华师大版九年级上册数学期末复习专题二

第 22 章 一元二次方程 华师版 专题二 一元二次方程的应用 1 ． ( 桂林中考 ) 为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知 2015 年该市投入基础教育经费 5 000 万元， 2017 年投入基础教育经费 7 200 万元． (1) 求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率； (2) 如果按 (1) 中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划 2018 年用不超过当年基础教育经费的 5% 购买电脑和实物投影仪共 1 500 台，调配给农村学校，若购买一台电脑需 3 500 元，购买一台实物投影仪需 2 000 元，则最多可购买电脑多少台？ 解： (1) 设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为 x ， 根据题意得 5 000(1 ＋ x) 2 ＝ 7 200 ， 解得 x 1 ＝ 0.2 ＝ 20% ， x 2 ＝－ 2.2( 舍去 ). 答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为 20%   (2)2018 年投入基础教育经费为 7 200 × (1 ＋ 20%) ＝ 8 640( 万元 ) ， 设购买电脑 m 台 ， 则购买实物投影仪 (1 500 － m) 台 ， 根据题意得： 3 500m ＋ 2 000(1 500 － m) ≤ 86 400 000 × 5% ， 解得 m ≤ 880. 答： 2018 年最多可购买电脑 880 台 2 ．某校团委准备举办学生绘画展览，为美化画面， 在长为 30 cm 、宽为 20 cm 的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸， 并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等 ( 如图 ) ，求彩纸的宽度． 解：设彩纸的宽为 x cm ， 根据题意 ， 得 (30 ＋ 2x)(20 ＋ 2x) ＝ 2 × 30 × 20 ， 整理 ， 得 x 2 ＋ 25x － 150 ＝ 0 ， 解得 x 1 ＝ 5 ， x 2 ＝－ 30( 不合题意 ， 舍去 ). 答：彩纸的宽为 5 cm 3 ．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的 小分支，主干、支干、小分支的总数是 111. 求每个支干长出多少个小分支？ 解：设每个支干长出 x 个小分支 ， 根据题意 ， 得 1 ＋ x ＋ x 2 ＝ 111. 解得 x 1 ＝ 10 ， x 2 ＝－ 11( 舍去 ). 答：每个支干长出 10 个小分支 4 ． ( 深圳中考 ) 一个矩形周长为 56 厘米． (1) 当矩形面积为 180 平方厘米时，长宽分别为多少？ (2) 能围成面积为 200 平方厘米的矩形吗？请说明理由 . 解： (1) 设矩形的长为 x 厘米 ， 则另一边长为 (28 － x) 厘米 ， 依题意有 x(28 － x) ＝ 180 ， 解得 x 1 ＝ 10( 舍去 ) ， x 2 ＝ 18 ， 28 － x ＝ 28 － 18 ＝ 10. 故长为 18 厘米 ， 宽为 10 厘米  (2) 设矩形的长为 x 厘米 ， 则宽为 (28 － x) 厘米 ， 依题意有 x(28 － x) ＝ 200 ， 即 x 2 － 28x ＋ 200 ＝ 0 ， 则 Δ ＝ 28 2 － 4 × 200 ＝ 784 － 800 ＜ 0 ， 原方程无实数根 ， 故不能围成一个面积为 200 平方厘米的矩形 5 ．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小 9 ， 如果把个位上的数字与十位上的数字对调， 得到的新的两位数比原来的两位数小 27 ，求原来的两位数． 解：设原来的两位数个位上的数字为 x ， 则十位上的数字为 x 2 － 9 ， 根据题意 ， 得 10(x 2 － 9) ＋ x － [10x ＋ (x 2 － 9)] ＝ 27 ， 整理 ， 得 x 2 － x － 12 ＝ 0 ， 解得 x 1 ＝ 4 ， x 2 ＝－ 3( 不合题意 ， 舍去 ). ∴ 10(x 2 － 9) ＋ x ＝ 10(4 2 － 9) ＋ 4 ＝ 74. 答：原来的两位数为 74 6 ．如图，由点 P (14 ， 1) ， A ( a ， 0) ， B (0 ， a )( a ＞ 0) 确定的△ PAB 的面积 为 18 ，求 a 的值． ( 提示：过点 P 作 PQ ⊥ x 轴于 Q ) 8 ． ( 烟台中考 ) 今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召， 开设了“足球大课间”活动，现需要购进 100 个某品牌的足球供学生 使用．经调查，该品牌足球 2015 年单价为 200 元， 2017 年单价为 162 元． (1) 求 2015 年到 2017 年该品牌足球单价平均每年降低的百分率； (2) 选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案： 试问去哪个商场购买足球更优惠？ 解： (1) 设 2015 年到 2017 年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为 x ， 根据题意 ， 得 200 × (1 － x) 2 ＝ 162 ， 解得 x ＝ 0.1 ＝ 10% 或 x ＝ 1.9( 舍去 ). 答： 2015 年到 2017 年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为 10% 9 ． ( 眉山中考 ) 东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次 ( 即最低档次 ) 的产品每天生产 76 件，每件利润 10 元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加 2 元． (1) 若生产的某批次蛋糕每件利润为 14 元，此批次蛋糕属第几档次产品？ (2) 由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少 4 件．若生产的某档次产品一天的总利润为 1 080 元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？ 解： (1)(14 － 10)÷2 ＋ 1 ＝ 3( 档次 ). 答：此批次蛋糕属第三档次产品  (2) 设烘焙店生产的是第 x 档次的产品 ， 根据题意得 (2x ＋ 8) × (76 ＋ 4 － 4x) ＝ 1 080 ， 整理得 x 2 － 16x ＋ 55 ＝ 0 ， 解得 x 1 ＝ 5 ， x 2 ＝ 11( 不合题意 ， 舍去 ). 答：该烘焙店生产的是第五档次的产品 10 ．某广告公司制作广告的收费标准是：以面积为单位，在不超过规定面积 A (m 2 ) 的范围内，每张广告收费 1 000 元，如果超过 A m 2 ，则除了要交这 1 000 元的基本广告费以外，超过部分还要按每平方米 50 A 元交费．下表是该公司对两家用户广告面积和收费情况的记载： 单位 广告面积 ( 单位： m 2 ) 收费金额 ( 单位：元 ) 烟草公司 6 1 400 食品公司 3 1 000 (1) 求规定面积 A 的值； (2) 红星公司要制作一张大型公益广告，其材料形状是矩形， 已知矩形材料的长比宽多 1 m ，它的四周是空白处． ① 如果上下各空 0.25 m ，左右各空 0.5 m ，那么空白部分的面积是 6 m 2 . 求矩形材料的长、宽各是多少米？ ② 若空白部分不收广告费，中间的矩形部分才是广告面积， 且这张广告的广告费为 2 600 元， 那么四周的空白部分的面积是多少平方米？ 解： (1) 由表知： 3 ≤ A ≤ 6 ， 则有 1 000 ＋ 50A(6 － A) ＝ 1 400 ， 解得 A 1 ＝ 2 ， A 2 ＝ 4 ， 所以 A ＝ 4   (2) ① 设矩形材料的宽为 x m ， 则长为 (x ＋ 1)m. 根据题意得 2 × 0.25(x ＋ 1) ＋ 2 × 0.5(x － 0.25 × 2) ＝ 6 ， 解得 x ＝ 4. 所以矩形材料的宽为 4 m ， 长为 5 m   ② 设广告部分的面积为 S ， 因为广告费为 2 600 元 ， 大于 1 000 元 ， 所以 2 600 ＝ 1 000 ＋ 50 × 4(S － 4) ， 所以 S ＝ 12 m 2 ， 所以空白部分的面积为 4 × 5 － 12 ＝ 8(m 2 )