2021届高考二轮专题复习课件 立体几何之空间角黄金解题技巧（40张ppt）

立体几何之空间角 ——黄金解题技巧 立体几何之空间角 • 异面直线所成的角一 • 线面角二 • 二面角三 • 角度中的探索性问题四 一、异面直线所成的角 异面直线所 成的角 平移法 利用模型求异面直 线所成的角 向量法 异面直线所成的角——平移法 例1：S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC， 且 ，M、N分别是AB和SC的中 点．求异面直线SM与BN所成的角的余弦值． 2 πCSΑΒSCΑSΒ  答案： 5 10 异面直线所成的角——平移法 例2：长方体 中，若 ， ， 求异面直线 与 所成角的余弦值． 1111 DCBAABCD 3BC  4AA1  DB1 1BC 5AB  答案： 50 27 异面直线所成的角——平移法 方法一：中位线平移法 异面直线所成的角——平移法 方法二：直接平移法 异面直线所成的角——平移法 方法三：补形平移法 异面直线所成的角——平移法 平移法方法总结：1. 中位线平移法 2. 直接平移法 3. 补形平移法 利用模型求异面直线所成的角 模型1(三余弦定理）： 已知平面α的一条斜线AP与平面α所 成的角为 ，平面α内的一条直线b与斜线a 所成的角为θ，与它的射影a′所成的角为 。 则 。21 θcosθcosθcos  1θ 2θ 利用模型求异面直线所成的角 例3：如图，MA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且 MA=AB=a，试求异面直线MB与AC所成的角。 A B CD M 解：由图可知，直线MB在平面ABCD内的射影为AB， 直线MB与平面ABCD所成的角为45°， 直线AC与直线MB的射影AB所成的角为45°， 所以直线AC与直MB所成的角为θ，满足 cosθ=cos45°· cos45°= ， 所以直线AC与MB所成的角为60° 2 1 利用模型求异面直线所成的角 变式： 1. 如图，在立体图形P-ABCD中，底面ABCD是一个直角梯形，∠BAD=90°，AD//BC， AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角，AE⊥PD于D。求异面 直线AE与CD所成的角的余弦值。 P E DFA B C 答案： 4 2 利用模型求异面直线所成的角 模型2： 四面体ABCD两相对棱AC、BD间的夹角为 ，则有 BDAC2 DCABBCADcosθ 2222   θ 利用模型求异面直线所成的角 例4：长方体 中， ， ， 求异面直线 与 所成角的余弦值. 答案： 5 5 1111 DCBAABCD  2cmAAAB 1  11CA 1BD 1cmAD  利用模型求异面直线所成的角 变式：如图，四面体ABCD中，AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD， 且AB＝BC＝6，BD＝8，E是AD中点，求BE与CD所成角的余 弦值. 答案： 5 7 A B C D E6 6 8 异面直线所成的角——向量法 向量法： 设直线l，m的方向向量分别为 ， ，若两直线l，m所成 的角为 ( ) ，则 a  b   0 2   cos a b a b        二、线面角 线面角 射影法 等积求高法 空间向量法 线面角——射影法 射影法：在线上取一点作面的垂线，斜足与垂足的连线与斜线所成的角即线 面角. 例5：正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1 的中点. 求D1E与 平面ADE所成的角正弦值. 答案： 15 54 求斜线与平面所成的角可以分三步 1.作出斜线在平面内的射影 2.证明角是直线与平面所成的角 3.解直角三角形或解三角形，求出结果 线面角——射影法 线面角——等积求高法 例5： 线面角——空间向量法 空间向量法：设直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且 直线与平面所成的角为 ( )，则 a  n  0 2   sin a n a n        θ 例5： 线面角——空间向量法 x y z 三、二面角 二面角 二面角方法总结：1、几何法 2、三垂线法 3、射影面积法 4、法向量夹角法 二面角 例6：如图：在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正 方形，F是AA1的中点，AB=BC=1，AA1= ，求平面D1FB与 底面ABCD所成的角. D1 C1 B1 F C A A1 B D 2 二面角——几何法 方法一：延长D1F交DA的延长线于点P，连接PB，则直线PB 就是平面BFD1与平面ABCD的交线，连接BD. A1 B1 B D A F C1D1 C P 二面角——三垂线法 三垂线定理： 平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射 影垂直，那么它就和这条斜线垂直. 二面角——三垂线法 方法二：延长D1F交DA的延长线于点P，连接PB，过A点作AE 垂直于PB，交PB于E，连接EF. A1 D1 C1 B1 F A D B E C P 二面角——射影面积法 射影面积法： 通常使用于无棱的二面角的大小的计算。 即二面角的余弦值 原 影 S Scosθ  这种“射影面积法” 更适用于在选择和填空题！！！ 二面角——射影面积法 方法三：由题意可知，这是一个直四棱柱，△D1FB 在底面上 的射影三角形就是△ABD，故由射影面积关系可得 D1 C1 B1 F C B D A FBD ABD 1 S Scosθ  二面角——空间向量法 方法四：设二面角的两个半平面的法向量分别为 与 ， 即二面角和 与 的夹角相等或互补. A1 D1 C1 B1 A B CD x z F y m  m  n  n  注意： 1、合理建系. 本着“左右对称 就地取材”的建系原则. 2、视图取角. 二面角 变式1：如图，在三棱台DEFABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的 中点，若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF＝DE, ∠BAC＝45°，求平面FGH与 平面ACFD所成的角(锐角)的大小． 答案： 3 π 四、角度中的探索性问题 角度中的探索性问题 用空间向量法解决角度中的探索问题 ① 首先根据已知条件建立适当的空间直角坐标系并假设求解的结果存 在，寻找使这个结论成立的充分条件； ② 然后运用空间向量将立体几何问题转化为空间向量问题并进行计算、 求解； ③ 得出结论，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找 不到符合题目结果要求的条件，或出现了矛盾，则不存在. 角度中的探索性问题 例7：如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线 AB，且AB=BP=2，AD=AE=1， 且AE∥BP．线段PD上是否存在一点N， 使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于 ？若存在，试确定点的位置；若 不存在，请说明理由． ,AE AB 2 5 答案：存在，当N点与D点重合时，直线BN与平面 PCD所成角的正弦值等于 .2 5 角度中的探索性问题 变式1：如图，PC⊥平面ABC，DA∥PC，∠ACB＝90°，E为PB的中点， AC＝AD＝BC＝1，PC＝2. 设Q为PB上一点， 试确定 的值， 使得二面角Q—CD—B的大小为 . 答案： λ 45 22 λ 总结 异面直线所成的角： ① 中位线平移法 ②直接平移法 ③补形平移法 线面角: ① 射影法 ②等积求高法 ③空间向量法 总结 二面角: ①几何法 ②三垂线法 ③射影面积法 ④法向量夹角法 角度中的探索性问题: 用空间向量法解决角度中的探索问题