二项展开式中 2x 的系数为 41
5 1 2 80C ．故选 D．
8．在
5
2 yx x
的展开式中， 4 2x y 的系数为
A． 20 B．10
C． 10 D． 20
【试题来源】山西省大同市 2021 届高三上学期期中质量检测（理）
【答案】B
【解析】在 2 5( )yx x
的展开式中，通项为 10 3
1 5 ( 1)r r r r
rT C x y
，
令 10 3 4
2
r
r
，求得 2r = ， 4 2x y 的系数为 2
5 10C ，故选 B ．
9．已知 6 5 6
0 1 5 63 1 1 1x a a x a x a x ，则 5a
A．2 B．6
C．12 D．24
【试题来源】2021 届全国著名重点中学新高考冲刺（4）
【答案】C
【解析】因为 66 5 6
0 1 5 63 2 1 1 1 1x x a a x a x a x ，
此二项式的展开式的通项为 6
1 6 2 1 rr r
rT C x
，
当 = 5r 时 55
6 6 2 1T C x ，所以 5
5 6 2 12a C ．故选 C．
10． 7
1 2 展开式中无理项的项数为
A．7 B．6
C．5 D．4
【试题来源】辽宁省 2020-2021 学年高三新高考 11 月联合调研
【答案】D
【解析】二项式展开的通项公式 2
1 7 72 2 rrr r
rT C C ，当 1r ，3，5，7 时，对应的项
均为无理数，故无理项的项数为 4 个，故选 D．
11．
5
2 3x x
的展开式中 4x 的系数是
A．90 B．80
C．70 D．60
【试题来源】河北省沧州市七校联盟 2021 届高三上学期期中
【答案】A
【分析】根据二项式定理，得到
5
2 3x x
展开式的第 1r 项，再由赋值法，即可求出结果．
【解析】因为
5
2 3x x
展开式的第 1r 项为 52 10 3
1 5 5
3C C 3
r
rr r r r
rT x xx
，
令10 3 4r ，得 2r = ，则 4x 的系数为 2 2
5C 3 90 ．故选 A．
12．从1， 2 ，3， 4 ，5， 6中任取三个不同的数相加，则不同的结果共有
A．6种 B．9种
C．10 种 D．15 种
【试题来源】江苏省南通市西藏民族中学 2020-2021 学年高三上学期期中
【答案】C
【分析】根据这六个数字的特点可知，任取三个数字求和，其和一定为连续的自然数，故只
需确定出和的最大值与最小值便可得出共有多少种结果．
【解析】在这六个数字中任取三个求和，则和的最小值为1 2 3 6 ，和的最大值为
4 5 6 15 ，所以当从1，2 ，3，4 ，5，6中任取三个数相加时，则不同结果有10 种．故
选 C．
13．为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的 2 种主食、3 种素菜、2 种
大荤、4 种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行
“光盘行动”，则不同的选取方法有
A．48 种 B．36 种
C．24 种 D．12 种
【试题来源】江苏省宿迁中学 2020-2021 学年高三上学期期中巩固测试
【答案】B
【解析】由题意可知，分三步完成：第一步，从 2 种主食中任选一种有 2 种选法；
第二步，从 3 种素菜中任选一种有 3 种选法；第三步，从 6 种荤菜中任选一种有 6 种选法，
根据分步计数原理，共有 2 3 6 36 不同的选取方法，故选 B．
14．重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬
老，是我国民间的传统节日，某校在重阳节当日安排 6 位学生到两所敬老院开展志愿服务活
动，要求每所敬老院至少安排 2 人，则不同的分配方案数是
A．35 B．40
C．50 D．70
【试题来源】江苏省南通市海安县 2020-2021 学年高三上学期期中调研考试
【答案】C
【解析】6 名学生分成两组，每组不少于两人的分组，一组 2 人另一组 4 人，或每组 3 人，
所以不同的分配方案为 2 2 3
6 2 6 50C A C ，故选 C．
15．某班举行了由甲、乙、丙、丁、戊 5 名学生参加的“弘扬中华文化”的演讲比赛，决出第
1 名到第 5 名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都
没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”从这个回答分析，5 人的名次排列情况可
能有
A．36 种 B．54 种
C．58 种 D．72 种
【试题来源】陕西省西安市高新一中 2019-2020 学年高三上学期期末（理）
【答案】B
【分析】先考虑乙有 1
3C 种可能，接着考虑甲，除了冠军和乙名次外，甲名次有 1
3C 种可能，
其他 3 名同学名次有 3
3A 种，根据乘法原理，即可求解．
【解析】根据题意 5 人的名次排列情况可能有 1 1 3
3 3 3 54C C A ．故选 B．
16．二项式 *( 1) ( )nx n N 的展开式中 3x 项的系数为 10，则 n
A．8 B．6
C．5 D．10
【试题来源】山东省济南外国语学校 2020-2021 学年高三 10 月月考
【答案】C
【分析】写出二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数为 3，即可求出 n 的值．
【解析】由二项式 *( 1) ( )nx n N 的展开式的通项 1
r n r
r nT C x
得令 3n r ，得
3r n ，则 3 3 10r n
n n nC C C ，所以 ( 1)( 2) 60n n n ，解得 5n ，故选 C．
17．已知二项式 2 12
n
x x
的所有二项式系数之和等于 128，那么其展开式中含 1
x
项的系
数是
A．-84 B．-14
C．14 D．84
【试题来源】广东省中山市 2021 届高三上学期六校第一次联考
【答案】A
【分析】根据二项式系数之和等于 128，可求得 n 的值，利用二项式展开式的通项公式，即
可求得含 1
x
项的系数．
【解析】因为二项式的系数之和等于 128，所以 2 128n ，解得 7n ，
所以二项式展开式的通项公式为 2 7 7 14 3
1 7 7
1= (2 ) ( ) 2 ( 1)r r r r r r r
rT C x C xx
，
令14 3 1r ，解得 = 5r ，所以展开式中含 1
x
项的系数为 5 2 5
7 2 ( 1) 84C ，故选 A．
18．某县政府为了加大对一贫困村的扶贫力度，研究决定将 6 名优秀干部安排到该村进行督
导巡视，周一至周四这四天各安排 1 名，周五安排 2 名，则不同的安排方法共有
A．320 种 B．360 种
C．370 种 D．390 种
【试题来源】湖南省永州市 2020-2021 学年高三上学期第一次模拟
【答案】B
【分析】分两步，先选四人排前四天，再把剩余的安排到周五，相乘即得结果．
【解析】由题意分步进行安排：
第一步：从 6 名优秀干部中任选 4 人，并排序到周一至周四这四天，有 4
6A 种排法；
第二步：剩余两名干部排在周五，只有 1 种排法．
故不同的安排方法共有 4
6 1 6 5 4 3 360A 种．故选 B．
19．如果一个多位数的各个数位上的数字从左到右按由小到大的顺序排列，则称此数为“上
升”的，那么所有“上升”的正整数的个数为
A．530 B．502
C．503 D．505
【试题来源】浙江省东阳中学 2021 届高三暑期第三次检测
【答案】B
【分析】根据题意，分别得到“上升”的正整数包含：两位数有 2
9C 个，三位数有 3
9C 个， ，
九位数有 9
9C 个，再由组合数的性质，即可求出结果．
【解析】由题意，“上升”的正整数包含：两位数有 2
9C 个，三位数有 3
9C 个， ，九位数有 9
9C
个，则所有“上升”的正整数的个数为 2 3 4 9 9 0 1
9 9 9 9 9 92 502C C C C C C ，故选 B．
20． 41( )(1 )x xx
的展开式中 x3 的系数为
A．-5 B．10
C．5 D．-12
【试题来源】广东省梅州市蕉岭县蕉岭中学 2021 届高三上学期第三次质检
【答案】C
【分析】首先求 41 x 的通项公式，再和 1x x
相乘后，如何得到 3x 项，并计算系数，
【解析】 4(1 )x 的通项为 4
4 41 ( ) ( )1 1r r
r
r r r rT C x C x
令 2r = ，此时 3x 系数为 2 2
4( 1) 6C 令 4r ，此时 3x 的系数为 4 4
4( 1) 1C
则 3x 的系数为 6 1 5 ．故选 C．
21．在
6
21 xx
的展开式中 3x 的系数是
A． 20 B． 15
C． 20 D．30
【试题来源】云南省 2021 届高中新课标高三第二次双基检测（理）
【答案】A
【解析】
6
21 xx
的展开式的通公式为
6
2 3 6
1 6 6
1 1
r
r rr r r
rT C x C xx
，
令3 6 3r ．则 3r ，故 3x 的系数是 3 3
61 20rT C ，故选 A．
22．在 6
2
x y x y
的展开式中， 3 4x y 的系数是
A．20 B．15
2
C． 5 D． 25
2
【试题来源】广东省 2021 届高三上学期 10 月联考
【答案】D
【分析】根据 6 6 6
2 2
x xy x y x y y x y
，转化为求 6x y 的展开式 2 4x y
和 3 3x y 的系数，求出通项即可得到答案．
【解析】 6 6 6
2 2
x xy x y x y y x y
，
6x y 的展开式的通项是 6
1 6
r r r
rT C x y
，
令 6 2r ，则 4r ，则 6x y 的展开式中 2 4x y 的系数为 4
6 15C ，
令 6 r 3 ，则 3r ，则 6x y 的展开式中 3 3x y 的系数为 3
6 20C ，
故 6
2
x y x y
展开式中 3 4x y 的系数是 2515 2 2
1 02
．故选 D．
23． 31 1x x 的展开式中， 3x 的系数为
A．2 B． 2
C．3 D． 3
【试题来源】广东省 2021 届高三上学期新高考适应性测试（一）
【答案】B
【分析】由题意转化条件得 3 3 31 1 1 1x x x x x ，再由二项式定理写出
31 x 的通项公式，分别令 3r 、 2r = ，求和即可得解．
【解析】由题意 3 3 31 1 1 1x x x x x ，
31 x 的通项公式为 3
1 3 31r r r r r
rT C x C x
，
令 3r ，则 3
3 3 1rC C ；令 2r = ，则 2
3 3 3rC C ；
所以 31 1x x 的展开式中， 3x 的系数为1 3 2 ．故选 B．
24．已知二项式 13
n
x x
的展开式中所有项的系数和为 512，函数 r
nf r C ， 0,r n
且 r N ，则函数 f r 取最大值时 r 的取值为
A．4 B．5
C．4 或 5 D．6
【试题来源】四川省成都市蓉城名校联盟 2020-2021 学年高三第一次联考（理）
【答案】C
【分析】令 1x ，可得展开式中所有项的系数和，即可求出 n 的值，从而可得出 r
nf r C
再利用二项式系数最值性即可求解．
【解析】因为二项式 13
n
x x
的展开式中所有项的系数和为 512，
令 1x ，得 3 1 2 512 9n n n ，所以 9
rf r C ，二项式展开式有 10 项，
则由二项式系数最值性可知第 5 项和第 6 项的二项式系数最大，
所以当 4r 或 5 时， f r 最大，故选 C．
25．
8
21 2 yx
的展开式中 2 2x y 项的系数是
A．420 B．-420
C．1680 D．-1680
【试题来源】南昌市 2020 届高三数学（理）零模试题
【答案】A
【分析】
8
21 2 yx
表示的是 8 个1 22 yx 相乘，要得到 2 2x y ，则其中有 2 个因式取 2x ，
有两个因式取
2
y ，其余 4 个因式都取 1，然后算出即可．
【解析】
8
21 2 yx
表示的是 8 个1 22 yx 相乘，
要得到 2 2x y ，则其中有 2 个因式取 2x ，有两个因式取
2
y ，其余 4 个因式都取 1，
所以展开式中 2 2x y 项的系数是 4
4
2
2 2 2
8 6
12 4202C C C
．故选 A．
26． 51 2 1x x 展开式 3x 的系数为
A．-10 B．10
C．-30 D．30
【试题来源】云南省德宏州 2020 届高三上学期期末教学质量检测（理）
【答案】A
【分析】先求得 51 x 的通项公式，然后再由 5 5 51 2 1 1 2 1x x x x x 求解．
【解析】 51 x 的通项公式为 1 5
r r
rT xC ，因为 5 5 51 2 1 1 2 1x x x x x ．
所以含 3x 的项为 3 23 2
5 51 2x x xC C 3 2 3 3
5 52 10x xC C ，
51 2 1x x 展开式 3x 的系数为-10，故选 A．
27．二项式
62x x
的展开式的第二项是
A． 260x B． 260x
C． 412x D． 412x
【试题来源】云南民族大学附属中学 2021 届高三上学期期中考试（理）
【答案】D
【解析】展开式的通项为 6
1 6
2C
r
rr
rT x x
，
令 1r ，可得展开式的第二项为
1
1 5
6
2C x x
= 412x ．故选 D．
28．从 5 名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去 2 名，则不同
的安排方法共有
A．20 种 B．50 种
C．80 种 D．100 种
【试题来源】江苏省南京市三校 2020-2021 学年高三上学期期中联考
【答案】B
【解析】当去 4 个人时，则安排方法有 4 2
5 4 30C C 种，
当去 5 个人时，则安排方法有 3 1
5 2 20C C 种，综上，不同的安排方法共有 50 种．故选 B．
29．在
5
2
2 1
ax x
的展开式中，若含 2x 项的系数为 40 ，则正实数 a
A． 1
2 B． 2
C．3 D． 4
【试题来源】 2020-2021 学年高三上学期月考（三）
【答案】B
【解析】
5
2
2 1
ax x
的展开式的通项为 52 5 10 4
1 5 52
1 1
r
r rr r r r
rT C ax C a xx
令10 4 2r ，则 3r ，所以 33 5 3
5 1 40C a ，解得 2a 或 2a （舍），故选 B．
30． 32x x
的展开式中， 4x 的系数是
A．20 B． 20
C．160 D． 160
【试题来源】中学生标准学术能力诊断性测试 THUSSAT2021 届高三诊断性测试 （理）（一）
【答案】D
【分析】 32x x
的展开式的通项公式为 266 63 3
1 6 6(2 ) ( ) ( 1) 2
r
r r r r r r
rT C x x C x
，
令 26 43
r ，求出 r ，带入即可得解．
【解析】 32x x
的展开式的通项公式为 266 63 3
1 6 6(2 ) ( ) ( 1) 2
r
r r r r r r
rT C x x C x
，
令 26 43
r ，可得 3r ， 6 3 3 6 3
6 6( 1) 2 ( 1) 2 160r r rC C ，故选 D．
31． 52 1 2x x 的展开式中， x 的奇次幂项的系数之和为
A． 123 B． 120
C． 1 D．1
【试题来源】2021 年届国著名重点中学新高考冲刺（7）
【答案】A
【分析】先将 52 1 2x x 展开，再利用赋值法求出奇次幂项的系数之和．
【解析】设 5 2 6
0 1 2 62 1 2x x a a x a x a x ，
令 1x ，则 0 1 2 63 a a a a ，令 1x ，则 5
0 1 2 63 a a a a ，
两式相减，整理得 1 3 5 123a a a ．故选 A．
32．高三毕业时，甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排合影留念，其中戊站在正中间，则
甲不与戊相邻，乙与戊相邻的站法种数为
A．4 B．8
C．16 D．24
【试题来源】2021 届全国著名重点中学新高考冲刺（8）
【答案】B
【分析】由于戊站在正中间，位置确定，其他 4 人排列即可，再把甲乙分别排好同，最后 2
人再排列可得，应用分步乘法原理．
【解析】由题可知，戊站在正中间，位置确定，则只需排其余四人即可，则甲不与戊相邻，
乙与戊相邻的站法有 1 1 2
2 2 2 8C C A （种），故选 B．
33．电影《夺冠》讲述中国女排姑娘们顽强奋斗､为国争光的励志故事，打造一部见证新中
国体育改革 40 年的力作，该影片于 2020 年 09 月 25 日正式上映．在《夺冠》，上映当天，
一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的 4 张电影票恰好在同一排且连在一
起．为安全起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是
A．8 B．12
C．16 D．20
【试题来源】广东省茂名市五校联盟 2021 届高三上学期第一次联考
【答案】C
【分析】利用间接法，先全排再除去不符合题意的情况即得结果．
【解析】四个元素全排列，再除去两个家长相邻和两个小孩相邻情况，
故 4 2 2 2
4 2 2 2 16A A A A ．故选 C．
34．5人排成一排照相，甲排在乙左边(可以相邻，也可以不相邻)的排法总数为
A．30 B．60
C．120 D． 240
【试题来源】江苏省南通市如皋市 2020-2021 学年高三上学期期中
【答案】B
【分析】5 人全排列，根据甲在乙左边与右边发生的概率相等即可求解．
【解析】先 5 人全排列有 5
5 120A 种不同的排法，甲排在乙左边的机会与排在右边的机会
相同，所以甲排在乙左边(可以相邻，也可以不相邻)的排法总数为 5
5
1 1 120 602 2A 种．故
选 B．
35．已知
7ax x
的展开式的第 4 项等于35x ，则 3x 的系数等于
A． 21 B．35
C． -21 D． -35
【试题来源】西藏昌都市第一高级中学 2021 届高三上学期期中考试（理）
【答案】A
【分析】根据二项展开式通项公式写出第四项求得 a ，然后求得 3x 所在项数后可得结论．
【解析】 7 7 2
1 7 7( )
r
r r r r r
r
aT C x a C xx
， 3 3
4 7( ) 35T a C x x ，解得 1a ．
由7 2r 3 得 2r = ，所以 3x 的系数为 2
7 21C ．故选 A．
36．在二项式
4
1
2
n
x
x
的展开式中，前三项的系数成等差数列，则展开式中二项式系
数最大的项是第几项
A．2 B．3
C．4 D．5
【试题来源】西藏昌都市第一高级中学 2021 届高三上学期期中考试（理）
【答案】D
【解析】二项式
4
1
2
n
x
x
的展开式的通项为
2 3
4
41
1
2
1
2
r n r
n
r r
r
r n
n rT x x
xC C
，因为前三项的系数成等差数列，
所以
2
1 0 21 1
22 2n n nC C C ，即 2 9 8 0n n ，解得 8, 1n n （舍去）
所以展开式中共 9 项，中间一项即第 5 项的二项式系数最大，故选 D．
37．在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲､乙､丙､丁､戊五位疫情防控专家轮流发言，其中甲
必须排在前两位，丙､丁必须排在一起，则这五位专家的不同发言顺序共有
A．8 种 B．12 种
C．20 种 D．24 种
【试题来源】广东省 2021 届普通高中学业质量联合测评（11 月大联考）高三
【答案】C
【分析】先排甲，再将丙、丁捆绑在一起当一个元素排，再排乙、戊．
【解析】当甲排在第一位时，共有 3 2
3 2 12A A 种发言顺序，
当甲排在第二位时，共有 1 2 2
2 2 2 8C A A 种发言顺序，
所以一共有12 8 20 种不同的发言顺序．故选 C．
【名师点睛】本题主要考查排列的应用，属于中档题．常见排列数的求法为：（1）相邻问题
采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元
素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数．
38．为抗击新冠病毒，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作．因工
作需要，每地至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两
名专家不能安排在同一地工作，则不同的分配方法总数为
A．18 B．24
C．30 D．36
【试题来源】四川省成都市第七中学 2020-2021 学年高三上学期 10 月月考
【答案】C
【分析】由甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家看成一个整体即相
当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，
再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数，即可得到答案．
【解析】因为甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家
看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，
先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，即从四个中选二个和
其余二个看成三个元素的全排列共有： 2 3
4 3C A 种；
因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，
所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数有 3
3A 种，
所以不同的分配方法种数有： 2 3 3
4 3 3 36 6 30C A A ，故选 C．
39． 2 5
2
1( 2)( 1)x x
的展开式的常数项是
A． 3 B． 2
C． 2 D．3
【试题来源】 2021 届高三（上）月考（二）
【答案】D
【解析】 的展开式通项为 ，由 2 10 0r 得
= 5r ，所以 的常数项系数为 ；由 2 10 2r 得 4r ，所以
的 项 系 数 为 ， 所 以 的 展 开 式 的 常 数 项 是
，故选 D．
40．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．在他著的《详解九章算法》一书中，画了一
张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简
称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果．它比西方的“帕斯卡三角形”早了 393 年．若
用 i ja 表示三角形数阵的第i 行第 j 个数，则 100 3a
A．5050 B．4851
C．4950 D．5000
【试题来源】内蒙古赤峰市 2020 届高三（5 月份）高考数学（理）模拟试题
【答案】B
【分析】依据二项展开式系数可知，得到第i 行第 j 个数应为 1
1
j
iC
，即可求得 100 3a 的值．
【解析】依据二项展开式系数可知，第i 行第 j 个数应为 1
1
j
iC
，
故第 100 行第 3 个数为 2
99
99 98 48512C ，故选 B ．
41．某学校打算从高三（1）班的 5 位男生中选出一部分(不可以不选)，再从高三（2）班的
4 位女生中选出一部分(不可以不选)组成多人合唱团，要求男生与女生数量相等，则选择方
法有
A．30 种 B．96 种
C．120 种 D．125 种
【试题来源】浙江省“数海漫游”2020-2021 学年高三上学期 8 月线上模拟考试
【答案】D
【分析】依题意，分析事件对应的情况，男生女生人数相等且不能为 0，分四种情况计算，
之后利用分类加法计数原理求得结果．
【解析】依题意可以选择 1 名男生，一名女生，选择方法共有 1 1
5 4 20C C 种；
可以选择 2 名男生，2 名女生，选择方法共有 4
2 2
5 60C C 种；
可以选择 3 名男生，3 名女生，选择方法共有 3 3
5 4 40C C 种；
可以选择 4 名男生，4 名女生，选择方法共有 4 4
5 4 5C C 种；
由分类加法计数原理可得，选择方法共有 20 60 40 5 125 种，故选 D．
【名师点睛】解决此类问题的方法：（1）先根据题意，分析事件对应的结果有哪些；（2）利
用组合数计算每一类对应的选择方法；（3）利用分类计数原理求得结果．
42．高一某班有 5 名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收
该班 2 名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有
A．15 种 B．90 种
C．120 种 D．180 种
【试题来源】山东省潍坊市 2020-2021 学年高三上学期期中考试
【答案】B
【分析】根据题意，5 名同学需以“2，2，1”形式参加三个服务小组，即先把 5 名同学分成 3
组，每组人数为 2，2，1 人，再将 3 组分配的 3 个服务小组即可．
【解析】根据题意，5 名同学需以“2，2，1”形式参加三个服务小组，即先把 5 名同学分成 3
组，每组人数为 2，2，1 人，共有
2 2 1
5 3 1
2
2
15C C C
A
种，再将三组分配到 3 个服务小组，共有
2 2 1
35 3 1
32
2
90C C C AA
种，故选 B．
43．在 24
3
1(2 )x
x
的展开式中，有理项共有
A．3 项 B．4 项
C．5 项 D．6 项
【试题来源】贵阳市 2021 届高三调研考试
【答案】C
【分析】由题意可得二项展开式共有 25 项，要求展开式中的有理项，只要在通项
24
72 5
6
1 2
r
r r
rT C x
中，让 72 5
6
r 为整数，求解符合条件的 r 即可．
【解析】由题意可得二项展开式的通项
72 5
24 6
24 21 43
1(2 ) ( ) 2
r
r r r r r
rT C x C x
x
根据题意可得， 72 5
6
r 为整数时，展开式的项为有理项，
则 r＝0，6，12，18，24，共有 5 项，故选 C．
44．从1 9 这 9 个数字中，选取 4 个数字，组成含有 1 对重复数字的五位数的种数有
A．30240 B．60480
C．15120 D．630
【试题来源】中学生标准学术能力诊断性测试 THUSSAT2021 届高三诊断性测试 （理）（一）
【答案】A
【分析】本题首先可以确定选取 4 个数字有多少种方式，然后确定取 1 个数字出现两遍有多
少种方式，再然后确定取两个位置放置重复数字有多少种方式，最后将剩下三个数字进行排
列，并将得到的数字相乘，即可得出结果．
【解析】在1 9 这 9 个数字中选取 4 个数字，共有 4
9 126C 种，
在 4 个数字中取 1 个数字出现两遍，共有 1
4C 4 种，
在五位数中取两个位置放置重复数字，共有 2
5 10C 种，
剩下三个数字共有 3
3 6A 种排列方式，故共有126 4 10 6 30240创 � ，故选 A．
【名师点睛】本题考查通过排列组合求满足题意的种数有多少，能否求出每一个条件下有多
少种方式是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题．
45．将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到 A、B、C、D 四个班级，每个班级一位老师，
且甲不能分配到 A 班，丁不能分配到 B 班，则共有分配方案的种数为
A．10 B．12
C．14 D．24
【试题来源】江苏省镇江市 2020-2021 学年高三上学期期中
【答案】C
【分析】分为甲分配到 B 班和甲不分配到 B 班两种情况来讨论分配方案种数，利用分类加
法计数原理计算可得结果．
【解析】将分配方案分为甲分配到 B 班和甲不分配到 B 班两种情况：
①甲分配到 B 班：有 3
3 6A 种分配方案；
②甲不分配到 B 班：有 1 1 2
2 2 2 8A A A 种分配方案；
由分类加法计数原理可得共有 6 8 14 种分配方案．故选 C ．
【名师点睛】本题主要考查排列数的应用．常见求法有：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）
不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先
让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数．
46．
6
33
2 3 1xx xx
展开式中的常数项为
A． 66 B．15
C． 15 D．66
【试题来源】华大新高考联盟全国卷 2021 届高三 11 月教学质量测评（理）
【答案】C
【分析】首先求
61x x
展开式的通项公式，再乘以 33
2 3
xx
后，分析如何生成常数
项，求 r 后，代入求展开式的常数项．
【解析】
61x x
展开式的通项公式为
36 3 2
1 6 6
1 1
r rr rr r
rT C x C xx
，
而
3
32
33
2 3 2 3x xxx
， 故 要 想 产 生 常 数 项 ， 则 3 33 12 2
r r 或
33 3 02
r r ，则所求常数为 1 0
6 62 1 3 15C C ．故选 C．
47．在圆上有 6 个不同的点，将这 6 个点两两连接成弦，这些弦将圆分割成的区域数最多为
A．32 B．15
C．16 D．31
【试题来源】云南大学附属中学呈贡校区 2021 届高三上学期第四次月考（理）
【答案】D
【分析】按照增加一条弦，多出一个区域，增加一对相交弦，另外再多增加一个区域进行计
算可得解．
【解析】两个点可以连一条弦，将圆分为两部分，加一个点，多两条弦，将圆多分出来两部
分，所以每加一条弦可以按这种方式多出一个区域，再加一个点，变成了一对相交弦和四条
其他的弦，共分为 8 个区域，所以除去前一种方式增加的区域数，一对相交弦还会多产生一
个区域，故当点数多于 4 个时，最多可分得总的区域数为 2 41 C Cn n ，此题 6n ，所以最
多可分为 31 个区域．故选 D．
48．函数 2 61( ) ( ) f x x x
的导函数为 ( )f x ，则 ( )f x 的展开式中含 2x 项的系数为
A．20 B． 20
C．60 D． 60
【试题来源】辽宁省丹东市 2020-2021 学年高三上学期 10 月月考
【答案】D
【分析】先求出函数的导函数，然后再根据二项式定理展开式求含 2x 项的系数，即可求解．
【解析】函数 ( )f x 导函数为 2 5
2
1 1( ) 6( ) (2 )f x x xx x
，
则 2 51( )x x
的展开式的通项公式为 2 5 10 3
1 5 5
1( ) ( ) ( 1)r r r r r r
rT C x C xx
，
令10 3 1r ，则 3r ，此时含 x 项为 3 3
5 ( 1) 10C x x ，
再令10 3 4r ，则 2r = ，此时含 4x 项为 2 2 4 4
5 ( 1) 10C x x ，
所以含 2x 的项为 4 2
2
1( 10 2 10 ) 6 60x x x xx
，
故含 2x 项的系数为 60 ，故选 D ．
49． 2 3 4 51 1 1 1 1x x x x x 的展开式中各项的指数之和再减去各项系数乘以
各项指数之和的值为
A．0 B．55
C．90 D．120
【试题来源】广西名校 2021 届高三上学期第一次高考模拟（理）
【答案】C
【分析】将 2 3 4 51 1 1 1 1x x x x x 展开，利用题中信息可求得结果．
【解析】 2 3 4 51 1 1 1 1x x x x x
15 14 13 10 9 8 7 6 5 2 1x x x x x x x x x x x ，
所 以 ， 2 3 4 51 1 1 1 1x x x x x 的 展 开 式 中 各 项 的 指 数 之 和 为
15 14 13 10 9 8 7 6 5 2 1 90 ，
展开式中各项系数乘以各项指数之和为15 14 13 10 9 8 7 6 5 2 1 0 ，
因此，所求结果为 90 0 90 ．故选 C．
【名师点睛】求解二项展开式中有关项的指数与系数的问题，一般将二项式展开，也可以利
用二项式定理来求解．
50．将 6 个数 2，0，1，9，20，19 将任意次序排成一行，拼成一个 8 位数（首位不为 0），
则产生的不同的 8 位数的个数是
A．546 B．498
C．516 D．534
【试题来源】浙江省绍兴市 2020-2021 学年高三上学期 10 月测试
【答案】B
【分析】根据题意，由排除法先求出将 2，0，1，9，20，19 的首位不为 0 的排列数，排除
2 的后一项是 0，且 1 的后一项是 9 的排列，2 的后一项是 0，但 1 的后一项不是 9 的排列，
1 的后一项是 9，但 2 的后一项不是 0 的排列，分析可得答案
【解析】将 2，0，1，9，20，19 的首位不为 0 的排列的全体记为 A，记为 A 为 A 的元素
全数，则 5
55 600A A ，
将 A中的 2 的后一项是 0，且 1 的后一项是 9 的排列的全体记为 B ， A中 2 的后一项是 0，
但 1 的后一项不是 9 的排列的全体记为 C ，A中 1 的后一项是 9，但 2 的后一项不是 0 的排
列的全体记为 D ，则 4 5 4
4 5 4, , 4B A B C A B D A ，
可得 24, 96, 72B C D ，
由 B 中排列产生的每一个 8 位数，恰对应 B 中的 2 2 4 个排列（这样的排列中，20 可与
“2，0”互换，19 可与“1，9”互换），类似地，由 C 或 D 中排列产生的每个 8 位数，恰对应 C
或 D 中的 2 个排列，因此满足条件的 8 位数的个数为
4 2
B C DA B C D
3
4 2
B C DA
600 18 48 36 498 ，故选 B．
【名师点睛】此题考查排列组合的应用问题，解决排列组合问题应注意：（1）对于有限制条
件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元
素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可采用
间接法；（2）对于相邻问题采用捆绑法，不相邻问题采用插空法．
二、填空题
1．一个盒子里装有 7 个大小､形状完成相同的小球，其中红球 4 个，编号分别为 1，2，3，
4，黄球 3 个，编号分别为 1，2，3，从盒子中任取 4 个小球，其中含有编号为 3 的不同取
法有__________种．
【试题来源】浙江省温州市 2020-2021 学年高三上学期 11 月高考适应性测试（一模）
【答案】30
【分析】从反面考虑，总数为 4
7C ，不含有编号为 3 的总数为 4
5C ，即得解．
【解析】从反面考虑，总数为 4
7C ，不含有编号为 3 的总数为 4
5C ，
所以含有编号为 3 的总数为 4 4
7 5 30C C ．故答案为 30．
2．若 5 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5(2 )x a a x a x a x a x a x ，则 3a __________．
【试题来源】江西省南昌三中 2020-2021 学年高三上学期 11 月第一次月考（理）24
【答案】 40
【分析】根据二项式的展开式得到 3a 所对应的应该是 3x 的系数，根据二项式展开式的公式
得到结果即可．
【解析】根据二项式的展开式得到 3a 所对应的应该是 3x 的系数，
由展开式的公式可得到含有 3x 的展开项为 3 3 32 3
5 2 1 40xC x ．故答案为 40 ．
3．
10
3
1x
x
的展开式的常数项为__________．
【试题来源】云南省昆明市官渡区 2021 届高三上学期两校联考
【答案】 210
【分析】根据二项展开式的通项公式，先写出展开式的通项，再由赋值法，即可得出结果．
【解析】
10
3
1x
x
展开式的第 1r 项为
510 5 52 3 6
1 10 10 103
11 1 1
r r r rr r r rr r r
rT C C x C x
x
x
，
令 55 06
r 解得 6r ，因此
10
3
1x
x
的展开式的常数项为 66
7 10 1 210T C ．
4． 2 3(2 ) (1 )ax x 展开式中 2x 的系数为 24 ，则 a =__________．
【试题来源】广西北海市 2021 届高三第一次模拟考试（理）
【答案】6
【分析】由二项式定理求解即可．
【解析】展开式中 2x 的系数为 2 1 1 2 2 2
2 3 3( ) C 2 ( ) C 2 C 12 12 24a a a a ，解
得 6a ．故答案为 6．
5．第三届进博会招募志愿者，某校高一年级有 3 位同学报名，高二年级有 6 位同学报名，
现要从报名的学生中选取 5 人，要求高一年级和高二年级的同学都有，则不同的选取方法种
数为__________（结果用数值表示）．
【试题来源】上海市五爱高级中学 2021 届高三上学期期中
【答案】120
【分析】由高一年级有 3 位同学报名，高二年级有 6 位同学报名，且要求高一年级和高二年
级的同学都有，故可用总情况数减去 5 人都是同一个年级的情况数，可得出答案．
【解析】由题意，从 9 位学生中选取 5 人，选取方法总共有 5
9 126C 种，
从报名的学生中选取 5 人，若 5 人都是同一个年级的学生，则选取方法有 5
6 6C 种，
所以要求高一年级和高二年级的同学都有，不同的选取方法种数为126 6 120 ．
故答案为 120．
6．甲､乙､丙､丁 4 名学生参加体育锻炼，每人在 A， B ，C 三个锻炼项目中恰好选择一项
进行锻炼，则甲不选 A项､乙不选 B 项的概率为__________．
【试题来源】湖南省长郡中学、雅礼中学、 2020-2021 学年高三上学期联合考试（理）
【答案】 4
9
【解析】每位学生选择三个锻炼项目有 1
3C 种，则 4 人总的选择方式共有 41 4
3C 3 种，
其中甲､乙的选择方式有 21 2
2C 2 种，其余两人仍有 21 2
3C 3 种，
故甲不选 A､乙不选 B 项目的概率为
2 2
4
2 3 4
3 9
．故答案为 4
9
．
7．某地区高考改革，实行“3 2 1 ”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”
指在物理、历史两门科目中必选一门，“ 2 ”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门
以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有
__________．（用数字作答）
【试题来源】江西省鹰潭市 2021 届高三第二次模拟考（理）
【答案】16
【分析】本题可分为在物理、历史两门科目中只选一门以及在物理、历史两门科目中选两门
两种情况进行计算，然后相加，即可得出结果．
【解析】若在物理、历史两门科目中只选一门，则有 1 2
2 4 2 6 12C C´ = ´ = 种；
若在物理、历史两门科目中选两门，则有 2 1
2 4 1 4 4C C´ = ´ = 种，
则共有 4 12 16 种，故答案为16 ．
【名师点睛】本题考查通过排列组合解决有多少种不同的组合方式的问题，考查学生从题目
中提取信息的能力，考查推理能力，考查分类讨论思想，是简单题．
8．二项式
612x
x
的展开式中 3x 的系数为__________．
【试题来源】江苏省南京师大附中 2020-2021 学年高三上学期期中
【答案】 240
【分析】根据二项式定理，写出二项展开式的通项，再由赋值法，即可得出结果．
【解析】因为
612x
x
展开式的第 1r 项为
366 62 2
1 6 62 1 2 1
r rr r rr r r
rT C x x C x
，令 36 32 r ，则 2r = ，
因此二项式
612x
x
的展开式中 3x 的系数为 22 4
6 2 1 240C ．故答案为 240 ．
9．将 A， B ，C ， D ， E 五个字母排成一排，若 A与 B 相邻，且 A与C 不相邻，则不同
的排法共有__________种．
【试题来源】 2021 届高三（上）第一次月考
【答案】36
【分析】可利用分步乘法计数原理，先排 D ， E ，再将 ,A B 捆绑，看作一个元素，插入三
个空位之一，这时 AB 、 D 、 E 产生四个空位，最后将 C 插入与 A不相邻的三个空位之一
即可．
【解析】依题意，可分三步，先排 D ，E ，有 2
2A 种方法，产生 3 个空位，将 ,A B 捆绑有 2
2A
种方法，将 ,A B 捆绑看作一个元素，插入三个空位之一，有 1
3A 种方法，这时 AB 、D 、 E
产生四个空位，最后将C 插入与 A不相邻的三个空位之一，有 1
3A 种方法，根据分步乘法计
数原理得共有 2 2 1 1
2 2 3 3 36A A A A 种，故答案为 36．
10．二项式 61( )x x
的二项展开式中的常数项是__________．
【试题来源】广东省湛江市 2021 届高三上学期高中毕业班调研测试题
【答案】15
【解析】因为 61( )x x
的展开式的通项是
336 2
6 6
1C ( ) ( 1) ( ) C ( 1)
r
r r r r r rx xx
，
当 33 02
r 时，r＝2，所以展开式中的常数项是 2 2
6C ( 1) 15 ．故答案为 15．
11． 2 62( 1)( )x x x
展开式中含 2x 的项的系数为__________．
【试题来源】江苏省徐州市 2020-2021 学年高三上学期期中
【答案】-100
【分析】先求出
62x x
展开式中的常数项与含 2x 的系数，再求
62x x
展开式中的常数
项，合并求得结果．
【解析】
62x x
展开式的通项公式为 6 6 2
1 6 6( 2)2 r
r r r r r
rT C x C xx
，
令 6 2 0r ，解得 3r ， 3 3
3 1 6( 2) 160T C ，令 6 2 2r ，解得 2r = ，
2 2
2 1 6( 2) 60T C ，
6
2 12x x x
展 开 式 中 含 2x 的 项 的 系 数 为
160 60 100 ，故答案为-100．
12．中秋节是中国传统佳节，赏花灯是常见的中秋活动．某社区拟举办庆祝中秋的活动，购
买了 , ,A B C 三种类型的花灯，其中 A种花灯 4 个，B 种花灯 5 个，C 种花灯 1 个，现从中
随机抽取 4 个花灯，则 , ,A B C 三种花灯各至少被抽取一个的情况种数为__________．
【试题来源】2021 届全国著名重点中学新高考冲刺（3）
【答案】70
【分析】由题可得 , ,A B C 三种花灯各至少被抽取一个的情况共有两种，列式计算即可．
【解析】由题意可知， , ,A B C 三种花灯各至少被抽取一个的情况共有两种： A种花灯选 2
个， B 种花灯选 1 个，C 种花灯选 1 个： A 种花灯选 1 个， B 种花灯选 2 个，C 种花灯选
1 个．故不同的抽取方法有 2 1 1 1 2 1
4 5 1 4 5 1 30 40 70C C C C C C (种)．故答案为 70．
13．在 6(2 ) ( 1)x x 展开式中，含 4x 的项的系数是__________．
【试题来源】四川省、联合考试 2020-2021 学年高三上
学期 11 月月考（理）
【答案】 100 ．
【分析】求出 6(2 )x 中 4x 和 3x 的系数，即可得．
【解析】根据二项式定理得 4x 的系数为 3 3 3 4 2 4
6 62 ( 1) 2 ( 1) 100C C ．
14． 41( )(1 )x xx
的展开式中 3x 的系数为__________．
【试题来源】广东省汕头市金山中学 2021 届高三上学期期中
【答案】5
【分析】将代数式变形为 4 4 411 1 1 1x x xx xx x
，写出展开式的通项，令
x 的指数为3，求得参数的值，代入通项即可得解．
【解析】 4 4 41 11 11x x xxxx x
，
展开式通项为 4 4
1
1 1r rr r r
rT xC x C x
，
4
1
1 4
1 1k k k
k
k kC xT C xx
，
令 1 3
1 3
r
k
，可得 2
4
r
k
，因此，展开式中 3x 的系数为 2 4
4 4 5C C ．故答案为5．
15．已知 0a ，
6a x
x
展开式的常数项为 15，则 a __________．
【试题来源】广东省汕头市澄海中学 2021 届高三上学期第一次段考
【答案】1
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 0，求得 r 的值，即可求得
展开式中的常数项，再根据常数项为 15，求得 a 的值．
【解析】二项式
6a x
x
的展开式的通项公式为
3 36 2
1 6 1 rr r
r
rT C a x
，
令 3 3 02 r ，求得 2r = ，可得展开式中的常数项为 2 4
6 15C a ，解得 1a ，
又 0a ，所以 1a ．故答案为 1．
16．若 17 2 17
0 1 2 17(2 ) (1 ) (1 ) (1 )x a a x a x a x ，
则 0 1 2 3 16a a a a a __________．
【试题来源】 2020-2021 学年高三上学期月考（三）
【答案】 172 1
【 分 析 】 先 利 用 二 项 展 开 式 的 通 项 公 式 求 解 17 1a ， 然 后 利 用 赋 值 法 求 解
0 1 2 3 16a a a a a ．
【解析】由题意，由 17 17(2 ) [1 (1 )]x x ， 17
17 1 (1 )T x ，所以 17 1a ，
令 0x ，则 17
0 1 2 172 a a a a ，所以 17
0 1 2 3 16 2 1a a a a a － ．
故答案为 172 1 ．
17．
62x x
的展开式的常数项是__________（用数字作答）．
【试题来源】江西省 2021 届高三上学期期中考试（理）
【答案】 160
【分析】先写出二项展开式的通项，由赋值法，即可求出结果．
【解析】因为
62x x
展开式的第 1k 项为 6 6 2
1 6 62 2k kk k k k k
kT C x x C x
，
令 6 2 0k ，则 3k ，所以展开式的常数项为 33
6 1 02 6C ．故答案为 160 ．
18．设 5 2 3 6
0 1 2 3 61 2 1x x a a x a x a x a x ，则 0 3a a __________．
【试题来源】江苏省南通市如皋市 2020-2021 学年高三上学期期中
【答案】 39
【分析】令 0x 可求得 0a 的值，写出 51 2 1x x 的展开式通项，可求得 3a ，由此可
计算得出 0 3a a 的值．
【解析】 5 2 3 6
0 1 2 3 61 2 1x x a a x a x a x a x ，
5
0 1 2 0 1 0 1a ， 5 5 51 2 1 1 2 1 2x x xx x ，
所以， 51 2 1x x 的展开式通项为
1
, 5 5 5 52 2 2 2r k r kr k r r k k
r kT C x xC x C x C x ，
由 3
1 3
r
k
，可得 3
2
r
k
，所以， 3 23 2
3 5 52 2 40a C C ，
因此， 0 3 1 40 39a a ．故答案为 39 ．
【名师点睛】对于求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意排列、组合知
识的运用，还要注意有关指数的运算性质．对于三项式问题，一般是通过合并其中的两项或
进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．
19．多项式
2
2
2
1 2x x
展开式的常数项为__________．（用数字作答）
【试题来源】贵州省遵义市 2021 届高三上学期第一次联考（理）
【答案】6
【分析】首先化简多项式
2 4
2
2
1 12x xx x
，再根据展开式的通项公式求常数项．
【解析】
2 4
2
2
1 12x xx x
，通项公式 4 4 2
1 4 4
1 1
r
rr r r r
rT C x C xx
，
当 4 2 0r 时， 2r = ， 2
2 1 4 6T C ．故答案为 6．
20．
3
5 11 2x x
的展开式中 x 的系数为__________．
【试题来源】河南省焦作市 2020—2021 学年高三年级第一次模拟考试（理）
【答案】 225
【分析】本题首先可以写出二项式 51x 的通项，然后写出二项式
31 2x
的通项，最后
根据两个二项式的通项即可得出结果．
【解析】二项式 51x 的通项 5 5
1 5 51n n n n n
nT C x C x- -
+ = 创 = ，
二项式
31 2x
的通项
3
3
1 3 3
1 2 2
k
k k k k k
kT C C xx
-
-
+
骣琪= 创 =琪桫
，
故 x 的系数为 1 0 2 1 3 2 2 4 3 3
5 3 5 3 5 3 5 3C C C C 2 C C 2 C C 2 225 ，故答案为 225 ．
【名师点睛】本题考查展开式中特定项的系数的求法，考查二项式定理的应用，二项式
na b 的通项为 1 Cr n r r
r nT a b
，可通过二项展开式的通项快速找出满足题意的特定项，
考查计算能力，是中档题．
21．已知 1
3
n
x x
的展开式中第 6 项与第 8 项的二项式系数相等，则含 10x 项的系数是
__________．
【试题来源】甘肃省张掖市第二中学 2020-2021 学年高三第一学期 10 月月考（理）
【答案】 4
【分析】首先由二项式系数相等求 n ，再根据通项公式求指定项的系数．
【解析】由条件可知 5 7
n nC C ，所以 5 7 12n ，
所以
121
3x x
的通项公式是 12 12 2
1 12 12
1 1
3 3
r r
r r r r
rT C x C xx
，
令12 2 10r ，解得 1r ，所以函数 10x 的系数是 1
12
1 43 C
．故答案为-4．
【名师点睛】本题考查二项式定理求指定项系数，其中二项式系数与项的关系是第 1r 项的
系数是 r
nC ，这一点容易记错，需注意．
22．某区对口支援西部贫困山区教育，需从本区三所重点中学抽调 5 名教师，每所学校至少
抽调 1 人到山区 5 所学校支援，每校 1 人，则有__________种支教方案．
【试题来源】贵阳市 2021 届高三调研考试
【答案】720
【分析】首先分析题意，得到从三所学校中总共抽调 5 名教师，且每所学校至少抽调 1 人，
有两种方案抽取，一是三所学校中有一所学校抽调 3 人，其余两所学校各抽调 1 人，二是三
所学校中有一所学校抽调 1 人，其余两所学校各抽调 2 人，之后 5 人全排，求得结果．
【解析】根据题意可知从三所学校中总共抽调 5 名教师，且每所学校至少抽调 1 人，
有两种方案抽取，
一是三所学校中有一所学校抽调 3 人，其余两所学校各抽调 1 人，有 1
3C 种选择方案，
二是三所学校中有一所学校抽调 1 人，其余两所学校各抽调 2 人，有 1
3C 种选择方案，
之后将 5 人安排到 5 所学校支援，共有 1 1 5
3 3 5( ) 720C C A 种支教方案，
故答案为 720．
【名师点睛】该题考查的是有关排列组合的综合问题，该题解题思路如下：（1）首先根据题
意，找出 5 人的选取方案；（2）之后往各个学校分配的时候全排即可；（3）解决排列组合的
综合问题时，要注意先选后排．
23．学校田径队有男运动员 28 人，女运动员 21 人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取
7 人组建集训队进行训练，一段时间后，再从集训队中抽取 3 人代表学校参加比赛，则这 3
人中男、女运动员都有的选法种数为__________（用数字作答）．
【试题来源】四川省宜宾市叙州区第二中学 2020-2021 学年高三上学期阶段二考试（理）
【答案】30；
【分析】根据题意，先由分层抽样方法计算抽取的 7 人中男、女运动员的人数，再利用组合
数公式计算从 7 人中抽取 3 人代表学校参加比赛的情况数目，从中排除只有男运动员和只有
女运动员的情况数目，即可得答案．
【解析】根据题意，学校田径队有男运动员 28 人，女运动员 21 人，共 28 21 49 人，
用分层抽样的方法从全体运动员中抽取 7 人，
则应抽取男运动员 728 449
人，女运动员 721 349
人，
再从 7 人中抽取 3 人代表学校参加比赛，有 3
7 35C 种，
其中只有男运动员的有 3
4 4C 种，只有女运动员则有 3
3 1C 种，
则这 3 人中男、女运动员都有的选法有 35 4 1 30 种；故答案为 30．
【名师点睛】处理排列组合常用的方法有：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题
插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问
题列举法．
24．若
9mx x
的展开式中 3x 的系数为84 ，则 m __________．
【试题来源】上海市黄浦区格致中学 2021 届高三上学期期中
【答案】 1
【分析】由题意，二项式展开式的通项为 9 2
1 9( 1)r r r r
rT m C x
，结合题意，求得 3r ，
进而得到关于 m 的方程，即可求解．
【解析】求得二项式
9mx x
的展开式的通项为 9 9 2
1 9 9( ) ( 1)r r r r r r r
r
mT C x m C xx
，
当 9 2 3r ，解得 3r ，此时 3 3 3 3
4 9( 1)T m C x ，
所以 3 3 3
9( 1) 84m C ，解得 1m ．故答案为 1 ．
【名师点睛】求二项展开式的特定项问题，实质时考查通项 1 Cr n r r
r nT a b
的特点，一般需
要建立方程求得 r 的值，再将 r 的值代入通项求解，同时注意 r 的取值范围（ 0,1,2, ,r n ）．
25．如图给三棱柱 ABC DEF 的顶点染色，定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点，
规定相邻顶点不得使用同一种颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的染色方法有
__________．
【试题来源】浙江省 2020-2021 学年高三上学期 11 月期中
【答案】 264
【解析】首先先给顶点 , ,A B C 染色，有 3
4 24A 种方法，再给顶点 D 染色，①若它和点 B 染
同一种颜色，点 E 和点C 染相同颜色，点 F 就有 2 种方法，若点 E 和点C 染不同颜色，则
点 E 有 2 种方法，点 F 也有 1 种方法，则 , ,D E F 的染色方法一共有 2 2 1 4 种方法，
②若点 D 和点 B 染不同颜色，且与点C 颜色不同，则点 D 有 1 种方法，点 E 与点C 颜色不
同，则点 E 有 1 种方法，则点 F 有 1 种方法，此时有 1 种方法；若最后 E 与C 相同，则 F
有 2 种方法，则共有 2 种方法；点 D 与点C 颜色相同，则点 D 有 1 种方法，则点 E 有 2 种
方法，则点 F 有 2 种方法，共有 2 2 4 种方法，所以点 D 和点 B 染不同，颜色共有
1 2 4 7 种 方 法 ， 所 以 点 , ,D E F 的 染 色 方 法 一 共 有 4 7 11 种 ， 所 以 共 有
24 11 264 种方法．故答案为 264 ．
三、双空题
1．已知 51 1x axx
的所有项的系数的和为 64，则 a __________，展开式中 3x 项的
系数为__________．
【试题来源】广东省 2021 届普通高中学业质量联合测评（11 月大联考）高三
【答案】1 15
【分析】令 1x 可求得 1a ，求出 51x 展开式的通项即可得出结果．
【解析】令 1x 得， 52 1 64a ，解得 1a ，
51x 的展开式的通项 5
1 5
r r
rT C x
，分别取 5 2r- = 与5 4 r ，得 3r ， 1r ，
所以 51x 的展开式中含有 2x 的项的系数为 3
5C ，含有 4x 的项的系数为 1
5C ，
所以展开式中 3x 项的系数为 3 1
5 5 15C C ．故答案为 1；15．
【名师点睛】本题考查二项展开式的相关问题，解题的关键是利用赋值法求所有项的系数的
和，并求出 51x 展开式中含有 2x 和 4x 的项的系数．
2．若 7 2 8
0 1 2 81 1 2x x a a x a x a x ，则 1 2 7a a a 的值是_________；
在上述展开式右边的九项中，随机任取不同的三项，假设这三项均不相邻，则有_________
种不同的取法．
【试题来源】浙江省宁波市镇海中学 2020-2021 学年高三上学期 11 月期中
【答案】125 35
【分析】先令 0x 求出 0 1a ，再令 1x 求出 0 1 2 8 2a a a a ，再根据二项式
的通项公式求出 8a ，即可求出 1 2 7a a a 的值；利用插空法即可求出任取不同的三项，
三项均不相邻的取法．
【解析】 7 2 8
0 1 2 81 1 2x x a a x a x a x ，
令 0x ，则 0 1a ，令 1x ，则 0 1 2 8 2a a a a ，
77
8 7 2 128a C ， 1 2 7 2 1 128 125a a a ；
在上述展开式右边的九项中，随机任取不同的三项，
可以利用插空法，从六项所形成的七个空中选取三个空，
则有 3
7 35C 种．故答案为 125；35．
3．在
6
2
2
x
x
的二项展开式中， 2x 的系数为________；所有二项式系数和为________．
【试题来源】浙江省杭州市桐庐分水高级中学 2020-2021 学年高三上学期期中
【答案】 3
8
64
【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 2 ，求出 r 的值，即可求得 2x 的系
数，所有二项式系数和利用 2n 求解即可．
【解析】
6
2
2
x
x
的二项展开式的通项公式为
6
3
1 6
12 2
r
rr r
rT C x
，
令3 2r ，求得 1r ，所以 2x 的系数为
5
1
6
1 32 2 8C
，
所有二项式系数和为 62 64 ．故答案为 3
8
； 64 ．
4．若 5 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5(2 ) (2 1) (2 1) (2 1) (2 1) (2 1)x a a x a x a x a x a x= + - + - + - + - + - ，
则 0 1 2 3 4 5a a a a a a ___________， 2a ___________．
【试题来源】浙江省绍兴市稽阳联谊学校 2020-2021 学年高三上学期 11 月联考
【答案】32 10
【分析】令 1x 可求得所有项的系数和，由 5 5(2 ) (2 1 1)x x 利用二项展开式通项公式
可求得 2a ．
【解析】令 1x ，则 5
0 1 2 3 4 5 2 32a a a a a a ；由于 5 5(2 ) (2 1 1)x x ，
从而 3 3
2 5 1 10a C ．故 0 1 2 3 4 5 32a a a a a a ； 2 10a ．
故答案为 32；10．
5． 52 x 的展开式中，常数项是__________， 2x 的系数为__________．
【试题来源】浙江省 9 1 高中联盟 2020-2021 学年高三上学期期中
【答案】32 80
【分析】根据二项式定理可得展开式通项公式，分别令 0r 和 2r = ，即可求得结果．
【解析】 52 x 展开式的通项公式为 5
1 5 2r r r
rT C x
，
令 0r ，则 0 5
1 5 2 32T C ，即常数项为 32；
令 2r = ，则 2 3 2 2
3 5 2 80T C x x ，则 2x 的系数为80．
故答案为32；80．
6．在新高考改革中，学生可从物理、历史，化学、生物、政治、地理，技术 7 科中任选 3
科参加高考，则学生有__________种选法．现有甲、乙两名学生先从物理、历史两科中任选
一科， 再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科，则甲、乙二人恰有一门学科相
同的选法有__________种．
【试题来源】浙江省杭州市桐庐分水高级中学 2020-2021 学年高三上学期期中
【答案】 35 60
【解析】由题意，7 科中任选 3 科，即 3
7
7 6 5 353 2 1C
．
分为两类，第一类：物理、历史两科中是相同学科，则有 1 2 2
2 4 2 12C C C 种；
第二类：物理、历史两科中没有相同学科，则 2 1 2
2 4 3 48A C A 种，
所以甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有12 48 60 ．
故答案为 35 ； 60 ．
7．已知 5 2 6
0 1 2 61 2 1x x a a x a x a x ，则 2a __________；
0 1 2 6a a a a __________．
【试题来源】浙江省嘉兴市 2020-2021 学年高三上学期 9 月教学测试
【答案】0 32
【分析】将原式改写成 5 521 1x xx ，求出 51 x 展开式的通项，从而求得 2a ；再
令 1x ，求出展开式系数和；
【解析】因为 5 5 5 2 6
0 1 2 61 2 1 1 12x x x x a a ax x a x x
其中 51 x 展开式的通项为 1 5
r r
rT C x ，令 1r ，则 1 1
2 5 5T C x x ，令 2r = ，则
2 2 2
3 5 10T C x x ，所以 51 2 1x x 展开式中 2x 项为 210 2 5 0x x x ，故 2 0a
令 1x 则 5
0 1 2 6 321 2 1 1a a a a
故答案为 0 ； 32 ．
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