专题 53 概 率（多选题）
一、题型选讲
题型一 、正态分布型
例 1、（2020·山东青岛·高三开学考试）近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，
贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别
服从正态分布 2( ,30 )N 和 2(280,40 )N ，则下列选项正确的是（ ）
附：若随机变量 X 服从正态分布 2( , )N ，则 ( ) 0.6826P X .
A．若红玫瑰日销售量范围在 ( 30,280) 的概率是 0.6826 ，则红玫瑰日销售量的平均数约为 250
B．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中
C．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中
D．白玫瑰日销售量范围在 (280,320) 的概率约为 0.3413
【答案】ABD
【解析】对于选项 A： +30=280， =250 ，正确；
对于选项 B C：利用 越小越集中， 30 小于 40 ，B 正确，C 不正确；
对于选项 D： (280 320)= P X 1( ) 0.6826 0.34132
P X ，正确.
故选：ABD.
例 2、甲、乙两类水果的质量（单位：kg ）分别服从正态分布 2 2
1 1 2 2, , ,N N ，其正态分布的密度
曲线如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．甲类水果的平均质量 1 0.4kg
B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近
【答案】ABC
【解析】
由图像可知,甲类水果的平均质量 1 0.4kg ,乙类水果的平均质量 2 0.8kg , 1 2 ,则 A,B,C 都正确；D
不正确.
故选：ABC.
题型二、线性回归方程及独立性检验
例 3、（2020 届山东省德州市高三上期末）针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”
作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的 4
5
，女生喜欢抖音的人
数占女生人数 3
5
，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有（ ）人
附表：
2
0P K k 0.050 0.010
k 3.841 6.635
附：
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
A． 25 B． 45 C． 60 D． 75
【答案】BC
【解析】
设男生的人数为 5n n N ，根据题意列出 2 2 列联表如下表所示：
男生 女生 合计
喜欢抖音 4n 3n 7n
不喜欢抖音 n 2n 3n
合计 5n 5n 10n
则 2
2 10 4 2 3 10
5 5 7 3 21
n n n n n nK n n n n
，
由于有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则 23.841 6.632K ，
即 103.841 6.63221
n ，得8.0661 13.9272n ，
n N ，则 n 的可能取值有 9、10 、11、12 ，
因此，调查人数中男生人数的可能值为 45 或 60 .
故选：BC.
例 4、（2020 届山东省烟台市高三上期末）某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了 50 名
男生和 50 名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表.经计算 2K 的
观测值 4.762k ，则可以推断出（ ）
满意 不满意
男 30 20
女 40 10
2P K k 0.100 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
A．该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为 3
5
B．调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意
C．有 95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
D．有 99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
【答案】AC
【解析】
对于选项 A,该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为 30 3
30 20 5=+ ,故 A 正确；
对于选项 B,该学校女生对食堂服务满意的概率的估计值为 40 4 3
40 10 5 5
,故 B 错误；
因为 4.762 3.841k ,所以有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异,故 C 正确,D 错误
故选：AC
题型三、常见概率
例 5、（2020·山东潍坊·高三月考）（多选题）从甲袋中摸出一个红球的概率是 1
3
，从乙袋中摸出一个红球的
概率是 1
2
，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ）
A．2 个球都是红球的概率为 1
6 B．2 个球不都是红球的概率为 1
3
C．至少有 1 个红球的概率为 2
3 D．2 个球中恰有 1 个红球的概率为 1
2
【答案】ACD
【解析】
设“从甲袋中摸出一个红球”为事件 1A ，“从乙袋中模出一个红球”为事件 2A ，
则 1
1
3P A ， 2
1
2P A ，且 1A ， 2A 独立；
在 A 中，2 个球都是红球为 1 2A A ，其概率为 1 1 1
3 2 6
，A 正确；
在 B 中，“2 个球不都是红球”是“2 个球都是红球”的对立事件，其概率为 5
6
，B 错误；
在 C 中，2 个球中至少有 1 个红球的概率为 2 1 21 ( ) ( ) 1 3 2 3P A P B ，C 正确；
2 个球中恰有 1 个红球的概率为 1 2 1 1
2 3 2
1
3 2
，D 正确.
故选：ACD．
例 6、（2020 届山东省潍坊市高三上学期统考）某市有 A， B ，C ， D 四个景点，一位游客来该市游览，
已知该游客游览 A的概率为 2
3
，游览 B ，C 和 D 的概率都是 1
2
，且该游客是否游览这四个景点相互独立.
用随机变量 X 表示该游客游览的景点的个数，下列正确的（ ）
A．游客至多游览一个景点的概率 1
4 B． 32 8P X
C． 14 24P X D． 13
6E X
【答案】ABD
【解析】
记该游客游览i 个景点为事件 iA ， 0,1i ，
则 0
2 1 1 1 11 1 1 13 2 2 2 24P A
，
3 2
1
1 3
2 1 2 1 1 51 1 1 13 2 3 2 2 24P A C
，
所以游客至多游览一个景点的概率为 0 1
1 5 1
24 24 4P A P A ，故 A 正确；
随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3,4;
0
1( 0) 24P X P A ，
1
5( 1) 24P X P A ，
2
1
3
2 1 1( 2) 13 2 2P X C
2
2
3
2 1 1 31 13 2 2 8C
，故 B 正确；
2
3
2 1 1( 3) 13 2 2P X C
3
3
3
1 1 71 3 2 24C
，
32 1 1( 4) 3 2 12P X
，故 C 错误；
数学期望为： 1 5 9 7( ) 0 1 2 324 24 24 24E X 2 134 24 6
，故 D 正确，
故选：ABD.
二、达标训练
1、设离散型随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
P q 0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量Y 满足 2 1Y X ，则下列结果正确的有（）
A． 0.1q B． 2EX ， 1.4DX
C． 2EX ， 1.8DX D． 5EY ， 7.2DY
【答案】ACD
【解析】
因为 0.4 0.1 0.2 0.2 1q ，所以 0.1q ，故 A 正确；
又 0 0.1 1 0.4 2 0.1 3 0.2 4 0.2 2EX ，
2 2 2 2 2(0 2) 0.1 (1 2) 0.4 (2 2) 0.1 (3 2) 0.2 (4 2) 0.2 1.8DX ，故 C 正确；因为
2 1Y X ，所以 2 1 5EY EX ， 4 7.2DY DX ，故 D 正确.
故选：ACD.
2、下列命题中，正确的命题的是（ ）
A．已知随机变量服从二项分布 ,B n p ，若 30E x ， 20D x ，则 2
3p ；
B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；
C．设随机变量 服从正态分布 0,1N ，若 1P p ，则 11 0 2P P ；
D．某人在 10 次射击中，击中目标的次数为 X ， ~ 10,0.8X B ，则当 8x 时概率最大．
【答案】BCD
【解析】
对于选项 A：随机变量服从二项分布 ,B n p ， 30E X ， 20D X ，可得 30np ， 1 20np p ，
则 1
3p ，故选项 A 错误；
对于选项 B：根据公式易知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，一般地，
E a b aE b ， 2 ,D a b a D a b 为常数 ，故选项 B 正确；
对于选项 C：随机变量 服从正态分布 0,1N ，则图象关于 y 轴对称，若 1P p ，则
10 1 2P p ，即 11 0 2P p ，故选项 C 正确；
对于选项 D：因为在 10 次射击中，击中目标的次数为 X ， ~ 10,0,8X B ，当 x k 时，对应的概率
10
10 0.2k k kP x k C ，所以当 1k ³ 时，
10
10
1 1 10 1
10
4 110.8 0.2
1 0.8 0.2
k k k
k k k
P x k kC
P x k C k
，由
4 11 11
P x k k
P x k k
得， 44 4k k ，即 441 5k ，因为 *k N ，所以1 8k 且 *k N ，
即 8k = 时，概率 8P x 最大，故选项 D 正确．
故选：BCD
3、下列说法正确的有（ ）
A．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数 r 的绝对值越接近于 0
B． 2 1 2 1E X E X ， 2 1 4 1D X D X
C．设随机变量 服从正态分布 0,1N ，若 1P p ，则 1 1 1 2P p
D．甲、乙、丙、丁 4 个人到 4 个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 A “4 个人去的景点各不相同”，
事件 B “甲独自去一个景点”，则 2
9P A B
【答案】CD
【详解】
对于 A 中，根据相关系数的定义，可得两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数 r 的绝对值越接近于 1，
所以 A 错误；
对于 B 中，由 2 1 2 1E X E X ， 2 1 4D X D X ，所以 B 错误；
对于 C 中，设随机变量 服从正态分布 0,1N ， 1 1P P p ，
则 1 1 1 2P p ，所以 C 正确；
对于 D 中，甲、乙、丙、丁 4 个人到 4 个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 A “4 个人去的景点各不
相同”，事件 B “甲独自去一个景点”，
则
4
4
1 3
4
A 2
C 3 9
P AB n ABP A B P B n B
，所以 D 正确.
4、4 月 23 日为世界读书日，已知某高校学生每周阅读时间 X 服从正态分布 ~ 9,4X N ，则（ ）
（附： 2~ ,X N ， 0.683P X ， 2 2 0.955P X ，
3 3 0.997P X .）
A．该校学生每周平均阅读时间为 9 小时；
B．该校学生每周阅读时间的标准差为 4；
C．该校学生每周阅读时间不超过 3 小时的人数占 0.3%；
D．若该校有 10000 名学生，则每周阅读时间在 3-5 小时的人数约为 210.
【答案】AD
【详解】
因为 9E X ， 4D X ，所以平均数是 9，标准差为 2，A 正确，B 不正确；
因为 7 11 0.683P X ， 5 13 0.955P X ， 3 15 0.997P X .
结合正态曲线的对称性可得，该校学生每周阅读时间不超过 3 小时的人数占
1 3 15 1 0.997 1.5%2 2
P X ，C 不正确；
每周阅读时间在 3-5 小时的人数占 3 15 5 13 0.0212
P X P X ，
0.021 10000 210 ，所以 D 正确；
5、针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生
人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的 4
5
，女生喜欢抖音的人数占女生人数 3
5
，若有95%的把握认
为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有（ ）人
附表：
2
0P K k 0.050 0.010
k 3.841 6.635
附：
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
A． 25 B． 45 C． 60 D． 75
【答案】BC
【解析】
设男生的人数为 5n n N ，根据题意列出 2 2 列联表如下表所示：
男生 女生 合计
喜欢抖音 4n 3n 7n
不喜欢抖音 n 2n 3n
合计 5n 5n 10n
则 2
2 10 4 2 3 10
5 5 7 3 21
n n n n n nK n n n n
，
由于有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则 23.841 6.632K ，
即 103.841 6.63221
n ，得8.0661 13.9272n ，
n N ，则 n 的可能取值有 9、10 、11、12 ，
因此，调查人数中男生人数的可能值为 45或 60 .
故选：BC.
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