16．若正方形一条对角线所在直线的斜率为 2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，_____．
【答案】 1
3 3
【命题意图】直线的斜率，三角恒等变形
【解析】正方形 OABC 中，对角线 OB 所在直线的斜率为 2，建立如图直角坐标系，
设对角线 OB 所在直线的倾斜角为 ，则 tan 2 ，由正方形性质可知，
直线OA的倾斜角为 45 ，直线 OB 的倾斜角为 45 ，
故 tan tan 45 2 1 1tan 45 1 tan tan 45 1 2 3OAk
，
tan tan 45 2 1tan 45 31 tan tan 45 1 2OBk
.
1．（2021·福建漳州市·高三月考）已知不过原点的动直线 l 交抛物线 2: 2 0C x py p 于 ,A B 两
点，O 为坐标原点，且| | | |OA OB OA OB ，若 OAB 的面积的最小值为 64 ，则 p ___________；
直线l 过定点，该定点的坐标为___________.
【答案】 4 0,8
【解析】设直线与抛物线交于 A B、 两点， 1 1 2 2, , ,A x y B x y ，
因为| | | |OA OB OA OB ，可得 2 2( ) ( )OA OB OA OB ，
即 2 2 2 2
+2 + = 2 +OA OA OB OB OA OA OB OB ，可得 0OA OB ，
可得 1 2 1 2 0OA OB x x y y ，所以
2 2
1 2
1 2 02 2
x xx x p p
，得到 2
1 2 4x x p ，
设 :l y kx m ，代入抛物线 2 2x py 中，可得方程 2 2 2 0x pkx pm ，
由韦达定理得 1 2 1 22 , 2x x pk x x pm ，所以 2m p ，
所以面积 2 2 2 2
1 2
1 1 4 8 4 ( 4)2 2S m x x m p k pm p p k
2 2 22 4 4p k p ，当且仅当 0k 时，等号成立，即 24 64p ，解得 4p ，
所以 8m ，此时直线 8y kx 过定点 0,8 .
2．（2021·湖南长沙市·长郡中学高三月考）2021 年是中国传统的“牛”年，可以在平面坐标系中用抛物线与
圆勾勒出牛的形象．已知抛物线 Z ： 2 4x y 的焦点为 F ，圆 F ： 22 1 4x y 与抛物线 Z 在第一象
限的交点为 , 4
mP m
，直线l ： 0x t t m 与抛物线 Z 的交点为 A ，直线 l 与圆 F 在第一象限的交
点为 B ，则 m ______； FAB 周长的取值范围为______．
【答案】2 4,6
【解析】如图所示：
由
2
22
4
1 4
0, 0
x y
x y
x y
，解得 2,
1
x
y
，
∴ 2m
由 2 4
x t
x y
，解得 2
4
x t
ty
，
所以
2
, 4
tA t
由 22 1 4
x t
x y
，解得
21 4
x t
y t
，
所以 2,1 4B t t ，
由抛物线的定义得：
∴ AF AC ，
∴ FAB 周长 FA FB AB ，
2AC AB BF BC ，
24 4t .
0,2t Q ，
24 4 4,6t ，故答案为：2， 4,6 ．
3．（2021·湖北高三月考）二项式
5
2a xx
的展开式中，x 的系数为 270，则：
（1） a _____，
（2）该二项式展开式中所有项的系数和为_____．
【答案】3 32
【解析】二项式 2 5( )a xx
的展开式中，通项公式为 5 3 5
1 5 ( 1)r r r r
rT C a x
，
令3 5 1r ，可得 2r = ，故 x 的系数为 2 3
5 270C a ， 3a ．
令 1x ，可得二项式 2 5( )a xx
的展开式中所有项的系数和为 52 32 ，
故答案为：3；32．
4．（2021·济南市·高三月考）过曲线 1 ( 0)y x xx
上一点 P 作该曲线的切线 l ， l 分别
与直线 y x ， 2y x ，y 轴相交于点 A ，B ，C .设 OAC ， OAB 的面积分别为 1S ， 2S ，则 1S ________，
2S 的取值范围是________.
【答案】2 (0，2)
【解析】由 1y x x
，得 2
11y x
，
设 0 0 0
0
1( , )( 0)P x x xx
，则 0 2
0
1| 1x xy x ，
曲线在 P 处的切线方程为 0 02
0 0
1 1(1 )( )y x x xx x
．
分别与 y x 与 2y x 联立，可得 0(2A x ， 02 )x ， 0
2
0
2( 1
xB x ， 0
2
0
4 )1
x
x ，
取 0x ，可得
0
2(0, )C x ，又 (0,0)O ，
OAC 的面积 1 0
0
1 2 2 22S xx
；
2 2
0 0 04 4 2 2OA x x x ，
点 B 到直线 0x y 的距离
0 0
2 2
0 0 0
2
0
2 4| |1 1 2
12
x x
x x xd x
．
OAB 的面积
2
0 0
2 0 2 2
0 0
2
0
2 21 22 2 (0,2)12 1 1 1
x xS x x x
x
．
故答案为：2； (0,2) ．
5．（2020·博兴县第三中学高三月考）已知水平地面上有一半径为 4 的球，球心为O ，在平行光线的照射下，
其投影的边缘轨迹为椭圆 C.如图椭圆中心为 O，球与地面的接触点为 E，OE=3.若光线与地面所成角为θ，
则sin ______________，椭圆的离心率 e=___________.
【答案】 4
5
3
5
【解析】连接OO，则 O OE ，因为 4O E ， 3OE ，所以 2 2 2 23 4 5OO O E OE
所以 4sin 5
O E
OO
在照射过程中，椭圆的短半轴长b 是圆的半径 R ，
4b ，如图．
椭圆的长轴长 2a 是 AC ，过 A 向 BC 做垂线，垂足是 B ，
由题意得： 2 8AB R ， 4sin sin 5ACB ，
又 4sin 5
ABθ AC
，所以 10AC
即 2 10a ， 5a ，椭圆的离心率为
2 2 2
5
5 3
5
16c a be a a
故答案为： 4
5
； 3
5 .
6．（2020·全国高三专题练习（理））中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多
为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）.半正多面体
是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图 2 是一个棱数为 48 的半
正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1．则该半正多面体共有________
个面，其棱长为_________．
【答案】共 26 个面. 棱长为 2 1 .
【解析】由图可知第一层与第三层各有 9 个面，计 18 个面，第二层共有 8 个面，所以该半正多面体共有
18 8 26 个面．
如图，设该半正多面体的棱长为 x ，则 AB BE x ，延长 BC 与 FE 交于点G ，延长 BC 交正方体棱于 H ，
由半正多面体对称性可知， BGE 为等腰直角三角形，
2 2, 2 ( 2 1) 12 2BG GE CH x GH x x x ，
1 2 1
2 1
x
，即该半正多面体棱长为 2 1 ．
7．（2020·湖南长沙市·长郡中学高三月考（文））已知曲线 1C ： ( ) 2xf x e x ，曲线 2C ： ( ) cosg x ax x ，
（1）若曲线 1C 在 0x 处的切线与 2C 在
2x 处的切线平行，则实数 a ________；
（2）若曲线 1C 上任意一点处的切线为 1l ，总存在 2C 上一点处的切线 2l ，使得 1 2l l ，则实数 a 的取值范
围为________.
【答案】－2 1 ,12
【解析】(1) ( ) 2xf x e ,则曲线 1C 在 0x 处的切线的斜率 1 (0) 3k f ,
2( ) sin ,g x a x C 在
2x 处的切线的斜率 2 12k g a ,
依题意有 1 3a ,即 2a ;
(2)曲线 1C 上任意一点处的切线的斜率 1 ( ) 2xk f x e ,
则与 1l 垂直的直线的斜率为 1 10,2 2xe
,
而过 2C 上一点处的切线的斜率 2 ( ) sin 1, 1k g x a x a a ,
依题意必有
1 0
11 2
a
a
,解得 1 12 a ,
故答案为: 12; ,12
.
8．（2020·山东高三专题练习）双曲线 C 的渐近线方程为 3
3y x ，一个焦点为 F（0，﹣8），则该双曲
线的标准方程为_____.已知点 A（﹣6，0），若点 P 为 C 上一动点，且 P 点在 x 轴上方，当点 P 的位置变化
时，△PAF 的周长的最小值为_____.
【答案】
2 2
116 48
y x 28
【解析】∵双曲线 C 的渐近线方程为 3
3y x ，一个焦点为 F（0，﹣8），
∴
2
2
2 2
1
3
8
a
b
a b
，解得 a=4，b=4 3 .
∴双曲线的标准方程为
2 2
116 48
y x ；
设双曲线的上焦点为 F′（0，8），则|PF|=|PF′|+8，
△PAF 的周长为|PF|+|PA|+|AF|=|PF′|+|PA|+|AF|+8.
当 P 点在第二象限，且 A，P，F′共线时，|PF′|+|PA|最小，最小值为|AF′|=10.
而|AF|=10，故，△PAF 的周长的最小值为 10+10+8=28.
故答案为：
2 2
116 48
y x ；28.
9．（2020·山东高三专题练习）定义在 R 上的奇函数 ( )f x 又是周期为 4 的周期函数，已知在区间
[ 2,0) (0,2] 上， , 2 0( ) 1, 0 2
ax b xf x ax x
，则 (2020)f __________；b __________．
【答案】0 1
【解析】∵定义在 R 上的奇函数 ( )f x 又是周期为 4 的周期函数
∴ ( 0) (0)f f ，解得 (0) 0f
∵ ( )f x 是周期为 4 的周期函数，∴ (2020) 0f
∵ ( )f x 周期为 4 的周期函数，∴ ( 4) ( )f x f x
∴ (4 2) ( 2)f f ，∴ (2) ( 2)f f
∵定义在 R 上的奇函数 ( )f x
∴ (2) ( 2) (2)f f f
∴ (2) ( 2) 0f f
∵在区间[ 2,0) (0,2] 上， , 2 0( ) 1, 0 2
ax b xf x ax x
，
∴ 2 1 0
2 0
a
a b
，解得 1
2a ， 1b .
故答案为：0 ；1
10．（2020·重庆市万州第二高级中学高二月考）已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 2 3 ，其内有 2 个
不同的小球，球 1O 与三棱锥 1 1A CB D 的四个面都相切，球 2O 与三棱锥 1 1A CB D 的三个面和球 1O 都相
切，则球 1O 的体积等于______，球 2O 的表面积等于______．
【答案】 4
3
【解析】因为正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 2 3 ,
所以三棱锥 1 1A CB D 是边长为 2 6 的正四面体, 1 1CB D 的高为3 2 ,
设底面 1 1CB D 的中心为 O ,连接 CO,则 2 3 2 2 23CO , 24 8 4AO ,
则球 1O 是三棱锥 1 1A CB D 的内切球,设其半径为 1R ,
则有
1 1 1 1 1 1 1
1 143 3A CB D CB D CB DV S AO S R
所以 1
1 14R AO ,
所以球 1O 的体积为 4
3
,
又球 2O 与三棱锥 1 1A CB D 的三个面和球 1O 都相切,
则设平面 //MNP 平面 1 1CB D ,且球 1O 和球 2O 均与平面 MNP 相切于点 E ,如下图所示,
则球 2O 是三棱锥 A MNP 的内切球,设其半径为 2R ,
故 12 2AE AO R ,
因此在正四面体 A MNP 中, 2
1 1
4 2R AE ,
所以球 2O 的表面积为 ,
故答案为: 4
3
; .
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