专题11 古典概型（客观题）（理）（解析版）-2021年高考数学（理）二轮复习热点题型精选精练

专题 11 古典概型（客观题） 一、单选题 1．甲、乙、丙、丁 4 人排成一纵列，现已知甲不排首位，则乙不排末位的概率为 A． 1 2 B． 7 12 C． 2 3 D． 7 9 【试题来源】 2020 届高三下学期 5 月月考（理） 【答案】D 【分析】先确定甲不排首位时总事件数，再确定乙不排末位事件数，最后根据古典概型概率 公式求结果． 【解析】甲不排首位时有 3 33 18A  种排法， 其中甲不排首位时，乙不排末位有 3 1 1 2 3 2 2 2 14A C C A  种排法， 因此所求概率为14 7 18 9  ，故选 D． 2．文房四宝是中国独有的书法绘画工具(书画用具)，即笔、墨、纸、砚．文房四宝之名， 起源于南北朝时期，自宋朝以来“文房四宝”则特指宣笔(安徽宣城)、徽墨(安徽徽州歙县)、 宣纸(安徽宣城泾县)、歙砚(安徽徽州歙县)、洮砚(甘肃卓尼县)、端砚(广东肇庆，古称端州)．若 从上述“文房四宝”中任取两种，则恰好这两种都是“砚”的概率为 A． 1 5 B． 1 4 C． 1 3 D． 1 2 【试题来源】2021 届全国著名重点中学新高考冲刺（1） 【答案】A 【分析】根据题意可知“文房四宝”共六种，其中砚有三种，从中任取两种，共有 2 6C 种可能， 都是“砚”的可能数为 2 3C 可能，即可求得概率． 【解析】由题可知“文房四宝”共六种，其中砚有三种， 故所求事件的概率 2 3 2 6 1 5 CP C   ．故选 A． 3．袋子中有 6 个大小质地完全相同的球，其中 1 个红球，2 个黄球，3 个蓝球，从中任取 3 个球，则恰有两种颜色的概率是 A． 3 5 B． 4 5 C． 7 20 D． 13 20 【试题来源】天津市河北区 2020 届高考二模 【答案】D 【分析】从 6 个球中取三个球可能的情况三类，一类恰有一种颜色，二类恰有两种颜色，三 种恰有三种颜色，即可求得恰有两种颜色的概率． 【解析】由题可得，从中任取三个球一共有 3 6 20C  种可能的情况， 恰有一种颜色的情况有 1 种，即三个全是蓝球， 恰有三种颜色的情况有1 2 3 6   种， 所以恰有两种颜色的情况共 13 种情况，所以其概率为 13 20 ．故选 D 【名师点睛】此题考查求古典概型，当正面分类计算比较麻烦的情况可以考虑利用对立事件 求解概率． 4．现有 8 位同学参加音乐节演出，每位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知 5 人会拉小提琴， 5 人会吹长笛，现从这 8 人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概 率是 A． 1 4 B． 1 2 C． 3 8 D． 5 8 【试题来源】广东省珠海市 2021 届高三上学期第一次摸底 【答案】A 【分析】根据题意：8 位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知 5 人会拉小提琴，5 人会吹长笛 即可知有 2 位同学两种乐器都会演奏，利用古典概型的概率公式求概率即可； 【解析】由题意知，8 位同学中有 2 位同学两种乐器都会演奏 所以从 8 人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率为 (P 两种乐 器都会演奏的同学 1 2 1 8 1) 4 C C   ，故选 A． 【名师点睛】本题考查了古典概型，首先根据已知判断两种乐器都会演奏的学生人数，然后 利用古典概型的概率公式求概率． 5．自新型冠状病毒爆发以来，全国各地医护人员勇当“逆行者”支援湖北．重庆第一批共派 出甲、乙、丙、丁 4 支医疗队奔赴武汉、孝感、黄冈三个地方，每个地方至少一支医疗队， 每支医疗队只去一个地方，则甲、乙都在武汉的概率为 A． 1 3 B． 1 6 C． 2 9 D． 1 18 【试题来源】 2020 届高三下学期适应性月考九（理） 【答案】D 【分析】先确定 4 支队伍分配到三个地方，每个地方至少一支队伍，每支队伍只去一个地方 所有情况数，再确定甲、乙都在武汉情况数，最后根据古典概型概率公式求结果． 【解析】 4 支队伍分配到三个地方，每个地方至少一支队伍，每支队伍只去一个地方，共 有 2 3 4 3 36n C A  种情况，甲、乙都在武汉共 2m  种情况， 1 18 mP n    ，故选 D 6．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为男､子､伯，侯､公，共五级．若 给有巨大贡献的 3 人进行封爵，假设每种封爵的可能性相等，则 3 人中恰好有两人被封同一 等级的概率为 A． 3 5 B． 13 25 C． 4 5 D． 12 25 【试题来源】重庆市 2020 届高三下学期第九次教学质量检测（理） 【答案】D 【分析】先由题意，确定 3 人封爵所包含的总的基本事件个数，再求出满足条件的基本事件 个数，基本事件个数比，即可为所求概率． 【解析】由题意，每个人被封爵都有 5 种情况，因此对 3 人封爵，共有 35 125 种， 3 人中恰好有两人被封同一等级共有 2 2 3 5 60C A  种情况； 则 3 人中恰好有两人被封同一等级的概率为 60 12 125 25P   ． 故选 D． 7．德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，遗忘在学习之后立即开始，而且遗 忘的进程并不是均匀的．最初遗忘速度很快，以后逐渐减慢．他认为“保持和遗忘是时间的 函数”他用无意义音节（由若干音节字母组成、能够读出、但无内容意义即不是词的音节） 作为记忆材料．用节省法计算保持和遗忘的数量，并根据他的实验结果绘成描述遗忘进程的 曲线，即著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线（如图所示）．若一名学生背了 100 个英语单词，一 天后，该学生在这 100 个英语单词中随机听写 2 个英语单词，以频率代替概率，不考虑其他 因素，则该学生恰有 1 个单词不会的概率大约为 A．0.43 B．0.38 C．0.26 D．0.15 【试题来源】湖南省湘潭市 2020-2021 学年高三上学期第一次模拟（理） 【答案】B 【分析】先根据艾宾浩斯记忆遗忘曲线得到一天后记得的，和忘记的单词数量，然后利用古 典概型的概率公式求解概率即可． 【解析】根据艾宾浩斯记忆遗忘曲线得 100 个英语单词，一天后，忘记了 74 个，还记得 26 个，则该学生恰有 1 个单词不会的概率 1 1 74 26 2 100 0.38C CP C   ．故选 B． 【名师点睛】本题考查古典概型的求解，考查学生的阅读和理解能力，是基础题． 8．中国古代“五行”学说认为物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认为“金生水、水生 木、木生火、火生土、土生金”．从五种不同属性的物质中随机抽取 2 种，则抽到的两种物 质不相生的概率为 A． 1 5 B． 1 4 C． 1 3 D． 1 2 【试题来源】南昌市 2020 届高三数学（（理））零模试题 【答案】D 【分析】总共有 10 种结果，其中相生的有 5 种，由古典概型的计算公式计算出概率即可 【解析】从五种不同属性的物质中随机抽取 2 种，共 2 5 10C  种， 而相生的有 5 种，则抽到的两种物质不相生的概率 5 11 10 2P    ，故选 D． 9．《易经》是中国传统文化中的精髓．如图是易经先天八卦图，每一卦由三根线组成（“____” 表示一根阳线，“_ _”表示一根阴线），现从八卦中任取两卦，这两卦的阳线数目相同的概率 为 A． 1 14 B． 1 7 C． 3 14 D． 3 28 【试题来源】湖南省郴州市 2020-2021 学年高三上学期第一次教学质量监测 【答案】C 【分析】求出从八卦中任取两卦的基本事件总数，利用列举法求出这两卦的阳线数目相同的 基本事件，由此能求出这两卦的阳线数目相同的概率． 【解析】从八卦中任取两卦，基本事件总数 2 8 28n C  ， 这两卦的阳线数目相同的基本事件有 6种，分别为 （兑，巽），（兑，离），（巽，离）， （坎，艮），（艮、震），（坎、震）， 这两卦的阳线数目相同的概率为 6 3 28 14p   ．故选 C． 10．在不超过 20 的素数(注：如果一个大于 1 的整数除了 1 和自身外无其它正因数，则称这 个整数为素数)中，随机选取 2 个不同的数，这两个数的和等于 20 的概率是 A． 1 14 B． 1 15 C． 1 16 D． 1 17 【试题来源】河南省 2020-2021 学年高三上学期期中（文） 【答案】A 【分析】根据素数的定义，得到不超过 20 的素数有 8 个，利用组合数公式求出基本事件的 种数和所求事件的种数，再根据古典概型的概率公式可得结果． 【解析】不超过 20 的素数有 2,3,5,7,11,13,17,19 ，从中任取 2 个，有 2 8 28C  种取法， 其中满足和等于 20 的取法有 3 17 20,7 13 20    共 2， 根据古典概型的概率公式得所求概率为 2 1 28 14  ．故选 A． 11．有两对双胞胎组团去旅游，四人在某景点站成一排合影留念，则至少有一对双胞胎相邻 的概率为 A． 1 3 B． 1 2 C． 2 3 D． 3 4 【试题来源】陕西省西安市 2020 届高三下学期高考猜题卷（三）（理） 【答案】C 【分析】先计算四人站在一起的站法，再分别计算恰有一对双胞胎相邻的站法和恰有两对双 胞胎相邻的站法，最后按照概率计算公式计算即可． 【解析】四人站成一排合影共有 4 4 24A  种站法， 其中恰有一对双胞胎相邻的站法有 1 2 2 2 2 2 8C A A  种站法， 其中恰有两对双胞胎相邻的站法有 2 2 2 2 2 2 8A A A  种站法， 所以至少有一对双胞胎相邻的概率为 8 8 2 24 3P   ．故选 C． 12．已知水平直线上的某质点，每次等可能的向左或向右移动一个单位，则在第 6 次移动后， 该质点恰好回到初始位置的概率是 A． 1 4 B． 5 16 C． 3 8 D． 1 2 【试题来源】湖北省武汉襄阳荆门宜昌四地六校考试联盟 2020-2021 学年高三上学期起点联 考 【答案】B 【分析】将问题转化为一个数为零，每次加1或者减1，经过 6 次后，结果还是零的问题．用 古典概型的概率计算公式即可求得结果． 【解析】该问题等价于：一个数据为零，每次加1或者减1，经过 6 次后，结果还是零的问 题．则每次都有加 1 或者减 1 两种选择，共有 62 64 种可能； 要使得结果还是零，则只需 6 次中出现 3 次加 1，剩余 3 次为减 1， 故满足题意的可能有： 3 6 20C  种可能． 故满足题意的概率 20 5 64 16P   ．故选 B． 13．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．下 图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形 ABCD 内部为“赵爽弦 图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的．我们将图中阴影所在的四个三 角形称为“风叶”，若从该“数学风车”的八个顶点中任取两点，则该两点取自同一片“风叶”的 概率为 A． 3 7 B． 4 7 C． 3 14 D． 11 14 【试题来源】辽宁省朝阳市建平县 2020-2021 学年高三 9 月联考 【答案】A 【分析】利用组合数计算出基本事件的总数，以及事件“所选的两个顶点取自同一片“风叶”” 所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率． 【解析】从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点的基本事件有 2 8 28C  种， 其中这两个顶点取自同一片“风叶”的基本事件有 2 34 12C  种，故所求概率 12 3 28 7P   ．故 选 A． 14．北京冬奥会将于 2022 年 2 月 4 日到 20 日在北京和张家口举行．为纪念申奥成功，中国 邮政发行《北京申办 2022 年冬奥会成功纪念》邮票，图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残 奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”．现从 一套 5 枚邮票中任取 3 枚，则恰有 1 枚吉祥物邮票的概率为 A． 3 10 B． 1 2 C． 3 5 D． 7 10 【试题来源】河北省石家庄市 2021 届高三上学期教学质量检测（一） 【答案】C 【分析】先求出从一套 5 枚邮票中任取 3 枚的不同取法有 3 5 10C  种，再求出恰有 1 枚吉祥 物邮票的情况有 1 1 3 2 6C C  种，最后计算恰有 1 枚吉祥物邮票的概率即可 【解析】从一套 5 枚邮票中任取 3 枚的不同取法有 3 5 10C  种， 恰有 1 枚吉祥物邮票的情况有 1 1 3 2 6C C  种， 则恰有 1 枚吉祥物邮票的概率 6 3 10 5  ，故选 C． 15．2013 年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔 伯特在 1900 年提出的 23 个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数 p ，使得 2p  是 素数，素数对  , 2p p  称为孪生素数．在不超过 32 的素数中，随机选取两个不同的数， 能够组成孪生素数的概率是 A． 1 22 B． 1 11 C． 3 22 D． 2 11 【试题来源】安徽省六校教育研究会 2020-2021 学年高三上学期第一次素质测试（理） 【答案】B 【分析】根据题意，列举出所有不超过 32 的素数，得出能组成孪生素数的个数，进而可求 出对应的概率． 【解析】不超过 32 的素数有： 2 ，3，5， 7 ，11，13 ，17 ，19 ， 23， 29 ，31；共11 个，根据素数对 , 2p p  称为孪生素数， 得到，不超过 32 的素数能组成的孪生素数对为 3,5 ， 5,7 ， 11,13 ， 17,19 ， 29,31 ； 共5对，所以，能够组成孪生素数的概率是 2 11 5 1 11P C   ．故选 B． 16．我国古人认为宇宙万物是由金，木，水，火，土这五种元素构成，历史文献《尚书·洪 范》提出了五行的说法，到战国晚期，五行相生相克的思想被正式提出这五种物质属性的相 生相克关系如图所示，若从这五种物质属性中随机选取三种，则取出的三种物质属性中，彼 此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率为 A． 3 5 B． 1 2 C． 2 5 D． 1 3 【试题来源】湖北省武汉市部分学校 2020-2021 学年高三上学期 9 月起点质量检测 【答案】B 【分析】由题意知，这是一个古典概型，先求得从这五种物质属性中随机选取三种的基本事 件的总数，再列举出彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的基本事件，然后代入公式 求解． 【解析】因为从这五种物质属性中随机选取三种的基本事件的总数为 3 5 10n C  种 彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的基本事件为木火土，火土金，土金水，金水木， 水木火，共有 5m  种， 所以取出的三种物质属性中，彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率为 1 2 mp n   ，故选 B． 17．回文数是指从左往右读与从右往左读都是一样的正整数，如323，5445等，在所有小 于 200 的三位回文数中任取两个数，则两个回文数的三位数字之和均大于5的概率为 A． 2 5 B． 1 3 C． 2 9 D． 4 15 【试题来源】湖南省怀化市沅陵县第一中学 2020-2021 学年高三上学期第一次月考 【答案】B 【分析】首先列举所有的回文数，再利用古典概型求概率． 【解析】列出所有小于 200 的三位回文数如下：101，111，121，131，141，151，161， 171，181，191共10个，从中任取两个数共有 2 10 45C  种情况， 其中两个回文数的三位数字之和均大于5有 2 6 15C  种情况， 故所求概率为 15 1 45 3P   ．故选 B． 【名师点睛】本题考查古典概型，属于基础题型，本题的关键是正确列举所有的回文数． 18．陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山 易》中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物 质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相生关系的概率为 A． 1 2 B． 2 3 C． 2 5 D． 1 5 【试题来源】内蒙古赤峰市 2020 届高三（5 月份）高考数学（（理））模拟试题 【答案】A 【分析】从五种不同属性的物质中任取两种，基本事件总数 2 5 10n C  ，取出的两种物质 恰好是相生关系包含的基本事件个数 1 5 5m C  ，由此能求出取出的两种物质恰好是相生 关系的概率． 【解析】由金、木、水、火、土之间相生相克的关系可以看出， 现从五种不同属性的物质中任取两种，基本事件总数 2 5 10n C  ， 取出的两种物质恰好是相生关系包含的基本事件个数 1 5 5m C  ， 则取出的两种物质恰好是相生关系的概率为 5 1 10 2 mP n    ．故选 A． 19．考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857 ，因为142857 2 285714  ， 142857 3 428571  ， … 所 以 这 组 数 字 又 叫 走 马 灯 数 ． 该 组 数 字 还 有 如 下 规 律 ： 142 857 999  ，571 428 999  ，…若从1，4 ，2 ，8 ，5，7 这 6个数字中任意取出 3个数字构成一个三位数 x ，则 999 x 的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数的概 率为 A． 4 5 B． 3 5 C． 2 5 D． 3 10 【试题来源】江苏省南通市 2020-2021 学年高三上学期期中模拟 【答案】C 【分析】先计算从6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数 x 共有 3 6A 种，因为相加等于 9的数字共3组，则求出共有 1 1 1 6 4 2C C C 种情况，求出概率即可． 【解析】根据题意，从1， 4 ，2 ，8 ，5， 7 这 6个数字中任意取出3个数字构成一个三位 数 x ，共有 3 6 6 5 4 120A = 创 = 种．因为从1， 4 ， 2 ，8 ，5， 7 这 6个数字中： 1 8 9  ， 2 7 9  ， 4 5 9  ，共 3 组． 所以要使 6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数 x ， 999 x 的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数， 则每次抽取只能抽取一组数字中的一个，所以共有 1 1 1 6 4 2 6 4 2 48C C C = 创 = 种， 所以 48 2 120 5P = = ，故选 C． 20．某班级的班委有 9 位同学组成，他们分成四个小组参加某项活动，其中一个小组有 3 位同学，其余三个小组各有 2 位同学．现从这 9 位同学中随机选派 5 人，则每个小组至少有 1 人被选中的概率为 A． 8 21 B． 10 21 C． 2 7 D． 3 7 【试题来源】福建省 2021 届高三上学期开学检测 【答案】B 【分析】利用组合计数原理，先分别求出总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数， 基本事件个数比，即为所求概率． 【解析】从这 9 位同学中随机选派 5 人，共包含基本事件的个数为 5 9 126C  ； 每个小组至少有 1 人被选中，所包含的基本事件个数为    3 22 1 2 1 1 3 2 2 2 33 60C C C C C  ， 因此每个小组至少有 1 人被选中的概率为 60 10 126 21P   ．故选 B． 21．如图，《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院．有甲、 乙两人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶中的 两个动作，每人模仿一个动作，若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲只能模 仿“爬”或“扶”且乙只能模仿“扶”或“捡”的概率是 A． 1 2 B． 1 3 C． 1 4 D． 1 6 【试题来源】江苏省徐州市 2020-2021 学年高三上学期期中 【答案】C 【分析】先确定基本事件总数，再分类讨论要求事件含有的基本事件数，计算概率即可． 【解析】依题意，基本事件总数是 4 4 24A  ，设事件 A表示甲只能模仿“爬”或“扶”且乙只能 模仿“扶”或“捡”， ①若甲模仿“爬”，则乙能模仿“扶”或“捡”，有 2 种选择，剩余的 2 人全排列 2 2 2A  种排法， 故有 2 2 4  种排法； ②若甲模仿“扶”，则乙只能模仿 “捡”， 剩余的 2 人全排列 2 2 2A  种排法，故有1 2 2  种 排法，故 A包含 4 2 6  个基本事件，   6 1 24 4P A   ．故选 C． 22．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化、阴阳五行术数之源， 其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中， 如图，其中白圆点表示阳数，阳数皆为奇数，黑圆点表示阴数，阴数皆为偶数．若从这 10 个数中任取 2 个数，则取出的 2 个数中至少有 1 个偶数的概率为 A． 1 2 B． 2 9 C． 4 9 D． 7 9 【试题来源】2021 届全国著名重点中学新高考冲刺（4） 【答案】D 【分析】这 10 个数中 5 个奇数 5 个偶数，然后利用组合数和古典概型的计算公式可得答案． 【解析】由题可知，这 10 个数中 5 个奇数 5 个偶数， 所以取出的 2 个数中至少有 1 个是偶数的概率 1 1 2 5 5 5 2 10 7 9 C C CP C   ，故选 D． 23．《易经》是中国文化中的精髓，下图是易经八卦图(含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦)， 每一卦由三根线组成(——表示一根阳线，一一表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦 的三根线中恰有 1 根阳线和 2 根阴线的概率为 A． 1 8 B． 1 4 C． 3 8 D． 1 2 【试题来源】2020 年江苏省运河中学高三（举一反五） 【答案】C 【分析】直接根据概率公式计算即可． 【解析】从八卦中任取一卦，基本事件有 1 8 8C  种， 其中恰有 1 根阳线和 2 根阴线，基本事件共有 3 种， 所以从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有 1 根阳线和 2 根阴线的概率为 3 8p  故选 C 【名师点睛】具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．（1）有限性： 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）等可能性：每个基本事件出现的可能性相 等． 24．某个微信群某次进行的抢红包活动中，群主所发红包的总金额为 10 元，被随机分配为 2.49 元、1.32 元、2.19 元、0.63 元、3.37 元共 5 份，供甲、乙等 5 人抢，每人只能抢一次， 则甲、乙二人抢到的金额之和不低于 4 元的概率是 A． 2 5 B． 1 2 C． 3 4 D． 5 6 【试题来源】河南省郑州市 2020 届高三第三次质量预测（理） 【答案】B 【分析】基本事件总数 2 5 10n C  ，再利用列举法求出其中甲、乙二人抢到的金额之和不 低于 4 元的情况种数，根据古典概型概率计算公式可得结果． 【解析】所发红包的总金额为 10 元，被随机分配为 2．49 元、1．32 元、2．19 元、0．63 元、3．37 元，共 5 份，供甲、乙等 5 人抢，每人只能抢一次， 基本事件总数 2 5 10n C  ，其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于 4 元的情况有：  2.49,2,19 ， 2.49,3.37 ， 1.32,3.37 ， 2.19,3.37 ， 0.63,3,37 共有 5 种， 所以甲、乙二人抢到的金额之和不低于 4 元的概率 5 1 10 2P = = ，故选 B． 【名师点睛】本题考查适合古典概型的概率求法，解题时要认真审题，注意列举法的合理运 用，属于基础题． 25．六个人排队，甲乙不能排一起，丙必须排在前两位的概率为 A． 7 60 B． 1 6 C． 13 60 D． 1 4 【试题来源】新高考课改专家 2021 届高三数学命题卷试题 【答案】C 【分析】根据题意，结合排列组合，利用插空法和特殊位置法，先排丙，再插甲乙，即可得 解． 【解析】丙排第一，除甲乙外还有 3 人，共 3 3A 种排法，此时共有 4 个空，插入甲乙可得 2 4A ， 此时共有 3 2 3 4 =6 12=72A A  种可能； 丙排第二，甲或乙排在第一位，此时有 1 4 2 4C A 排法，甲和乙不排在第一位， 则剩下 3 人有 1 人排在第一位，则有 1 2 2 3 2 3C A A 种排法， 此时故共有 1 4 1 2 2 2 4 3 2 3+ =84C A C A A 种排法． 故概率 6 6 72 84 13 60P A   ．故选 C． 【名师点睛】本题考查了排列组合，考查了插空法和特殊位置法，在解题过程中注意各种情 况的不重不漏，有一定的计算量，属于较难题． 26．2018 年 3 月 7 日《科学网》刊登“动物可以自我驯化”的文章表明：关于野生小鼠的最 新研究，它们在几乎没有任何人类影响的情况下也能表现出进化的迹象——皮毛上白色的斑 块以及短鼻子．为了观察野生小鼠的这种表征，从有 2 对不同表征的小鼠（白色斑块和短鼻 子野生小鼠各一对）的实验箱中每次拿出一只，不放回地拿出 2 只，则拿出的野生小鼠不是 同一表征的概率为 A． 1 4 B． 1 3 C． 2 3 D． 3 4 【试题来源】【全国百强校】河北省武邑中学 2019 届高三上学期开学考试（理） 【答案】C 【分析】由题意结合排列组合公式和古典概型计算公式整理计算即可求得最终结果． 【解析】设四只小鼠为 1 2 1 2, , ,A A B B ， 由组合数公式可知，四只小鼠中不放回地拿出 2 只，共有 2 4 6C  种方法， 其中满足题意的方法为 1 1A B ， 1 2A B ， 2 1A B ， 2 2A B 四种方法， 结合古典概型计算公式可得，满足题意的概率值为 4 2 6 3p   ． 本题选择 C 选项． 【名师点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基 本事件数．（1）基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、 不遗漏，可借助“树状图”列举．（2）注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用． 27．将数字 1，2，3，4，5 这五个数随机排成一列组成一个数列，则该数列为先减后增数列 的概率为 A． 1 20 B． 7 60 C． 1 12 D． 7 24 【试题来源】吉林省长春市第八中学 2020 届高三考前浏览卷（理） 【答案】B 【分析】根据题意，求出这五个数随机排成一列组成一个数列的所有可能情况，该数列为先 减后增，可知 1 一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种，结合 1 前面的情况， 分类讨论求出满足条件的情况数，最后根据古典概型求出概率即可． 【解析】将数字 1，2，3，4，5 这五个数随机排成一列组成一个数列， 则所有可能情况有 5 5 120A  种情况，由于该数列为先减后增， 则 1 一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种， 当 1 前面只有一个数时，有 4 种情况， 当 1 前面只有 2 个数时，有 2 4 6C  种情况， 当 1 前面有 3 个数时，有 4 种情况，故一共有 4 6 4 14   ， 故数列为先减后增数列的概率 14 7 120 60p   ．故选 B． 【名师点睛】本题考查数学排列问题，考查分类加法计数原理、排列和组合在实际问题中的 应用，以及古典概型的概率的公式，考查分类讨论思想和运算能力． 28．已知在 10 件产品中可能存在次品，从中抽取 2 件检查，记次品数为 X ，已知 16( 1) 45P X   ，且该产品的次品率不超过 40% ，则这 10 件产品的次品数为 A．2 件 B．4 件 C．6 件 D．8 件 【试题来源】天津市耀华中学 2021 届高三（上）暑假验收 【答案】A 【分析】设 10 件产品中存在 n 件次品，根据题意列出方程求出 n 的值． 【解析】设 10 件产品中存在 n 件次品，从中抽取 2 件，其次品数为 X ， 由 16( 1) 45P X   得， 1 1 10 2 10 16 45 n nC C C   ，化简得 2 10 16 0n n   ， 解得 2n  或 8n  ；又该产品的次品率不超过 40% ， 4n „ ；应取 2n  ，故选 A． 29．琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大 乐器”．为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中 国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节 课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为 A． 1 360 B． 1 6 C． 7 15 D． 1 15 【试题来源】2021 届全国著名重点中学新高考冲刺（6） 【答案】B 【分析】先求出全部的结果总数为 8 10A ，再求出琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器 互不相邻的基本事件总数为 5 3 7 6A A ，再利用古典概型的概率求解． 【解析】从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为 8 10A ．从除琵琶、二胡、编钟三种乐 器外的七种乐器中挑五种全排列，有 5 7A 种情况，再从排好的五种乐器形成的 6 个空中挑 3 个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器，有 3 6A 种情况，故琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三 种乐器互不相邻的情况种数为 5 3 7 6A A ． 所以所求的概率 5 3 7 6 8 10 1 6 A AP A   ，故选 B． 【名师点睛】排列组合常用的方法有：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空 法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列 举法． 30．已知 1a ，  2 3 4, , 1,2,3,4a a a  ，  1 2 3 4, , ,N a a a a 为 1 2 3 4, , ,a a a a 中不同数字的种类， 如 (11 2 3) 3N ，，， ， (1 2 21) 2N ，，， ， 求 所 有 的 256 个  1 2 3 4, , ,a a a a 的 排 列 所 得 的  1 2 3 4, , ,N a a a a 的平均值为 A． 87 32 B．11 4 C．177 64 D．175 64 【试题来源】 2020-2021 学年高三上学期开学考试（理） 【答案】D 【分析】本题首先可以确定  1 2 3 4, , ,N a a a a 的所有可能取值分别为1 2 3 4、、、，然后分别计 算 出 每 一 种 取 值 所 对 应 的 概 率 ， 最 后 根 据 每 一 种 取 值 所 对 应 的 概 率 即 可 计 算 出  1 2 3 4, , ,N a a a a 的平均值． 【解析】由题意可知，当  1 2 3 4, , , 1N a a a a  时， 1 4 1 14 4 64P    ； 当  1 2 3 4, , , 2N a a a a  时，  1 2 1 4 4 4 2 4 6 84 21 4 256 64 C C C P       ； 当  1 2 3 4, , , 3N a a a a  时，   3 4 4 3 6+3+3 144 9 4 256 16P    ； 当  1 2 3 4, , , 4N a a a a  时， 4 4 4 4 24 3= =4 256 32 AP  ， 综上所述，所有的 256 个 1 2 3 4, , ,a a a a 的排列所得的  1 2 3 4, , ,N a a a a 的平均值为 1 21 9 3 1751 +2 +3 +4 =64 64 16 32 64     ，故选 D． 【名师点睛】本题考查了平均值的计算，能否通过题意得出  1 2 3 4, , ,N a a a a 的所有可能情 况并计算出每一种可能情况所对应的概率是解决本题的关键，考查推理能力与计算能力，是 难题． 二、填空题 1．数学多选题有 A，B，C，D 四个选项，在给出的选项中，有多项符合题目要求全都选对 的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错得不得分，已知某道数学多选题正确答案为 B，D， 小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了一到三个选项，则他能得分的概率为_________． 【试题来源】江苏省南京市秦淮区三校（第三高级中学、第五高级中学、第二十七中学） 2020-2021 学年高三上学期期中联考 【答案】 3 14 【分析】先求出总共的涂法，再得出能得分的涂法，即可计算概率． 【解析】由题意可知随机地填涂了一到三个选项，共有 1 2 3 4 4 4 14C C C   种涂法，而得分 的涂法为 B、BD、D，共有 3 种，则能得分的概率为 3 14 ．故答案为 3 14 ． 2．从1， 2 ，3， 4 ，5中任取3个不同数字，这 3个数字之和是偶数的概率为_________． 【试题来源】2020 届全国普通高校运动训练、民族传统体育专业单独统一招生考试 【答案】 3 5 【分析】先计算从这5个数中任意选3个的情况总数，再计算当3个数之和为偶数的情况数， 然后利用古典概型的概率计算方法求解即可． 【解析】总共5个数字，挑3个，总共 3 5 10C  种挑法，3个数之和是偶数，则为两个奇数一 个偶数，共有 2 1 3 2 6C C  种挑法 ，故从这 5 个数中挑 3 个不同的数且和为偶数的概率为 6 3 10 5  ．故答案为 3 5 ． 3．数学多选题有 A，B，C，D 四个选项，在给出选项中，有多项符合题目要求全部选对的 得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的不得分．已知某道数学多选题正确答案为 B，D，小 明同学不会做这道题目，他随机地填涂了至少一个选项，则他能得分的概率为_________． 【试题来源】河北省衡水中学 2021 届高三数学第一次联合考试 【答案】 1 5 【分析】首先利用排列组合，求出随机地填涂了至少一个选项共有的涂法数，再求出得分的 涂法数，相除即可得解． 【解析】随机地填涂了至少一个选项共有 1 2 3 4 4 4 4 4 15C C C C    种涂法， 得分的涂法为 3 种，故他能得分的概率为 1 5 ． 【名师点睛】本题考查了利用排列组合求概率，正确解读“至少”是本题解题关键，在解题时， 注意不重不漏，属于中档题． 4．有 9 本不同的书，其中语文书 2 本，英语书 3 本，数学书 4 本，现随机拿出 2 本．两本 书不同类的概率为_________． 【试题来源】浙江省金华市东阳中学 2020-2021 学年高三上学期 10 月阶段考试 【答案】 13 18 【分析】求出基本事件的总数和所求事件包含的基本事件数，再用古典概型的概率公式计算 可得结果． 【解析】从 9 本不同的书中随机拿出 2 本，共有 2 9 9 8 362 1C   种，其中两本书不同类的 有 1 1 1 1 1 1 2 3 2 4 3 4 6 8 12 26C C C C C C      种， 所以所求事件的概率为 26 13 36 18  ．故答案为 13 18 ． 【名师点睛】本题考查了组合数，考查了古典概型的概率公式，属于基础题． 5．2021 年起，多省将实行“3 1 2  ”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、 历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影 响，则甲同学同时选择物理和化学的概率为_________． 【试题来源】上海市 2021 届高三上学期 9 月测试 【答案】 1 4 【分析】先求出所有选科的可能情况，而在物理、历史中选物理只有 1 种方法，在化学、生 物、政治、地理选了化学的有三种方法，由此可计算出概率． 【解析】物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，共有 1 2 2 4 12C C  种方法， 同时选择物理和化学的方法数为 1 31 3C  ， 所求概率为 3 1 12 4P   ．故答案为 1 4 ． 【名师点睛】本题考查古典概型概率计算，解题关键是求出选科中所有基本事件的个数及含 有物理化学的基本事件的个数． 6．5 人并排站成一行，甲乙两人之间恰好有一人的概率是_________．(用数字作答) 【试题来源】湖北省龙泉中学、、 2020-2021 学年高三上学期 9 月联考 【答案】 3 10 【分析】利用捆绑法求出甲乙两人之间恰好有一人的排法，再求出 5 人并排站成一行的排法， 利用古典概率公式计算即可． 【解析】甲乙两人之间恰好有一人的排法共有 2 1 3 2 3 3 36A C A  种， 5 人并排站成一行的排法共有 5 5 120A  种， 所以甲乙两人之间恰好有一人的概率是 36 3 120 10P   ，故答案为 3 10 ． 7．已知 7 件产品中有 5 件合格品，2 件次品．为找出这 2 件次品，每次任取一件检验，检 验后不放回，则“恰好第一次检验出正品且第五次检验出最后一件次品”的概率为_________． 【试题来源】 2020-2021 学年高三上学期月考（三） 【答案】 1 7 【分析】根据两件次品的位置，得到共有 2 7C 21 种情形，再根据题意，得到另一件次品的 可能数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解． 【解析】由题意，7 件产品中有 5 件合格品，则两件次品的位置，共有 2 7C 21 种取法， 因为恰好第五次取出最后一件次品，可得另一件次品只能排 2，3，4 位， 共有 1 3C 3 种取法，所以概率为 1 7 ．故答案为 1 7 ． 【名师点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及组合数公式的应用，其中解答 中正确理解题意，结合组合数的计算和古典概型的概率公式求解是解答的关键，着重考查分 析问题和解答问题的能力． 8．用红、黄、蓝 3 种颜色给 3 面信号旗随机染色，每面信号旗只能染一种颜色，则 3 面信 号旗中有且仅有两面信号旗颜色相同的概率是_________． 【试题来源】江苏省 2020 届高三下学期 6 月模拟最后一卷 【答案】 2 3 【分析】先由题意，得到用三种颜色涂信号旗所包含的基本事件总数，再求出满足“3 面信 号旗中有且仅有两面信号旗颜色相同”所包含的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概 率． 【解析】红、黄、蓝 3 种颜色给 3 面信号旗随机染色，每面信号旗只能染一种颜色，共有 33 27 种情况； 3 面信号旗中有且仅有两面信号旗颜色相同，需要从 3 面信号旗中选择两面涂三种颜色种 的一种，剩下两种颜色可供最后一面信号旗选择，则共有 2 1 1 3 3 2 18C C C  种情况； 因此 3 面信号旗中有且仅有两面信号旗颜色相同的概率是 18 2 27 3  ． 故答案为 2 3 ． 【名师点睛】本题主要考查涂色问题，考查求古典概型的概率，属于跨章节综合题． 9．山西省高考将实行 3+3 模式，即语文数学英语必选，物理，化学，生物，历史，政治， 地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，假设他们对六科没有偏好，则他们选科至少 两科相同的概率为_________． 【试题来源】山东省菏泽市成武一中 2020 届高三数学第二次模拟试题 【答案】 1 2 【分析】由题意得，基本事件总数 3 3 6 6 400n C C  ，他们选科至少两科相同包含的基本事 件个数 1 3 2 1 3 6 4 6 200m C CCC   ，再根据古典概型的概率计算公式即可求出概率． 【解析】山西省高考将实行3 3 模式，即语文数学英语必选，物理，化学，生物，历史， 政治，地理六选三， 今年高一的小明与小芳进行选科，包含的基本事件总数 3 3 6 6 400n C C  ， 他们选科至少两科相同包含的基本事件个数 1 3 2 1 3 6 4 6 200m C CCC   ， 他们选科至少两科相同的概率为 200 1 400 2 mp n    ，故答案为 1 2 ． 10．已知甲有 2 张印着数字 2 的卡片，乙有 3 张印着数字 2 的卡片和 3 张印着数字 3 的卡片， 乙先从自己的卡片中任选 2 张卡片给甲，甲再从现有的卡片中任选 2 张还给乙，每张卡片被 选中的可能性都相等，则甲给乙的两张卡片都印着数字 2 的概率为_________． 【试题来源】河北省衡水中学 2021 届全国高三第一次联合考试（全国卷）理数试题 【答案】 8 15 【分析】分三种情况：①乙选两张印着数字 3 的卡片给甲；②乙选 1 张印着数字 2 和 1 张印 着数字 3 的卡片给甲；③乙选 2 张印着数字 2 的卡片给甲，分别计算概率即可． 【解析】可分为三种情况：①乙选两张印着数字 3 的卡片给甲；②乙选 1 张印着数字 2 和 1 张 印 着 数 字 3 的 卡 片 给 甲 ； ③ 乙 选 2 张 印 着 数 字 2 的 卡 片 给 甲 ， 所 以 2 2 1 1 2 2 3 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 6 4 6 4 6 C C C C C C 16 81C C C C C 30 15P         ．故答案为 8 15 【名师点睛】本题考查概率的计算，考查互斥事件与相互独立事件的概率计算，考查分类讨 论的思想． 11．有五张写有 1、2、3、4、5 的卡片，每次抽取 1 张记好数字后放回，这样抽 4 次，则抽 到的最大数与最小数的差小于 4 的概率是_________． 【试题来源】上海市华东师大二附中 2021 届高三上学期 9 月月考 【答案】 431 625 【分析】五张不同的卡片，有放回的抽 4 次，共有 45 种不同的取法，最大数与最小数的差 小于 4 的取法指所选的数字均来自 1，2，3，4 或者 2，3，4，5 的情况，再去掉重复的部分 ——所选的数字均来自 2，3，4 的情况，再利用概率公式即可求概率． 【解析】有五张写有 1、2、3、4、5 的卡片，每次抽取 1 张记好数字后放回，这样抽 4 次， 共有 45 种不同的取法，差值可能为 1、2、3、4， 最大数与最小数的差等于 4，则 4 次抽取中 5 或 1 没有抽到，没有抽到 1 的有 44 没有抽到 5 的有 44 ，5 和 1 都没有抽到的有 43 种，所以抽到的最大数与最小数的差小于 4 有 4 42 4 3  种，所以抽到的最大数与最小数的差小于 4 的概率 4 4 4 4 2 3 431 5 625P    ， 故答案为 431 625 ． 12．从 1 3 、 1 2 、2、3、5、9 中任取两个不同的数，分别记为 m、n，则“logmn＞0”的概率为 _________． 【试题来源】陕西省西安地区 2020 届高三下学期八校联考（理） 【答案】 7 15 【分析】根据对数的性质、排列知识和古典概型的概率公式可得结果． 【解析】因为 log 0m n  等价于 1m > 且 1n  ，或 0 1m  且 0 1n  ， 从 1 3 、 1 2 、2、3、5、9 中任取两个不同的数，共可得到 2 6 30A  个对数值， 其中对数值为正数的有 2 2 2 4 2 12 14A A    个， 所以“logmn＞0”的概率为 14 7 30 15  ．故答案为 7 15 ． 13．算盘是中国传统的计算工具，其形为长方形，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横 以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，运算时定位后拨珠计算．算珠梁上 部分叫上珠，梁下部分叫下珠．如图，若拨珠的三档从左至右依次定位：百位档、十位档、 个位档，则表示数字 518．若在千、百、十、个位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选 择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字能被 5 整除的概率为_________． 【试题来源】 2021 届高三上学期高考适应性月考（一） 【答案】 1 2 【分析】所拨数字共有 1 2 4 4 24C C  种可能，若所拨数字能被 5 整除，则个位数字只能是 5 或 0，然后分个位数字为 5 和个位数字为 0 两种情况求出所需要的种数，再利用古典概型的 概率公式求解即可 【解析】所拨数字共有 1 2 4 4 24C C  种可能，若所拨数字能被 5 整除，则个位数字只能是 5 或 0，当个位数字为 5 时，则个位档拨一颗上珠，其他三档选择两个档位各拨一颗下珠，有 2 3 3C  种；当个位数字为 0 时，则个位档不拨珠，其他三档选择一档位拨一颗上珠，再选 择两个档位各拨一颗下珠，有 1 2 3 3 9C C  种，所以所拨数字能被 5 整除的概率为 3 9 1 24 2   ， 故答案为 1 2 【名师点睛】此题考查古典概型的概率的求法，考查分类思想和计算能力，属于中档题 14．甲从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取三个不同的元素，并按降序排列得到十进制三位 数 a ，乙从集合{1,2,3,4,5,6,7,8}中任取三个不同的元素，并按降序排列得到十进制三位 数b ，则 a b 的概率为_________． 【试题来源】浙江省名校联盟 2020-2021 学年高三上学期第一次联考 【答案】 37 56 【分析】分甲取 9 或不取 9 分类，利用古典概型结合组合数的计算即可得解． 【解析】从{1,2,3,4,5,6,7,8}任取三个不同的元素有 3 8 56C  种选择， 按甲取 9 或不取 9 分类，可得 a b 的概率： 2 3 2 8 8 56 3 3 9 8 28 56 55 28 56 55 37 84 56 3 56 56 C C CP C C          ．故答案为 37 56 ． 15．高三年级毕业成人礼活动中，要求 A， B ，C 三个班级各出三人，组成3 3 小方阵， 则来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率为_________． 【试题来源】江西省 2020 届高三高考数学（（理））校测试卷题（三） 【答案】 1 140 【分析】根据题意，由排列、组合数公式计算“三个班级各出三人，组成3 3 小方阵”和“来 自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列”的排法，由古典概型公式计算可得答案． 【解析】根据题意， A， B ，C 三个班级各出三人，组成 3 3 小方阵，有 9 9A 种安排方法， 若来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列，则第一行队伍的排法有 3 3 6A  种， 第二行队伍的排法有 2 种；第三行队伍的排法有 1 种； 第一行的每个位置的人员安排方法有 3 3 3 27   种，第二行的每个位置的人员安排有 2 2 2 8   种，第三行的每个位置的人员安排有1 1 1 1   种， 则自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率 9 9 6 2 27 8 1 140P A     ． 16．某电视台连续播放 5 个广告，其中 3 个不同的商业广告和 2 个不同的奥运宣传广告，则 最后播放的是奥运宣传广告，且 2 个奥运宣传广告不连续播放的概率是_________． 【试题来源】上海市位育中学 2021 届高三上学期 10 月月考 【答案】 3 10 【分析】本题是一个等可能事件的概率，满足条件的事件是首先从两个奥运广告中选一个放 在最后位置，第二个奥运广告只能从前三个中选一个位置排列，余下的三个元素在三个位置 全排列，共有 3 3A 种结果，得到概率． 【解析】由题意知本题是等可能事件的概率，所有事件数是 5 5 120A  ， 满足条件的首先从两个奥运广告中选一个放在最后位置，有 1 2 2C  种结果， 两个奥运广告不能连放，第二个奥运广告只能从前三个中选一个位置排列，有 3 种结果，余 下的三个元素在三个位置全排列，共有 3 3A 种结果，共有 3 32 3 36A   种结果， 要求的概率是 36 3 120 10  ，故答案为 3 10 ． 17．一口袋中装有大小完全相同的红色、蓝色、黄色、绿色小球各一个，从中随机摸出一个 球，记下颜色后放回袋中继续摸球，当四种颜色都被记到就停止摸球，则恰好摸球五次就停 止摸球的概率为_________． 【试题来源】辽宁省丹东市 2020-2021 学年高三上学期 10 月月考 【答案】 9 64 【分析】本题首先可求出共有多少种可能事件，然后将题意转化为前 4 次摸到三种颜色且第 五次摸到第 4 种颜色，求出所有满足的可能事件的数目，最后两者相除，即可得出结果． 【解析】根据题意，一口袋中有 4 个球，有放回的摸 5 次，有 54 种可能事件， 若恰好摸球五次就停止摸球，即恰好到第五次四种颜色都被摸到， 即前 4 次摸到三种颜色，第五次摸到第 4 种颜色，有 1 1 2 2 4 3 4 2C C C A 种可能事件， 故恰好摸球五次就停止摸球的概率 1 1 2 2 4 3 4 2 5 9 4 64 C C C AP   ，故答案为 9 64 ． 【名师点睛】本题考查古典概型的相关概率计算，能否得出所有的可能事件数目以及满足题 意中限制条件的可能事件数目是解决本题的关键，考查排列组合的应用，考查计算能力，是 中档题． 18．某校进行体育抽测，小明与小华都要在50m 跑、跳高、跳远、铅球、标枪、三级跳远 这 6 项运动中选出 3 项进行测试，假设他们对这 6 项运动没有偏好，则他们选择的结果至少 有 2 项相同的概率为_________． 【试题来源】江苏省南京市六校联合体 2020-2021 学年高三上学期 11 月联考 【答案】 1 2 【分析】由题意分析知，小明与小华选择的结果至少有 2 项相同：{有 2 项相同，有 3 项相 同}，而他们选项目是相互独立的，即总选法共有 3 3 6 6C C 种，即可算出概率． 【解析】由题意，两人在 6 项运动任选 3 项的选法： 3 3 6 6 400C C  种， 小明与小华选出 3 项中有 2 项相同的选法： 2 1 1 6 4 3 180C C C  种， 小明与小华选出 3 项中有 3 项相同的选法： 3 6 20C  种， 所以他们选择的结果至少有 2 项相同的概率为 2 1 1 3 6 4 3 6 3 3 6 6 1 2 C C C CP C C   ， 故答案为 1 2 ． 三、双空题 1．非典和新冠肺炎两场疫情告诉我们：应坚决杜绝食用野生动物，提倡文明健康，绿色环 保的生活方式．在我国抗击新冠肺炎期间，某校开展一次有关病毒的网络科普讲座．高三年 级男生 60 人，女生 40 人参加．按分层抽样的方法，在 100 名同学中选出 5 人，则男生中选 出_________人．再从此 5 人中选出两名同学作为联络人，则这两名联络人中男女都有的概 率是_________． 【试题来源】河南省许昌市、济源市、平顶山市 2020 届高三数学（（文））第三次质检试题 【答案】3 3 5 【解析】按分层抽样的方法，在 100 名同学中选出 5 人，则男生中选 560 =3100  人，女生 中选 2 人；从此 5 人中选出两名同学作为联络人，设这两名联络人中男女都有为事件 A， 则 1 1 3 2 2 5 6 3( )= 10 5 C CP A C   ．故答案为 3； 3 5 2． 2020 年新型冠状病毒肆虐全球，目前我国疫情已经得到缓解，为了彰显我中华民族的 大爱精神，我国决定派遣具有丰富抗击疫情经验的四支不同的医疗队 A、 B 、C 、 D ，前 往四个国家 E 、 F 、 G 、 H 进行抗疫技术指导，每支医疗队到一个国家，那么总共有 _________（请用数字作答）种的不同的派遣方法．如果已知 A医疗队被派遣到 H 国家，那 么此时 B 医疗队被派遣到 E 国的概率是_________． 【试题来源】河南省许昌市、济源市、平顶山市 2020 届高三数学（（理））第三次质检试题 【答案】 24 1 3 【解析】由题意可知，每支医疗队到一个国家的派遣方法数为 4 4 24A  ， 由于 A医疗队被派遣到 H 国家，则 B 医疗队可派遣到其它3个国家，因此， B 医疗队被派 遣到 E 国的概率是 1 3 ．故答案为 24 ； 1 3 ． 3．在浙江省新高考选考科目报名中，甲、乙、丙、丁四位同学均已选择物理、化学作为选 考科目，现要从生物、政治、历史、地理、技术这五门课程中选择一门作为选考科目，则不 同的选报方案有_________种（用数字作答）；若每位同学选报这五门学科中的任意一门是等 可能的，则这四位同学恰好同时选报了其中的两门课程的概率为_________． 【试题来源】浙江省十校联盟 2020-2021 学年高三上学期 10 月联考 【答案】625 28 125 【解析】从生物、政治、历史、地理、技术这五门课程中选择一门作为选考科目，则不同的 选报方案有 45 625 种； 若这四位同学恰好同时选报了其中的两门课程， 其中一人独自选一科，另外三人选一科，共有不同的选报方案 2 1 2 5 4 2 80C C A  种， 其中两人选一科，另外两人选另一科，共有不同的选报方案 2 2 2 5 4 2 2 2 60C C A A  种， 则这四位同学恰好同时选报了其中的两门课程的概率为 80 60 28 625 125   ，故答案为 28625,125 4．6 名同学报考 A、 B 、C 三所大学，每人只能从这三所大学中选一所大学作为第一志愿 学校．假设每位同学选择哪所大学是等可能的．若每所院校至少有一人报名，则共有 _________种不同的报名方法；若六名同学完全根据个人兴趣自由报考，则每所大学恰好均 有两人报考的概率为_________． 【试题来源】天津市南开区 2019-2020 学年高三下学期第五次月考 【答案】540 1 6 【解析】按照各大学报名人数分三类．一所大学报 4 人，其余各 1 人，有方法数 1 4 2 3 6 2 90C C A  种，一所大学报 3 人，一所 2 人一所 1 人，有方法数 1 2 3 6 5 3 360C C A  种，三所学校各 2 人， 2 2 2 36 4 2 33 3 90C C C AA   种，共有 90＋360＋90＝540 种，每所大学恰好均有两人报考的概率为 90 1 540 6P   ．故答案为 540； 1 6 ． 5．现有 12 个不同的小球，其中红色、黄色、蓝色、绿色小球各 3 个，从中任取 3 个，所取 三球中含有红色球的概率为_________；若所取三球中红色小球和黄色小球都至少各一个， 则不同取法种数为_________．（用数字作答） 【试题来源】 2020 届高三下学期高考适应性考试 【答案】 34 55 72 【解析】从 12 个不同的小球中任取 3 个，有 3 12 220C  种， 其 中 所 取 三 球 中 不 含 有 红 色 球 的 有 3 9 84C  种 ， 所 以 所 取 三 球 中 含 有 红 色 球 的 有 220 84 136  种，所以所取三球中含有红色球的概率为 136 34 220 55  ． 因为所取三球中红色小球和黄色小球都至少各一个包含三种情况： ①一个红色，一个黄色：共有 1 1 1 3 3 6 54C C C   种；②1 个红色，2 个黄色：共有 1 2 3 3 9C C  种；③2 个红色，1 个黄色：共有 2 1 3 3 9C C  种， 所以所取三球中红色小球和黄色小球都至少各一个共有54 9 9 72   种， 故答案： 34 55 ；72．